江苏省扬州中学2019-2020学年高一数学12月月考试题

江苏省扬州中学2023-2024学年高一年级12月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=ð（）A.3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B.{|2}x x < C.3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.{|2}x x 2.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a < B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对3.在平面直角坐标系中，角α和β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列关系式一定正确的是（）A.π2π2k αβ-=+（Z k ∈） B.π2π2k αβ+=+（Z k ∈）C.2ππk αβ-=+（Z k ∈） D.2ππk αβ+=+（Z k ∈）4.已知函数()41x f x a -=+（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，则12m n+的最小值为（）A.9B.24C.4D.65.已知α为锐角，且cos 63πα⎛+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2-B. C.D.26.已知函数()2212,22,2x x mx m m x f x x +⎧-++≤=⎨>⎩，当2x =时，()f x 取得最小值，则m 的取值范围为（）A.[]1,4- B.[]2,4 C.[]1,2- D.[]1,1-7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数322--=-x xy x x的图像大致是（）A. B. C. D.8.若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（）A.0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭C.,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D.2,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.若01,01a b c <<<<<，则下列说法中正确的是（）A.a bc c < B.log log c c a b<C .c c a b < D.log log a b c c<10.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A.sin2y x= B.sin y x= C.3πcos 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭11.已知0a >，0b >，且221a b +=，则（）A.a b +≤B.1222a b -<<C.221log log 2+≥-D.221a b ->-12.已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A.若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B.关于x 的方程*1()0()2n f x n N -=∈有24n +个不同的解C.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D.当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()2232(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.14.函数y =的定义域为____________.15.数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.16.设函数2log ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<<=⎨-<<⎩，方程()f x m =有四个不相等的实根(1,2,3,4)i x i =，则22222341x x x x +++的取值范围是___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知13|107x A x x -⎧⎫=->⎨⎬-⎩⎭，{}22440,0B x x x m m =-+-≤.（1）若m =3，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.18.化简或计算下列各式：（1）()12123170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()266661log 3log 2log 18log 4-+⋅.19.已知()()()sin 2cos 23cos tan 2f ππαααπαπα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）若()12f α=，且()0,απ∈，求α的值；（2）若133πf α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.20.已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元，设该公司一年内共生产这种手机x 万部并全部销售完，且每万部的销售收入为600万元，生产这种手机每年需另投入成本()R x 万元，且当040x <<.时，()()1010R x x x =+，当40x ≥时，()400006016550R x x x=+-.（1）写出年利润W x （万部）的函数解析式（年利润=年销售收入-年成本）（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？21.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数．（1）判断()f x 的单调性，并证明；（2）解关于x 的不等式()()22log (1)log (1)0f x f x ++->．22.对于函数2()ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）若方程()ln[(6)28]f x a x a =-+-恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12,[,1]x x b b ∈+时，满足()()12ln 2f x f x -≤，求实数a 的取值范围．江苏省扬州中学2023-2024学年高一年级12月考2023.12.16数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=ð（）A.3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B.{|2}x x < C.3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D.{|2}x x 【答案】D 【解析】【分析】根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.【详解】因为{}{242B x x x x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-ð又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以R A B ⋃=ð{|2}x x .故选：D【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.2.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a < B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】p ⌝是假命题，则p 为真命题，即2210ax x ++=有实数根，分类讨论0a =与0a ≠时的情况即可.【详解】当0a =时，即210x +=有实数根，解得12x =，故符合要求；当0a ≠时，即有440a ∆=-≥，解得1≤且0a ≠；综上所述，1a ≤.故选：B.3.在平面直角坐标系中，角α和β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列关系式一定正确的是（）A.π2π2k αβ-=+（Z k ∈） B.π2π2k αβ+=+（Z k ∈）C.2ππk αβ-=+（Z k ∈）D.2ππk αβ+=+（Z k ∈）【答案】D 【解析】【分析】根据角α与角β的终边关于y 轴对称，即可确定α与β的关系．【详解】πα- 是与α关于y 轴对称的一个角，β∴与πα-的终边相同，即()2ππk βα=+-（Z k ∈），()2ππ2ππk k αβαα∴+=++-=+，（Z k ∈）.故选：D ．4.已知函数()41x f x a -=+（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，则12m n+的最小值为（）A.9B.24C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】由题意可得22m n +=，利用基本不等式求最值即可.【详解】因为函数4()1(0,1)x f x a a a -=+>≠图象恒过定点(4,2)又点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，所以424m n +=，即22m n +=所以12112(2)(2m n m n m n +=++142(4m nn m=++12(44+=，当且仅当4m n n m=即21n m ==时取等号；所以12m n+的最小值为4．故选：C ．5.已知α为锐角，且cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.2-B.C.D.2【答案】D 【解析】【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式得ππππsinsin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππcossin 363αα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以πsin π3tan π32cos 3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D6.已知函数()2212,22,2x x mx m m x f x x +⎧-++≤=⎨>⎩，当2x =时，()f x 取得最小值，则m 的取值范围为（）A.[]1,4- B.[]2,4 C.[]1,2- D.[]1,1-【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解．【详解】当2x >时，()12x f x +=单调递增，则()8f x >；当2x ≤时，()222f x x mx m m =-++开口向上，且对称轴为x m =，又当2x =时，()f x 取得最小值()2244f m m m=-++，所以22448m m m m ≥⎧⎨-++≤⎩，解得24m ≤≤，所以m 的取值范围为[]2,4．故选：B ．7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数322--=-x x y x x的图像大致是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D ；当01x <<时，()0f x <，可排除C ；由()()()238f f f ><，可排除B.【详解】函数()()()3222211x x x xf x x x x x x ----==--+，由30x x -≠，即0x ≠且1x ≠-且1x ≠，故函数的定义域为()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞，由()()332222x x x xx x x x x ---+---===-，所以函数()322x xf x x x--=-为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除D ；当01x <<时，22x x ->，3x x <，所以()0f x <，可排除C ；由()528f =，()21364f =，()21845843008f =，即()()()238f f f ><，可排除B.故选：A.8.若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（）A.0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由题设知()y f x =是R 上的增函数且()() 11f x f x +=--，进而将不等式转化为()() 2sin 2cos f f αα->-，结合()f x 单调性及正切函数的性质求锐角α的范围.