[K12学习]2018高考数学大一轮复习 第九章 概率 课时跟踪检测(五十三)几何概型练习 文

课时达标 第59讲[解密考纲]古典概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现，有时与集合、函数、不等式等知识综合，以解答题形式出现．一、选择题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( D )A ．45B ．35C ．25D ．15解析：从1,2,3,4,5中随机选取一个数的取法有5种，从1,2,3中随机选取一个数的取法有3种，所以a ，b 的可能结果有5×3＝15种，其中a <b 的结果有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种．所以所求概率为P ＝315＝15，故选D ．2．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过4的概率记为p 1，点数之和大于8的概率记为p 2，点数之和为奇数的概率记为p 3，则( A )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 1<p 3C ．p 1<p 3<p 2D ．p 3<p 1<p 2解析：随机掷两枚质地均匀的骰子，共有36种不同结果，其中向上的点数之和不超过4的有6种不同结果；点数之和大于8的有10种不同结果；点数之和为奇数的有18种不同结果，故p 1＝636＝16，p 2＝1036＝518，p 3＝1836＝12，故p 1<p 2<p 3.3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同—个小组的情况有3种，故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.4．从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，则取出的这两个数字之和为偶数的概率是( B )A ．16B ．13C ．12D ．15解析：从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，共有6种情况，其中取出的这个数字之和为偶数的情况有(1,3)，(2,4)，共2种，所以P ＝26＝13.5．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝3，2x ＋3y ＝2只有一组解的概率是( D ) A ．23B ．34C ．15D ．1718解析：方程组只有一组解，除了⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6这两种情况之外都可以，故所求概率P ＝6×6－26×6＝1718.6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( D )A ．19B ．29C ．718D ．49解析：试验包含的基本事件共有6×6＝36种结果．其中满足题设条件的有如下情况： 若a ＝1，则b ＝1,2；若a ＝2，则b ＝1,2,3； 若a ＝3，则b ＝2,3,4；若a ＝4，则b ＝3,4,5 ； 若a ＝5，则b ＝4,5,6；若a ＝6，则b ＝5,6. 共16种．故他们“心相近”的概率为P ＝1636＝49.二、填空题7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为23.解析：设2本数学书分别为A ，B ，语文书为C ，则所有的排放顺序有ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC ，BAC,CAB ，CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.8．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为13.解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.9．(2017·山东潍坊模拟)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710.解析：由茎叶图知甲在五场比赛中的得分总和为18＋19＋20＋21＋22＝100；乙运动员在已知成绩的四场比赛中得分总和为15＋16＋18＋28＝77，乙的另一场得分是20到29十个数字中的任何一个的可能性是相等的，共有10个基本事件，而事件“甲的平均得分不超过乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7个基本事件，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710.三、解答题10．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解析：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}， 故(m ，n )所有可能的取法共36种．使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)，(6,2)， 所以事件a ⊥b 的概率为236＝118.(2)|a|≤|b|，即m 2＋n 2≤10，此时共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种使得|a|≤|b|，其概率为636＝16.12．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解析：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立． ②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。

概率年份卷别具体考查内容及命题位置2016甲卷几何概型·T8频率估计概率、频率分布表与平均值的应用·T18乙卷古典概型·T3丙卷古典概型·T52015Ⅰ卷古典概型·T4Ⅱ卷频率分布直方图、数据的平均值和方差、用频率估计概率·T182014Ⅰ卷古典概型·T13Ⅱ卷古典概型·T13茎叶图、用样本的数字特征估计总体的数字特征、用频率估计概率·T191．对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．2．选择或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般．3．解答题常出现在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与频率与概率的关系、数据的数字特征相交汇来考查;二是两图（频率分布直方图与茎叶图）择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．题示真题呈现考题溯源参数题示对比(2016·高考全国卷甲，T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．错误!B．错误!C。

错误! D.错误!(2015·高考全国卷Ⅱ，T18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①题溯源(必修3 P136例1）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.题溯源(必修3 P82习题2。

2B组T1)某地区为了解高中生学习统计图表的情况，把标有本地区58所高中名称的号签放入一个不透明的纸箱中，充分搅拌后，逐个抽出了4个号签，再从抽出的4所学校中随机选取高一年级的一个班，得到了一个容量为173的样本．样本中的每名学生被要求做一份时间为20分钟的试卷。

