基本不等式第二课时参考教学方案

课 题： 第02课时 基本不等式教学目标：1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。

教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

教学过程：一、知识学习：定理1：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab由上面的结论，我们又可得到定理2（基本不等式）：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝” 号）证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab∴a ＋b ≥2ab ，即a ＋b2≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.二、例题讲解：例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .（2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14S 2. 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。

《2.2基本不等式2a b +≤》 教材分析：“基本不等式” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a bab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】1.2a bab +等号成立条件； 2.2a bab +≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地， a bR ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用 a , b 分别代替上式中的a ，b ，可得a ba b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）.其中，a b 2叫做正数a ，b 的算术平均数， a b 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考: 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，(a>0,b>0)2a bab +≤ 2）2a bab +≤用分析法证明：要证2a bab +≥（1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1： 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a b+≤的几何解释吗？易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x），使 x >0，都有x ＋1x≥y .观察x +1x，发现x 1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2.解：因为x >0，所以x ＋1x2 x1x=2当且仅当x =1x，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了 x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；S2.（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x yx y.2（1）当积xy等于定值P时，x yP，2所以x y2P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2P.（2）当和x+y等于定值S时，x y S,2所以x y1S2，4S2当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x y2x y，可得x+y≥2x y=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy m2.由x y x y21829，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2 x y ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2 ab ＞0 b ＋c ≥2 b ＞0 c ＋a ≥2 a ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2 ab ·2 b ·2 a ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（），几何平均数（ ab ）及它们的关系（ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤，ab ≤（）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。

