二元函数求极值

§10–7 二元函数的极值基础知识导学1. 二元函数的极值与驻点⑴ 极值与驻点①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.⑵ 极值存在的必要条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则①当02<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0<A 时，点),(000y x P 是极大值点；当0>A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；③当02=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.2．条件极值与拉格朗日乘数法⑴ 条件极值求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.⑵ 拉格朗日乘数法求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。

二元函数的最值与极值二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。

在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。

最值是函数在给定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取得的最大值或最小值。

本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念及其求解方法。

一、二元函数最值的定义和求解方法1. 最大值与最小值的定义在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*,y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。

类似地，最小值为f(x*, y*)≤f(x, y)。

2. 常用求解方法求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。

通过确定函数的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。

边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上的值，包括端点和可能的不可导点。

最值往往出现在函数在 D 的边界上。

极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数为零的临界点，即潜在的极值点。

通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。

二、二元函数极值的定义和求解方法1. 极值的定义在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。

2. 常用求解方法求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。

通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。

一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其等于零，求解得到潜在的临界点。

通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。

二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。

对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值点的位置。

三、实例分析考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数的最值和极值。

2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。

对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。

注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。

§6.7二元函数的极值在管理科学、经济学、以及许多工程与科技问题中，常常需要研究函数的最大值与最小值问题，它们统称最值问题。

需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量为决策变量，相应的问题为优化问题。

教学目的与要求：1、理解二元函数极值的概念，2、弄清二元函数极值与最值相关的概念；3、正确判断所给点是否为驻点、极值点，4、会用充分条件判定二元函数的极值，教学重点：1、熟练掌握二元函数的极值与最值的求法.2、掌握二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，教学难点：求最值实际问题会建立模型。

教学方法：启发式讲授：问题（最值实际问题会建立模型）1、2010年我校“三宣传”工作，通过讲座和简章进行品牌宣传，我初步统计，收入R万元与投入讲座X万元和印刷简章Y万元之间有如下关系（经验公式）求：最优（最大利润）的宣传策划。

22=++--(,)1020.2530.37105Q x y xy x y x y问题（最值实际问题会建立模型）2、某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出7054x y-+瓶本地牌子的果汁，+-瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可x y8067取得最大收益？(,)(1)7054)( 1.2)(8067)=--++-+-f x y x x y y x y教学过程：在实际问题中，往往会遇到二元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似讨论二元函数的最大值，最小值与极大值，极小值的密切的关系，复习1、一元函数的极值：（1）求出函数()f x在区间（a，b）内的所有极值嫌疑点，则可以通过求导数'()f x =0 ，查找驻点和不可导点获得；（2）计算函数()y f x =在各个极值嫌疑点、不可导点和驻点以及区间端点a ,b 处的函数值；（3）.比较这些函数值的大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。

二元函数极值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述二元函数极值是数学中的一个重要概念，它涉及到在二元函数中找到其最大值或最小值的过程。

在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要优化某个目标的问题，例如最大利润、最小成本等。

而掌握二元函数极值的寻找方法，可以帮助我们解决这些优化问题。

本文将对二元函数极值的基本概念进行阐述，并介绍常用的寻找二元函数极值的方法。

同时，通过具体的实例分析和解释，展示这些方法在实际问题中的应用情况。

最后，在结论部分对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的应用前景。

1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、二元函数极值的基本概念、寻找二元函数极值的方法、实例分析和解释以及结论。

引言部分是文章开篇部分，主要对文章进行整体概述和结构说明。

第二部分将介绍二元函数极值的基本概念，包括函数极值定义、二元函数特点以及存在定理。

第三部分将详细介绍寻找二元函数极值的方法，包括偏导数法、梯度法和拉格朗日乘子法等。

第四部分将通过三个具体实例来分析和解释二元函数极值的应用，分别是最小化路径长度问题、最大化利润问题和最优装箱问题。

最后一部分是结论，对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的发展前景。

1.3 目的本文旨在介绍二元函数极值的基本概念和常用方法，并通过实例分析说明其在实际问题中的应用。

通过阅读本文，读者将能够了解如何寻找二元函数的极值，并掌握相应的计算技巧。

同时，本文也希望为读者提供一些思路，引发对二元函数极值问题更深层次的思考，并展望其在未来的发展前景。

2. 二元函数极值的基本概念2.1 函数的极值定义:极值是指函数在某个特定区间内, 在该区间两侧都不存在更大或更小的函数值。

在二元函数中，我们考虑的是函数关于两个变量的取值情况。

对于一个二元函数f(x, y)，当存在一对实数(a, b) 属于定义域D(f) 时，使得f(a, b) 大于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，那么称(a, b) 是函数f 的极大值点；同样地，如果存在一对实数(c, d) 属于D(f)，使得f(c, d) 小于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，则称(c, d) 是函数f 的极小值点。

数学论文二元函数极值的求解方法证：不妨设),(),(00y x y x f z 在点=处有极大值，),(00y x 则对于的某邻域内任何),,(),(00y x y x ≠都有),(),(00y x f y x f <，故当时00,x x y y ≠=，有),,(),(000y x f y x f <则一元函数00),(x x y x f =在处有极大值，必有;0),(00=y x f x 类似地，可证.0),(00=y x f y对于二元函数甚至多元函数与一元函数的情形类似，凡是能使一阶偏导数同时为零的点可以称为函数的驻点。

备注：具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点。

2、二元函数极值充分条件为了讨论二元函数f 在点),(000y x p 取得极值的充分条件，我们假定f 具有二阶连续偏导数，并记)()()()()(00000p xx xx xx xx yy yx xy xx f f f f f p f p f p f p f p H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 他称为f 在),(000y x p 的黑赛矩阵。

定理2.1（极值充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下:(1)、当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0<A 时有极大值),(00y x f ；(2)、当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3)、当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值。