中学高二数学3月月考试题理

2021-2022学年内江市球溪高级中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．下列语句是命题的是（ ）①三角形的内角和等于180︒；②23>；③2x >；④这座山真险啊！ A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④【答案】A【分析】能够判断真假的陈述语句是命题，据此判断即可.【详解】①三角形的内角和等于180︒是命题；②23>是命题；③2x >不能判断真假，故不是命题；④这座山真险啊！不是陈述句，因此不是命题. 故选：A.2．过椭圆225x + 29y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长是（ ） A ．20 B ．18 C ．10 D ．16【答案】A【分析】根据椭圆的定义求得正确选项. 【详解】依题意5a =，根据椭圆的定义可知，三角形2ABF 的周长为420a =. 故选：A3．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥【答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断. 【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x ，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B. 当1x =时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，1x =-，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即⌝p 任意x ∈R ，均有210x x ++≥，故正确； 故选：C4．已知命题:p 垂直于同一平面的两直线平行；命题:q 平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∨ D ．p q ∨【答案】D【分析】判断命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项. 【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题p 为真命题， 平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题q 为假命题， 所以，()()p q ⌝∧⌝、p q ∧、()p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题. 故选：D.5．已知椭圆C ：2212516x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，上顶点为P ，则（ ）A ．12PF F △为锐角三角形B ．12PF F △为钝角三角形C ．12PF F △为直角三角形D ．P ，1F ，2F 三点构不成三角形【答案】A【分析】根据题意求得1212,,PF PF F F ，要判断12PF F △的形状，只需要看12F PF ∠是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆C ：2212516x y +=，得22225,16,9a b c ===，则()()()123,0,3,0,0,4F F P -， 则12125,6PF PF F F ===， 所以1221PF F PF F ∠=∠且为锐角，因为2221212252536140PF PF F F +-=+-=>， 所以12F PF ∠为锐角， 所以12PF F △为锐角三角形. 故选：A.6．已知椭圆2222135x y m n+=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 A ．15x y = B ．15y = C ．3x y = D ．3y x = 【答案】D【详解】试题分析：∵椭圆和双曲线有公共焦点，∴22223m 5n 2m 3n -=+，整理得22m 8n =，∴双曲线的渐近线方程为y=223n 3132m 28x x ±=±⨯=，故选D ．【解析】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质．点评：基础题，先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c ，令二者相等即可求得m 和n 的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．7．双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，下列结论不正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为53B ．该双曲线的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为32 【答案】D【分析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a ＝3，b ＝4，c ＝5，22169169144x y -=⨯=， 故离心率e 53=，故A 正确；由双曲线的性质可知，双曲线线221916x y -=的渐近线方程为y ＝±43x ，故B 正确；设P （x ，y ），则P 到两渐近线的距离之积为22169434316914455252525x y x y x y --+⨯⋅===，故C 正确；若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得2221212||||100PF PF F F +==，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝6（不妨取P 在第一象限），∴2221212()||PF PF PF PF -=+-2|PF 1|⋅|PF 2|＝100﹣2|PF 1|⋅|PF 2|，解得|PF 1|⋅|PF 2|＝32，可得12121162PF F S PF PF =⨯⨯=，故D 错误. 故选：D8．已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率等于（ ）A 5B 2C 53D 35【答案】C【分析】由等比中项定义求得m ，根据m 的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率．【详解】由已知228m =⨯，4m =±，当4m =-时，方程为2214y x +=，曲线为椭圆， 224,1a b ==，413c -3e =当4m =时，方程为2214y x -=，曲线为双曲线，221,4a b ==，415c =+=为5e = 故选：C ．9．已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．12【答案】A【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得. 【详解】如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，易知1PHF PHQ ∽，所以|PF 1|＝|PQ |.根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，即|PF 2|－|PQ |＝2， 从而|QF 2|＝2.在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，则|OH |＝1. 故选：A.10．已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（ ） A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x > C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > D ．[],x a b ∀∈，()()f x g x > 【答案】C【分析】先解读选项ABC ，D 选项是12M M >成立的充分不必要条件，再判断得解. 【详解】解：A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值； B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值；C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件；D 选项是12M M >成立的充分不必要条件． 故选：C11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，且1F AB 23-P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ）A ．[]1,2B ．2,3⎡⎣C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,4【答案】D【分析】由已知和面积得到2a =，3c 1211PF PF +进行化简，配方求最值. 【详解】由已知的22b =，故1b =.∵1F AB 23-∴()1232a c b --=，∴23a c -=又∵222()()1a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，3c =∴()2212121111||112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+， 又12323PF ≤，∴2211114(2)44PF PF PF ≤-+=--+≤， ∴121114PF PF ≤+≤.∴1211PF PF +的取值范围为[]1,4. 故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题. 12．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于A ，B 的动点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，则OP OQ ⋅=（ ） A ．16 B ．9 C ．4D ．3【答案】B【分析】设动点0(M x ，0)y ，由双曲线方程可得A ，B 的坐标，求出AM ，BM 所在直线方程，可得P 与Q 的坐标，求得202016·16y OP OQ x =-，再由动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，得2200169(16)y x =-，则||||OP OQ ⋅的值可求. 