课时作业(五十)1．C [解析] A 中，恰好有一件次品与全是次品不能同时发生，但能同时不发生，不是对立事件；B 中至少有一件次品与全是次品能同时发生，不是对立事件；C 中至少有一件次品与全是正品不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件；D 中至少有一件正品与至少有一件次品能同时发生，不是对立事件．故选C .2．D [解析] 从袋中摸一个球，摸出的球是红球，与摸出的球是白球或黑球互为对立事件，因此摸出的球是白球或黑球的概率为1－0.4＝0.6.3．D [解析] 基本事件空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P(M)＝12，P(N)＝34. 4．D [解析] 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故射中不够8环的概率为1－0.60＝0.40.5．600 [解析] ∵在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，∴高二年级女生人数为0.19×2000＝380，∴高三年级学生的人数为2000－650－370＝600.6．C [解析] 记抽检的一件产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，则所求概率P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.7．D [解析] A 错误，因为除了事件A ，B 外还可以有其他事件，故P(A)＋P(B)≤1；B 错误，对立事件还必须满足P ()A ∩B ＝0；C 错误，“至少有一次中靶”与事件“一次都没有中靶”是对立事件．故D 正确．8．B [解析] 由题意知，此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径为A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条．记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，共4个，所以P(M)＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23. 9．B [解析] 设置随机试验：袋子中放有大小相同且标号为1～10的十个小球，从中取一球，设事件A 1为“取出球的标号为1或3”，事件A 2为“取出球的标号为1或3或5”，事件A 3为“取出球的标号为奇数”，则三个事件A 1，A 2，A 3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，可知A 1∪A 2与A 3不是互斥事件，A 1∪A 2∪A 3不是必然事件，P(A 2∪A 3)＝0.5，P(A 1∪A 2)≤0.5(当事件A 2为“取出球的标号为5或7或9”时，P(A 1∪A 2)＝0.5)．故只有④正确．10.29[解析] 根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有10，12，14，21，23，30，32，41，50，共9个，其中个位是1的有21，41，共2个，因此所求的概率为29. 11．解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁三种商品，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙三种商品，其他顾客最多同时购买了两种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．课时作业(五十一)1．D [解析] 从1，2，3，4，5中任取两个数共有10个基本事件，其中两个数的乘积为偶数包含7个基本事件，因此所求概率为710. 2．A [解析] 所有基本事件有36个，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，故所求概率P ＝436＝19.3．B [解析] 如图所示，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25. 4．A [解析] 所有的基本事件为36个，第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的基本事件为(1，3)，(2，6)，共2个，故所求概率为118. 5.15[解析] 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，记为(a ，b)，共有15个基本事件，其中满足b>a 的(a ，b)有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个基本事件，所以b>a 的概率是15. 6．D [解析] 从五位大学毕业生中录用三位的所有基本事件为(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙、戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10个，其中甲或乙被录用包含9个基本事件，所以所求概率为910. 7．D [解析] 对函数f(x)求导可得f′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，由题意需满足x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a>b.又(a ，b)的取法共有9种，其中满足a>b 的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23. 8．C [解析] 两次投掷一枚骰子出现的点数中有5的基本事件为(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11个，其中使方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的基本事件为(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7个．故所求概率为711.9．A [解析] 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，不同的送法共有四种：(甲送丙，乙送丙)，(甲送丙，乙送丁)，(甲送丁，乙送丙)，(甲送丁，乙送丁)．其中甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：(甲送丙，乙送丙)，(甲送丁，乙送丁)．故甲、乙将贺年卡送给同一人的概率P ＝24＝12. 10.1316[解析] 依题意，(m ，n)的所有基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．满足条件n ≥m ＋2的基本事件为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个，所以n ≥m ＋2的概率P 1＝316，故n<m ＋2的概率为1－P 1＝1－316＝1316. 11．解： (1)乙厂该天生产的产品数量为5÷1498＝35(件)． (2)样品中优等品的频率为25，则乙厂该天生产的优等品的数量约为35×25＝14(件)． (3)设从乙厂抽出的5件产品分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中优等品为A ，B.从中随机抽取2件，则有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10个基本事件，其中2件产品中至少有1件优等品的基本事件有7个，则所求概率P ＝710. 课时作业(五十二)1．B [解析] 依题意他等待的时间不多于15分钟的概率P ＝1560＝14. 2．C [解析] 如图所示，阴影部分内的点到对角线AC 的距离不大于2，易知阴影部分的面积为42－22＝12，而正方形ABCD 的面积为42＝16，故所求概率P ＝1216＝34.3．A [解析] 只有在5 m 绳子中间的1 m 上剪断，才能使剪得两段的长度都不小于2 m ，故所求概率P ＝15. 4．B [解析] 所求概率为几何概型，测度为面积，由Δ＝4a 2＋4b 2－4π≥0，得a 2＋b 2≥π，得所求概率为1－14π·（π）2π2＝34. 5．C [解析] 如图所示，阴影部分内的点到点O 的距离大于或等于1.由题意知长方形ABCD 的面积S ＝2×1＝2，阴影部分的面积S 1＝2×1－12×π×12＝2－π2，故所求概率P ＝2－π22＝1－π4.6.14[解析] 根据题意，正方形阴影区域的边长为1，面积为1，大正方形的边长为2，面积为4，故芝麻落在阴影区域内的概率为14. 7．C [解析] 设直线AC 与圆弧DE 的交点为M ，则ME 的长为π6，又DE 的长为π2，则所求概率为π6π2＝13. 8．B [解析] 设扇形的半径为2R ，则扇形的面积S 0＝12×2π3×(2R)2＝4π3R 2，阴影部分的面积S 1＝4π3R 2－12πR 2＝5π6R 2，故所求概率P ＝S 1S 0＝5π6R 24π3R 2＝58. 9．B [解析] 由椭圆焦点在x 轴上，可知a>b ，由离心率小于32，即e<32，可得b>12a ，试验的全部结果对应的区域如图中矩形ABCD 所示，满足条件的事件对应的区域如图中阴影部分所示，故所求概率P ＝12×（1＋3）×2－12×1×122×4＝1532.10．B [解析] 如图所示，原正六边形为ABCDEF ，最小的正六边形为A 1B 1C 1D 1E 1F 1.设AB ＝a ，由已知得，∠AOB ＝60°，则∠AOM ＝12∠AOB ＝30°，则OM ＝OA·cos ∠AOM＝a·cos 30°＝3a 2，即中间的正六边形的边长等于3a 2.同理，最小的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长等于32OM ＝32×3a 2＝3a 4，所以种子落在最小的正六边形内的概率P ＝S 正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1S 正六边形ABCDEF ＝12×3a 4·3a 4·32×612·a·a·32×6＝916. 11.25 [解析] 由题意需满足|a －1|2≤2，得－1≤a ≤3，故所求概率P ＝3－（－1）5－（－5）＝25. 12.23[解析] 由函数f(x)＝log 2(1－x 2)有意义，得1－x 2>0，解得－1<x<1，由几何概型的概率计算公式可得所求概率P ＝1－（－1）1－（－2）＝23. 13.12 [解析] 区域M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎩⎪⎨⎪⎧0<x<2，0<y<4为图中矩形OABC 的内部，区域N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y<4，y>x ，x>0为图中阴影区域(不包括边界)，由图可知S 矩形＝2×4＝8，S 阴影＝12×2×4＝4，故所求概率P＝12.14．解：(1)由题意，区域⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，－1≤y ≤1为图中矩形ABCD 及其内部． 由图可知，所求概率为π×122×4＝π8. (2)试验的全部结果对应的区域为图中矩形ABCD 及其内部，由以(x ，y)为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22，得|x ＋y|2≤22，即|x ＋y|≤1，满足条件的事件对应的区域如图中阴影部分(包括边界)所示．故以(x ，y)为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率为2×22×4＝12. 15．解： (1)甲、乙到达港口的时间有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共9个基本事件，其中甲、乙在同一天到达该港口的有(1，1)，(3，3)，共2个基本事件，故甲、乙在同一天到达该港口的概率P ＝29.(2)设甲、乙到达该港口的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤60，0≤y ≤60，试验的全部结果对应的区域为图中正方形OABC 及其内部，若后到的船必须要等待，则满足x －y ≤20或y－x ≤20，对应的区域如图中阴影部分(包括边界)所示．S 阴影＝60×60－2×12×40×40＝2000，S 正方形＝60×60＝3600，故所求概率P ＝20003600＝59. 16．解：(1)茎叶图如图所示．从茎叶图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异性较小，则选派乙同学参加比赛较好．(2)设事件A 为甲的成绩比12.8秒差，事件B 为乙的成绩比12.8秒差，则所求概率P ＝1－P(A)·P(B)＝1－410×510＝45.(3)设甲同学的成绩为x 秒，乙同学的成绩为y 秒，则试验的全部结果对应的区域为图中正方形ABCD 及其内部，甲、乙成成绩之差的绝对值小于0.8，即|x －y|<0.8，则－0.8＋x<y<0.8＋x ，对应的区域如图中阴影部分所示，其面积为4×4－3.2×3.2＝5.76，5.76所以所求概率P＝16＝0.36.。

