多项式除以多项式法则

多项式运算掌握多项式的加减乘除运算多项式运算：掌握多项式的加减乘除运算在代数学中，多项式是由一系列称为“项”的代数式构成的。

每个项由一个系数与一个或多个变量的乘积组成。

多项式运算是代数学中非常重要的一部分，通过加减乘除等运算，可以对多项式进行各种计算和化简。

在本文中，我将为您介绍多项式的加减乘除运算，帮助您全面掌握这一重要概念。

一、多项式的加法运算多项式的加法运算是将两个或多个具有相同变量幂次的项相加得到一个新的多项式。

在进行多项式的加法运算时，需要按照变量的幂次进行合并，相同幂次的项进行系数相加。

例如，给定两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 + 4x + 3将两个多项式相加，得到：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 + 2x^2 + 2x + 4x + 1 + 3= 5x^2 + 6x + 4通过以上例子，我们可以看出，多项式的加法运算就是将相同幂次的项合并，并将其系数相加得到新的多项式。

二、多项式的减法运算多项式的减法运算是将两个多项式相减得到一个新的多项式。

减法运算可以看作加法运算的逆运算，只需将第二个多项式的所有项的系数取相反数，再进行加法运算即可。

例如，给定两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 + 4x + 3将第一个多项式减去第二个多项式，得到：P(x) - Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 - 2x^2 + 2x - 4x + 1 - 3= x^2 - 2x - 2通过以上例子，我们可以看出，多项式的减法运算可以转化为加法运算，并将第二个多项式的所有项的系数取相反数。

三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是将两个多项式相乘得到一个新的多项式。

在进行多项式的乘法运算时，需要对每一项进行相乘，并将相同幂次的项合并。

多项式的加减乘除运算多项式是数学中常见的代数表达式形式，由多个项组成。

每个项由系数和指数两部分组成，例如3x^2和5y表示两个多项式的项。

多项式的加减乘除运算是数学中重要的概念，本文将详细介绍多项式的加减乘除运算规则及相应的例子。

一、多项式的加法运算多项式的加法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并。

在进行加法运算时，只需将对应指数的项的系数相加即可，而不同指数的项则需要保留原样。

例如，考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3将两个多项式进行加法运算时，我们将对应指数的项的系数相加，不同指数的项保留原样。

按照这个规则，我们可以将上述两个多项式相加得到：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 4x^2) + (2x - x) + (5 + 3)= 7x^2 + x + 8因此，P(x) + Q(x) = 7x^2 + x + 8。

二、多项式的减法运算多项式的减法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并，并将减数的项的系数取负。

也就是说，我们将第二个多项式的各项的系数取相反数，然后按照相同指数的项进行合并。

考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3我们将P(x) - Q(x)展开运算：P(x) - Q(x) = (3x^2 - 4x^2) + (2x + x) + (5 - 3)= -x^2 + 3x + 2所以, P(x) - Q(x) = -x^2 + 3x + 2。

三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是将两个多项式的各项进行配对相乘，并将同指数的各项相加。

例如，考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x - 1我们将P(x) * Q(x)展开运算：P(x) * Q(x) = (3x^2 * 4x) + (3x^2 * -1) + (2x * 4x) + (2x * -1) + (5 * 4x) + (5 * -1)= 12x^3 - 3x^2 + 8x^2 - 2x + 20x - 5= 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5所以，P(x) * Q(x) = 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5。

多项式的除法多项式的除法是数学中一个重要的概念，用于求解多项式的商和余数。

在本文中，我们将介绍多项式的除法的概念和相关的计算方法。

一、多项式的定义与表示多项式是由系数和幂次构成的代数表达式。

一般形式为：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ其中，P(x)为多项式，a₀, a₁, ..., aₙ为系数，x为自变量，n为幂次。

多项式可以用系数和幂次的形式表示，也可以用展开的形式表示，如：P(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 1二、多项式的除法定义多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，求解商和余数的过程。

具体而言，对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)≠0，存在唯一的多项式R(x)和S(x)，使得：P(x) = Q(x) * R(x) + S(x)其中，R(x)为商多项式，S(x)为余数多项式。