【详解】解：设动点0(M x ，0)y ，由双曲线方程22:1169x y C -=得(4,0)A -，(4,0)B ， 则004AM y k x =+，004BM y k x =-，所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++，直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--， 由此得004(0,)4y P x +，004(0,)4y Q x --， 所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--. 因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，所以22001169x y -=，所以2200169(16)y x =-，则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--. 故选：B. 二、填空题13．命题“9的平方根是3”是________命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假【分析】根据9的平方根是3±判断即可.【详解】解：因为9的平方根是3±，所以命题“9的平方根是3”是假命题. 故答案为：假14．经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 . 【答案】22188y x -=【详解】设双曲线的方程为：22x y λ-=，将(1,3)A -代入可得，8λ=-，所以等轴双曲线的方程为：22188y x -=.15．若斜率为k 的直线l 与椭圆22:132x y C +=交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为11,23⎛⎫⎪⎝⎭，则k =___________. 【答案】-1【分析】根据给定条件设出点A ，B 的坐标，再借助“点差法”即可计算得解. 【详解】依题意，线段AB 的中点11,23⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 内，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：()()()()12121212032x x x x y y y y -+-++=， 而121221,3x x y y +=+=，于是得1212033x x y y --+=，即12121y y k x x -==--， 所以k =1-. 故答案为：1-16．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为两点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“出租车距离”．给出下列四个结论：①若点()0,0O ，点()1,2A ，则(),3d O A =；②到点()0,0O 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点()1,2A ，点B 是圆221x y +=上的动点，则(),d A B 的最大值是32+．其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③【分析】理解“出租车距离”的定义，根据定义写出有关代数式即可求解. 【详解】对于①，根据定义(),10203d O A =-+-= 故正确； 对于②，根据定义，设目的地为(),A x y ， 则(),001d O A x y x y =-+-=+≤…① ，当A 点在第一象限时，①式即为1x y +≤ ，第二象限时为1x y -+≤ ， 以此类推得如下图形（阴影部分）：其面积为：12222⨯⨯= ，故错误；对于③，设(),B x y ，(),11d A B x y =-+- ，∵B 在圆221x y += 上，∴1,1x y ≤≤ ，(),123d A B x y x y =-+-=-- ，()3,y x d A B =-+- ，为在区域为221x y +=，目标函数为(),3d A B x y =--求最大值的 线性规划问题，， 如下图：显然当直线()3,y x d A B =-+-为圆221x y +=在第三象限的切线时，(),d A B 最大， 为32，故正确； 故答案为：①③. 三、解答题17．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求离心率2e =()5,3M -的双曲线标准方程． 【答案】（1）22195x y +=；（2）2211616x y -= 【分析】（1）根据题意直接得出,a c 后求解 （2）待定系数法设双曲线方程，列方程组求解【详解】（1）由题意得3,2a c ==，故2945b =-=，椭圆标准方程为22195x y +=（2）①若双曲线焦点在x 轴上，设其方程为22221x y a b-=，由题意2c a =而222c a b =+故a b =，由222591a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩解得2216a b ==，故双曲线标准方程为2211616x y -= ②若双曲线焦点在y 轴上，设其方程为22221y xa b-=，同理a b =，此时将()5,3M -代入后方程无解综上，双曲线标准方程为2211616x y -= 18．已知命题p ：函数()3log f x x a =-在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点；命题q ：[]00,2x ∃∈，使得30035x x a -+-＜0成立.（1）若p 和q 均为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 和q 其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()3,+∞；（2）(][],22,3-∞-⋃.【分析】先求出当命题p 为真时，解得2a ≤-或2a ≥；再求出当命题q 为真，解得3a >.（1）先判断命题p ，q 均为真命题，再求出实数a 的取值范围为(3,)+∞；（2）先判断p ，q 一真一假，最后实数a 的取值范围为(,2][2,3]a ∈-∞-. 【详解】（1）函数()f x =3log x a -在区间1,99⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，p 为真命题∴()f x =3log x a -在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点∴311log 2099f a a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭或者()39log 920f a a =-=-≤得2a ≤-或2a ≥令()335(02)f x x x a x =-+-≤≤∴()f x '=233x -当()f x '＞0时，得12x ≤≤，当()f x '＜0时，得0≤x ＜1∴()f x 最小值为()13f a =- q 为真∴a ＞3（1）p ，q 均为真命题∴a 的取值范围是()3,+∞ （2）p ，q 一真一假若p 真，q 假，则223a a a ≤-≥⎧⎨≤⎩或，解得a 的范围是(][],22,3-∞-⋃；若p 假，q 真，则223a a -⎧⎨⎩＜＜＞，解得无解； ∴a 的取值范围是(][],22,3-∞-⋃.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，一条渐近线方程为20x y -=(1)求双曲线C 的标准方程； (2)已知倾斜角为34π的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．【答案】(1)2214y x -=(2)3y x =-+【分析】（1）由实轴长得到a ，由渐近线斜率得到ba，即可得到方程；（2）由倾斜角得到直线斜率，设直线方程，联立双曲线方程，消去x ，利用韦达定理即可表示线段AB 的中点的纵坐标，解出参数即可.【详解】(1)由题，22a =，由20x y -=得，222by x b a=∴=∴=,,，所以双曲线C 的标准方程为：2214y x -=(2)直线斜率3tan 14k π==-，设直线为y x m =-+，联立得2214y x my x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440y my m -+-=，设,A B 两点坐标分别为()11x y ,、()22x y ,，线段AB 的中点的纵坐标为4，则1282483my y +==⨯=，3m ∴=∴,直线方程为3y x =-+.20．已知5:21p x ≥+，22:20q x mx m --≤，其中0m >． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)是否存在m ，使得p ⌝是q 的必要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)m 1≥(2)不存在，理由见解析【分析】（1）解不等式，由充分条件的定义得出实数m 的取值范围；（2）由p ⌝是q 的必要条件得出不等关系，结合0m >作出判断.【详解】(1)由521x ≥+得2301x x -≤+，故有3:12p x -<≤． 由2220x mx m --≤得()()20x m x m -+≤，即:2q m x m -≤≤．若p 是q 的充分条件，则p q ⇒成立，即1322m m -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩得m 1≥. (2)因为3:12p x -<≤，所以:1p x ⌝≤-或32x >． 若p ⌝是q 的必要条件，则q p ⇒⌝成立，则21m ≤-或32m ->， 显然这两个不等式均与0m >矛盾，故不存在满足条件的m ．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为226. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求AB 的最大值.【答案】(1)2213x y +=； 6.【分析】（1）由题设可得222c =6c a 结合椭圆参数关系求2b ，即可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 为y x m =+，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由0∆>求m 的范围，再应用韦达定理及弦长公式求AB 关于m 的表达式，根据二次函数性质求最值即可.