【详解】由()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，知：函数()y f x =是R 上的增函数，由()()110f x f x ++-=，即()() 11f x f x +=--，由题设：()()2sin cos f f αα->-，∴()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-，即有()() 2sin 2cos f f αα->-，∴2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<，∵α为锐角﹐则cos 0α>，∴0tan 1α<<，则α的取值范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定()f x 的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若01,01a b c <<<<<，则下列说法中正确的是（）A.a b c c < B.log log c c a b<C.cc a b < D.log log a b c c <【答案】CD 【解析】【分析】根据指数函数，幂函数及对数函数的性质逐一判断即可.【详解】由于01,01a b c <<<<<，对于A ：由于01c <<，所以函数x y c =为减函数，所以a bc c >，故A 错误；对于B ：由于01c <<，所以函数log c y x=为减函数，所以log log c c a b>，故B 错误；对于C ：由于01c <<，所以函数cy x =在()0,∞+上为增函数，所以cc a b <，故C 正确；对于D ：由于01,01a b c <<<<<，所以log log 0c c a b >>，所以110log log c c a b<<，所以log log a b c c <，故D 正确.故选：CD .10.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A.sin2y x= B.sin y x=C.3πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】直接利用函数的奇偶性和周期性即可逐一判断结果．【详解】对于A ，函数()=sin2y f x x =满足()()()=sin 2sin 2y f x x x f x =--=-=-，且()2sin y f x x ==的定义域为R 关于原点对称，即()2sin y f x x ==是奇函数，且注意到其周期为2π2ππ2Tω===，故A 正确；对于B ：函数()sin y f x x ==满足()()sin sin y f x x x f x =-=-==，且()sin y f x x==的定义域为R 关于原点对称，所以()sin y f x x==是偶函数，不是奇函数，故B 错误；对于C ：3ππcos 2cos sin222y x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由A 选项分析易知()=sin2y f x x =-是奇函数，同时也是最小正周期是π的周期函数，故C 正确；对于D ：函数()π=sin 2cos22y f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭满足()()()()=cos 2cos 2f x x x f x --==，且()=cos2y f x x =的定义域为R 关于原点对称，所以()=cos2y f x x =是偶函数，不是奇函数，故D 错误．故选：AC ．11.已知0a >，0b >，且221a b +=，则（）A.a b +≤ B.1222a b -<<C.221log log 2≥-D.221a b ->-【答案】ABD 【解析】【分析】根据已知条件，利用基本不等式可以证明A 正确；根据已知条件，求得,a b 的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD ；利用对数函数的单调性对C 进行等价转化，通过举例可以否定C.【详解】()()()2222222,2,2a b ab a b a b a b +≥∴+≥+∴+≤ ，又0,0,a b a b >>∴+≤ 故A 正确；0a >，0b >，且221a b +=，01,01,11,a b a b ∴<<<<∴-<-<∴1222a b -<<，故B 正确；2221a b b ->->-,故D 正确；C等价于21log 2≥-，即2211log ,log 122a b b a ≥-≥-，等价于12ab ≥,但当34,55a b ==时，满足条件0a >，0b >，且221a b +=，121252ab =<,故C 错误；故选：ABD .【点睛】本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.12.已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A.若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫ ⎪⎝⎭B.关于x 的方程*1()0()2n f x n N -=∈有24n +个不同的解C.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D.当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1【答案】AC 【解析】【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A ，C 利用数形结合进行判断，对于B ，D 利用特值法进行判断.【详解】当312x ≤≤时，()22f x x =-；当322x <≤时，()42f x x =-；当23x <≤，则3122<≤x ，1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当34x <≤，则3222<≤x ，1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当46x <≤，则232<≤x ，11()2242⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当68x <≤，则342<≤x ，1()1224⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；依次类推，作出函数()f x 的图像：对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m ,n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()2232(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【答案】()2f x x =【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m=，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.故答案为：()2f x x =14.函数tan 1y x =-的定义域为____________.【答案】2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将sin 0x >和tan 1x >分别解出来，然后求交集即可【详解】要使tan 1y x =-sin 0x >且tan 1x >由sin 0x >得(),2,2k x k k Zπππ∈∈+由tan 1x >得,,42x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭因为()2,2,2,2,4242k k k k k k k Z πππππππππππ⎛⎫⎛⎫+⋂++=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以原函数的定义域为2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭故答案为：2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【点睛】解三角不等式的方法：1.在单位圆中利用三角函数线，2.利用三角函数的图像15.数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【答案】π8【解析】【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长 6πA BC B AC ===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC ====，分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧,,AB BC AC 所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S =⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯=.故答案为：π8.16.设函数2log ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<<=⎨-<<⎩，方程()f x m =有四个不相等的实根(1,2,3,4)i x i =，则22222341x x x x +++的取值范围是___________.【答案】4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到14234x x x x +=+=且12ln ln x x -=，求得14322211,4,4x x x x x x ==-=-，化简22222341x x x x +++(22222112828x x x x ⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.【详解】当24x <<时，()()4f x f x =-所以()f x 在()2,4与()0,2上的图像关于2x =对称.作出图象如下图所示，不防令1234x x x x <<<，可得14234x x x x +=+=且12ln ln x x -=所以121=x x ，14322211,4,4x x x x x x ==-=-所以()2422222222123222222221111442828x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++-+-=+-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()21,2x ∈，令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则原式化为()252828,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.因为其对称轴为2t =，开口向上，所以()h t 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增所以()41202h t <<所以22222341x x x x +++的取值范围是4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数()f x 的图象，结合函数的图象有14322211,4,4x x x x x x ==-=-，化简22222341x x x x +++(22222112828x x x x ⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎭⎝⎭，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知13|107x A x x -⎧⎫=->⎨⎬-⎩⎭，{}22440,0B x x x m m =-+-≤.（1）若m =3，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(]2,5；（2）[)5,+∞.【解析】【分析】（1）代入m ＝3求出集合B ，解出集合A 后可得A B ⋂.（2）根据A B B ⋃=可得A B ⊆，列出关于m 的不等式组，从而可求实数m 的取值范围.【详解】（1）若m ＝3，{}{}245015B x x x x x =--=-≤∣∣，()(){}()13102702,77x A x x x x x ⎧⎫-=-=-⋅-<=⎨⎬-⎩⎭，所以A ∩B ＝(2，5].（2）因为0m >，由题意得：{}22Bx m x m =-≤+∣，(){}()13102702,77x A x x x x x ⎧⎫-=-=-⋅-<=⎨⎬-⎩⎭，因为A ∪B ＝B ，有A ⊆B ，则有：22270m m m -≤⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得：5m ≥；所以实数m 的取值范围为[)5,+∞.【点睛】易错点睛：本题考查分式不等式的解、集合的并以及集合的包含关系，求分式不等式的解时，注意分母不为零，考虑集合的包含关系时，注意两个集合中的范围的端点是否可取.18.化简或计算下列各式：（1）()121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()266661log 3log 2log 18log 4-+⋅.【答案】（1）-45（2）1【解析】【分析】（1）根据幂指运算，可得答案；（2）根据对数运算，可得答案.【小问1详解】原式()112323251050.37149145933-⎛⎫⎡⎤=-+-=-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭.【小问2详解】原式＝()()2666666312log log 3log 2log 2log -+⋅+()266666log log 2l 2og log g 2322lo ++⋅=()6666log 2log 3l 2og 212log ++=61log 126+==.19.