三、多项式的除法计算方法计算多项式的除法通常使用长除法的方法进行。

首先，将被除式的最高次方与除数的最高次方进行比较，确定商的最高次方。

然后，用被除式的最高次方的项除以除数的最高次方的项，得到商的最高次方的项。

将商的最高次方的项与除数相乘，得到一个新的多项式。

将这个新的多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。

重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于或等于除数的次数。

最终得到的商和余数即为所求的结果。

例如，求解多项式P(x) = 2x³ - 5x² - 3x + 1 除以Q(x) = x - 2的商和余数。

首先，比较被除式和除数的次数，确定商的次数为3次，即P(x)的最高次方为3，Q(x)的最高次方为1。

然后，将2x³除以x，得到2x²。

将2x²与Q(x)相乘，得到2x³ - 4x²。

将P(x)和2x³ - 4x²相减，得到-P(x) = -x² - 3x + 1。

多项式除以多项式法则例题多项式除以多项式，听上去是不是像吃了个大难题？别担心，我们一步步来，慢慢捋清楚这个难题。

其实，掌握了几个基本步骤，问题就迎刃而解了。

今天我们就来聊聊这个话题，让你对多项式除法有个清晰的认识。

1. 基础概念1.1 多项式是什么首先，我们得搞清楚什么是多项式。

简单来说，多项式就是由几个项（terms）组成的代数表达式。

比如说，(2x^2 + 3x 5) 就是一个多项式。

里面的每一项都是常数或者变量的幂次，比如 (2x^2) 是一项，(3x) 是另一项。

1.2 为什么要除法你可能会问，干嘛要搞个多项式除以多项式的运算？有时候，我们需要把复杂的多项式简化成更易处理的形式。

通过除法，我们能找出“商”和“余数”，这样处理起来就方便多了。

2. 除法步骤2.1 设定目标假设我们有两个多项式，一个是被除数（dividend），另一个是除数（divisor）。

我们想要找到的结果是商（quotient）和余数（remainder）。

这里的商就是除法的结果，而余数是剩下的部分。

2.2 具体步骤1. 对齐多项式：把多项式按降幂排列整齐。

例如，(6x^3 + 5x^2 2) 除以 (2x 1)。

2. 除首项：拿被除数的首项除以除数的首项。

比如说，(6x^3) 除以 (2x) 就是(3x^2)。

这就是商的一部分。

3. 乘法和减法：把刚刚得到的商部分乘以整个除数，然后从被除数中减去这个结果。

这一步是为了消去一部分被除数的内容。

4. 重复操作：重复以上步骤，直到剩下的部分（余数）的次数低于除数的次数。

5. 整理结果：最后，把所有得到的商部分加起来，再加上余数，就是我们的最终结果。

3. 举例讲解3.1 例题演示让我们通过一个例子来更清楚地理解这个过程吧。

比如，我们要计算 (2x^3 4x^2+ 3x 5) 除以 (x 2)。

1. 除首项：(2x^3) 除以 (x) 是 (2x^2)。

所以，商的第一部分是 (2x^2)。

多项式除多项式的法则
多项式除多项式的法则是指对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)不为零，可以进行除法运算。

具体来说，对于一个多项式P(x)，可以使用长除法的方法将其除以另一个多项式
Q(x)，得到商式和余式。

长除法的步骤如下：
1. 将被除式P(x)按照幂的降序排列，确保幂次最高的项在最前面。

2. 将除式Q(x)按照幂的降序排列，确保幂次最高的项在最前面。

3. 比较被除式P(x)的最高次项与除式Q(x)的最高次项，将二者的系数相除，得到商的最高次项的系数。

4. 用商的最高次项的系数乘以除式Q(x)，并与P(x)的前n项进行相减运算，得到一个新的多项式R(x)。

5. 将R(x)作为被除式，重复步骤3和步骤4，直到剩余的项的次数小于除式Q(x)的最高次数。

6. 最后得到的商就是多项式之间的商式，而最后剩余的多项式R(x)就是多项式之间的余式。

需要注意的是，多项式除法只有在除式不为零的情况下才有定义。

如果除式为零，那么除法运算是无法进行的。

关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．解：所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：所以，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。

多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+多项式除法示例余式2例[编辑]编辑计算把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。

结果写在横线之上(x3÷ x = x2)...将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x2·(x−3) = x3−3x2)...从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。