【详解】(1)由题设，222c =6c a 2c =3a =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22:13x C y +=. (2)设直线l 为y x m =+，联立椭圆C 并整理得：2246330x mx m ++-=，所以2223616(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，可得22m -<<，且32A B m x x +=-，23(1)4A B m x x -=， 所以22229|23(1)64|(11)4A B m m x x m AB k ---=-=+⋅(2,2)m ∈-， 故当0m =时，max 6AB =22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，过双曲线C 的右焦点()2,0F 的直线1l 与双曲线C 分别交于左、右两支上的A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)过原点O 作直线2l ，使得21//l l ，且与双曲线C 分别交于左、右两支上的点M 、N ．是否存在定值λ，使得MN MN AB λ⋅=？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213y x -= (2)存在，2λ=【分析】（1）由题意得到3b a =2c =，结合222c a b =+，求得,a b 的值，即可求得双曲线的方程；（2）由MN 与AB 同向，所以2MNAB λ=，设直线1:2l x ty =+，联立方程组，结合韦达定理求得121222129,3131t y y y y t t -+==--，利用弦长公式求得()226131t AB t +=-，根据21//l l ，设2:l x ty =，联立方程组求得()22212131t MN t +=-，进而求得λ的值，得出结论.【详解】(1)解：因为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =， 所以3b a=3b a =． 又因为右焦点F 的坐标为()2,0，所以2c =，又由222244c a b a =+==，解得1a =，所以3b =所以双曲线C 的方程为2213y x -=． (2)解：存在定值2λ=，使得MN MN AB λ⋅=．因为MN 与AB 同向，所以2MNAB λ=，由题意，可设直线1:2l x ty =+，联立方程组22213x ty y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22311290t y ty -++=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，可得121222129,3131t y y y y t t -+==--， 由直线1l 分别交双曲线C 的左、右两支于A 、B 两点，可得()()()222212310Δ12363136100t t t t x x ⎧-≠⎪⎪=--=+>⎨⎪<⎪⎩，即()()()221223103422031t t ty ty t ⎧-≠⎪⎨-+++=<⎪-⎩，可得2310t ->， 所以2121AB t y =+-()22121214t y y y y =++-()2222226112361313131t t t t t t +-⎛⎫+- ⎪---⎝⎭由21//l l ，可设2:l x ty =， 由2233x ty x y =⎧⎨-=⎩，整理得()22313t y -=． 设00(,)M x y ，则()00,N x y --，所以202331y t =-， 则()()()()222222000212111431t MN t y t y t +=+--=+⋅=-，所以22MNAB λ==，故存在定值2λ=，使得MN MN AB λ⋅=．。

2022-2023学年广东省佛山市顺德区重点中学高二（下）月考数学试卷（3月份）及参考答案第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知数列{}n a 中，452+-=n n a n ，则数列{}n a 的最小项是()A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项2.在数列{}n a 中，4211+==+n n a a a ，，若2022=n a ，则=n ()A.508B.507C.506D.5053.等差数列{}n a 的前11项和4411=S ，则=++873a a a ()A.9B.10C.11D.124.在等比数列{}n a 中．已知487531=+=+a a a a ，，则=+++1513119a a a a ()A.11B.6C.3D.185.已知数列{}n a 是递增的等比数列，1+2+3=14，123=64，则公比=()A.12B.1C.2D.46.若数列{}n a 对任意正整数都有1+22+33+…+B =2−1，则22+55=()A.17B.18C.34D.847.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为()A.25B.24C.20D.198.已知等差数列{}n a 的前项和为，若7+8>0，7+9<0，则取最大值时的值为()A.8B.5C.6D.7二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）9.正项等比数列{}n a的前项和为，已知3=2+101，4=3.下列说法正确的是()A.1=9B.{}是递增数列C.{+118}为等比数列D.{log3}是等比数列10.记为公差不为0的等差数列{}n a的前项和，则()A.3，6−3，9−6成等差数列B.33,66,99成等差数列C.9=26−3D.9=3(6−3)11.已知数列{}n a中，1=2，+1+1=1，∈+，则()A.2022=1B.1+2+3+…+2002=1011C.123…2022==1011D.12+23+34+…+20222023=−101112.如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…….记图1中正方形的个数为1，图2中正方形的个数为2，图3中正方形的个数为3，……，图中正方形的个数为，下列说法正确的有()A.5=63B.图5中最小正方形的边长为14C.1+2+3+……+10=2036D.若=255，则图中所有正方形的面积之和为8第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共24.0分）13.设数列{}n a满足1=2=2+2K1，则3=．14.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？“意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？“在这个问题中，若大夫出6钱，则上造出的钱数为．15.数列{}n a中，=−12+1−32(≥2,∈∗)，且1=1，则数列的通项公式为=．16.已知数列{}n a满足1=1，且+1=++1，则=，数列{1}的前项和=．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

高二下学期数学3月月考试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷总分150分一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）.1.有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（）A ．60B ．125C ．243D ．1202.下列求导运算正确的（）A ．211()1x x x'+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．(cos 2)sin 2x x =-'D ．(ln )ln 1x x x '=-3.某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A ．32B ．45C ．64D ．904.若二项式(12)n x +的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中2x 项的系数为（）A ．40B ．60C ．80D ．1605.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A ．40个B ．42个C ．48个D ．52个6.已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（）A ．(),1∞-B ．(),2∞-C ．()1,+∞D ．()2,∞+7.(x 2－x ＋1)5的展开式中x 3的系数为（）A ．－20B ．－24C ．－30D ．208.设函数21()4ln 2f x x x a x =-+，若函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，且不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，则t 的取值范围为（）A ．(]1-∞-，B ．(]168ln 2-∞--，C ．2e 4e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，D ．(]13-∞-，二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.漏选得部分分，错选不得分）.9.随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：929395959798,,,,,，则下列关于该样本的说法中正确的有（）A ．均值为95B ．极差为6C ．方差为26D ．第80百分位数为9710.在以下结论中正确的是（）．A ．433101011C C C +=B ．024*******10101010102C C C C C C +++++=C ．1091-不能被100整除D ．已知9(23)x -=290129(1)(1)(1)a a x a x a x +-+-++- ，则91238931a a a a a -+-++-=-+ 11.下列说法正确的是（）A ．从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有11299C C ⋅种B ．甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种C ．将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法D ．