第四章 数字特征
前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。
第一节 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题
例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：
年龄 18
19 20 21 ∑
人数 1 15 15 9
40
该班同学的平均年龄为：
4092115201519118a
8.194092140152040151940118
若令X表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X的分布律为
x 18 19 20 21
p 401
409
于是，X取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为 2 4092140152040151940118)(aXE
8.19iiipx
定义1：设X为离散型随机变量，其分布律为
iipxXP}{，,2,1i
如果级数 绝对收敛，则此级数为X的数学期望（或均值），记为 E(X)，
即 iiipxXE)(
意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值。
如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。
例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知
X1和X2的分布律分别为：
X1 8 9
第四章习题
一、填空
1．某人射击一次，击中的概率是0.8，则5次射击中平均击中次数为
2．用人工织布机所织布批上的平均疵点数为2，则这种布批上疵点数的概率分布为
3．某厂生产的电子元件的平均寿命为1000小时，则该厂生产的这类电子元件寿命的方差为
4．若DXEXXY，则EY=，DY=
二、计算题
1.一批共10件产品，其中6件正品，从中一次任取3件 ，求（1）3件中的次品数的概率分布 （2）3件中的次品数的数学期望 （3）3件中的次品数的方差
2.已知X与Y相互独立，且分布律如下：
X 0 1 2
P 0.2 0.3 0.5
求E(X+Y)和D(X-Y)
Y 0 1
P 0.4 0.6 3.已知连续型随机变量X的概率密度为201()0xxx其它，求X的数学期望及方差。
４.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=2，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X+2Y），D（2X－3Y）
５.设随机变量X，Y的概率密度分别为
fX（x）=;0,0,0,22xxxefY（y）=.0,0,0,44yyye
求（1）E（X+Y）;（2）E（2X－3Y2）
６．设随机变量X和Y的联合概率分布为
Ｙ
Ｘ －１ ０ １
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
求X和Y的相关系数ρ.
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第四章 随机变量的数字特征
在前面两章中我们讨论了随机变量的概率分布，这是关于随机变量统计规律的一种完整描述，然而在实际问题中，确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.
§1 数学期望
1.1 数学期望的概念
在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.
例1.1 设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即
平均抗拉强度1(110120212531302135140)10
123211110120125130135140101010101010
126.
从上例可以看出，对于一个离散型随机变量X，其可能取值为12,,,nxxx，如果将这n个数相加后除n作为“均值”是不对的.因为X取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案
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第四章随机变量的数字特征试题答案
一、 多项选择题（每个子问题2分）
1、设随机变量x服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（d）a.e（x）=0.5，d（x）=0.5b.e（x）=0.5，d（x）=0.25c.e（x）=2，d（x）=4d.e（x）=2，d（x）=22、设随机变量x与y相互独立，且x~n（1，4），y~n（0，1），令z?x?y，则d（z）=（c）
a、 1b。3c。5d。63.如果D（x）=4，D（y）=25，cov（x，y）=4，那么？xy=（c）a.0.004b。0.04摄氏度。0.4d。四
4、设x，y是任意随机变量，c为常数，则下列各式中正确的是（d）a．d（x+y）=d（x）+d（y）b．d（x+c）=d（x）+cc．d（x-y）=d（x）-d（y）d．d（x-c）=d（x）
十、2.0 x？5.设随机变量X的分布函数为f（X）？？？1,2? 十、4.2倍？4.1.a。
，则e(x)=（d）
113B。公元3322116年。设随机变量X和y相互独立，X~B（36）和y~B（12），则d（X？y？1）=（c）
63472326a．b．c．d．
假设随机变量x服从泊松分布，参数为3，y~B（8），x和y相互独立，则
3d(x?3y?4)=（c）
a、 B-13b.15c.19d.23
8、已知d(x)?1，d(y)?25，?xy=0.4，则d(x?y)=（b）a．6b．22c．30d．469、设x~b(10,)，则e(x)=（c）a．
13110b。1c。d、 1033210。如果设置了x~n（1,3），则以下选项不适用（b）