课时跟踪检测 (五十三) 几何概型 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在区间上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( ) A.23 B.14 C.13D.12解析：选A 因为|x |≤1，所以－1≤x ≤1，所以所求的概率为1－－2－－＝23. 2．(2017·广州市五校联考)四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8D ．1－π8解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4. 3．已知正棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC ＜12V S ­ABC的概率是( )A.34B.78C.12D.14解析：选B 由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足V P ­ABC＜12V S ­ABC ，故使得V P ­ABC ＜12V S ­ABC 的概率：P ＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.4．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈，若从区间内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．解析：令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－－5－－＝310＝0.3.答案：0.35．(2016·河南省六市第一次联考)欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为________．解析：由题意得，所求概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122π＝14π. 答案：14π二保高考，全练题型做到高考达标1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选 A 由题意及题图可知，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝13，P (D )＝13，故P (A )最大，应选A.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选C 根据题意求出矩形的面积为32时线段AC 或线段BC 的长，然后求出概率． 设AC ＝x ，则CB ＝12－x ， 所以x (12－x )＝32， 解得x ＝4或x ＝8. 所以P ＝4＋412＝23.3．(2017·贵阳市监测考试)在上随机取一个实数m ，能使函数f (x )＝x 3＋mx 2＋3x 在R 上单调递增的概率为( )A.14 B.38 C.58D.34解析：选D 由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋3，要使函数f (x )在R 上单调递增，则3x 2＋2mx ＋3≥0在R 上恒成立，即Δ＝4m 2－36≤0，解得－3≤m ≤3，所以所求概率为3－－4－－＝34，故选D. 4．已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R)下方的概率为( )A.12B.13C.23D.34解析：选A 由题设知，区域D 是以原点为中心的正方形，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，所求概率为12.5．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈的概率是( ) A.12 B.34 C.38D.58解析：选 B 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，3π4，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈，得22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故要求的概率为π2－0π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝34.6．已知集合A ＝{}y |y ＝x 2＋2x ，－2≤x ≤2，B ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是________．解析：A ＝{y |y ＝x 2＋2x ，－2≤x ≤2}＝{y |－1≤y ≤8}．B ＝{}x |x 2＋2x －3≤0＝{}x |－3≤x ≤1.则所求的概率为1－－8－－＝49.答案：497．如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝sin x 及直线x ＝a (a ∈(0，π])与x 轴围成，向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a ＝________.解析：根据题意， 阴影部分的面积为⎠⎛0asin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪a0＝1－cos a ，又矩形的面积为a·4a ＝4，则由几何概型的概率公式可得1－cos a 4＝12， 即cos a ＝－1，又a∈(0，π]，所以a ＝π. 答案：π8．如图，正四棱锥S­ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R ，则所求的概率为P ＝V 锥V 球＝13×12×2R×2R·R 43πR 3＝12π. 答案：12π9．已知正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M. (1)求四棱锥M­ABCD 的体积小于16的概率；(2)求M 落在三棱柱ABC­A 1B 1C 1内的概率．解：(1)正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，设M­ABCD 的高为h ，令13×S 四边形ABCD ×h＝16，∵S 四边形ABCD ＝1，∴h ＝12.若体积小于16，则h ＜12，即点M 在正方体的下半部分，∴P ＝12V 正方体V 正方体＝12.(2)∵V 三棱柱＝12×12×1＝12，∴所求概率P 1＝V 三棱柱V 正方体＝12.10．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值．(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为n n ＋2＝12，得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a ，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝812＝23.②由①可知，(a －b)2≤4，故x 2＋y 2＞4，(x ，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{}，，0≤y≤2，x ，y ∈R ，由几何概型得概率为P ＝22－14π·2222＝1－π4. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·重庆适应性测试)在区间上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为( )A.118 B.932C.2332 D.1718解析：选D 依题意，记从区间上取出的两个实数为x ，y ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤y ≤4表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤y ≤4，x ＋y ＞3表示的平面区域的面积为(4－1)2－12×12＝172，因此所求的概率为1729＝1718，选D.2．已知关于x 的二次函数f (x )＝b 2x 2－(a ＋1)x ＋1.(1)若a ，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y ＝f (x )恰有一个零点的概率．(2)若a ，b ∈，求满足y ＝f (x )有零点的概率．解：(1)设(a ，b )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A 表示事件“y ＝f (x )恰有一个零点”， 即Δ＝2－4b 2＝0， 则a ＋1＝2b .则A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个， 所以P (A )＝336＝112.即事件“y ＝f (x )恰有一个零点”的概率为112.(2)用B 表示事件“y ＝f (x )有零点”，即a ＋1≥2b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6,1≤b ≤6}， 构成事件B 的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6,1≤b ≤6，a －2b ＋1≥0}， 如图所示：所以所求的概率为P (B )＝12×5×525×5＝14.即事件“y ＝f (x )有零点”的概率为14.。

