求数列通项公式的十种方法-例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()nnaafn(2)n，

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafn

两边分别相加得 111()nnkaafn 例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

所以31.nnan

解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，

则111213333nnnnnaa，故

112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan 因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，

则21133.322nnnan

评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列}{na中, 0na且)(21nnnanaS,求数列}{na的通项公式.

解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,

化简有nSSnn212,由类型(1)有nSSn32212,

又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn,

则2)1(2)1(2nnnnan

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法

1.适用于： 1()nnafna ----------这是广义的等比数列

累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，， 两边分别相乘得，1111()nnkaafka

例4 已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。

解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn

所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan

例5.设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2， 3，…），则它的通项公式是na=________.

解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa

0na(*Nn)(n+1)01nnnaa, 即11nnaann

2n时，nnaann11

112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1.

评注：本题是关于na和1na的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到na与1na的更为明显的关系式，从而求出na.

练习.已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式.

答案：na)1()!1(1an-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为

),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

三、待定系数法 适用于1()nnaqafn

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型

（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;

（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

待定系数法：设)(1nnaca,

得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得

dc)1(,所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann

因此数列1cdan构成以11cda为首项，以c为公比的等比数列，

所以 11)1(1nnccdacda 即：1)1(11cdccdaann.

规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为c的等比数列}1{cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系dcaann1中把n换成n-1有dcaann1,两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为c的等比数列}{1nnaa,进而求得通项公式.

)(121aacaannn,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例6已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。

解法一：121(2),nnaan

112(1)nnaa

又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列

12nna，即21nna

解法二：121(2),nnaan

121nnaa

两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

练习．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na。

答案：1)21(1nna

2．形如：nnnqapa1 (其中q是常数，且n0,1)

①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可.

②若1p时，即：nnnqapa1，

求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1np.目的是把所求数列构造成等差数列 即： nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab，则nnnqppbb)(11,然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以1nq . 目的是把所求数列构造成等差数列。

即： qqaqpqannnn111,

令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列

设)(11nnnnpapqa.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.

注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。

例7已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。

解法一（待定系数法）：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，

则数列143nna是首项为111435a，公比为2的等比数列，

所以114352nnna，即114352nnna

解法二（两边同除以1nq）： 两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，下面解法略

解法三（两边同除以1np）： 两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略

3．形如bknpaann1 (其中k,b是常数，且0k)

方法1：逐项相减法（阶差法）

方法2：待定系数法

通过凑配可转化为 ))1(()(1ynxapyxnann;

解题基本步骤：