第三章 不等式3.4.2 基本不等式第二课时（王乙橙）一、教学目标1.核心素养: 通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.2.学习目标（12a b+≤（2）熟练应用基本不等式求最值；（3）能够应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 3.学习重点通过师生共同研究，进一步掌握基本不等式2a b+≤，并会用此不等式求最大、最小值. 4.学习难点基本不等式求最值中取等的条件；“一正二定三相等”中定值的运用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1.基本不等式ab ≤a+b2及其应用，注意常用的一些结论：(1)a 2+1 2a (2)a +1a 2(a >0) (3)b a +a b 2(a,b 同号) （4）2___()2a b ab +2.预习自测1、已知x 、y 都是正数，xy =15，则x ＋y 的最小值为答案：2、已知x 、y 都是正数，x +y =15，则xy 的最大值为 答案：22543、已知x 、y ＞0，且x +y =1,则P =x +1x +y +1y 的最小值为 .答案：5 二、解答题3、设x 、y 满足x +4y =40,且x,y ∈R +,求lg x +lg y 的最大值. 解析：2,,4404040,10.lg lg lg(404)lg lg(404)lg 4(10)0,10.100(10)lg 4(10)lg 4lg1002210,5,20lg lg 2.x y R x y x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y +∈+=∴=-><∴+=-+=-⋅=-><∴->-+⎡⎤∴-≤⨯==⎢⎥⎣⎦-===∴+即又等号成立时的最大值为（二）课堂设计 1.知识回顾比较两个不等式222a b ab +≥2a b+的异同点 2.问题探究问题探究一 如何利用函数单调性求最值●活动一 例1 已知函数f (x )＝x ＋ax (a >0).(1)证明：f (x )在区间(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数； (2)求f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值. 【解析】 (1)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)＋(a x 2－ax 1)＝(x 2－x 1)＋a (x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－ax 1x 2)＝(x 2－x 1)x 1x 2(x 1x 2－a )，当0<x 1<x 2≤a 时，x 1x 2<a . ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). 当x 2>x 1≥a 时，x 1x 2>a .∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1).故f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. ∴函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的图像如图所示.(2)由(1)可知f (x )在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (a )＝2a .【点拨】基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b 均大于0)求最值(值域)时，必须具备“一正、二定、三相等”的条件.如果“相等”条件不具备就可能造成错解.为了解决这个问题，我们引进一个函数f (x )＝x ＋ax (a >0)，利用它的单调性来完善上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的补充. ●活动二 思考：函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值是不是2？如不是，应为多少？ 【解析】 不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1，但此式不成立.应用单调性求解：设t ＝x 2＋2(t ≥2)，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴最小值为2＋12＝322. ●活动三 思考：求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值. 【解析】 令t ＝sin x ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1].由例1(1)知函数f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,2]上是单调减函数，∴f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,1]上也单调递减.∴f (t )≥f (1)＝5，故y min ＝5.问题探究二 如何利用基本不等式求代数式的最值●活动一 思考：x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值. 【解析】 ∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·(x ＋2y )＝3＋x y ＋2y x ≥3＋2x y ·2yx ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y xx ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝2－1y ＝1－22时取等号.故1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.●活动二 思考：x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.方法一 【思路分析】 减少元素个数.根据条件1x ＋9y ＝1解出y ，用只含x 的代数式表示y ，代数式x ＋y 转化为只含x 的函数，再考虑利用基本不等式求出最值. 【解析】 由 1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.∵x >0，y >0，∴y >9. x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0， ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号. 又1x ＋9y ＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 【思路分析】 在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法.【解析】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x>0，y>0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号.又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.【点拨】(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小.多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值.(2)注意“1”的代换技巧.(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2 4.∴1x＋1y≥2xy≥82＝4 2.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立.●活动三及时回馈：(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值.【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋2 2.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.问题探究三●活动一思考：若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的范围；(2)a＋b的范围.【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3，即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号.(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.令t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 【点拨】利用方程的思想是解决此类问题的常规解法. 第②问也可用如下方法解之：由已知b ＝a ＋3a －1>0， ∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6. ●活动二 思考：正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________.【解析】 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18. 问题探究四 利用基本不等式证明不等式●活动一 思考：已知a,b,c,d 都是实数，且+=1,+=1,求证：≤1.【证明】 ∵a,b ，c ，d 都是实数，所以22222222222a cb d ac bd ac bd ac bd ++++++≤+≤+=又∵+=1,+=1,∴≤1.●活动二 思考：a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.【解析】 b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ). ∵a >0，b >0，c >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.同理，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2. ∴b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.【点拨】解题过程中，把数、式合理地分拆，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧.在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律.●活动三 思考：(1)已知a 、b 、c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc . (2)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】（1） 左边＝a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)≥a ·2bc ＋b ·2ca ＋c ·2ab ＝6abc ＝右边，∴不等式成立. （2）∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 3.课堂总结 【思维导图】【重难点突破】利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑. （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值. （3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”. 4.随堂检测1.下列函数中，最小值为4的函数是( )A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81 【知识点：基本不等式，取等条件】 解：C2.已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2则1x ＋13y 的最小值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3【知识点：基本不等式，对数运算性质】 解：C3. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C.5D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.4.已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：(－∞，94]5.设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，对数运算性质】解：[6，＋∞)（三）课后作业基础型自主突破1.若x，y∈R，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值()A.10B.6 3C.4 6D.18 3 【知识点：基本不等式，指数式】解：D2.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）.A.－3B.2C.3D.8 【知识点：基本不等式，取等条件】解：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C3.若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为_____.【知识点：基本不等式】解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号.答案94.已知a>3，求a＋4a－3的最小值为.【知识点：基本不等式，配凑】解：75.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值.【知识点：基本不等式】 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立. 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 能力型 师生共研1. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.2.已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为（ ）A.72B.4C.16136D.172【知识点：基本不等式】解：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号.又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D3.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【知识点：基本不等式】解 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案：64.设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x ＝32，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫即x 2＝1＋y 22时，x 1＋y 2取得最大值324.探究型 多维突破1.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94 【知识点：基本不等式综合应用】解：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值. z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C2.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.1B.6C.9D.16【知识点：基本不等式综合应用】解：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1， 所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ， 所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B自助餐1.设0,0a b >>，若2是22a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为( )A.8B.4C.2D.1【知识点：基本不等式，等比数列】解：D2.（2013·重庆卷）(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92 C.3 D.3 22【知识点：基本不等式】解：B因为－6≤a≤3，所以(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时等号成立，故选B.3.设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为()A.3＋2 2B.6C.4 2D.2 2【知识点：基本不等式】解：A4.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n使得a m a n＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32 B.53 C.94 D.256【知识点：基本不等式，等比数列】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). 因为a m a n＝4a1，所以q m＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以1m＋4n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝32.当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值等于32.答案：A6.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.6，＋∞)【知识点：基本不等式，恒成立】解：D7.已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：由a ＋b 2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤ 2×(3x )2＋(2y )2＝2×3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号. 答案：2 58.若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：因为不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，所以16≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y min .令f (x )＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y (a >0)，则f (x )＝a ＋4＋ay x ＋4xy ≥a ＋4＋2ay x ·4xy ＝a ＋4＋4a ，当且仅当x y ＝a2时取等号，所以a ＋4a ＋4≥16，解得a ≥4， 因此正实数a 的最小值为4. 答案：49.下列命题中正确的是________(填序号). ①y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－43； ②y ＝sin 2x ＋4sin 2x 的最小值是4； ③y ＝2－3x －4x (x ＜0)的最小值是2－4 3. 【知识点：基本不等式综合应用】解：①正确，因为y ＝2－3x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x ＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立.②不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋4 t，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.③不正确，因为x＜0，所以－x＞0，最小值为2＋43，而不是2－4 3. 答案：①10.已知a>b>c，若1a－b＋1b－c≥na－c，求n的最大值.【知识点：基本不等式】解：方法一∵1a－b＋1b－c≥na－c，且a>b>c，∴n≤a－ca－b＋a－cb－c＝(a－c)2(a－b)(b－c).∵对a、b、c上式都成立，∴n≤[(a－c)2(a－b)(b－c)]min.又∵(a－c)2(a－b)(b－c)≥(a－c)2[(a－b)＋(b－c)2]2＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.方法二∵a>b>c，∴a－ca－b＋a－cb－c＝(a－b)＋(b－c)a－b＋(a－b)＋(b－c)b－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.11.（2015高考重庆）设,0,5a b a b>+=,.【知识点：基本不等式】解：23由222ab a b≤+两边同时加上22a b+得222()2()a b a b+≤+两边同时开方即得：a b+≤0,0a b>>且当且仅当a b=时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）. 12.为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10。