课时跟踪检测(五十一)[高考基础题型得分练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案：A解析：由题意知，a 2＝1m，b 2＝1，且a ＝2b ，∴1m ＝4，∴m ＝14. 2．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或7 答案：C解析：因为实数4，m,9构成一个等比数列， 所以可得m 2＝36， 解得m ＝6或m ＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即x 2m ＋y 2＝1的方程为x 26＋y 2＝1，所以a 2＝6，b 2＝1，则c 2＝a 2－b 2＝5， 所以离心率e ＝ca ＝56＝306. 当曲线是双曲线时，可求得离心率为7.3．[2017·河北邯郸一模]椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案：A解析：设线段PF 2的中点为D ， 则|OD |＝12|PF 1|且OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，∴PF 1⊥x 轴．∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－32＝732. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B.332 C.94 D.154答案：B解析：设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知，|AF 2|为椭圆通径的一半，即|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值， 只需F 1P →在F 2A →上的投影值最大， 易知此时点P 为椭圆短轴的上顶点， 所以F 1P →·F 2A →＝32×|F 1P →|cos θ≤332.故选B.5．[2017·陕西西安质量检测]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案：C解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1，故选C.6．[2017·甘肃兰州诊断]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝( )A.22B.32C.23D.33答案：A解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a )， 由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴ab a 2＋b 2＝63c ， ∵b 2＝a 2－c 2， ∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22. 7．[2017·江西师大附中模拟]椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32 B.233 C.932D.2327答案：B解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，∴b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B.8．[2017·山东青岛模拟]设椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．答案：x 216＋y 212＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴m 2－n 2＝4，①e ＝12＝2m，∴m ＝4， 代入①得，n 2＝12， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.9．[2017·湖南长沙一模]椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案：3－1解析：依题意得∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，设|MF 1|＝m ，则有|MF 2|＝3m ，|F 1F 2|＝2m ， 该椭圆的离心率是e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝3－1.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2,0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解：(1)由已知可得，c a ＝63，c ＝2， 所以a ＝ 6.又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m， 直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2， 也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →， 即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m ，解得m ＝±1.此时，S 四边形OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF ||y 1－y 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·广东汕头一模]已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个答案：C解析：当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当点P 为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2.[2017·河北唐山模拟]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.3－12C.32D.3－1答案：D解析：解法一：设A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c －3＝－1，3×m －c 2＋n 2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c ，代入椭圆C 中，有c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)， ∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0， ∴e 2＝4±23， ∵0<e <1，∴e ＝3－1.解法二：设F ′是椭圆的右焦点，连接AF ，AF ′.由已知得△AFF ′是直角三角形，其中∠A ＝90°，∠AFF ′＝30°， ∵|FF ′|＝2c ，∴|AF |＝3c ，|AF ′|＝c ， ∴e ＝2c 2a ＝|FF ′||AF |＋|AF ′|＝2c c ＋3c＝3－1，故选D.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案：3解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.4．[2017·河北保定一模]与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．答案：x 225＋y 216＝1解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )， 则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.5．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4， 解得a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝k 2＋3＋4k2，又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k2，∴△AF 2B 的面积为12|AB |·r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得17k 4＋k 2－18＝0，解得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．[2016·浙江卷]如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得 1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1, 所以a > 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a得，所求离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 .。

