7.2.1直线的一般方程(湘教版)

直线的一般式方程直线一般式方程适用于所有的二维空间直线。

它的基本形式是Ax+By+C=0 （A，B不全为零）。

因为这样的特点特别适合在计算机领域直线相关计算中用来描述直线。

方程表达式直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。

（A，B不全为零即A^2+B^2≠0）该直线的斜率为(当B=0时没有斜率)平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。

结论两直线平行时：普遍适用：，方便记忆运用：(A2B2C2≠ 0）两直线垂直时：两直线重合时：两直线相交时：两直线一般式垂直公式的证明：设直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0（必要性）∵l1⊥l2∴k1×k2=-1∵k1=-A1/B1，k2=-A2/B2 ∴(-A1/B1)(A2/B2)=-1 ∴（B1B2）/(A1A2)=-1∴B1B2=-A1A2∴A1A2+B1B2=0（充分性）∵A1A2+B1B2=0∴B1B2=-A1A2∴（B1B2）(1/A1A2)=-1∴(A1/B1)(A2/B2)=-1∴(-A1/B1)(-A2/B2)=-1∵k1=-A1/B1, k2=-A2/B2∴k1×k2=-1∴l1⊥l2方程求解一般式方程在计算机领域的重要性常用的直线方程有一般式、点斜式、截距式、斜截式、两点式等等。

除了一般式方程，它们要么不能支持所有情况下的直线（比如跟坐标轴垂直或者平行），要么不能支持所有情况下的点（比如x坐标相等，或者y坐标相等）。

所以一般式方程在用计算机处理二维图形数据时特别有用。

已知直线上两点求直线的一般式方程已知直线上的两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)， P1 P2两点不重合。

对于AX+BY+C=0：当x1=x2时，直线方程为x-x1=0当y1=y2时，直线方程为y-y1=0当x1≠x2，y1≠y2时，直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) 故直线方程为y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)即x2y-x1y-x2y1+x1y1=(y2-y1)x-x1(y2-y1)即(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+(x2-x1)y1=0即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。

高中数学湘教版必修3第7章《721直线的一般方》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案高中数学湘教版必修3第7章《721直线的一般方程》优质课公开课教案第一节课时一、教学目标1. 知识与技能：掌握一般式方程的基本概念和一般式方程与斜率之间的关系。

能够根据直线的斜率和截距写出直线的一般式方程。

2. 过程与方法：培养学生分析问题、解决问题的能力。

通过实例引导学生理解和掌握一般式方程的概念和运用。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和探究精神，提高解决问题的能力。

培养学生的合作意识和交流能力，培养学生的数学思维。

二、教学重难点1. 重点：掌握一般式方程的概念和书写方式。

学习如何根据已知条件将直线方程写成一般式方程。

2. 难点：学生对一般式方程的理解和运用。

三、教学准备教辅资料、黑板、彩色白板笔、多媒体设备等。

四、教学过程1. 导入（5分钟）通过一个简单的问题导入，激发学生的思维：我们现在要讨论的问题是：如何用一个方程来表示任意一条直线？2. 学习新知（25分钟）引导学生理解一般式方程的概念和表示方式。

（1）讲解一般式方程的定义和表达形式。

（2）给出几个直线方程的例子，引导学生将其转化为一般式方程的形式。

（3）解释斜率和截距的概念，说明它们与一般式方程的关系。

（4）再给学生几个实例，让他们将直线方程转化为一般式方程，加深理解。

3. 拓展应用（25分钟）（1）通过一个综合应用的例题，让学生运用所学知识解答问题，加深对一般式方程的理解。

（2）设计一些练习题，让学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。

4. 温故知新（10分钟）通过问题的回答，总结本节课学的内容，以便回顾巩固。

五、课堂小结（5分钟）本节课我们主要学习了一般式方程的基本概念和运用，学会了将直线方程转化为一般式方程。

同时，通过应用题加强了对所学知识的理解和应用。

六、课后作业1. 完成课堂练习题。

2. 预习下节课内容。

七、板书设计高中数学湘教版必修3第7章《721直线的一般方程》优质课公开课一般式方程的概念和运用本节课我们要学习一般式方程的基本概念和运用方法。

直线的一般方程【教材分析】教材的地位和作用在这之前学生已经学习了直线方程的四种特殊形式，初步认识到这四种形式使用的限制性，这为直线的一般方程的提出提供了必要条件，同时也反映了直线一般方程在刻画直线时所起到的一般性意义。

