(完整版)求数列通项公式的十种方法

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求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()nnaafn(2)n，

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafnLL

两边分别相加得 111()nnkaafn 例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnLLL

所以数列{}na的通项公式为2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnLLL

所以31.nnan

解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，

则111213333nnnnnaa，故

112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaanLLL

求数列通项公式的十种方法

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型

（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;

（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

待定系数法：设)(1nnaca,

得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得

dc)1(,所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann

因此数列1cdan构成以11cda为首项，以c为公比的等比数列，

所以 11)1(1nnccdacda 即：1)1(11cdccdaann.

规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,

构造成公比为c的等比数列}1{cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann

逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系dcaann1中把n换成n-1有dcaann1,

两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为c的等比数列}{1nnaa,

进而求得通项公式. )(121aacaannn,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方较

比较复杂.

例6已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。

解法一：121(2),nnaan 112(1)nnaa

又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列 12nna，即21nna

练习．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na。答案：1)21(1nna

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法

一.公式法例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。

扌，故数列｛影｝是以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,

3 1

所以数列｛©｝的通项公式为an=(-n—)2\ 2 2

评注：本题解题的关键是把递推关系式。心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2

｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2

｛qr｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数

an=-2(n + l), Tn-3Sn=4n.求数列｛bK｝的通项公式；

解：•/ afj = -2(n + I) /. “] = -4 cl = -2 = 一昇一 3n

.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8

当 n>2^\,bf J =Tf J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分

练习：1.已知正项数列｛an｝,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a】,a3,a】5成等比数列，求数列｛%｝的通项％.

解：T 105>訂+5/+6, ① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,

又 10$-产②-：+5②T+6(〃$2),②

由①—②得 10a = (a^—a„-i2) +6(a„—a„-x),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0

T 色+/_1>0 , 二 a:—乔产5 (77^2) •

当 ai=3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL\* 越，去不成等比数列Si^3；

当 ai—2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、二2, • • @7二5/7 —3,

三、累加法例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。

每年高考必考！求数列通项公式的11种方法——高三同学必须掌握

同学们都知道，求数列通项公式基本上是每年高考必考题。所以，求通项公式的各种方法和技巧每位同学都应该彻底掌握。

利用递推关系求数列通项一般有11种方法，有累加法、累乘法、等差法、换元法。相信同学们都再熟悉不过了。

方法只是手段而已，而最核心的是同学们要掌握运用这些方法的能力。也就是说当你拿到一道题时，你首先需要分析他应该要怎么变形，怎么去构造，然后用什么样的方法去解决，这才是我们必需具备的能力。通过不断的梳理和整理，从而把这些方法运用得非得心应手。

我们首先要明白求数列通项公式的基本思路：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

所用的基本方法就是叠加法和叠乘法。

除了能够熟练运用这些方法外，还需要你具备函数思维等（比如：等差数列前n项是属于二次函数型）

那么今天先给同学分享前2种最基要的方法：叠加法和叠乘法。针对不太好的同学，一定要掌握！

一、累加法(又称叠加法)： 1、什么时候用累加？这很关键！

答：就是相邻2项之差是一个变数的时候，就需要用累加法。

2、用法步骤：

①写出所有项式子；

②等式左右两边各相加；

③运算求出通项公式。

3、难点拓展延伸：

①、构造法：所有累加法都可以构造成常数列；

②、隔项累加。

接下来就看例题：接下来看例2：

解法一：累加法。我们一看题干就明白可以用累加法。这里就不再赘述。

解法二：构造法。

前面讲了所有累加法就可以构造成常数列，如果我们一眼就可以看出来可以构造，就可以采用构造法。关于累加法还有一个难点，那就是会出现隔项累加，这就作为作业给大家去做了，直接看例3：

如果有不懂的可以私信了解。

二、累乘法(又称叠乘法)：

1、什么时候用累乘法？

答案：就是相邻2项之比是一个变数的时候，就需要用累乘法。

2、用法步骤：

①写出所有项式子；

②等式左右两边各相乘； ③运算求出通项公式。

求数列通项公式方法归纳(十种方法)

求数列通项公式方法归纳

一、公式法

【例1】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。

，则，故数列{是

2222222

aan323以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，

22222

所以数列{an}的通项公式为。

解：两边除以，得

二、累加法

【例2】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。解：由得则

所以数列{an}的通项公式为。

【例3】在数列{an}中，

，求通项公式an.

解：原递推式可化为：

则

13 1n

4，……，

逐项相加得：

. 故

【例4】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。解：由得则所以

【例5】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。解：两边除以，得则

an3

，

an3

，故

an3

an323

1313

a23

a13

因此

an3

2n3

，

则

【例6】在数列中，且，求通项an.

【小练】：已知

{an}

满足

求{an}的通项公式。

，

已知

{an}

的首项

，

（）求通项公式。

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