已知()()()sin 2cos 23cos tan 2f ππαααπαπα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）若()12f α=，且()0,απ∈，求α的值；（2）若133πf α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）3π（2）119【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，然后代入条件可得答案；（2）根据已知可得1cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3x πα=+，整体代入目标式化简计算即可.【小问1详解】由已知()sin sin cos sin tan f αααααα-⨯==-⨯，由题意()1cos ,0,2ααπ=∈，则3πα=；【小问2详解】由133πf α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知1cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3x πα=+，则1cos 3x =，()2222sin sin sin sin sin cos 362x x x x πππααπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211111cos cos 1.339x x ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭20.已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元，设该公司一年内共生产这种手机x 万部并全部销售完，且每万部的销售收入为600万元，生产这种手机每年需另投入成本()R x 万元，且当040x <<.时，()()1010R x x x =+，当40x ≥时，()400006016550R x x x=+-.（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式（年利润=年销售收入-年成本）（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）210500350,040()400006200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）年产量为25万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是5900万元.【解析】【分析】（1）根据公式：年利润=年销售收入-年成本，分别求出040x <<和40x ≥时的年利润，然后再写成分段函数的形式；（2）分别求出040x <<和40x ≥时的最大值，再比较两者的大小，取较大者为年利润W 的最大值.【详解】（1）当040x <<时，2()60010(10)35010500350W x x x x x x =-+-=-+-，当40x ≥时，4000040000()60060165503506200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，210500350,040()400006200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）若040x <<，22()1050035010(25)5900W x x x x =-+-=--+，当25x =时，max ()5900W x =；若40x ≥，40000()620062005800W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当40000x x=，即200x =时，max ()5800W x =，∴年产量为25万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是5900万元.21.已知定义域为R 的函数2()21x x a f x -+=+是奇函数．（1）判断()f x 的单调性，并证明；（2）解关于x 的不等式()()22log (1)log (1)0f x f x ++->．【答案】（1）()f x 在R 上是递减函数，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）利用奇函数性质求得1a =，再由单调性定义判断函数单调性即可；（2）根据函数奇偶性、单调性可得22log (1)log (1)x x +<--，再由对数函数性质求解集即可.【小问1详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()0f x f x -+=，即()()22222212()()21212121221x x x x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x --------⋅-+--+=+=+=+++++()(1)211021x x a a -+==-=+，解得1a =，所以()221212()1212121x x x x x f x -+-+===-+++，故()f x 在R 上是递减函数．证明：任取1x 、2R x ∈，且12x x <，()()()()()21121212222221122121121x x x x x x f x f x -=-++-=++++-，12022x x <<，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故()f x 是定义在R 上的递减函数；【小问2详解】∵()()22log (1)log (1)0f x f x ++->，∴()()22log (1)log (1)f x f x +>--，()f x 是R 上的奇函数，∴()()22log (1)log (1)f x f x +>--，()f x 是R 上的减函数，∴22log (1)log (1)x x +<--，∴1011x x <+<-，解得1x <<，∴不等式()()22log (1)log (1)0f x f x ++->的解集为(．22.对于函数2()ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若方程()ln[(6)28]f x a x a =-+-恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12,[,1]x x b b ∈+时，满足()()12ln 2f x f x -≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}(2,3]4,6⋃（2）24,5∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）原方程可转化为2(6)2820a a x a x a x⎧+=-+-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①②，分类讨论即可；（2）将()()12ln 2f x f x -≤转化为()()max min ln 2f x f x -≤，分别求最大值和最小值，再求a 范围.【小问1详解】方程()ln[(6)28]f x a x a =-+-恰有一个实根，转化为方程2ln ln[(6)28]a a x a x ⎛⎫+=-+-⎪⎝⎭恰有一个实根，所以2(6)2820a a x a x a x⎧+=-+-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①②，由①可得，()()26820a x a x -+--=，即[]()(6)210a x x --+=，当6a =时，方程有唯一解=1x -，满足②2260a x+=-+>，所以6a =符合条件；判别式()()()2228868164a a a a a ∆=-+-=-+=-，当4a =时，方程有两相等根216x a ==--，满足②2240a x+=-+>，所以4a =符合条件；当4a ≠且6a ≠时，方程有两不等根122,16x x a ==--，若126x a =-满足②12260a a x +=->，则3a >，若21x =-满足②2220a a x +=->，则2a >，所以当(2,3]a ∈时方程恰有一个实根；综上，实数a 的取值范围为{}(2,3]4,6⋃；【小问2详解】令2t a x =+，则2t a x=+在()0,∞+上为减函数，ln y t =在()0,∞+上为增函数，∴函数2()ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[,1]b b +上为减函数，当12,[,1]x x b b ∈+时，满足()()12ln 2f x f x -≤，则()()()()max min 22ln ln 1ln 21a f x f x f a b f b b b -=-+=≤+⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2122a a b b ⎛⎫+++ ⎝≤⎪⎭，即()2220ab a b ++-≥对任意的1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()222h b ab a b =++-，又0a >，所以函数()()222hb ab a b =++-在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()min 12204164a a h b h +⎛⎫==+-≥⎪⎝⎭，∴245a ≥.。

2020届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【答案】1【解析】对A 中元素逐个检验后可得A B 中元素的个数.【详解】A 中仅有1B -∈，故A B 中元素的个数为1，填1 .【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.2．命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为______. 【答案】若1x <，则0x <【解析】根据否命题的形式，即可得出结论. 【详解】命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为“若1x <，则0x <”. 故答案为：若1x <，则0x <. 【点睛】本题考查一个命题的否命题的求解，熟练掌握四种命题之间的关系，是解题的关键，属于基础题. 3．函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T =______.【答案】2π【解析】根据正切型函数的周期公式，即可求出结论. 【详解】函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=212ππ=.故答案为:2π 【点睛】本题考查正切型函数的周期，要注意与正弦或余弦函数周期的区别，属于基础题. 4．若复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z z+=______.【答案】3122i + 【解析】根据复数的除法求出1z，再由复数的加法，即可求解. 【详解】11111,122z i i z i =+∴==-+，13122z i z +=+.故答案为:3122i +. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.5．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值__________．【答案】4【解析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，a 的值，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可． 【详解】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2满足条件i 2≤ ，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，属于基础题．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为____．【答案】3 5【解析】分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.【详解】因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为2510C=；“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为11236C C=；所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为63 P105 ==.故答案为3 5【点睛】本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.7．用分层抽样的方法从某校高一、高二、高三学生中抽取一个容量为50的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽15人.若该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为______.【答案】1000人【解析】根据分层抽样每个个体被抽取的概率相等，求出高二学生被抽取的人数，即可求出结论.【详解】依题意，高二学生抽取的人数为50201515--=，高二年级共有学生300人，设该校学生总数为n，则15300,100050nn=∴=人.故答案为:1000人.【点睛】本题考查分层抽样，理解分层抽样抽取样本依据是解题的关键，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者知二求一，属于基础题.8．在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.