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棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形.
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形.
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样， 我们可以把多面体展成平面图形，利用 平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。
例1、已知棱长为 , 各面均为等边三角形的 a 四 面体S ABC(如下图), 求它的表面积 .
2
C. 4 3cm
8 3cm2 D.
4 . 一个直角三角形的直角边分别为12与5, 以较长的直角边为轴,旋转而成的圆锥的侧 面积为( C )
A.60 B.78 C. 65 D.156
5 .五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分 别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧 780 棱长是13cm,求它的侧面面积______.
32 3
1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 3.二个公式
小结
本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法： 将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面 图形求面积的方法求立体图形的表面积.
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
4 3 半径是R的球的体积： V R 3
推导方法：
思考
在初中,我们已经学习了正方体和长方体的 表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何 体的展开图与其表面积的关系吗?
正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体,它 们的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的 面积.
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？如 何计算它们的表面积？
分割
求近似和
化为准确和
2、球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S 2，S3 ...S n
O 则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
V 设“小锥体”的体积为：i 则球的体积为： V V1 V2 V3 ... Vn
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
RtB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
C1
C1
(2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得：R S 4R 2 3a 2
2
涂100个花盆需油漆: 0.1100 100 1000 (毫升)
答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.
1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ A ）
1 2 A. 2 1 2 C.
1 4 B. 4 1 4 D . 2
S (r r r l rl )
'2 2 '
S表面 S上底 S下底 S扇环
2r
O′
2r
r′
O
r
例2 如下图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁 长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每 平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多 少油漆( 取3.14,结果精确到1毫升) 10cm
15cm
7.5cm
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的 表面积 2 2
10cm
15 15 20 1.5 s 15 15 2 2 2 2
15cm
7.5cm
1000cm 0.1 m
2
第二步：求近似和
Si
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
1 1 1 1 V S1h1 S 2 h2 S3h3 ... S n hn 3 3 3 3
第三步：转化为球的表面积
学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣. 2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式. 难点 柱体锥体台体的表面积计算公式的应用.
2 6 . 已知圆锥的表面积为 am2 ,且它的侧面展开 3a 图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径____. 3
7 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么 这个圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为 180 ____度 8 . 已知圆锥表面积为 5 ,且侧面展开图形为 扇形,扇形的圆心角为90,则圆锥底面半径为 _____. 1
a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。 2 a2
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来 的几倍? 8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.
S
A
B
C
解: 先求△SBC的面积,过点S 作SD⊥BC, S A 交BC于点D.因为BC=a ,
3 a SD SB BD a a 2 2
2 2 2 2
B
D
C 所以
1 1 3 3 2 SSBC BC SD a a a 2 2 2 4
因此,四面体S-ABC的表面积
3 2 S 4 a 3a 2 4
按照计算多面体表面积的方法，你能 找出圆柱、圆锥 、 圆台的表面积的 求法吗？
圆柱的侧面展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r，母线为 l，那么圆柱 r 2，侧面积为 2rl 。因此圆柱的 的底面积为 表面积为
S 2r 2rl 2r (r l )
①
S 4πR
2
练习一：
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。
2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。
4
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。 3
1: 2 2
1: 4
例1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
2 . 已知圆台的上下底面的半径分别为2cm 和4cm,它的表面积为 38 cm2 ,则它的母线长 为( A ) A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
3 . 若一个棱台的上、下底分别是边长为 1cm和3cm的正方形,侧棱长为2cm,则棱台的 侧面积为( D ) A.
4 6cm
2
2
B.
8 6cm
2
O′
l
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
2r
S表面 S底 S侧
圆锥的侧面展开图是一个扇形： 如果圆柱的底面半径为 r，母线为 l ，那么 它的表面积为
S r rl r (r l )
2
S
l
S表面 S底 S扇
2r
O
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于 上、下两个底面和加上侧面的面积，即
hi
Si
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。
R
O
hi 的值就趋向于球的半径R Vi 1 Vi S i R 3 1 1 1 1 Si V Si R S2 R S3 R ... Sn R 3 3 3 3 1 1 R( S i S 2 S3 ... S n ) RS 3 3 Vi 4 3 ② 球的体积: V R 3 由①② 得:
