2.2 基本不等式 课件(2)

积最大．
(2)由条件知 S＝xy＝24，设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋
6y，由 xy＝24，得 x＝2y4，
∴l＝4x＋6y＝9y6＋6y＝61y6＋y≥6×2 1y6·y＝48.当
且仅当1y6＝y，即 y＝4 时等号成立，此时 x＝6.
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最
＜
lognn 2
2
2
＝1.
链 接
∴当 n＞2 时，logn(n－1)logn(n＋1)＜1.
题型2 利用基本不等式与题设条件求最值问题
例2 若 x，y∈R＋，且 2x＋y＝1，求1x＋1y的最小
值．
栏
目
链
接
解析：1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋y y
＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2，
等号成立的条件是：xy＝2yx， 2x＋y＝1，
目 链 接
当且仅当y－9 9＝y－9，即 y＝12，x＝4 时，x＋y
取得最小值 16.
题型3 利用基本不等式求解应用题 例3
栏
目
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四
链 接
间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽
各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24.
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
栏
当且仅当 2x＝3y 时等号成立．
目 链
由2x＝3y， 解得x＝6，
xy＝24，
y＝4.
接
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
解法二：(1)设每间虎笼长为 x m、宽为 y m，则由条件

1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.

出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1


4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）

用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,

则y= 2
的最大值
+2+4

1

(2)解析 1a＋1b＋1c＝1a＋1b＋1c(a＋2b＋c)＝4＋2ab＋ac＋ab＋bc＋ac＋2cb ≥4＋2 2ab·ab＋2 ac·ac＋2 bc·2cb＝6＋4 2， 当且仅当即 a2＝c2＝2b2 时，等号成立. 答案 D
拓展-基本不等式的灵活运用
拓展-基本不等式的灵活运用
解析 正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则x＋4 2＋y＋1 1＝14[(x＋2)＋(y＋1)]x＋4 2＋y＋1 1
＝145＋xy＋ ＋21＋4（xy＋＋21）≥145＋2 xy＋ ＋21·4（xy＋＋21）＝14×(5＋4)＝94，
当且仅当 x＝2y＝23时，取得最小值94.
拓展-基本不等式的灵活运用
变式 (1)已知 2a＋b＝1，a>0，b>0，则1a＋1b的最小值是( )
A.2 2
B.3－2 2
C.3＋2 2
D.3＋ 2
(2)已知 a，b，c 都是正数，且 a＋2b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值是( )
A.3＋2 2
B.3－2 2
C.6－4 2
D.6＋4 2
基本不等式
基本不等式（均值不等式）:
a b ab （a 0,b 0） 2
算术 平均值
几何 平均值
（当且仅当a=b时，等号成立）
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式的证明
分析法
基本不等式的证明
思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？
证明：a b a（b a 0,b 0）（当且仅当a=b时，等号成立）
(3)解 ∵0<x<m，∴x>0，m－x>0.∴x(m－x)≤x＋m2 －x2＝m42. 当且仅当 x＝m－x 时，即 x＝m2 时，x(m－x)(0<x<m)取最大值m42.

知识梳理
a＋b
思考 1：不等式 a ＋b ≥2ab 与 ab≤ 2 成立的条件相同吗？
2
2
如果不同各是什么？
a＋b
不同，a ＋b ≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； ab≤
成立的条件
2
2
2
是 a，b 均为正实数。
1
思考 2： a＋ ≥2(a≠0)是否恒成立？
a
1
1
只有 a>0 时，a＋ ≥2，当 a<0 时，a＋ ≤－2。
四周墙壁建造单价为每米 500 元，中间一条隔壁(为圆的直径)建造单价为每米 100 元，池底建造单价为每平
方米 60 元(池壁厚忽略不计)．(注：π≈3.14)
(1)如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
(2)若方案一以最低总造价计算，试比较两种方案哪种方案的总造价更低？
例题解析
＝ 2，∴a≥ 2.