课时跟踪检测 (五十一) 随机事件的概率一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A.56 B.23 C.12D.13解析：选A 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56. 2．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：选D 红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．3．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，因为B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学解析：由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：0.35．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ∪B 发生的概率是0.64，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的3倍，则事件A 发生的概率为________．解析：设P (A )＝x ，P (B )＝3x ， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝x ＋3x ＝0.64. ∴P (A )＝x ＝0.16. 答案：0.16二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为( )A ．恰有1个白球和全是白球；B ．至少有1个白球和全是黑球；C ．至少有1个白球和至少有2个白球；D ．至少有1个白球和至少有1个黑球．解析：选A 由题意可知，事件C 、D 均不是互斥事件；A 、B 为互斥事件，但B 又是对立事件，满足题意只有A ，故选A.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.向上的点数，设事件A 为掷出向上为偶数点，事件B 为掷出向上为3点，则P (A ∪B )＝( )A.13B.23C.12D.56解析：选B 事件A 为掷出向上为偶数点，所以P (A )＝12.事件B 为掷出向上为3点，所以P (B )＝16，又事件A ，B 是互斥事件，事件(A ∪B )为事件A ，B 有一个发生的事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝23.5．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．解析：“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，∴所求概率为1－P (A )＝0.35. 答案：0.357．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球； ②至少有1个红球和全是白球； ③至少有1个红球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________(填序号)．解析：至少有1个红球和全是白球不同时发生，且一定有一个发生，所以②中两事件是对立事件．答案：②8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 1415(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率． 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)求x ，y 的值．(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率． 解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.(2)记A ：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟．A 1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟． A 2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟．将频率视为概率，可得P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝20100＋10100＝0.3.所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，则实数a 的取值范围为____________．解析：因为随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<P A ，0<P B，P A ＋P B ，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<3a －4<1，2a －2≤1.解得43<a ≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤43，322．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12，由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元， 所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.。

