概率论及数理统计随机变量的数字特征

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精品.资料 《概率论与数理统计》

第一章 概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 BA则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

B}xxx{ 或ABA称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA发生

B}xxx{ 且ABA称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件BA发生

B}xxx{ 且—ABA称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件BA—发生

BA，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

且S BABA，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件

2．运算规则 交换律ABBAABBA

结合律)()( )()(CBACBACBACBA

分配律 )()B(CAACBA）（

))(()( CABACBA

徳摩根律BABAABA B —

§3．频率与概率

定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An称为事件A发生的频数，比值nnA称为事件A发生的频率

概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率

1．概率)(AP满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0AP

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第四章 随机变量的数字特征

在前面两章中我们讨论了随机变量的概率分布，这是关于随机变量统计规律的一种完整描述，然而在实际问题中，确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.

§1 数学期望

1.1 数学期望的概念

在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.

例1.1 设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即

平均抗拉强度1(110120212531302135140)10

123211110120125130135140101010101010

126.

从上例可以看出，对于一个离散型随机变量X，其可能取值为12,,,nxxx，如果将这n个数相加后除n作为“均值”是不对的.因为X取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.

授课章节 第四章 随机变量的数字特征

目的要求 掌握期望与方差的概念，熟练掌握计算期望与方差的方法

重点难点 随机变量函数的期望和方差

第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数．

§1 数学期望

一、数学期望的定义

先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为

7.19100)102156203019218217(

或 22305610171819202119.7100100100100100

我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。而1718192021195是把这五个数的地位或权重看得相同。对于一般随机变量，其平均值定义如下：

定义 设离散型随机变量X的分布律为{}kkxpPX， k = 1、2、… ，或列表如下：

X x1 x2 …… xk ……

P p1 p2 …… pk ……

若级数1kkkpx绝对收敛，则称其收敛值为随机变量X的数学期望或

均值，记为1)(kkkpxXE．若级数1kkkpx发散，则称随机变量X的数学期望不存在。

设连续型随机变量X的密度函数为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称此收敛值为X的2 / 8 数学期望或均值。记为)(XE，即dxxxfXE)()(。若积分||()xfxdx发散，则称随机变量X的数学期望不存在。

第4章 随机变量的数字特征

教学要求

1．理解随机变量的数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，掌握用数字特征的定义、常用计算公式及基本性质计算具体分布的数字特征.

2．掌握利用随机变量X的概率分布求其函数)(Xg的数字期望)(XgE，掌握利用随机变量X和Y的联合分布求其函数),(YXg的数学期望),(YXgE.

3．理解X与Y不相关的概念，掌握X与Y独立和不相关的关系与判定方法.

4．掌握六个常用分布的数学期望和方差，理解二维正态分布中5个参数的意义.

5．了解原点矩、中心矩、协方差矩阵的概念.

6．了解n维正态随机变量的四个性质.

教学重点

数学期望、方差的概念与性质及其应用，用数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的定义、常用计算公式及性质计算具体分布的数字特征.

教学难点

协方差、相关系数概念的理解.

课时安排

本章安排6课时.

教学内容和要点

一、 数学期望

1.离散型随机变量数学期望

2.连续型随机变量数学期望

3.随机变量的函数数学期望

4.常用分布的数学期望

5.数学期望的性质

二、 方差

1.方差的概念

2.方差的计算

3.常用分布的方差

4.方差的性质

5.随机变量的标准化

三、协方差和相关系数

1.协方差的定义与性质

2.相关系数的定义与性质

四、矩与协方差矩阵

1.矩与协方差矩阵的概念

2. n维正态分布

主要概念

1.数学期望（离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望）

2.方差 、标准差

3.标准化随机变量

4.协方差

5.相关系数

6.,XY不相关

7.矩

8.协方差矩阵