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.12.25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为.13.将,,,,a b c d e 5名实习教师全部分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中a 不去甲班，则不同的分配方案有种（用数字作答）.14.若曲线()ex xf x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为.四．解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.15.（13分）已知函数()()212ln R 2f x x ax x a =--∈.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.16.（15分）3名女生和5名男生排成一排．（最终答案化为数字！）(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?(3)如果女生不站两端，有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?17.（15分）已知*Nn∈，二项式n .(1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中2x的系数；(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.18.（17分）已知:()201221nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ,n 为常数）．（1）求|0|+|1|+|2|+...+||；（2）我们知道二项式(1)n x +的展开式0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=+++⋅⋅⋅+．若该等式两边对x 求导得：o1+p K1=1232123n n n n n n C C x C x nC x -++⋅⋅⋅+,令x=1，可得1+22+33⋅⋅⋅+B =12n n -⋅．利用此方法解答以下问题：①求12312+3...n a a a na +++；②求2222123123...n a a a n a ++++．19.（17分）已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．高二下学期数学3月月考试卷考试时间：120分钟试卷总分150分一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）.20.有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（）A ．60B ．125C ．243D ．120【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】每名学生都有3种选择方法，所以不同的报名方法的种数为53243=.故选：C21.下列求导运算正确的（）A ．211()1x x x'+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．(cos 2)sin 2x x =-'D ．(ln )ln 1x x x '=-22.某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A ．32B ．45C ．64D ．90【答案】D【分析】根据近视率求出三个年级的近视的人数，结合抽样比例可得答案.【详解】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.故选：D.23.若二项式(12)n x +的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中2x 项的系数为（）A ．40B ．60C ．80D ．160【答案】A 【分析】根据题意，令1x =可得n ，再由二项式展开式的通项，即可得到结果.【详解】令1x =，可得3243n =，则5n =，所以5(12)x +的展开式的通项为15C 2r r rr T x +=⋅⋅，令2r =，可得222235C 240T x x =⋅=.所以展开式中2x 项的系数为40.故选：A24.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A ．40个B ．42个C ．48个D ．52个【答案】D【分析】分最后一位分别为0，2，4三种情况求解即可.【详解】当最后一位是0时，共有25A 20=种情况；当最后一位是2时，共有144116C C =种情况；当最后一位4时，共有144116C C =种情况，所以共有20161652++=个.故选：D25.已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（）A ．(),1∞-B ．(),2∞-C ．()1,+∞D ．()2,∞+【答案】A【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数法结合条件，得到()g x 在R 上单调递减,利用单调性可得答案.【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<'所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f ==由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +<所以1x <故选：A 26.(x 2－x ＋1)5的展开式中x 3的系数为（）A ．－20B ．－24C ．－30D ．20【答案】C【分析】先将(x 2－x ＋1)5转化为[1＋(x 2－x )]5，则展开式的通项公式Tr ＋1＝5rC (x 2－x )r ，r ＝0，1，2，3，4，5，再求得(x 2－x )r 展开式的通项公式得到5rkrC C (－1)k ·x 2r －k ，r ＝0，1，2，3，4，5，k ＝0，1，…，r ，然后令2r －k ＝3求解.【详解】.[1＋(x 2－x )]5展开式的第r ＋1项Tr ＋1＝5rC (x 2－x )r ，r ＝0，1，2，3，4，5，Tr ＋1展开式的第k ＋1项为5rkr C C ·(x 2)r －k (－x )k ＝5rkrC C (－1)k ·x 2r －k ，r ＝0，1，2，3，4，5，k ＝0，1，…，r ，当2r －k ＝3，即2{1r k ==或3{3r k ==时是含x 3的项，所以含x 3项的系数为2152C C (－1)＋3353C C (－1)3＝－20－10＝－30.故选：C27.设函数21()4ln 2f x x x a x =-+，若函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，且不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，则t 的取值范围为（）A ．(]1-∞-，B ．(]168ln 2-∞--，C ．2e 4e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，D ．(]13-∞-，二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.漏选得部分分，错选不得分）.28.随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：929395959798,,,,,，则下列关于该样本的说法中正确的有（）A ．均值为95B ．极差为6C ．方差为26D ．第80百分位数为9729.在以下结论中正确的是（）．A ．433101011C C C +=B ．024*******10101010102C C C C C C +++++=C ．1091-不能被100整除D ．已知9(23)x -=290129(1)(1)(1)a a x a x a x +-+-++- ，则91238931a a a a a -+-++-=-+30.下列说法正确的是（）A ．从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有11299C C ⋅种B ．甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种C ．将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法D ．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法【答案】BCD三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.32.将,,,,a b c d e 5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中a 不去甲班，则不同的分配方案有种（用数字作答）【详解】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.有1人去甲班时，因为a 不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有14C 种选法，再选2人去乙班，有24C 种选法，剩下2人去丙班，有22C 种方法，这是分3步完成的，故有122442C C C 46124=⨯⨯=种方案；有2人去甲班时，因为a 不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有24C 种选法，再剩余3人分配到2个班的分法有2232C A 种方法，所以这类办法有222432C C A 63236=⨯⨯=种.故不同的分配方案有:243660+=.33.若曲线()ex x f x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为由图可知，当240e a <<时，函数y 即过点(0,)a 的切线有3条.所以实数四．解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.34.（13分）已知函数()()212ln R 2f x x ax x a =--∈.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.35.（15分）3名女生和5名男生排成一排．（最终答案化为数字！）(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?(3)如果女生不站两端，有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?36.（15分）已知*Nn∈，二项式n .(1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中2x的系数；(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.37.（17分）已知:()201221n n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ,n 为常数）．（1）求|0|+|1|+|2|+...+||；（2）我们知道二项式(1)n x +的展开式0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=+++⋅⋅⋅+．若该等式两边对x 求导得：o1+p K1=1232123n n n n n n C C x C x nC x -++⋅⋅⋅+,令x=1，可得1+22+33⋅⋅⋅+B =12n n -⋅．利用此方法解答以下问题：①求12312+3...n a a a na +++；②求2222123123...n a a a n a ++++．38.（17分）已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．。