2.2.2 基本不等式（第2课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第2课时。

从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习，通过问题解决，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。

在学法上要指导学生：从实际问题中列出数量关系式，进而运用基本不等式解应用题，数学建模能力也是本节要体现的重要素养。

对例题的处理可让学生先思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。

1.重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；2.难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件多媒体（一）、小试牛刀1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (2)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (3)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的最小值为22－1.( )答案：（1） × （2）× （3） √2．已知x ＋y ＝1且x >0，y >0，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：法一：1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥1⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，法二：1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋y y ＝2＋y x ＋x y ≥4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．答案：C（二）、探索新知问题1.用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy =篱笆的长为2（x y +）m由2x yxy +≥， 可得 2100x y +≥，2（x y +）40≥等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相通过课堂小测，了解学生对基本不等式的掌握情况，暴露问题及时纠正。

名思教育个性化辅导教案基本不等式一、教学目标：1. 让学生理解基本不等式的概念和性质。

2. 培养学生运用基本不等式解决问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣和自信心。

二、教学内容：1. 基本不等式的定义和性质。

2. 基本不等式的证明和应用。

3. 解不等式的方法和技巧。

三、教学重点与难点：1. 基本不等式的证明和应用。

2. 解不等式的方法和技巧。

四、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例引入基本不等式的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解：讲解基本不等式的定义和性质，引导学生理解和掌握。