第九章⎪⎪⎪ 概率第一节随机事件的概率1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．3．事件的关系与运算2 4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．[小题体验]1．(教材习题改编)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为910＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.答案：0.9 0.22．(教材习题改编)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是14，取到方块的概率是14，则取到黑色牌的概率是________．答案：123．(教材习题改编)给出下列三个命题，其中正确命题有________个． ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：01．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数． 2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[小题纠偏]1．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．2．在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25解析：选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.考点一 随机事件的关系基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶解析：选D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.43．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D 互为对立事件．答案：A与B，A与C，B与C，B与D B与D[谨记通法]判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机事件的频率与概率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为( )A．49 B．0.5C．0.51 D．0.49解析：选 C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51 100＝0.51.2．(2015·北京高考)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．[谨记通法]1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[提醒] 概率的定义是求一个事件概率的基本方法．考点三 互斥事件与对立事件的概率重点保分型考点——师生共研[典例引领]某战士射击一次，问：6(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？解：(1)设中靶为事件A，则不中靶为A.则由对立事件的概率公式可得，P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.即不中靶的概率为0.05.(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.记至少命中8环为事件E，则P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.故至少命中8环的概率为0.72.记至少命中9环为事件F，则不够9环为F，则P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.则P(F)＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.即不够9环的概率为0.52.[由题悟法]求复杂互斥事件概率的2种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．[即时应用](2017·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ， 所以P (G )＝P (A ∪B ∪C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F ) ＝P (D )＋P (E )＋P (F ) ＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ， 则其对立事件为事件G ， 所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A.56 B.23 C.12D.13解析：选A 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56.2．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：选D 红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．3．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点8 数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13 B.12 C.23D.56解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，因为B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm 的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为________．解析：由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3. 答案：0.35．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ∪B 发生的概率是0.64，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的3倍，则事件A 发生的概率为________．解析：设P (A )＝x ，P (B )＝3x ， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝x ＋3x ＝0.64. ∴P (A )＝x ＝0.16. 答案：0.16二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为( )A ．恰有1个白球和全是白球；B ．至少有1个白球和全是黑球；C ．至少有1个白球和至少有2个白球；D ．至少有1个白球和至少有1个黑球．解析：选A 由题意可知，事件C 、D 均不是互斥事件；A 、B 为互斥事件，但B 又是对立事件，满足题意只有A ，故选A.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.4．抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为掷出向上为偶数点，事件B 为掷出向上为3点，则P (A ∪B )＝( )A.13B.23C.12D.56解析：选B 事件A 为掷出向上为偶数点，所以P (A )＝12.事件B 为掷出向上为3点，所以P (B )＝16，又事件A ，B 是互斥事件，事件(A ∪B )为事件A ，B 有一个发生的事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝23.5．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，10 事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．解析：“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，∴所求概率为1－P (A )＝0.35. 答案：0.357．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球； ②至少有1个红球和全是白球； ③至少有1个红球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________(填序号)．解析：至少有1个红球和全是白球不同时发生，且一定有一个发生，所以②中两事件是对立事件．答案：②8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 14159．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率． 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值．(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率． 解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.(2)记A ：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟．A 1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟． A 2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟．将频率视为概率，可得P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝20100＋10100＝0.3.所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，则实数a 的取值范围为____________．解析：因为随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，12 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<P A ，0<P B，P A ＋P B ，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<3a －4<1，2a －2≤1.解得43<a ≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤43，322．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12，由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元， 所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.第二节古_典_概_型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)(2)概率计算公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[小题体验]1．(教材习题改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.答案：252．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种．∴所求概率P ＝210＝15.答案：151．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的． 2．概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.[小题纠偏]1．(2015·江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：设4只球分别为白、红、黄1、黄2，从中一次随机摸出2只球，所有基本事件为(白，红)、(白，黄1)、(白，黄2)、(红，黄1)、(红，黄2)、(黄1，黄2)，共6个，颜色不同的有5个，所以2只球颜色不同的概率为56.答案：5614 2．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A 为“抽到红桃K ”，事件B 为“抽到黑桃”，则P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．解析：∵P (A )＝152，P (B )＝1352，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726.答案：726考点一 古典概型的简单问题基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2016·全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815 B.18 C.115D.130解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.2.(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825D.925解析：选B 设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P ＝410＝25.3．(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.[谨记通法]1．求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；(2)分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； (3)利用公式P (A )＝m n，求出事件A 的概率． 2．基本事件个数的确定方法考点二 古典概型的交汇命题题点多变型考点——多角探明16[锁定考向]古典概型在高考中常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．常见的命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与统计相结合．[题点全练]角度一：古典概型与平面向量相结合1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为________．解析：由题意可知m ＝(a ，b )所有基本事件有4×3＝12种情况，m ⊥n ，即m ·n ＝0. 所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况，所以所求概率为16.答案：16角度二：古典概型与直线、圆相结合2．(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b 2≤ 2，即a ≤b ，则当a ＝1时，b ＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a ＝2时，b ＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a ＝3时，有4种，a ＝4时，有3种，a ＝5时，有2种，a ＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.答案：712角度三：古典概型与统计相结合3．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110.[通法在握]解决古典概型交汇命题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[演练冲关]1．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >32的概率是________．解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a >b 时，e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况； 当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况．总共有6种情况，则概率是636＝16.同理当a <b 时，e >32的概率也为16.综上可知e >32的概率为13.18 答案：132．(2017·河北省“五校联盟”质量检测)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3,4.4，4.5，4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为 4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·山西省第二次四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A ∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为39＝13.2．(2016·河北省三市第二次联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( )A.34 B.710C.45D.35解析：选D 设2个红球分别为a ，b,3个白球分别为A ，B ，C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.3．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.712解析：选A 设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则发生的概率为P ＝412＝13，故选A.4．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则(a ，b )的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝212＝16.答案：165．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．解析：因为(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，所以要使其为实数，须n 2＝m 2，即m ＝n .由已知得，事件的总数为36，m ＝n ，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，。