【答案】【解析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】∵在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧棱SA=2，高SO=2， ∴底面中心到顶点的距离AO==2因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB 2=16该棱锥的体积为V=S ABCD •SO=×16×2=． 故答案为． 【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题． 9．已知tan 2θ=，则2sin 23cos θθ-=______. 【答案】15【解析】利用二倍角正弦，结合sin ,cos θθ的平方关系，将所求式子化为关于sin ,cos θθ的齐二次分式，化弦为切，即可求出结论.【详解】222222sin cos 3cos sin 23cos 2sin cos 3cos sin cos θθθθθθθθθθ--=-=+ 22tan 31tan 15θθ-==+,故答案为:15.【点睛】本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，熟练掌握公式及三角函数关系是解题关键，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.11．在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅的最小值为 . 【答案】－5【解析】试题分析：以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)B -，(3,0)C ，设(2,)A m ，则2(5,)(1,)5AB AC m m m ⋅=--⋅-=-，所以当0m =时AB AC ⋅取得最小值－5.【考点】平面向量的数量积.12．已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线右支相交于点B ，若13FA FB =，则双曲线的离心率为______.【解析】设双曲线的右焦点为F '，由条件可得||1,|3|,cos ,3FA FB FB b b FA b BFF c '====∠，由双曲线定义可得||32BF b a '=-，在BFF '中根据余弦定理，建立,,a b c 关系，再结合222c a b =+，即可求解. 【详解】设双曲线的右焦点为F '，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，,||,||,||OA FA OA a OF c FA b ∴⊥==∴=，1,cos ||33,FA FB FB b b BFF c '==∠=，||32F B b a '=-，在BFF '中，222||||||2||||cos F B FB FF FB FF BFF ''''=+-∠，222(32)94232bb a bc b c c-=+-⨯⨯⨯，整理得332,,22b a b e a =∴===.故答案为:2. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质、圆的切线性质、余弦定理，注意双曲线定义在解题中的应用，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.13．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是__________． 【答案】[]4,8-【解析】先对不等式进行整理，得到2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立，设24t x x=+，利用导数求出t 的值域，然后根据一次函数保号性得到关于,a b 的不等式组，通过配凑系数，得到答案. 【详解】因为322044ax bx a x ≤++≤对[]1,4x ∈恒成立， 两边同除以2x 得2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立， 故令24t x x =+，[]1,4x ∈，不等式转化为40at b ≤+≤， 381t x '=-，令0t '=得2x =， 所以()1,2x ∈，0t '<，t 单调递减，()2,4x ∈，0t '>，t 单调递增， 所以2x =时，t 取最小值为3， 当1x =时，5t =；当4x =时，174t =； 所以t 的值域为[]3,5， 根据一次函数保号性可知034054a b a b ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩令()()357m a b n a b a b +++=+，得3571m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以784a b ≤+≤-， 故答案为：[]4,8- 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题. 14．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】【解析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值.【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)64xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，求证： （1）//PB 平面EAC ； （2）平面PAD ⊥平面ABCD .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得//PB OE ．（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明CD ⊥平面PAD ．而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证．试题解析：（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点，所以//PB OE ． 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ， 所以直线//PB 平面EAC ．（2）因为PA ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以PA CD ⊥． 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．因为PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ． 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．16．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos a B A =.（1）求角B ；（2）若AD 是边BC 的中线，AD =，1AB =，求边AC 的长.【答案】(1)23B π=；(2)AC =【解析】（1）根据题意，结合正弦定理，以及两角和的正弦公式，得到sin =B B ，进而可求出结果；（2）先由正弦定理，求出6BDA π∠=，得到6BAD π∠=，1,2==BD BC ，再由余弦定理，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos A B B A C =，又()C A B π=-+，sin sin cos )A B B A A B ∴=+，即sin sin cos cos cos sin )A B B A A B A B =-+， 又(0,)A π∈，sin 0A ∴≠，sin ∴=B B ，即tan B =，所以23B π=. （2）根据正弦定理：1sin2BDA ∠==， 所以6BDA π∠=，故6BAD π∠=，得12BD BC =⇒=，由余弦定理得：2222cos AC BA BC BA BC B =+-⋅⋅11421272⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AC =【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过两点1,2P ⎛ ⎝⎭，()Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），若3AB FE ⋅=，求直线l 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【解析】（1）将点,P Q 两点坐标代入椭圆方程，可得椭圆方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0，设其方程为1x my =+，求出以线段FP 为直径的圆的圆心到直线l的距离，根据半径、圆心距、弦长关系，求出||2EF =，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得12||23AB FE y y ⋅=-=，联立直线方程和椭圆方程，根据根与系数关系，建立关于m 的方程，即可求解. 【详解】（1）1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()Q 代入椭圆方程可得 222111221a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0， 设其方程为1x my =+，以线段FP 为直径的圆的圆心为(1,)4C，半径为4， 圆心C 到直线l距离为||m d =||2EF ∴===联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得22(2)210m y my ++-=， 22244(2)8(1)0m m m ∆=++=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 112222|1221|22||AB FE m y y y y m ⋅=+-⋅=-⨯+ 2121222212()432222y y y y m m +==++-=， 整理得4222210,(21)(1)0m m m m --=+-=，21,1m m ∴=∴=±，直线l 的斜率为11m=±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系、直线与圆的位置关系，要熟练掌握求直线与曲线相交弦长方法，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.18．如图，在宽为14m 的路边安装路灯，灯柱OA 高为8m ，灯杆PA 是半径为m r 的圆C 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10m ，到灯柱所在直线的距离为2m ．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C 在线段PQ 上．（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上?（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段OQ 上，求HQ 的最大值． 【答案】(1)当r 为5Q 在路面中线上；（2）124 5.-【解析】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出PQ 的方程，设C （a ，b ），根据CA ＝CP ＝r 列方程组可得出a ，b 的值，从而求出r 的值； （2）用a 表示出直线PQ 的斜率，得出PQ 的方程，求出Q 的坐标，从而可得出|HQ|关于a 的函数，根据a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值． 【详解】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，8），P （2，10），Q （7，0），∴直线PQ 的方程为2x+y ﹣14＝0．设C （a ，b ），则222222(2)(10)(8)a b r a b r⎧-+-=⎨+-=⎩， 两式相减得：a+b ﹣10＝0，又2a+b ﹣14＝0，解得a ＝4，b ＝6，∴224(68)25r =+-=．∴当25r =时，点Q 恰好在路面中线上． （2）由（1）知a+b ﹣10＝0，当a ＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x ＝2，此时HQ ＝0． 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y ﹣10＝2aa --（x ﹣2）， 令y ＝0可得x ＝12﹣20a ，即Q （12﹣20a，0）， ∵H 在线段OQ 上，∴12﹣20a≥a ，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a ﹣a ＝12﹣（20a +a ）≤12﹣220＝12﹣45， 当且仅当20a＝a 即a ＝25时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣45）m ．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．19．已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围； （3）设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）(,][1,)e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e<<. 【解析】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围．