3. 示范：通过例题展示基本不等式的应用，让学生学会运用。

4. 练习：让学生独立解决一些不等式问题，巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

五、课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，提高解题能力。

3. 收集有关基本不等式的实际应用案例，下节课分享。

教学评价：通过课堂表现、课后作业和练习题的成绩，评价学生对基本不等式的理解和运用程度。

对有困难的学生进行个别辅导，提高他们的学习效果。

六、教学策略：1. 案例教学：通过具体的案例，让学生了解基本不等式在实际问题中的应用。

2. 问题驱动：引导学生提出问题，并运用基本不等式解决问题，培养学生的探究能力。

3. 分组讨论：组织学生分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。

七、教学方法：1. 讲解法：在课堂上，教师对基本不等式的定义、性质和应用进行讲解，帮助学生理解和掌握。

2. 演示法：通过具体的例题，演示解不等式的方法和技巧，让学生学会运用。

3. 练习法：让学生通过练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

八、教学资源：1. 教材：选用适合学生水平的教育教材，提供丰富的学习内容。

2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解，增强学生的学习兴趣。

3. 练习题：准备一定数量的中高档练习题，满足不同层次学生的需求。

九、教学进度安排：1. 第一课时：介绍基本不等式的定义和性质。

§3.3.2基本不等式与最大（小）值(第二课时)刘俊民 西工大附中 710072【教材版本】北师大版【教材分析】1.知识内容与结构分析2a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2.知识学习意义分析熟练运用基本不等式求函数最值的技能，掌握一些代数式变形的方法；3.教学建议与学法指导在“一正、二定、三相等”解决具体问题的思路指导下，引导学生分析函数取最值的条件.【学情分析】了解学生对基本不等式的掌握程度，明确运用基本不等式的要点“一正、二定、三相等”【教学目标】1.知识与技能2a b +；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题；2.过程与方法2a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值； 3.情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【重点难点】1.2a b +≤的应用2.2a b +≤求最大值、最小值。

【教学环境】◆多媒体教室◆课件【教学思路】【教学过程】一、课题导入（复习上节课所学内容）（1）基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a（22a b +≤求最大（小）值的步骤。

二、讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。

[思维切入]因为m>0,所以可把24m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥=⨯= 当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。

规律技巧总结 注意：0m >这一前提条件和246144m m ⨯=为定值的前提条件。

3.巩固练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明] 443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; (2) 若x<0,求9()4f x x x=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x ⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解(1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥=, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x=+取得最大-12. 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 巩固练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值. [思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y +=,求xy 的最小值.。

必修一2基本不等式教案教案标题：必修一2基本不等式教案教学目标：1. 理解基本不等式的概念和性质。

2. 掌握基本不等式的解法和应用。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：1. 教材：必修一教材第2章相关内容。

2. 教具：黑板、粉笔、教学PPT等。

3. 学具：练习题、实例题等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入基本不等式的概念，通过提问学生对不等式的理解程度。