课时达标 第57讲[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( A ) A ．180 B ．90 C ．45D ．360解析：⎝⎛⎭⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k ·⎝⎛⎭⎫2x 2k ＝2k C k 10x 5－52k ，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180.2．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( B )A ．16B ．10C ．4D ．2解析：⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ·⎝⎛⎭⎫－1x x k ＝C k 2n(－1)k x 4n －5k 2，令4n －5k 2＝0，得k ＝4n5，依据选项知n 可取10. 3.⎝⎛⎭⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎠⎛a －2x 2d x 的值为( B ) A ．3 B ．73C ．3或73D ．3或－103解析：该二项展开式的第二项的系数为C 1636a 5，由C 1636a 5＝－3，解得a ＝－1，因此⎠⎛a －2x 2d x ＝⎠⎛－2－1x 2d x ＝x33－1－2＝－13＋83＝73.,4.(2017·山西四校二联)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( D )A ．－5B ．5,C ．90D ．180解析：∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 810·22＝180，故选D ．,5.若(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( D ),解析：(3y ＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r 2y 5－r 3，则T 3＝C 25xy ＝10，即xy ＝1，由题意知x ≥0，故D 选项的图象符合．,6.在(2x ＋x lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，则x ＝( C ),A ．1B ．110,C ．1或110D ．－1,解析：二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T 5＝C 48(2x )4(x lg x )4＝1 120，∴x4(1＋lg x )＝1，两边取对数可知lg 2x ＋lg x ＝0，得lg x ＝0或lg x ＝－1，故x ＝1或x ＝110.,二、填空题7.已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为2.解析：∵二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n展开式的二项式系数之和为32，∴2n＝32，∴n ＝5，∵T r ＋1＝C r 5(x )5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝C r 5a r x 52－56r ，∴52－56r ＝0，∴r ＝3.∴常数项为C 35a 3＝80，∴a ＝2. 8．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为2. 解析：将⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6展开，得到T r ＋1＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，由C 36a 3b 3＝20，得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2.9．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于32.解析：对于T r ＋1＝C r n (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫23x r ＝C r n 2r x n －r 2－r 3，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n ＝25＝32.三、解答题10．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解析：(1)依题意知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－123x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r n x n －2r3， 又第6项为常数项，则当r ＝5时，n －2r3＝0，即n －103＝0，解得n ＝10. (2)由(1)得T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 10x 10－2r 3，令10－2r 3＝2，解得r ＝2， 故含x 2的项的系数为⎝⎛⎭⎫－122C 210＝454. (3)若T r ＋1为有理项，则有10－2r3∈Z ，且0≤r ≤10，r ∈Z .故r ＝2,5,8.则展开式中的有理项分别为 C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2＝454x 2， C 510⎝⎛⎭⎫－125＝－638， C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2＝45256x －2. 11．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.12．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n，(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解析：(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∴9.4≤k ≤10.4，∵k ∈N ，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10.。