((x3−12x2)−(x3−3x2) = −12x2+3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。

..把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式）..重复第四步。

这次没什么可以“拿下来”了。

.横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。

3整除编辑如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除4应用编辑多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用Rational root theorem（英语：）得到的。

如果一个次多项式的一个根已知，那么可以使用多项式长除法因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。

简单来说，就是长除法的商，而又知是的一个根、余式必定为零。

多项式除以多项式字母公式假设有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，其中 $Q(x)$ 不是零多项式，则有以下的多项式除法字母公式：$$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$其中，$D(x)$ 为商多项式，$R(x)$ 为余数多项式，且满足以下条件：- $R(x)$ 的次数小于 $Q(x)$ 的次数；- $Q(x) \cdot D(x)$ 的次数等于或者高于 $P(x)$ 的次数。

使用这个字母公式，可以将多项式除法转化为整数除法的形式，从而方便计算商和余数。

例如，将 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 除以 $Q(x) = x - 2$，则可得：\begin{aligned}P(x) &= Q(x) \cdot D(x) + R(x) \\ &= (x - 2) \cdotD(x) + R(x)\end{aligned}现在要求出 $D(x)$ 和 $R(x)$。

首先，我们可以使用长除法的方法，从高次项到低次项依次计算出 $D(x)$ 的每一项。

首先将 $x$ 除以 $x$，得到 $D(x)$ 的最高次项为 $2x^2$。

然后将 $x - 2$ 乘以 $2x^2$，得到 $2x^3- 4x^2$，将其减去 $P(x)$ 的最高次项 $2x^3$，得到 $x^2$，将 $x$ 除以 $x - 2$，得到 $D(x)$ 的次高项为 $x^2$。

以此类推，可以得到：$$D(x) = 2x^2 + x +2$$接下来，将 $D(x)$ 代入上面的公式，即有：\begin{aligned}R(x) &= P(x) - Q(x) \cdot D(x) \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 - (x - 2) \cdot (2x^2 + x +2) \\ &= 7x - 5\end{aligned}因此，多项式 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 可以被 $Q(x) = x - 2$ 整除，商为 $D(x) = 2x^2 + x +2$，余数为 $R(x) = 7x - 5$。

多项式除法详细步骤多项式除法是一种常用的数学运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式。

这种运算是高中数学中的重要内容，也是进一步理解多项式性质和解决实际问题的基础。

在进行多项式除法之前，我们首先要了解一些基本概念：1.多项式：多项式是由常数、变量和幂运算（指数为正整数）的和组成的。

例如，3x^2 + 2x + 1就是一个三次多项式。

2.项：多项式中的每一部分叫做一个项。

例如，3x^2、2x和1分别是上面多项式的三个项。

3.高次项：多项式中幂次最高的项叫做高次项。

例如，上面多项式的高次项是3x^2。

4.系数：多项式中每个项前面的常数叫做系数。

例如，上面多项式的系数分别是3、2和1。

下面，我们来讲解多项式除法的详细步骤：步骤1：将被除式按照幂次降序排列，即将高次项放在前面。

如果括号内的式子没有示意，也可不列出括号。

步骤2：将除式按照幂次降序排列，与被除式对齐。

如果除式某一项的幂次高于被除式对应项的幂次，可以在被除式前面添加一个幂次为0的项，其系数为0。

步骤3：将除式的第一项（即最高次项）乘以一个常数k，使得除式的最高次项与被除式的最高次项相同。

这个常数k就是两者的系数的商，记为K。

步骤4：将上一步得到的常数k乘以除式的每一项，并与被除式对应项相加。

这一步是为了消除被除式中高次项的系数。

步骤5：将上一步所得结果作为新的被除式，重复步骤2，直到被除式的最高次项幂次小于除式的最高次项。

步骤6：此时，被除式无法再除以除式，剩下的被除式就是最终的余数。

步骤7：将每一步得到的k（即商）和最终的余数写成一个分式，商作为分子，余数作为分母，即得到最终的结果。

下面通过一个具体的例子来演示多项式除法的步骤：被除式：2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1除式： x^2 - x + 2首先按照幂次降序排列被除式和除式：2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1x^2 - x + 2下一步是将除式的第一项与被除式的最高次项相除，这里最高次项分别为2x^4和x^2。

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。