2. 列举一些生活中的不等式问题，引发学生对不等式的思考。

二、讲解基本不等式的概念和性质（15分钟）1. 定义基本不等式，解释不等式中的符号和含义。

2. 讲解不等式的性质，如加减不等式、乘除不等式等。

3. 通过实例演示，帮助学生理解不等式的意义和解法。

三、解题方法与技巧（20分钟）1. 介绍基本不等式的解题方法，如移项、整理、图像法等。

2. 指导学生如何根据不等式的性质选择合适的解题方法。

3. 给予学生一些实例题进行练习，帮助他们掌握解题技巧。

四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考不等式在实际问题中的应用，如经济问题、几何问题等。

2. 给予学生一些应用题，培养他们解决实际问题的能力。

五、总结与归纳（10分钟）1. 总结基本不等式的概念、性质和解题方法。

2. 强调学生在解题过程中需要注意的问题和技巧。

3. 鼓励学生提出问题，解答他们的疑惑。

六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括练习题和思考题。

2. 提醒学生按时完成作业，并预告下节课的内容。

教学反思：本节课通过引导学生思考和实例演示的方式，帮助学生理解基本不等式的概念和性质。

在解题过程中，通过指导学生选择合适的解题方法和技巧，提高了他们的问题解决能力。

通过拓展与应用环节，培养了学生将不等式应用于实际问题的能力。

整个教学过程注重学生的参与和思考，提高了他们的学习积极性和主动性。

基本不等式（2课时）教学设计一、内容和内容解析1•内容：基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.2.内容解析：相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础•基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关.从数与运算的角度，•”是两个正数a,b的"算术平均数”,忘是两个正数a,b,的"几何平均数”•因此,不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算.从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”，等等，都是基本不等式的直观理解.其次,基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源•利用分析法,从数量关系的角度,利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等.这些方法也是代数证明和推导的典型方法此外，基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值.同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题.本单元教学建议课时数：2课时.二、目标和目标解析1•目标：(1)理解基本不等式：f以‘丿，发展逻辑推理素养.(2)结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.2.目标解析：达成上述目标的标志是：(1)知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.(2)能结合具体实例,明确基本不等式的使用条件和注意事项,即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验,所以基本不等式的证明是本节课的一个难点•基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立,甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题,这也是学生思维不够严谨的表现,因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.四、教学支持条件分析在进行基本不等式的几何解释的教学时,为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解.五、教学过程设计第一课时(一)课时教学内容本节课的主要教学内容有：基本不等式的定义；基本不等式的证明；基本不等式的几何解释；运用基本不等式求最值；基本不等式求最值的两种模型.（二）课时教学目标Jab<"+"仏“>研1•理解基本不等式-，发展逻辑推理素养；2.了解基本不等式的几何解释；3.结合具体实例,用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题,发展数学运算和数学建模素养.（三）教学重点与难点教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点为：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.（四）教学过程设计1•基本不等式的定义导入语：我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用•那么,是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题.问题1:提到两个数的乘法，在上一节我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式中含有ab乘法，是什么不等式？师虫活动一学生回忆*表述，对于任意实数M乩有冷如乳当且■仅当尸&时，等号成立一^追画不等式中戸』的取值范围是什么？特别地，如果口>IX b〉a我们用拓，血分别代替上式中的G孙可以得到怎样的式子丁师生活动’学生独立计算后回答•教师总结;对于任意实数QO,Q0,得到H b>2屈,:变形为应畔©当且仅当4时，等号成立」环等式中渉圧的是代数中的“基本•量"和最基本的运算，诵常我们称不等式①为基本不等式.其中空叫做正数G b的算术.2•平均数，極叫做①p的几何平均数一基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设计意图’通过取上一节课得到的不等式^+^>2ab的特殊形式，得到基本不等式.屁冬字的定义「同日捲两个不等式之间建立联系.诵过分析基本不等式的代数结构特征;得到基本环等式的代数解释，初步加洙对基林等式的认识.2•基本不等式的证明问题2:上节课我们看到,证明不等关系,还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？预设方案一：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明•教师给予肯定,是否还有其它证法?预设方案二：由于没有已知条件,学生不知从何入手追问1=你能否寻找一下此不等式成立的充分条件？也就是要证屈空爭，只需要证明件么，从而形成证明思路-师生活动’学生思考分析，要证極乞字①，只需证逅3旦②,从而霊要证2屈-疽-比0③，只要证—（需-靠）它00只要证祐-屈2乏0⑤即可.教师指出@—品心显然咸立，如果我们从此式出发，把上述过程倒过来，就直接推岀基本不等式了一追问2:上述证明中，每一步推理的依据是什么？师生活动：学生分别回答由⑤f④，由④f③，由③f②，由②f①的依据.追问3上述证明叫做“分析法"•你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗?师生活动：学生讨论后回答•教师总结：分析法是一种"执果索因”的证明方法，即从要证明的纟吉论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.追问4:你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？师生活动：学生思考后回答•教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件,所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用"要证……只要证……”的格式,当推导到一个明显成立的条件之后,指出"显然xxx成立”.追问5:基本不等式成立的条件是什么?如果a<0或bvO基本不等式是否成立？师生活动：学生通过证明发现，a,b均为非负数，如果a,b存在负数时，该不等式不成立•教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数.设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.3•基本不等式的几何解释问题土在图1中,酸是圆的直径，点匸是血上一点迟0=乩过点U作垂直于抠的弦DE,连接血加•你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗1师生活动：学生思考后回答，教师引导学生点结：从条件和基林等式出发，发现圆的半径长等于学，仞=姮•教师操作课件，点D在圆周上运动，学生观察QD杲弦DE的一半，CZ）的长一定小于等于半径，即CD—皿也就是基本不等式可以利用^圆中直径不小于任意一条弦"得到解释.当且仅2当弦门宜过圆心时，二者相等.设计意图’让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图形，弓|导学生将应和学与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变J H化中表现的知b 关系的规律，从而获得基本不等式的几何：F)@1追间缶在上述解答过程中，杲否必须说明血当且仅当*,即亍7—1时，等号成立疳？师生活动=学生讨论石回答.教师总結：这是为了说明V是代数式J.=X+1（A->O）X的一个取值，代数式的最小值必须是代数式能取到的值.请同学们想一想，当％V2时.，卄二土％成立吗？迦犠说卄是偲J｛式Q0）的最才信3?X JC追问4:通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？师生活动：学生讨论后回答•教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”.设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范•同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件.例2已知x,y都是正数，求证：(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；-S2(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值'•师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充元善.追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答,教师总结:满足“两个正数的积为定值,当这两个数取什么值时,求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值,当这两个数取什么值时,求它们的积的最大值”的问题,能够用基本不等式解决•设计意图：在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.（五）目标检测设计1. 仃）；已知无>0,耒心十丄的最丿］谑及相应的工值；x⑵已知O GX I,^,<1-X）的最大值及相应的.T值.设计塾=考查学生利用基本不等式解决简单的最值I鱷的能力.2. 已知兀」都是正数，且工U中求证：⑴3—v耳设计意图：考查学生对基本不等式的理解,及运用“分析法”证明问题的能力.第二课时（一）课时教学内容利用基本不等式解决实际问题中最值问题.（二）课时教学目标1•运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；2.理解基本不等式的数学模型，提高学生模型思想解决问题的能力.（三）教学重点与难点教学重点：运用基本不等式的模型思想解决生活中的最值问题.教学难点：应用基本不等式解决实际问题.(四)教学过程设计1•复习引入问题1:基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？师生活动：学生根据教师提出的问题梳理上节课的知识，教师对学生遇到的困难给予帮助•特别是强调利用基本不等式求最值的方法，即两个变量均为正数是前提,发现“定值”是关键,验证等号成立是求最值的必要条件,即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.2•利用基本不等式解决生活问题导入语：运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值•基本不等式是求最值的工具,特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.问题2:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大？最大面积是多少？追问1:前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题本例的两个问题分别属于哪类问题吗？师生活动：学生思考后回答：属于。