（3）由题意得()2ln ln x H x x ax ex ex a x =-⋅=-，令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈，然后对实数a 的取值进行分类讨论，并根据()t x 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x 的单调性，进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围． 试题解析：（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（） 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+，代入（）得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≤1a e ∴≤-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=， 当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥，()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-=-=-''()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得， ()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x 在[]1,e 递增，()01,x e ∴∃∈使得0ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()00,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧-≤<⎪∴=⎨+-<≤'⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '≤，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+≤+≤， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< minln 12x x e +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e≤，所以结论成立，即()0k x '≤， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e <<时，()H x 在[]1,e 上有极值点． 点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20．给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n ++=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析. 【解析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）利用a 112=，a n ＝2a n a n +1+3a n +1（n ∈N ），说明数列{1n a +1}是等比数列，然后证明数列{1na +1}为“指数型数列”； （3）利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可． 【详解】解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m a a a ++==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列”（2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立； 若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（）式不成立． 【点睛】本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．21．已知矩阵251A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵13b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值.【答案】1290,2λλ==【解析】由11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，建立方程组，求出a ，确定A 的特征多项式，即可求出矩阵A 的特征值. 【详解】12536525101301b c b d AA a c d ac b ad ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,6355,3562c a c ∴===⨯=，15225A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦∴， 则A 的特征多项式为22559()(2)()552212f λλλλλλλ-==---=--令()0f λ=解得矩阵A 的特征值1290,2λλ==. 【点睛】本题考查逆矩阵与矩阵关系、矩阵特征值，属于基础题.22．在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论. 【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，1sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，60y -+=，圆C 上点P 到直线l25+=.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23．袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和期望. 【答案】（1）23；（2）ξ的分布列见解析；期望是8521【解析】（1）先计算出一次取出的3个小球上有两个数字相同的概率，然后用1减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】解:（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A 则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同∴()114739281843C C P A C ===()12133P A ⇒=-= （2）由题意可知ξ所有可能的取值为：2，3，4，5()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====；()28392815843C P C ξ==== ∴ξ的分布列为：则()143185234521217321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 答：随机变量ξ的期望是8521【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.24．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)122,?4,a a == 38,a = (2)见解析 【解析】试题分析：（１）利用等式，求出1a ，2a ，3a 的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.试题解析：（1）1=2a ，2=4a ，3=8a ． （2）猜想：=2nn a ．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，则有12301232322222k k k k k k k k kk C C C C a C ++++=++++⋯+=．则1n k =+时，123+101112+13+1+11123+12222k k k k k k k k k C C C C a C++++++++=++++⋯+． 由111k k kn n n C C C +++=+得1021320112233123222k k k k k k k kC C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1+122k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1123+1+123+1222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1023+1+1111211222222k k kk k k k k k k k k k C C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭121+10231-1+1+11121+1222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭．又()()()()()()()()()()+1+1+1+11121!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++ 121+10231-1+1+111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，=2nn a *n N ∈，．。

扬州大学附属中学高一数学练习（十二月）班级＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿ 成绩＿＿＿＿一、选择题：1． 如果三点（3，5），（m ，7），（－1，2）在一条直线上，则m = （ ）A ．317B ． 313C ． 29D ． 272． 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( ) A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 3． 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为（ D ）Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ． Ｄ．4． 函数2lg(1)1y x =-+ 的图象关于 ( )对称 A ． x 轴 B ．y 轴 C ． 原点 D ．直线y x =5． 设正三棱柱的外接圆柱体体积为V 1，内切圆柱体积为V 2，则（ ）A ．V 1∶V 2=1∶1B ．V 1∶V 2=2∶1C ．V 1∶V 2=4∶1D ．V 1∶V 2=8∶16． 过点)1,2(的直线中，被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在的直线方程是（ ）A ．053=--y xB ．073=-+y xC ．053=-+y xD ．013=+-y x 7． 下列函数中，值域是(0,)+∞的是 （ ）A ．y =B ．1()3xy = C ．y = D ．13x y =8． 如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]1,0[B ．]2,21[C ．]21,0[ D ． ]2,0[ 9． 已知d c b a ,,,是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的射影，则( )A ．d a ∥⇒b a ∥B ．b a ⊥⇒d c ⊥C ．b a ∥⇒d c ∥D ．d c ⊥⇒b a ⊥ 10． 已知函数 ()lg f x x = , 0a b <<且 ()()f a f b > 则 ( )A ．1ab >B ．1ab <C ．1ab =D ．(1)(1)0a b -->11． 设点(,)P x y 是函数y =23y x --的取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．12[0,]5 C ．12[1,]5D ．[1,)+∞ 12． 直线l ：032=-+y x 与圆C ：0622=+-++m y x y x 有两个交点A 、B ，且以AB 为直径的圆过坐标原点， 则m 的值是 ( )A ．2B ．3C ．－1D ．22二、填空题：13． 直线l 过原点且与直线3x －y －4＝0的夹角是30， 则直线l 的方程是＿＿＿＿＿．14． 若实数y x ,满足22214)12()5(=+++y x ，则22y x +的最小值是＿＿＿＿＿＿．15． 异面直线b a ,所成的角为60，直线l 与b a ,所成的角都等于θ，则θ的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 16． 已知直线l ：b x y +=，曲线C ：21x y -=有两个公共点，则b 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题：17． 如图是一个有盖圆台形储油桶，其上底半径是30cm ，下底半径是60cm ，大约能储存264（约为84π）升油，问造这样的油桶约需多少平方米材料（接缝忽略不计，精确到0.01平方米）？18．已知△ABC的顶点为A（2，4），B（1，－2），C（-2，3）。