从另一个角度讲，本节课的学习是对初中二元一次方程知识的系统性的研究，通过构建平面上的直线与的二元一次方程一一对应关系，意识到方程与图形的关系，这也为学习圆锥曲线方程等知识打基础。

具有承上启下的作用。

【教学目标】掌握直线方程一般式不同时为0的特征，特别表示斜率不存在与斜率为0时与A ．B 间的对应关系理解直线方程五种形式之间的内在联系及所能代表直线的区别，从整体上把握直线方程 会从方程的角度研究直线，探究直线和二元一次方程关系，形成代数与几何相结合的数学思想方法【教学重点】掌握直线的一般式方程，能从一般式中得到直线的相关性质；充分理解直线一般式方程的优越性。

【教学难点】直线一般式方程的引入【学情分析】学生已经学习了直线方程的四种形式，对各种形式有了一个初步的认识，但在解题能力特别是抽象思维能力方面比较欠缺，本节课的学习需要学生有较强的探究能力与分类讨论的思想意识，学生学起来有一点困难，需要教师的有力引导。

教法与学法教法：本节课以问题链为思考索引，对提出的问题进行分析、讨论、归纳，在整个活动中体现以y x ,0C A =++By x B A ,()教师为主导，以学生为主体的教学理念，培养学生观察、分析、归纳、应用的能力学法：通过本节课的学习，让学生感受到自主探究学习的学习方式对于掌握知识点，形成系统知识的重要性，逐步掌握自主获得知识的学习方法。

【教学过程】创设问题情境问题1：已知直线上的两点（为常数，求直线的方程）学生回答：两点式： 点斜式： 问题2：以上两种形式形式上能统一吗？有没有限制范围？学生回答：，限制范围为，即直线不包括在内问题3：直线是否符合方程，说明什么问题？学生回答：符合，说明方程包含了斜率不存在的直线，更具普遍性，弥补了其它形式的缺陷。

课题名称：数学选择性必修第1册第2章2.2.3直线的一般式方程教学方法：“一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式.（一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习）教学目标：1.进一步巩固直线方程的几种表示形式；2.了解直线的一般方程及其应用；3.体会数形结合，分类讨论, 特殊到一般等数学思想.教学重点、难点：教学重点： 1.直线的一般方程；教学难点：会根据题目所给条件求直线的两点式方程.教学过程【教学过程与设计】整个教学过程是由问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知课堂实练巩固提高变式训练提炼方法小结反思【教学程序与设计意图】（一）知识回顾——启迪思维问题一：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式等基本形式，这些方程的外在形式共同点?【设计意图】复习引入，既回顾所学的知识，又为新的知识埋下伏笔。

抓住了学生的注意力，把学生的思维引到直线的方程上来，进入第二环节.（二）深入探究——获得新知新知讲解：问题2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不能同时为0）一定能表示一条直线吗？关于x,y的二元一次方程都表示一条直线，平面内所有的直线都可以用二元一次方程来表示，我们也把形如Ax+By+C=0（A,B不能同时为0）的方程叫做直线的一般式方程，简称一般式.【设计意图】这一环节首先让学生自主思考，然后小组合作交流探究，学生根据已有的知识探究新的知识获得成功的体验感的同时，又培养学生严谨的求学态度。

（三）课堂实练——巩固提高I．直接应用内化新知1.直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（）A. A·B>0,A·C>0B. A·B>0,A·C<0C. A·B<0,A·C>0D. A·B<0,A·C<02.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是( )A.2y-x-4=0B.2x-y-1=0C.x+y-5=0D.2x+y-7=0【设计意图】在这里，这题比较简单，目的是先让学生熟练掌握一般式方程的理解.II．灵活应用提升能力例1：已知直线l的方程为3x+4y−12=0.(1)求直线l的斜率;(2)求直线l与两条坐标轴所围成的三角形的面积.(3)求过点（3,2）且倾斜角为直线l的倾斜角的一半的直线l’的一般式方程.【设计意图】在这个环节，进一步加强对一般式的理解，用一题多解的方式使学生不仅收获了数学知识和方法，还使学生的逻辑推理能力和解题能力得到一定的提升。

直线的方程－一般式●教学目标1. 明确直线方程一般式的形式特征;2. 会根据直线方程的一般式求斜率和截距;3. 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. ●教学重点直线方程的一般式 ●教学难点一般式的理解与应用 ●教学方法学导式 ●教具准备幻灯片、三角板 ● 教学过程1、.复习回顾直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式及适用范围。

2、提出问题请大家从上述四种形式的直线方程中，能否找到它们的共同点呢？都是关于x 、y 的二元一次方程。

由此得出直线与二元一次方程有着一定的关系。

3、解决问题:直线和二元一次方程的关系① 在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线 关于x ,y 的二元一次方程.在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在α≠90°时，它们都有斜率，方程可以写成下面的形式：y = kx + b当α=90°时，它的方程x = x 1的形式，由于是在坐标平面内讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数为0。

②在平面直角坐标系中,任何关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线.因为x 、y 的二元一次方程的一般形式是0=++C By Ax ,其中A 、B 不同时为0,当B ≠0时，方程可化为BCx B A y --=，这是直线的斜截式方程，它表示斜率为－A/B,在y 轴上的截距为－C/B 的直线。

当B ＝0时,由于A 、B 不同时为0，必有A ≠0，方程可化为ACx -=，它表示一条与y 轴平行或重合的直线。

在平面直角坐标系中，任何关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

直线方程的一般式: 0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0（A.2＋B 2≠0） 4、应用反思例1 已知直线经过点A (6,-4),斜率为34-,求直线的点斜式和一般式方程. 解:经过点A (6,-4)并且斜率等于34-的直线方程的点斜式是: )6(344--=+x y 化成一般式,得01234=-+y x .说明:例1 要求学生掌握直线方程的点斜式与一般式的互化.例2把直线l 的方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画图.解:将原方程移项,得2y ＝x ＋6 两边除以2,得斜截式y ＝x/2＋3因此,直线l 的斜率k ＝1/2，它在y 轴上的截距是3，在上面的方程中令y =0，可得x =－6，即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上述内容可得直线l 与x 轴、y 轴的交点为A （-6，0）、B （0，3），过点A 、B 作直线，就得直线l .（如右图）.说明:要掌握直线方程一般式与斜截式的互化,并求出直线的斜率与截距. 巩固训练 P 43 1、2、3.例3已知直线Ax + By + 12 = 0在x 、y 轴上的截距分别是－3和4，求A 、B 的值。

直线方程的一般式1 直线方程直线方程是代数学中的一类常见方程，用于表示直线的位置和形状，与圆、椭圆等等曲线的方程一样，直线的几何型也是经典几何学中的主要概念，它也用于代数学和几何学中的诸多领域。

直线方程的一般式表示为y=ax+b(a!=0)，其中a和b是两个实数系数，x和y为两个变量，即在坐标平面上的横坐标和纵坐标，它们可以代表直线上的任意一个点。

即：2 直线与坐标轴上的点直线上每一点都有一个唯一的坐标，一般形式上一条直线可以由两个不共线的两个点A(X1, Y1)和B(X2, Y2)表示，直线方程就是用两个点构成的直线表示方法。

又如，当上图中的直线与坐标轴交点相应的横坐标分别为-3和3，纵坐标为4和-4，即A(-3,4)，B(3,-4)，可以推出直线的斜率为1/-1：3 直线方程的斜率斜率是指一条直线与水平坐标轴的夹角，用其倒数或斜率系数表示，斜率系数可由以下公式推出：斜率k= (y2-y1)/(x2-x1)又如，上例中A(-3,4)，B(3,-4)，由上式可推出斜率系数k= (-4-4)/(3+3)= -1/1 = -1。

因此用直线的两个点的坐标配合斜率系数，可以推出原直线方程的一般式表示：y=ax+b4 直线方程的特殊形式当a=1时，直线方程的一般式可简化为y=x+b，又称斜率系数为1的直线方程；当a=0时，直线方程的一般式可以变为y=b，两侧没有变量，此直线方程又称斜率系数为0的变量表达式，这类方程表示的是一条垂直于X轴的直线；5 直线方程的求解由直线方程的一般式表示可知：a的解可以从斜率系数获得，b的解可以从坐标点求出。

求解流程：（1）根据坐标点及斜率系数算出斜率；（2）由斜率系数求a；（3）由一个点求出b；（4）将a和b代入直线方程的一般式即可。

6 直线方程的应用直线方程在日常生活当中具有重要应用，可以用来解决很多实际问题，比如图像图案的设计、统计曲线的拟合分析、科学计算等等。

此外，直线方程还可以用来求解一些变量之间的关系，可以运用曲线拟合的方法去求解两组数据之间的联系，这样就可以从中了解数据是否存在规律。