12023年重庆一中高2024届高二下学期3月月考数学试题卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若255C C n =，则n =（ ）A. 2B. 2或3C. 3D. 42. 已知一组样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数x 为2，则51(2)ii x =−=∑（ ）A. 0B. 2C. 2.5D. 13. 若()()()()112110121121111R x a a x a x a x x −=+−+−++−∈,，则01211a a a a ++++=（ ）A. 1B. 1131−C. 113D. 1131+4. 某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取200人进行调查，已知该校高一年级学生有1300人，高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ） A. 50人B. 60人C. 65人D. 75人5. 已知正项数列{}n a 中，22111,1n n a a a +=−=，则数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前120项和为（ ）A. 4950B. 10C. 9D.149506. 某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有( ) A. 48种B. 60种C. 72种D. 96种7. 将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，事件A =“志愿者甲派往①社区”； 事件B= “志愿者乙派往①社区”； 事件C= “志愿者乙派往②社区”，则（ ） A. 事件A 、B 同时发生的概率为19 B. 事件A 发生的条件下B 发生的概率为16C. 事件A 与B 相互独立D. 事件A 与C 为互斥事件8. 已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长PO 、PF 交椭圆E 于Q 、R 两点，QF FR ⊥，4QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.33B.22 C.53D.104的2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）A. 图中x 的值为0.020B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80内的学生有60人C. 估计全校学生成绩的中位数约为87.7D. 估计全校学生成绩的众数为95 10. 对于函数()22ln xf x x=，下列说法正确的有（ ） A. ()f x 的单调递减区间为()1,+∞ B. ()f x 在e x =1eC. ()f x 只有一个零点D. ()3πf f>11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12 B. 第二次抽到3号球的概率为1148C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种12. 冬春季节，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”.下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ） A. 总体平均数为23 B. 总体平均数为4，总体方差为32C. 总体平均数为3，中位数为4D. 总体平均数为2，第65百分位数为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在nx x ⎛ ⎝的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数为_____.314. 透明袋子中装有黑球1个、白球3个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，求前后两次摸出的球都是白球的概率为___________. 15. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++.设222236a b c d =+++，其中a b c d ,,,均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是___________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3n n S k a =⋅−（k 是常数，1k >）10122a =，且23420222048a a a a ++++=，则23420221111a a a a ++++=___________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；18. (本小题满分12分)在数列{}n a 中，*1111,20,N 3n n n n a a a a a n ++=+−=∈． （1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）满足不等式()*122311N 8k k a a a a a a k ++++<∈成立的k 的最大值．的419. (本小题满分12分)随机抽取100名男学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160165,，[)165170,，[)170175,，[)175,180，[]180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示：（1）求身高在170cm 及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高75%分位数.（3）据统计，身高在[)170175,，[)175,180，[]180,185时，体重超过70kg 的概率分别为16、13、12.现在从身高在[170，185]的学生中任选一个学生，估计其体重超过70kg 的概率.20. (本小题满分12分) 在二项式4)2n x x的展开式中，前三项的系数依次为M ，P ，N ，且满足2P M N =+.（1）若直线l ：0ax by c的系数a ，b ，c （a b c >>）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l 的条数；（2）求展开式中系数最大的项.21. (本小题满分12分) 已知C ：22221x y a b+=7，离心率为12，过椭圆左焦点F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：2x a =−，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E .（1）求椭圆C 标准方程：（2）①若线段EN 必过定点P ，求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值.22. (本小题满分12分) 已知函数()xf x xe =（其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的最小值；（2）求证：()1ln 2xf x e x >+−.的5。

2022-2023学年上海市闵行区闵行中学、文绮中学高二下学期3月月考数学试题一、填空题1．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种．【答案】14【分析】根据分类加法计数原理可得答案.【详解】解：根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法．65314++=故答案为：14.2．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．【答案】53【分析】每名旅客都有种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数.3【详解】由于每名旅客都有种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有种.353故答案为：.53【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.3．计算：__________.01220232023202320232023C C C C ++++= 【答案】20232【分析】由二项式定理性质可知所有二项式系数和为，即可得出结果.()1nx +2n【详解】由题意可知，()1202C 1C C C nn nn n n n x x x x+=⋅⋅+++⋅+ 当时，令，即可得.2023n =1x =012202320232023202320232023C C C C 2++++= 故答案为：202324．在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有________种（填写数值）.【答案】80【分析】先由题意，分别确定从5名男生和4名女生中选出3人，和选出的3人全部都是女生对应的选法种数，进而可求出结果.