2020届扬州中学月考试卷必做题部分(160分)一、填空题（本大题共有14道小题，每小题5分，满分70分）1.已知集合A ={1，3，5}，B ={2，3}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2.已知复数z 满足32,z i i ⋅=-其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是________.3. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则当0x <时，()f x =________.4. “”是“直线，垂直”的 条件．5. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 .6.已知，，则______7. 已知实数，满足则的取值范围是 ． 8.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．9. 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得函数()y g x =为偶函数时，则ϕ的最小值是． 10.已知函数，则不等式的解集为______11．设点P 为正三角形ABC △的边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，sin PAC ∠的值为12．在平面直角坐标系xOy 中，已知(6,0),(6,6),(0,6)A B C ，若在正方形OABC 的边上存在一点P ，圆222:(2)(0)G x y R R +-=>上存在一点Q ，满足4OP OQ =，则实数R 的取值范围为． 13．已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是． 14.已知函数()cos 2f x x =的图象与直线440(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则2113tan()x x x x -=-________.二、解答题（本大题共有6道题，满分90分）15. （1）命题，，命题，．若“且”为假命题，求实数的取值范围． （2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>，部分自变量、函数值如下表．x3π 712π x ωϕ+0 2π π32π2π()f x24（2）函数()f x 在(0,]π内的所有零点．17.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜田地内拟修建笔直小路MN ，AP ，其中M ，N 分别为AC ，BC 的中点，点P 在BC 上规划在小路MN 与AP 的交点与M 、N 不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A ，N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元．若拟修的小路AO 段长为百米，求小路ON 段的建造费用； 设，求的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．18. 已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E 经过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积．19．已知函数21(),()1xx f x g x ax e+==-（a R ∈）． （1）求函数()f x 的极值； （2）当102a <<时，判断方程()()f x g x =的实根个数，并加以证明； （3）求证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立．20. 已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；(2)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h (x )零点的个数理科附加题（满分40分 时间30分钟）21.B 选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．21.C 选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．22.某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为，游览B 、C 和D 的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立． （1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．23.现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* (1)** (2)*** (3)………………………………* *…………** …………………第n行设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞C2n＋1 (n＋1)!．。

2020年江苏省扬州市中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）若将函数f（x）=2sin（3x+φ）图象向右平移个单位后得到的图象关于点（，0）对称，当|φ|取最小值时，函数f（x）在上的最大值是（）A． 1 B．C．D．2参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先求将函数平移个单位后得到函数解析式为g（x）=2sin（3x﹣+φ），可得+φ=kπ（k∈Z），求得φ=﹣，即有解析式f（x）=2sin（x﹣），从而可求最大值．解答：解：将函数f（x）=2sin（3x+φ）图象向右平移个单位后得到函数g（x）=2sin（3x﹣+φ）的图象，依题意知+φ=kπ（k∈Z），∴φ=kπ﹣（k∈Z），只有当k=0，即φ=﹣时，|φ|min=，∴f（x）=2sin（x﹣），∵x∈，∴x﹣∈，∴f（x）max=2．故选：D．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，三角函数的最值，属于中档题．2. 当x<0时，成立，其中a>0且a1，则不等式的解集是( )A B C D参考答案：C3. 函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．4. 在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）C5. 在a，b中插入n个数，使它们和a，b组成等差数列a，，，，，b，则A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据等差数列的性质，利用倒序相加法求得所求表达式的值.【详解】令，倒过来写，两式相加得，故，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，即，考查倒序相加法，属于基础题.6. 设是偶函数，且在内是减函数，又，则的解集是( )A． B.C. D.参考答案：D略7. 的值为()A.0B.C.D.参考答案：C由余弦的两角差三角函数可知：，故选C．8. 等比数列的各项均为正数，且，则++…+=( )A．12 B．10 C．8 D．参考答案：B9. 已知在定义域R上是减函数，则函数y＝f (|x＋2|)的单调递增区间是（）A．(－∞, ＋∞) B．(2, ＋∞) C．(－2, ＋∞)D(―∞, ―2)参考答案：D10. 函数在区间上是增函数，且则cos的值为（）A. 0B.C.1 D. －1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果幂函数的图象不过原点，则m的值是．参考答案：1【考点】幂函数的图象．【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．【解答】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1，符合题意．故答案为：112. 在半径为4的半圆形铁皮内剪取一个内接矩形ABCD，如图(B,C两点在直径上，A，D两点在半圆周上），以边AB为母线，矩形ABCD为侧面围成一个圆柱，当圆柱侧面积最大时，该圆柱的体积为Δ.参考答案：略13. 已知在四边形ABCD 中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，，求三角形ABC 的外接圆半径R为.参考答案：14. 已知P 为△ABC 所在平面内一点，且，则_____参考答案：【分析】将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．【详解】解：设，则根据题意可得，，如图所示，作，垂足分别为，则又，，故答案为：。

2018-2019学年江苏省扬州中学高一（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，计50分．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|﹣3＜2x＜6}，则A∩B＝（）A．B．（﹣2，2）C．D．（﹣2，3）2．（5分）化简的值得（）A．8B．10C．﹣8D．﹣103．（5分）若α为第二象限角，且，则tanα＝（）A．B．C．D．4．（5分）函数y＝sin（x+）的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝﹣5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+4x，则f（）＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．（5分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数m满足f（log3m）+≤2f（1），则m的取值范围是（）A．（0，3]B．[，3]C．[，3）D．[，+∞）8．（5分）设角α的终边上一点P的坐标是（﹣sin4，﹣cos4），则α的可能值为（）A．4﹣B．4+C．﹣4+D．﹣4﹣9．（5分）已知函数，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）的图象，当时，方程g （x）﹣k＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．B．C．[1，2]D．[1，2）10．（5分）若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在开区间上有唯一的波峰（即函数图象上的最高点），则实数ω的取值范围是（）A．（1，3）∪（5，9]B．（1，3）∪[9，12]C．（3，12]D．（1，3）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，计30分．11．（5分）化简：＝．12．（5分）若tanα＝2，则＝．13．（5分）若函数y＝log a（x﹣1）+4的图象恒过定点P，且点P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝．14．（5分）下列四式中能化简为的是．①（）+②（）+（）③（）﹣④（）+ 15．（5分）将y＝sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤对任意x∈R 恒成立，且＞f（π），则f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间是．三、解答题：本大题共6小题，计70分．17．（10分）已知，且α是第三象限角．（1）求cosα的值；（2）求的值．18．（10分）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，（1）求集合A、B，并求A∩B；（2）若集合C＝{y|2a≤y≤a+1}，且C⊆B，求实数a的取值范围．19．（10分）已知定义在R上的函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）试确定f（x）的解析式；（2）求f（x）在上的函数值的取值范围．20．（10分）如图，一个半径为4米的水轮逆时针转动，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P与水面的有向距离h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；【注：当P在水面上方时，有向距离为正；当P在水面下方时，有向距离为负】（2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？21．（15分）已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）求不等式f（4m﹣5）+f（m2﹣2m+2）＞0的解集；（3）若关于x的方程f（2t﹣sin x）+f（﹣2t cos2x﹣3）＝0有解，求实数t的取值范围．22．（15分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（b≥0）在x∈[1，2]时有最大值为1和最小值为0．设．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式在x∈[2，4]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围．2018-2019学年江苏省扬州中学高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，计50分．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|﹣3＜2x＜6}，则A∩B＝（）A．B．（﹣2，2）C．D．（﹣2，3）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵，∴．故选：A．【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．（5分）化简的值得（）A．8B．10C．﹣8D．﹣10【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式＝+＝9﹣1＝8．