高中数学第二章 §1 从位移、速度、力到向量

§1从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度和力1.2 向量的概念1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)[基础·初探]教材整理向量的概念阅读教材P73～P75“练习”以上部分，完成下列问题．1．向量的有关概念名称定义表示方法零向量长度为零的向量0单位向量长度为单位1的向量叫作单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量若a等于b，记作a＝b向量平行或共线表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合a与b平行或共线，记作a∥b规定：零向量与任一向量共线(1)定义既有大小，又有方向的量叫作向量． (2)有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|.(3)向量的长度|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)． (4)向量的表示法①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．②向量也可以用黑体小写斜体字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →，b →，c →…来表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数量同向量一样可以比较大小．( ) (2)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (4)向量就是有向线段．( )【解析】 (1)错误．向量不能比较大小． (2)错误.AB →与BA →方向相反不是相等向量． (3)错误．两条直线平行或重合．(4)错误．向量不能等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示． 【★答案★】 (1)× (2)× (3)× (4)×[小组合作型]向量的有关概念给出下列几种说法：①温度、速度、位移这些物理量都是向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③向量的模一定是正数；④起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．其中说法正确的是．(填序号)【精彩点拨】解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．【自主解答】①错误，只有速度、位移是向量．②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．③错误.0的模|0|=0.④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．【★答案★】④1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的定义分式．2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．[再练一题]1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上； (2)若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等； (4)单位向量都相等．【解】 对于(1)，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，所以(1)错；对于(2)，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的，所以(2)错；对于(3)，向量AB →与BA →方向相反，但长度相等．所以(3)对；对于(4)，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同，所以(4)错．向量的表示(1)已知和终点最多可以写出 个互不相等的非零向量．(2)一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．①作出向量AB →，BC →，CD →； ②求|AD →|.【精彩点拨】 (1)根据向量的表示方法求解．(2)先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题． 【自主解答】 (1)设线段AD 的长度是3，则长度为1的向量有AB →＝BC →＝CD →，BA →＝CB →＝DC →，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有AC →＝BD →，CA →＝DB →共有2个互不相等的非零向量，长度为3的向量有AD →，DA →，共2个互不相等的非零向量，综上知共6个互不相等的非零向量．【★答案★】 6(2)①向量AB →，BC →，CD →如图所示．②由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ═∥CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200(km)．用有向线段表示向量的步骤及注意事项(1)用有向线段表示向量的步骤(2)注意事项有向线段书写时要注意起点和终点的不同，字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．[再练一题]2．小李离家从A 点出发向东走2 km 到达B 点，然后从B 点沿南偏西60°走4 km ，到达C 点，又改变方向向西走2 km 到达D 点.【导学号：69992016】(1)作出AB →，BC →，CD →；(2)求小李到达D 点时与A 点的距离． 【解】 作AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)依题意，四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝4，即小李到达D 点时离A 点4 km.[探究共研型]共线向量探究1 什么关系？【提示】 方向相同或相反．探究2 表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？ 【提示】 表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．探究3 如果非零向量AB →与CD →是共线向量，那么点A ，B ，C ，D 是否一定共线？【提示】 不一定共线．探究4 与向量a 共线的单位向量有几个？【提示】 当a ≠0时，有两个；当a ＝0时，有无数个．如图2-1-1所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝C ．图2-1-1(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请分别一一列出与a ，b ，c 相等的向量． 【精彩点拨】 由题目可获得以下主要信息： ①六边形ABCDEF 是正六边形； ②OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ； ③求各相应向量．解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．【自主解答】 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. (4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →； 与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →； 与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.1．向量共线有三种情形：①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． 2．向量的平行与直线平行的关系两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m ，n ，l ，m ∥n ，n ∥l ，则m ∥l ；若向量a ，b ，c ，a ∥b ，b ∥c ，而a ，c 不一定平行．[再练一题]3.如图2-1-2所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：图2-1-2(1)分别写出与AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量．【解】 (1)∵|AO →|＝|OC →|＝|BF →|，且OC →，BF →与AO →的方向相同，∴与AO →相等的向量是OC →，BF →.同理，与BO →相等的向量是AE →.(2)∵AO ∥DE ∥BF ，A ，O ，C 三点共线， ∴与AO →共线的向量是DE →，OC →，BF →，CO →.1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 根据向量的概念知速度、力、加速度为向量． 【★答案★】 D2．下列说法中正确的是( ) A ．零向量没有方向 B ．零向量的模等于零 C ．单位向量的模等于1厘米 D ．单位向量的方向都相同【解析】 零向量也有方向，其方向是任意的，因此A 错误；单位向量的模等于1个单位长度，而不是具体的1厘米，因此C 错误；单位向量的方向要因具体情况而定，因此D 错误．所以只有B 是正确的．【★答案★】 B3．给出下列命题：①若|a |>|b |，则a >b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若|a |＝0，则a ＝0；④0＝0；⑤向量AB →大于向量CD →；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是 ．(把你认为正确的命题序号都填上)【导学号：66470038】【解析】 ①不正确．向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．【★答案★】 ②③4．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K ，L ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量KL →相等的向量是 ．【解析】 因为K ，L 分别是AB ，BC 的中点，所以KL ∥AC ，KL ＝12AC ，同理MN ═∥12AC ，所以KL ∥MN .KL ＝MN ，所以KL →＝NM →.【★答案★】 NM →5．如图2-1-3所示，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．图2-1-3(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量． 【解】 (1)与向量AB →相等的向量是向量CE →，DC →. (2)与AB →共线的向量为BA →，DC →，CD →，CE →，EC →，ED →，DE →.。