【详解】从5名男生和4名女生中选出3人，共有种选法；3998784321C ⨯⨯==⨯⨯选出的3人全部都是女生，共有种选法；344C =因此，至少有一名男生的选法有种.84480-=故答案为80【点睛】本题主要考查组合问题，熟记组合的概念，以及组合数的计算公式即可，属于常考题型.5．若，则______.()()34222141214112x x x a a x a x a x +-⋅-=++++ 12314a a a a ++++= 【答案】0【分析】赋值法求二项展开式部分项的系数之和.【详解】令，()()()342221401214112f x x x x a a x a x a x =+-⋅-=++++ 则，，()001f a ==()12310411a a a f a a +++=+=+ 所以.()()12314100a a a a f f ++++=-= 故答案为：0.6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个．【答案】216【分析】分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解.【详解】当个位是0时，前面四位有种排法，此时共有120个五位数满足题意；45120A =当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有种排法，所以此时共有4424A =个五位数满足题意.424=96⨯所以满足题意的五位数共有个.120+96=216故答案为216【点睛】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．在的展开式中，项的系数为_____________.（用数字作答）()9a b c ++432a b c 【答案】1260【分析】由，然后利用二项式定理得出含项为，然后利用()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦4a ()5549C a b c +二项式展开式通项求出中项的系数，与相乘即可得出结果.()5b c +32b c 59C 【详解】，展开式中含的项为，()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦ 4a ()5549C a b c +中含项为，()5b c +32b c 2325C b c 因此，的展开式中项的系数为.()9a b c ++432a b c 52951260C C =故答案为.1260【点睛】本题考查二项展开式的应用，在处理含三项的问题时，可将其转化为两项的和来处理，考查运算求解能力，属于中等题.8．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_____种不同的方法（用数字作答）【答案】1260【详解】同色球不加以区分，共有(种)排法．【解析】排列与组合.9．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【答案】96【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种44A 【解析】排列、组合及简单计数问题10．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.【答案】37【分析】按照所选得6人中所含会划左右桨的人数进行分类，即可得到答案.【详解】第一类：参加比赛的6人中没有会划左右桨的，共有种，3333C C 1=第二类：参加比赛的6人中有1人会划左右桨的，共有种，1322332C C C 12=第三类：参加比赛的6人中有2人会划左右桨的，共有种，132233332C C 2C C 24+=则共有种.1122437++=故答案为：3711．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________.【答案】186【详解】试题分析：设取红球个，白球个，则x y 5(04){27(06)x y x x y y +=≤≤+≥≤≤，取法为.234{,{,{321x x x y y y ===∴===233241464646186C C C C C C ++=【解析】古典概型.12．定义域为集合上的函数满足：{1,2,3,,12}⋅⋅⋅()f x ①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同(1)1f =|(1)()|1f x f x +-=1,2,,11x =⋅⋅⋅(1)f (6)f (12)f 函数的个数为________()f x 【答案】155【分析】分析出f （x ）的所有可能的取值，得到使f （x ）中f （1）、f （6）、f （12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f （x ）的个数即可．【详解】解：经分析，f （x ）的取值的最大值为x ，最小值为2﹣x ，并且成以2为公差的等差数列，故f （6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．f （12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，所以能使f （x ）中的f （1）、f （6）、f （12）成等比数列时，f （1）、f （6）、f （12）的取值只有两种情况：①f （1）＝1、f （6）＝2、f （12）＝4；②f （1）＝1、f （6）＝﹣2、f （12）＝4．|f （x +1）﹣f （x ）|＝1（x ＝1，2，…，11），f （x +1）＝f （x ）+1，或者f （x +1）＝f （x ）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f （1）＝1、f （6）＝2、f （12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f （1）变化到f （6），第二步：从f （6）变化的f （12）．从f （1）变化到f （6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为10种．35C =从f （6）变化到f （12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为15种．46C =根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．（2）当f （1）＝1、f （6）＝﹣2、f （12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f （1）变化到f （6），第二步：从f （6）变化的f （12）．从f （1）变化到f （6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为5种．15C =从f （6）变化到f （12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为1种．66C =根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．综上，满足条件的f （x ）共有：150+5＝155种．故填：155．【点睛】解决本题的难点在于发现 f （x ）的取值规律，并找到使f （1）、f （6）、f （12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．二、单选题13．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项.10(1)x -A ．6B ．5C ．4和6D ．5和7【答案】A【分析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，10(1)x -易知当r ＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.10rC 故选：A14．将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是,,A B C （ ）A ．54B ．36C ．24D ．18【答案】B【分析】分类讨论分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到三所学校,,A B C ,,A B C 去任教每所学校至少一人的所有情况，【详解】将4名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：，,,A B C 1,1,2学校有两名新老师：；A 2142C C 12=学校有两名新老师：；B 2142C C 12=学校有两名新老师：C 2142C C 12=所以共有种情况，2142363C C =故选：B.15．已知，则被10除所得的余数为（ ）122332020202020201C 2C 2C 2C 2a =+++++ a A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案.()10201039101a ===-【详解】，()201223320202010202020201C 2C 2C 2C 21239a =+++++=+== 又因为，()()()()10290101928910101010101C 10C 101C 101C 1011a =-=+-+-++-+ 又因为都是10的倍数，()()()290101928910101010C 10,C 101,C 101,,C 101--- 所以被除所得的余数为.a 101故选：B16．已知r ，s ，t 为整数，集合A ＝{a |a ＝2r +2s +2t ，0≤r ＜s ＜t }中的数从小到大排列，组成数列{an }，如a 1＝7，a 2＝11，a 121＝（ ）A ．515B ．896C ．1027D ．1792【答案】C【解析】（1）由于为整数且，下面对进行分类讨论:最小取2时，符合条件 r s t 、、0,r s t ≤<<t t 同理可得,,……，时符合条件的的个数，最后利用加法原理计算即127,11,a a ==3t =4t =10t =a 得．【详解】为整数且最小取,此时符合条件的数有,当时,可 r s t 、、0,r s t t ≤<<∴2a 221C =3t =,s r 在0,1,2中取,符合条件有的数有所以a 233C =,同理0120130231232227,22211,22213a a a =++==++==++= 时,符合条件有的数有,……,时,符合条件有的数有4t =a 246C =t n =a 2nC ,且,是的最小值,即时,.222234123++++n n C C C C C += (3)10=120C 121a 111n +=10t =01101212221027a =++=故选:.C 【点睛】本题考查组合及组合数公式,有理数指数幂的运算性质,数列的概念及简单表示法,难度较难.