max
x＋y
例题解析
例 15 某校拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一：游泳池底面为矩形且面积为 200 平方
米，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造单价为每米 100
元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)；方案二：游泳池底面为圆且面积为 64π平方米，池的
40
900x·
＝36 000，当且仅当 900x＝
，即 x＝ 时取等号；
x
x
3

200
200

或者总造价为 200×60＋x＋
×2×400＋ x ×100，
x



200
200

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
方法二：由2x＋3y＝2 得，3x＋2y＝2xy， ∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y≥2 6xy，等号在 3x＝2y 时成立，
∴2xy≥2 6xy，∴xy≥6.
3x＝2y 由2x＋3y＝2
，得yx＝＝32 .
∴xy 的最小值为 6.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究二 利用基本不等式求最值
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． 解 方法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识点2 应用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当____x_＝__y_____时，和x＋y有最小值__2___P_____. (2) 如 果 和 x ＋ y 等 于 定 值 S ， 那 么 当 ___x_＝__y______ 时 ， 积 xy 有 最 大 值 ___14_S_2_______. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确 定哪个量为定值？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值； 求积的最大值，要确定和为定值．
数学 必修 第一册 A

【加固训练】 已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， 求证：1a－1 b1－1 1c－1 ≥8.
【解析】因为 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1，
所以a1
－1＝1－a a
＝b＋a c
≥2
bc a
.
同理，1b
－1≥2
ac b
，c1
－1≥2
ab c
.
上述三个不等式两边均为正，相乘得：
130
130
x2
130
【解析】(1)设所用时间为 t＝ x ，则 y＝ x ×2×2＋360 ＋14× x ，
50≤x≤100.
所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是
130×18 y＝ x
2×130 ＋ 360
x，50≤x≤100或y＝23x40＋1138x，50≤x≤100
.
(2)y＝130× x 18 ＋2×361030 x≥26 10 ， 当且仅当130× x 18 ＝2×361030 x， 即 x＝18 10 时等号成立． 故当 x＝18 10 千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10 元．
bc ca ab 当且仅当 a ＝ b ＝ c ，即 a＝b＝c 时取等号．
已知 x，y，z 都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz. 【证明】因为 x，y，z 都是正数，x＋y≥2 xy ，y＋z≥2 yz ，x＋z≥2 xz ， 所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
方法二：由 xy＝24，得 x＝2y4 . 所以 l＝4x＋6y＝9y6 ＋6y＝61y6＋y
16 ≥6×2 y ·y ＝48. 当且仅当1y6 ＝y，即 y＝4 时，等号成立，此时 x＝6. 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．

[典例 2] (1)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值； (2)已知 0＜x＜12，求 x(1－2x)的最大值； (3)已知 x＞0，y＞0，且8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
[解] (1)∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6. 当且仅当 x－2＝x－4 2即 x＝4 时，等号成立． ∴x＋x－4 2的最小值为 6.
[方法技巧] 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合 理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的 条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式” 转化为“和式”的功能．
[ 变式训练]
1．已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则 m，n 之间的大小关系
()
(2)已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为 18. ( )
答案：(1)√ (2)√
2．下列不等式正确的是
A．a＋1a≥2
B.(－a)＋－1a≤－2
C．a2＋a12≥2
D.(－a)2＋－1a2≤－2
解析：∵a2＞0，∴a2＋a12≥2 成立．故选 C.
答案：C
()
3．设 x，y 满足 x＋y＝10，且 x＞0，y＞0，则 xy 的最大值是________． 解析：∵ xy≤x＋2 y(x＞0，y＞0)， ∴xy≤x＋2 y2＝1202＝25. 当且仅当 x＝y＝5 时等号成立，故 xy 的最大值为 25. 答案：25
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)不等式 a2＋b2≥2ab 与 ab≤a＋2 b有相同的适用范围． (2)若 a＞0，b＞0，则 ab≤a＋2 b恒成立． (3)当 a，b 同号时，ba＋ab≥2. 答案：(1)× (2)× (3)√

当且仅当6x＝ x ，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.

提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2