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数列通项公式的十种求法

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数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 数列通项公式的十种求法

例3 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例4 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，

则，故

112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan

因此，

则

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

三、累乘法

例5 已知数列满足，求数列的通项公式。 数列通项公式的十种求法

解：因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。

解：因为 ①

所以 ②

用②式－①式得

则

故

所以 ③

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

四、待定系数法 数列通项公式的十种求法

例7 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 ④

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤

由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

例8 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 ⑥

将代入⑥式，得

1352423(2)nnnnnaxyaxy

整理得。

令，则，代入⑥式得

⑦

由及⑦式，

得，则， 数列通项公式的十种求法

故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

例9 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 ⑧

将代入⑧式，得

，则

222(3)(24)(5)2222nnaxnxynxyzaxnynz

等式两边消去，得，

解方程组，则，代入⑧式，得

⑨

由及⑨式，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

五、对数变换法

例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。 数列通项公式的十种求法

解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩

设

将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则

，故

代入式，得

由及式，

得，

则，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

六、迭代法

例11 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以 数列通项公式的十种求法

2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)112(3)(2)(1)(1)123(1)223(2)23(1)233(2)(1)23323(2)(1)213!21[]nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaa

又，所以数列的通项公式为。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。

七、数学xx

例12 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由及，得

2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181aaaaaa

由此可猜测，往下用数学xx证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

1228(1)(21)(23)kkkaakk 数列通项公式的十种求法

222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2

由此可知，当时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学xx加以证明。

八、换元法

例13 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，则

故，代入得

221111(1)[14(1)]241624nnnbbb

即

因为，故 数列通项公式的十种求法

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。

评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

九、不动点法

例14 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，得，则是函数的两个不动点。因为

。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。

例15 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，得，则是函数的不动点。

因为，所以 数列通项公式的十种求法

。

评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

九、不动点法

例14 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，得，则是函数的两个不动点。因为

。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。

例15 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，得，则是函数的不动点。

因为，所以

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数列通项公式的十种求法练习

数列通项公式的十种求法练习

数列通项公式的十种求法练习

例 1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

例3 已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。

例4已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。

例5 已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。

例6 已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

例7 已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。

例8已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公

式na.

例9已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

例10 已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。

例11 已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

例12 已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。例13 已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。

课后习题

1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。

2:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。

3:已知31a，nnanna23131 )1(n，求na。

4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法

时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日 1． 观察法（求出a1、a2、a3,然后找规律）之蔡仲巾千创作

时间：二O二一年七月二十九日

即归纳推理,就是观察数列特征,找出各项共同的构陈规律,然后利用数学归纳法加以证明即可.

,,若,求及数列的通项公式．

解：由题意可知：,

,

.

因此猜想.

下面用数学归纳法证明上式．

（1）当n＝1时,结论显然成立．

（2）假设当n＝k时结论成立,即.

(3)则,

即当n＝k＋1时结论也成立．

由（1）、（2）可知,对一切正整数,都有．（最后一句总结很重要）

2．界说法（已知数列为等差或者等比）

直接利用等差数列或等比数列的界说求通项的方法叫界说法,这种方法适应于已知数列类型的题目.

满足,,求的通项公式. 时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日 解：设等差数列的公差为.

因为,所以.

又因为,所以,故.

所以.

3．公式法

若已知数列的前n项和与的关系,求数列的通项可用公式的前项和为,已知

（Ⅰ）求数列的通项公式.

解：（Ⅰ）由

可得：那时, ,

那时,

而 ,

所以

4．累加法

当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为.

满足,且（）,则数列{}的前10项和为

解：由题意得：

5．累乘法 时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日 当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解.

满足,求的通项公式.

解：由条件知 ,

在上式中分别令,得个等式累乘之,

即 , 即

又

6.构造法（拼凑法）-共5种题型,第2、3种方法不用掌握

1、当递推公式为（其中均为常数,且）时,通常解法是把原递推公式转化为,其中,再利用换元法转化为等比数列求解.

例题：已知数列满足,求的通项公式.

解：由

得

又

求数列通项公式的十种方法[1]

求数列通项公式的十种方法[1]

第 1 页 共 14 页 求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、利用1(2)1(1)nnSSnSnna

例2．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数

2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；

解： 22(1)4231anadSnnnn

23435TSnnnnn……2分 当1,35811nTb时

当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分

练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0

∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)

数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

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数列通项公式的十种求法

作者：陈秀英

来源：《新课程·教育学术》2009年第16期

求数列的通项公式是高中数学教与学的重点和难点,它方法灵活,技巧性强,学生往往难以把握。所以我一直在探索怎样才能帮助学生更好地掌握数列通项公式的求法。由此总结出几种常见的求数列通项公式的十种方法,让同学们在具体的实例中去具体体会,去感悟如何根据问题的特征,来选择具体的解法,只有这样,才能从整体上去把握问题特征,掌握解题要领。

一、观察法(又叫猜想法、不完全归纳法)

观察数列中各项与其序号间的关系,分解各项中的变化部分与不变部分,再探索各项中变化部分与序号间的关系,从而归纳出构成规律写出通项公式。关键是找出各项与项数的关系。

注:用不完全归纳法,只是从数列的有限项通过观察而得到数列所有项的通项公式,不一定可靠。如从数列2,4,8,…可得an=2n或an=n2-n+2两个不同的通项公式(从第四项开始便不同)。

二、“归纳—猜想—论证”法

有时一个数列可以由已知条件求出数列的前几项,通过“观察法”,就可以归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。这种方法是可靠的。

由①②可知,对任意的n∈N+,原命题成立。

三、累加法(又叫迭加法)

一般的,对于形如an+1=an+f(n)类数列的通项公式,只要f(1)+f(2)+…+f(n)能进行求和,则宜采用此方法求解。

例3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,求数列{an}的通项公式。

解:a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…an-an-1=2(n-1).

即an=n2-n+1(n∈N+)。

四、累乘法(又叫迭积法)

求解。 龙源期刊网