三、解答题17．解方程（1）；421010x C C +=（2）.4321126n n P P +=【答案】（1）或；（2）2x =4x =4n =【分析】（1）根据得到或，计算得到答案；421010x C C +=24x +=26x +=（2）根据排列公式计算得到答案.4321126n n P P +=【详解】（1）则或，解得或 421010x C C +=24x +=26x +=2x =4x =（2），即4321126n n P P +=(21)(2)(21)(22)126(1)(2)n n n n n n n +--=--化简得到：，解得或（舍去）28631240n n -+=4n =318n =【点睛】本题考查了解关于排列的方程，漏解是容易发生的错误，意在考查学生的计算能力.18．晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：（1）3个舞蹈节目排在一起；（2）3个舞蹈节目彼此分开；（3）3个舞蹈节目先后顺序一定；（4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．【答案】（1）4320；（2）14400；（3）6720；（4）37440.【分析】(1)要把个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另3外个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列.5(2)个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把个唱歌节目排列，形成个位置,选三个356把舞蹈节目排列.(3)使用倍分法分析:先求出个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计8算可得答案.(4)先不考虑限制条件，个节目全排列有种方法前 个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是888P 唱歌有用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果.4454P P 【详解】(1)，33664320P P =(2)，535614400P P =(3)，33886720P P =(4).84485437440P P P -=【点睛】本题主要考查的是排列组合公式的应用，以及捆绑法、插空法、倍分法的应用，是基础题.19．（1）已知的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求的值；nn （2）求展开式所有的有理项；8（3）求展开式中系数最大的项.8【答案】（1）；（2）；（3）84112,256x x -731792x-【分析】（1）先求各项系数和，再求二项式系数和计算求解即可；（2）先写出展开式的通项公式，按照有理项求解即可；（3）根据通项公式求出系数，计算系数最大可得，再应用通项公式求解即得.6r =【详解】（1）令可得，展开式中各项系数之和为，而展开式中的二项式系数之和为，1x =(1)n-2n，2(1)255,8n n n ∴--=∴=（2）；883322188C (2)(2)C r r rr r rrr r T x xx----+=-=- 当为整数时，为有理项，则或832r r--1r T +2r =8r =所以展开式所有的有理项为：；4112,256x x -（3）设第项最大，且为偶数1r +r 则，解得：，22882288(2)C (2)C (2)C (2)C r r r r r r r r ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩6r =所以展开式中系数最大的项为：.8667663238(2)C 1792xx----=20．设函数，其中.()223ln 1f x a x ax x =+-+0a >(1)当时，求函数在处的切线方程；1a =()y f x =()1,3(2)讨论的单调性；()y f x =(3)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.()y f x =x a【答案】(1)3y =(2)函数在上单调递减，在上单调递增()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(3)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，得切线方程；（2）求出函数导数，解关于导函数的不等式即可得出单调区间；（3）根据函数有最小值，只需满足最小值大于0即可得解.【详解】（1）当时，，故，1a =()()233ln 1,21f x x x x f x x x =+-+=+-'()10f '=此时函数在处的切线方程为：.()y f x =()1,33y =（2）由题意，的定义域为，()f x ()0,∞+，()()()2221233232ax ax a x ax f x a x a x x x -++-='=+-=则当时，单调递增；当时，单调递减.1x a >()()0,f x f x '>10x a <<()()0,f x f x '<故函数在上单调递减，在上单调递增.()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由（2）知函数的最小值为， ()f x 1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又，且的图象与轴没有公共点，()2110f a a =++>()y f x =x 只需的最小值恒大于0，即恒成立，()f x 10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭故，得，221113ln 10a a a a a ⎛⎫⋅-+> ⎪⎝⎭+1e >a 所以的取值范围为.a 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，()*n n ∈N ()12,,,nx x x n 12nxx x +++ 已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为n ()12,,,n a x x x ={}1,0,1,1,2,i x i n∈-= n a，这个向量的范数之和为.nA nA nB(1)求和的值；2A 2B (2)求的值；2023A (3)当为偶数时，证明：.n ()131n n B n -=⋅-【答案】(1)224,4A B ==(2)2023312+(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）类比（1），结合排列组合的知识，二项式定理，求解即可；2023A （3）类比（2）的考虑方法，可得，0221C 2C 2C 2n n n n n n n A --=⋅+⋅++⋅ ，由二项式定理可得，根据组合数的运()()113311C 23C 2C2n n n n nnnB n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ 312n nA -=算性质化简得解.nB 【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--它们的范数依次为，1,1,1,1；224,4A B ∴==（2）当为奇数时，在向量的个坐标中，n ()12,,n a x x x =n要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，可按照含0个数为进行讨论：∴0,2,4,,1n - 的个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，an 共有个，每个的范数为；0C 2n n ⋅a n 的个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，an 共有个，每个的范数为；22C 2n n -⋅a 2n -的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，an n 1-共有个，每个的范数为1；1C 2n n -⋅a ，0221C 2C 2C 2n n n n n n n A --∴=⋅+⋅++⋅ ，0221(21)C 2C 2C 2C n n n n n n n n n --+=⋅+⋅++⋅+，022(21)22C C C (1)n n n n n n n n --=⋅-⋅++- 两式相加除以2得：022131C 2C 2C 22n n n n n n n n A --+=⋅+⋅++⋅= .20232023312A +∴=（3）当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一n ()123,,,,n a x x x x =n 定是奇数，所以可按照含0个数为：进行讨论：的个坐标中含1个0，其余坐标为11,3,,1n ⋯-a n 或-1，共有个，每个的范数为；11C 2n n -⋅a n 1-的个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；a n 33C 2n n -⋅a 3n -的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，a n n 1-共有个，每个的范数为1；所以，1C 2n n -⋅a 11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅ .()()113311232C 2n n nn n n n B n C n C ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ 因为，①01122(21)C 2C 2C 2C n n n n nn n n n --+=⋅+⋅+⋅++ ，②01122(21)C 2C 2C 2(1)C n n n n n nn n n n ---=⋅-⋅+⋅-+- 得，，2-①②113331C 2C 22n n n n n ---⋅+⋅+= 所以.312n n A -=思路一：因为，()()()()()11!!C C !!!1!kk n n n n n k n k n n k n k k n k --⇒-=-⋅=⋅=---所以.()()113311C 23C 2C 2n n nn n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ ()11331111C 2C 2C 2n n nn n n n ------=⋅+⋅++⋅ ()123411112C 2C 2C n n nn n n n ------=⋅+⋅++ .()11312312n n n n --⎛⎫-=⋅=⋅- ⎪⎝⎭思路二：得，.2+①②02231C 2C 22n n n n n -+⋅+⋅+= 又因为，()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---所以()()()()111!!C C !!1!!k kn n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n nn n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅()()10123211113131C 2C 2C 23122n n n n n n n n n n nA n n n --------⎛⎫-+=-⋅+⋅++⋅=⋅-=⋅- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式式定理的的灵活运用，化简变形要求较高，属于难题.。