故选：A．【点评】本题考查了对数的运算性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）若α为第二象限角，且，则tanα＝（）A．B．C．D．【分析】由已知求得cosα，再由同角三角函数基本关系式求解．【解答】解：由，得cosα＝，∵α为第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．4．（5分）函数y＝sin（x+）的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝﹣【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得函数y＝sin（x+）的一条对称轴方程．【解答】解：对于函数y＝sin（x+），令x+＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z，可得函数y＝sin（x+）的一条对称轴方程是x＝，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+4x，则f（）＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据x＞0时的f（x）解析式，即可求出，再根据f（x）是奇函数，即可求出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，；∴．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，对数的运算．6．（5分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（）A．B．C．D．【分析】作出图形，利用向量加法的平行四边形法则，容易得解．【解答】解：如图，∵，，∴＝＝，故选：A．【点评】此题考查了向量的加法法则，属容易题．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数m满足f（log3m）+≤2f（1），则m的取值范围是（）A．（0，3]B．[，3]C．[，3）D．[，+∞）【分析】根据对数的运算性质结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log3m）+≤2f（1），等价为f（log3m）+f（﹣log3m）+≤2f（1），即2f（log3m）≤2f（1），则f（|log3m|）≤f（1），∵在[0，+∞）上单调递增，∴|log3m|≤1，即﹣1≤log3m≤1，≤m≤3．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．8．（5分）设角α的终边上一点P的坐标是（﹣sin4，﹣cos4），则α的可能值为（）A．4﹣B．4+C．﹣4+D．﹣4﹣【分析】由已知求得α为第一象限角，再由任意角的三角函数的定义及三角函数的诱导公式得答案．【解答】解：∵π＜4＜，∴﹣sin4＞0，﹣cos4＞0，∴角α的终边在第一象限，则tanα＝＝cot4＝tan（﹣4﹣）．∴α的可能值为﹣4﹣．故选：D．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．9．（5分）已知函数，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）的图象，当时，方程g （x）﹣k＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．B．C．[1，2]D．[1，2）【分析】首先利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出g（x）的关系式，进一步利用正弦型函数的定义域求出函数的值域，最后求出参数k的取值范围．【解答】解：函数，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到f（x）＝2sin（）＝2sin（x﹣），再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣）的图象，当，，故，所以﹣1≤g（x）≤2，当时，方程g（x）﹣k＝0有两个不同的实根，即在1≤g（x）＜2，即1≤k＜2时，有两个实根．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的定义域和值域的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在开区间上有唯一的波峰（即函数图象上的最高点），则实数ω的取值范围是（）A．（1，3）∪（5，9]B．（1，3）∪[9，12]C．（3，12]D．（1，3）【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质可得0＜ω•＜，且≥ω•＞；或者≤ω•＜，且≥ω•＞，由此求得实数ω的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在开区间上有唯一的波峰（即函数图象上的最高点），故0＜ω•＜，且≥ω•＞，求得1＜ω＜3．或者≤ω•＜，且≥ω•＞，求得5＜ω≤9．综合可得，1＜ω＜3 或5＜ω≤9，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，计30分．11．（5分）化简：＝．【分析】进行向量的数乘运算即可．【解答】解：原式＝．故答案为：．【点评】考查向量的数乘运算．12．（5分）若tanα＝2，则＝﹣6．【分析】由已知直接化弦为切求解．【解答】解：∵tanα＝2，∴＝．故答案为：﹣6．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13．（5分）若函数y＝log a（x﹣1）+4的图象恒过定点P，且点P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝9．【分析】令对数的真数等于1，求得x，y的值，可得它的图象恒过定点P的坐标．再用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，可得f（3）的值．【解答】解：对于函数y＝log a（x﹣1）+4，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝4，可得它的图象恒过定点P（2，4），∵点P在幂函数f（x）的图象上，设f（x）＝xα，则有4＝2α，∴α＝2，即f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，幂函数的定义，属于基础题．14．（5分）下列四式中能化简为的是①②④．①（）+②（）+（）③（）﹣④（）+【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答】解：根据平面向量的线性运算，①（）+＝．②（）+（）．③（）﹣≠错误．④（）+＝．故答案为：①②④【点评】本题考查的知识要点：平面向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．（5分）将y＝sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．【分析】利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．【解答】解：因为y＝sin2×＝sin＝，所以函数y＝sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤对任意x∈R 恒成立，且＞f（π），则f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间是和．【分析】由f（x）≤对x∈R恒成立，可知f（）为函数的最大值或最小值，结合＞f（π），求出具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，求出单调增区间即可．【解答】解：f（x）≤对x∈R恒成立，则f（）为函数的最大值或最小值，∴，∴，又＞f（π），∴sinφ＜0，令k＝﹣1，此时，满足条件，由（k∈Z），得x∈（k∈Z），∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为和．故答案为：和．【点评】本题考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象与性质和函数恒成立问题，其中根据已知条件求出φ的值是解答本题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，计70分．17．（10分）已知，且α是第三象限角．（1）求cosα的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）直接利用诱导公式的应用和同角三角函数的关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知，且α是第三象限角．所以，所以＝﹣．（2）＝tanα•（﹣cosα）﹣cosα＝﹣sinα﹣cosα＝．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．（10分）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，（1）求集合A、B，并求A∩B；（2）若集合C＝{y|2a≤y≤a+1}，且C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）容易求出A＝[2，+∞），B＝[1，2]，然后进行交集的运算即可；（2）根据C⊆B可讨论C是否为空集：C＝∅时，2a＞a+1；C≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A＝[2，+∞），B＝[1，2]，∴A∩B＝{2}；（2）∵C＝{y|2a≤y≤a+1}，且C⊆B，∴①C＝∅时，2a＞a+1，∴a＞1；②C≠∅时，，解得，综上得，实数a的取值范围为．【点评】考查函数定义域值域的定义及求法，描述法的定义，指数函数和对数函数的单调性，以及交集的运算，子集的定义．19．（10分）已知定义在R上的函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）试确定f（x）的解析式；（2）求f（x）在上的函数值的取值范围．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在上的函数值的取值范围．【解答】解：（1）根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象，可得A＝2，•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图可得π•+φ＝，∴φ＝，∴函数f（x）＝2sin（πx+）．（2）在上，πx+∈[﹣，]，sin（πx+）∈[﹣，1]，2sin （πx+）∈[﹣，2]，即f（x）＝2sin（πx+）在上的值域为[﹣，2]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．20．（10分）如图，一个半径为4米的水轮逆时针转动，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P与水面的有向距离h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；【注：当P在水面上方时，有向距离为正；当P在水面下方时，有向距离为负】（2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x＝0时，h＝0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即h＝f（t）＝4sin（）+2＝6，得sin（）＝1，再由相位为求解t值．【解答】解：（1）依题意可知h的最大值为6，最小为﹣2，∴A+B＝6，﹣A+B＝﹣2，解得A＝4，B＝2．由，解得ω＝．∴h＝f（t）＝4sin（+φ）+2，当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ＝﹣，则φ＝﹣，故所求的函数关系式为h＝f（t）＝4sin（）+2；（2）由h＝f（t）＝4sin（）+2＝6，得sin（）＝1，则，解得t＝4（s）．【点评】本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式，属于中档题．21．（15分）已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）求不等式f（4m﹣5）+f（m2﹣2m+2）＞0的解集；（3）若关于x的方程f（2t﹣sin x）+f（﹣2t cos2x﹣3）＝0有解，求实数t的取值范围．【分析】（1）由f（0）＝0，即可求得a，注意需要检验；（2）可知函数f（x）为增函数，进而原不等式转化为4m﹣5＞﹣m2+2m﹣2，由此得解；（3）问题转化为2t sin2x﹣sin x﹣3＝0有解，通过换元即可得解．【解答】解：（1）∵是定义在R上的奇函数．∴f（0）＝0，则f（0）＝a﹣＝a﹣1＝0，得a＝1，经检验，当a＝1时满足题意，故a＝1；（2）由（1）知，，由复合函数的单调性可知，函数f（x）为R上的增函数，不等式f（4m﹣5）+f（m2﹣2m+2）＞0等价为f（4m﹣5）＞﹣f（m2﹣2m+2）＝f（﹣m2+2m ﹣2），∴4m﹣5＞﹣m2+2m﹣2，即m2+2m﹣3＞0，解得m＜﹣3或m＞1，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）；（3）由（1）（2）可得函数f（x）为R上的增函数和奇函数，∴由f（2t﹣sin x）+f（﹣2t cos2x﹣3）＝0得2t﹣sin x＝2t cos2x+3，即2t sin2x﹣sin x﹣3＝0有解，设m＝sin x∈[﹣1，1]，则2tm2﹣m﹣3＝0在[﹣1，1]上有解，∵m＝0不成立，∴，令，则2t＝3n2+n，∵y＝3n2+n在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的值域为[2，+∞），∴2t≥2，即t≥1．