2.2基本不等式（第二课时）一、教材分析本节课是人教A版数学必修第一册第二章第二节《基本不等式》，共2课时，本节为第二课时。

本节课是在上一节学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单的应用基础上进行的，进一步学习基本不等式的应用，包括数学中的应用与实际中的应用，利用基本不等式解决简单的最值问题。

二、学情分析本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。

学生在上一节学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，运用基本不等式解决生活中的应用问题，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。

三、教学目标1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题四、教学重点、难点重点：用基本不等式解决简单的最大(小)值问题难点：运用基本不等式解决生活中的应用问题五、教法与学法分析1.教法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的变式教学方法。

课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，加强引导学生通过自己的观察、思考等活动自主构建知识，引导学生自己归纳出本节课的核心：求和的最小值，要构造积为定值，积定和最小；求积的最大值，要构造和为定值，和定积最大。

同时通过例题引导学生归纳出利用基本不等式解决实际问题的步骤。

以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思考，倡导合作学习与独立思考相结合，有效地调动学生思维。

2.学法指导启发学生学会配凑项、配凑系数、“1”的代换等等价变形，构造和是定值或者积是定值，利用不等式求最值，体会转化化归的数学思想，体会利用基本不等式求最值体现的是和积互化的过程。

六、课型课时、教学准备1.课型：新授课2.课时：1课时3.教学准备：多媒体、实物投影、展台、话筒等七、教学流程图引出课题（复习导入）知识链接（知识储备）探究一（例1（1）（2））探究二（例2（1）（2）、例3）当堂检测（变式、拓展提升）反思小结（课堂小结）3分钟5分钟10分15分7分钟5分钟八、教学内容及过程（一）引出课题多媒体动态展示思维导图：上一节课我们学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单的应用，这一节课我们进一步学习基本不等式的应用，基本不等式的应用包括数学中的应用与实际中的应用，这两种应用都是利用基本不等式解决简单的最值问题。