新高二数学上学期第三次月考试题理（含解析）高二数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.1.“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要【答案】C【解析】试题分析：由“直线与平面内无数条直线都垂直”不能得到“直线与平面垂直”，反之，由“直线与平面垂直”可得到“直线与平面内无数条直线都垂直”，所以“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的必要非充分条件考点：充分条件与必要条件2.2.若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A. 1≤a≤3B. －1≤a≤3C. －3≤a≤3D. －1≤a≤1【答案】B【解析】由命题“，使”是假命题，得无解，即恒成立，则，解得；故选B.3. 如图程序框图输出的结果为A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：故选A．考点：循环结构，裂项求和4.4.设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为（）【答案】D【解析】试题分析：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（-∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增，∴在区间（-∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0考点：函数的单调性与导数的关系5.5.有下列四个命题：①“若，则互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若，则方程有实根”的逆否命题；④“若，则”的逆否命题.其中真命题是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④【答案】C【解析】“若，则互为倒数”的逆命题“若互为倒数，则”是真命题，即①正确；“相似三角形的周长相等”的否命题“两三角形不相似，则三角形的周长不相等”是假命题，即②错误；若，则，即方程有实根，即“若，则方程有实根”是真命题，其逆否命题为真命题，即③正确；若，则，即“若，则”及其逆否命题都为假命题，即④错误；故选C.6.6.如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B【解析】过点作且，连接，则，即为二面角的平面角，由题意，得，由余弦定理，得，则，即这个二面角的度数为；故选B.7.7.如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则a1、a2的大小关系是（）A. a1＝a2B. a1>a2C. a2>a1D. 无法确定【答案】C【解析】由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，即；故选C.8.8.曲线上的点到直线的最短距离是（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】试题分析：∵曲线y=ln（2x-1），∴y′=，分析知直线2x-y+8=0与曲线y=ln（2x-1）相切的点到直线2x-y+8=0的距离最短，y′═=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x-1），∴y=0，∴点（1，0）到直线2x-y+8=0的距离最短，∴d=，故答案为B．.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．.9.9.如图，圆C内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设圆的半径为，连接并延长交于点，作，因为圆内切于扇形，且，所以，由几何概型的概率公式，得在扇形内任取一点，则该点在圆内的概率为；故选D.10.10.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B【解析】11.11.若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，设，则，所以，设过点作渐近线的垂线，分别交于点，则，所以，即，则该双曲线的离心率为；故选A.点睛：解决本题的关键是正确作出图形确定的形状（尤其是顶点的位置：是在第二象限，还是在第四象限，如判断错误，将大大增加运算量，且劳而无功），而往往是学生容易忽视的条件.12.12.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然，0不是的零点，令，则，则函数存在唯一零点，且等价于函数和的图象有唯一交点，且交点在轴右侧，因为，所以函数在单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值2，又因为函数为奇函数，所以函数的图象所图所示，由图象，得函数和的图象有唯一交点，且交点在轴右侧，则，即函数存在唯一零点，且，则；故选C.点睛：本题利用分离参数法将含参数的函数的零点问题转化为两个函数和的图象交点问题，这是处理含参数问题的常见方法，也较好地避免了分类讨论，减小了计算量.二、填空题（每小题5分，共20分，把正确的答案写在题中横线上．）13.13.已知点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P满足的方程___【答案】【解析】试题分析：：∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=-2的距离大1，∴将直线x=-2向左平移1个单位，得到直线x=-3，可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离．因此，点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x=-3为准线的抛物线，设抛物线的方程为（p＞0），可得，得2p=12∴抛物线的方程为，即为点P的轨迹方程考点：抛物线的标准方程14.14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是___【答案】(－1,0]【解析】，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填.点睛：已知函数在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法：①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；②将问题转化为在所给区间上恒成立进行求解.15.15.从集合中任意取出两个不同的数记作，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是______．【答案】【解析】从集合中任意取出两个不同的数记作，共有个基本事件，其中满足方程表示焦点在轴上的双曲线，即的基本事件有3个，由古典概型的概率公式，得方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是；故填.16.16.设，若函数，有大于零的极值点，则的取值范围是__．【答案】【解析】令，则，所以，，所以，所以。

2017--2018学年度鹿泉一中高二年级3月月考理科数学试题一、选择题1、复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z （ ） A.25 B.41 C.5 D.52、设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg3、阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．8B ．18C ．26D ．804、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，535、某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法6、双曲线 1542222=--+k y k x （k 为常数）的焦点坐标是( ）. A ．)3,0(± B.)0,3(±C ．)0,1(± D.)1,0(±7、下列说法错误．．的是( ）. A ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题.B.命题p ：042,0200<+-∈∃x x R x ,则042,:2≥+-∈∀⌝x x R x pC ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”D ．特称命题 “R x ∈∃，使2240x x -+-=”是真命题.8、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象有可能的是( ）.9、若命题P ：函数2)(3--=ax x x f 在区间（1，＋∞）内是增函数；则命题P 成立的充要条件是( ）A ．]3,(-∞∈a B.]9,(-∞∈a C ．),1(∞-∈a D.)3,(-∞∈a10、若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[D ．( 11、过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.y 24－x 22＝1D.y 22－x 24＝1 12、袋中装有白球和黑球各3个,从中任取2个,则至多有一黑球的概率是( ).。

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。