,第1讲 随机事件的概率, [学生用书P173])1．事件的分类2．概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．3．事件的关系与运算4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1． (2)必然事件的概率：P (A )＝1． (3)不可能事件的概率：P (A )＝0． (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件． P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．1．辨明两个易误点(1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数． (2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．集合方法判断互斥事件与对立事件(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．(2)事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．1.教材习题改编 总数为10万张的彩票，中奖率是11 000，下列说法中正确的是( )A ．买1张一定不中奖B ．买1 000张一定有一张中奖C ．买2 000张一定中奖D ．买2 000张不一定中奖D [解析] 由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2 000张也可能不中奖．2．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件B [解析] 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．3.教材习题改编 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件 [答案] C4．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④A [解析] 由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，满足题意只有①，故选A.5.教材习题改编 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A ．56B ．23C ．12D ．13A [解析] 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56.随机事件的关系[学生用书P174][典例引领](1)从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③(2)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡【解析】 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．【答案】 (1)C (2)A事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．[通关练习]1．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次， 事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．2．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件D[解析] A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C ＝Ω，故事件B，C是对立事件．随机事件的频率与概率[学生用书P175][典例引领](2016·高考全国卷甲)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．【解】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．互斥事件、对立事件的概率(高频考点)[学生用书P176]随机事件的概率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查，以选择题、填空题为主，属于低档题目．高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度： (1)根据互斥事件求概率；(2)利用对立事件求概率．[典例引领]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】 (1)P (A )＝11 000， P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . 因为A 、B 、C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[题点通关]角度一 根据互斥事件求概率1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1C [解析] 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.角度二 利用对立事件求概率2．某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能正确回答出这3个问题，即可晋级下一轮．假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为________．[解析] 记“答对0个问题”为事件A ，“答对1个问题”为事件B ，“答对2个问题”为事件C ，这3个事件彼此互斥，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D ，则“不能晋级下一轮”为事件D 的对立事件D －，显然P (D －)＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P (D )＝1－P (D －)＝1－0.6＝0.4.[答案] 0.4, [学生用书P347(独立成册)])1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥事件但不是对立事件D ．以上答案都不对C [解析] 由互斥事件和对立事件的概念可判断，应选C.2．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件B [解析] 因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B.3．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]克的概率为0.5，那么重量大于40克的概率为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.8D ．0.2 D [解析] 由互斥事件概率加法公式知， 重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2. 4．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A ．110B ．310C ．710D ．35C [解析] “取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A －)＝1－P (A )＝1－310＝710.5．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162，153，148，154，165，168，172，171，173，150， 151，152，160，165，164，179，149，158，159，175. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A ．25B ．12C ．23D ．13A [解析] 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为25.6．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至多2人排队的概率为( ) A ．0.3 B ．0.43 C ．0.57 D ．0.27 C [解析] 记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A 、B 、C 彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E ，则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.7．某城市2016年的空气质量状况如表所示：其中污染指数T 100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2016年空气质量达到良或优的概率为________．[解析] 由题意可知2016年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.[答案] 358．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．[解析] 摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15.[答案] 159．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________．[解析] 断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.[答案] 0.97 0.0310．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．[解析] 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人)．[答案] 6 91211．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解] (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知可得Y ＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310.12．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[解析] 由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p ＝610＝35.[答案] 3513．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解] (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1 .同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.14．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解] (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.。

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课时跟踪检测(五十三)［高考基础题型得分练］1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝错误!x0，则x0＝（）A．4 B．2C．1 D．8答案:C解析：由y2＝x,得2p＝1，即p＝错误!，因此焦点F错误!,准线方程为l：x＝－错误!。

设点A到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF｜，从而x0＋错误!＝错误!x0,解得x＝1，故选C.2．［2017·山西运城期末]已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点,若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为（）A．x2＝错误!y B．x2＝6yC．x2＝－3y D．x2＝3y答案：D解析:设点M(x1,y1），N(x2，y2)．由错误!消去y，得x2－2ax＋2a＝0,所以错误!＝错误!＝3，即a＝3,因此所求的抛物线方程是x2＝3y。

3．[2017·吉林长春一模］过抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则｜AF｜|BF｜＝( )A.错误!B.错误! C。

错误!D。

错误!答案:A解析：记抛物线y2＝2px的准线为l′,如图,作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1,B1，C，则有cos∠ABB1＝错误!＝错误!＝错误!，即cos 60°＝错误!＝错误!，由此得错误!＝错误!.4．已知抛物线y2＝2px(p＞0）的焦点F与双曲线错误!－错误!＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且｜AK｜＝错误!｜AF｜，则点A的横坐标为（）A．2错误!B．3C．2错误!D．4答案：B解析：记抛物线的焦点为错误!，准线为x＝－错误!。