∴实数t的取值范围为[1，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，考查二次函数的图象及性质，不等式的求解，三角函数的有界性，考查转化思想，换元思想以及逻辑推理能力，属于中档题．22．（15分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（b≥0）在x∈[1，2]时有最大值为1和最小值为0．设．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式在x∈[2，4]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数g（x）的对称轴，结合函数最大值和最小值建立方程组即可求出a，b的值；（2）利用换元法以及参数分离法进行转化，结合函数最值进行求解；（3）将方程等价转化，利用换元法转化为一元二次方程，结合一元二次方程根的分布进行求解即可．【解答】解：（1）当a＞0时，对称轴为x＝1，g（x）max＝g（2）＝1+b，g（x）min＝g （1）＝﹣a+1+b，∴，解得；当a＜0时，对称轴为x＝1，g（x）min＝g（2）＝1+b＝0，解得b＝﹣1，不合题意，舍去；当a＝0时，g（x）为常函数，不合题意，舍去；综上，a＝1，b＝0；（2）由（1）知，，令t＝log2x∈[log22，log24]＝[1，2]，∴f（t）﹣2kt2≤0对t∈[1，2]恒成立，∴对t∈[1，2]恒成立，即t2﹣2t+1﹣2kt3≤0对t∈[1，2]恒成立，∴对t∈[1，2]恒成立，设，则2k≥μ3﹣2μ2+μ对恒成立，设，则h′（μ）＝3μ2﹣4μ+1＝（μ﹣1）（3μ﹣1），易知，当时，h′（μ）≤0恒成立，即函数h（μ）在区间上单调递减，∴，∴，解得，故实数k的取值范围为；（3）方程可化为|2x﹣1|2﹣（3+3m）|2x﹣1|+（1+2m）＝0，|2x﹣1|≠0，令t＝|2x﹣1|，则方程化为t2﹣（3+3m）t+（1+2m）＝0（t≠0），∵方程有三个不同的实数解，∴由t＝|2x﹣1|的图象可知，t2﹣（3+3m）t+（1+2m）＝0（t≠0）有两个根t1，t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1＝t2，记h（t）＝t2﹣（3+3m）t+（1+2m），则，即，此时；或，此时无解；综上，实数m的取值范围为．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，以及二次函数根的分布，考查函数恒成立问题，考查数形结合与等价转化，函数与方程思想的综合运用，综合性强，运算量较大，有一定的难度．。

2019-2020学年江苏省扬州中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，则∁U A =（ ） A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1--C ．{0,1,2}D ．{}1,2【答案】B【解析】根据补集的定义直接写出∁U A ． 【详解】集合U ={-2，-1，0，1，2}， A ={0，1，2}， 所以∁U A ={-2，-1}． 故选：B ． 【点睛】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题． 2．函数()2tan(3)2f x x π=+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．4πC ．2D ．4【答案】C【解析】分析：根据正切函数的周期求解即可． 详解：由题意得函数的最小正周期为22T ππ==．故选C ．点睛：本题考查函数tan()(0)y A x ωϕω=+>的最小正周期，解答此类问题时根据公式T πω=求解即可． 3．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24C ．12D ．6【答案】B【解析】因为扇形的弧长l ＝3×4＝12，则面积S ＝12×12×4＝24，选B. 4．AB AC BC BA +-+化简后等于A ．3AB B ．ABC ．BAD ．CA【答案】B【解析】利用向量的三角形法则即可得出． 【详解】AB AC BC BA AB BA AC CB 0AB +-+=+++=+，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的三角形法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A ．()31f x x =- B ．()31f x x =+C ．()32f x x =+D ．()34f x x =+【答案】A【解析】由于()()1311f x x +=+-，所以()31f x x =-. 6．化简5log 22lg5lg 45+-的结果为（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．6【答案】A【解析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】5log 22lg5lg45+-=5log 2 lg25lg45lg1002+-=-=2-2=0.故选A.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题. 7= ( ) A ．sin2+cos2 B ．sin2-cos2C ．cos2-sin2D ．± (cos2-sin2)【答案】A【解析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简。

2019-2020学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.3分）在等差数列{a n}中.a3=-6.a7=a5+4.则a1等于（）A.-10B.-2C.2D.102.（单选题.3分）方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（）A.2＜m＜3B. 2＜m＜52C. 52＜m＜3D. 114＜m＜33.（单选题.3分）数列2. 43，85，167，329.…的一个通项公式a n等于（）A. 2n2n−1B. 2nnC. 2n2n−1D. 2n2n+14.（单选题.3分）已知△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.该双曲线的离心率是（）A. √2−1B. √22C. √2D. √2+15.（单选题.3分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠.日益功倍．初日屠五两.今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉.每一天屠完的肉是前一天的2倍.第一天屠了5两肉.共屠了30天.问一共屠了多少两肉？（）A.5×210B.5×229C.230-1D.5×（230-1）6.（单选题.3分）如图所示.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.设 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点.试用 a ，b ⃗ ，c 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −a +b⃗ +12c B. −a +b ⃗ +c C. −a −b ⃗ +12c D. a −b ⃗ +12c7.（单选题.3分）已知等差数列{a n }的公差d≠0.且a 1.a 3.a 13成等比数列.若a 1=1.S n 为数列{a n }的前n 项和.则 2S n +16a n +3的最小值为（ ）A.4B.3C.2 √3 -2D.28.（单选题.3分）已知F 是双曲线C ：x 2-y 28=1的左焦点.P 是C 右支上一点.A （0.6 √6 ）.当△APF 周长最小时.该三角形的面积为（ ） A. 12√6 B.18√25C. 2√2D.18√659.（多选题.3分）下列说法正确的是（ ） A.“|x|=2019”是“x=2019”的充分条件 B.“x=-1”是“x 2-2x-3=0”充分不必要条件 C.“m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数” D.若b ＜a ＜0.则 1a ＜1b10.（多选题.3分）已知等比数列{a n }中.满足a 1=1.q=2.则（ ）A.数列{a 2n }是等比数列B.数列 {1a n} 是递增数列C.数列{log 2a n }是等差数列D.数列{a n }中.S 10.S 20.S 30仍成等比数列 11.（多选题.3分）已知三个数1.a.9成等比数列.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1的离心率为（ ）A. √5B. √33 C.√102 D. √312.（多选题.3分）已知点F 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点.AB.CD 是经过点F 的弦且AB⊥CD .AB 的斜率为k.且k ＞0.C.A 两点在x 轴上方．则下列结论中移动成立的是（ ） A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B.四边形ACBD 面积最小值为16p 2 C. 1|AB|+1|CD|=12pD.若|AF|•|BF|=4p 2.则直线CD 的斜率为 −√313.（填空题.3分）已知空间向量 a =（- √32 . 12.1）. b ⃗ =（- √32 . 12.0）.若空间单位向量 c 满足： c •a =c •b ⃗ =0.则 c =___14.（填空题.3分）已知命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则实数a 的取值范围是___ ．15.（填空题.3分）已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 且b 1=a 1.则数列{b n }的通项公式b n =___ ．16.（填空题.3分）抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点A （ √3 .m ）（m ＞1）到抛物线准线的距离为 134.点A 关于y 轴的对称点为B.O 为坐标原点.△OAB 的内切圆与OA 切于点E.点F 为内切圆上任意一点.则 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．17.（问答题.0分）（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 的最小值； （2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .求a+b 的最小值．18.（问答题.0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n+1-2（n∈N*）.{b n}是等差数列.且a3=b4-2b1.b6=a4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{（-1）n b n2}的前2n项和T2n．19.（问答题.0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.边长为2.利用综合法完成以下问题：（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A-B1C-A1的余弦值．20.（问答题.0分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.AB=2.BC=1. PC=PD=√2 .E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD || 平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；的值；若不存在.说明理由．（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M.使得AM⊥BD？若存在.求PMPD21.（问答题.0分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n= 2n(n−1)na n（n∈N*）.求数列{b n}的前n项和T n．（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立.若存在.求实数λ的取值范围.若不存在说明理由．22.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0) .与x轴负半轴交于A（-2.0）.离心率e=12．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M（x1.y1）.N（x2.y2）两点.连接AM.AN并延长交直线x=4于E（x3.y3）.F（x4.y4）两点.若1y1+1y2=1y3+1y4.求证：直线MN恒过定点.并求出定点坐标．2019-2020学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.3分）在等差数列{a n}中.a3=-6.a7=a5+4.则a1等于（）A.-10B.-2C.2D.10【正确答案】：A【解析】：由a7=a5+4得到：a5+2d=a5+4.由此求得d的值；然后代入a3=-6来求a1的值．【解答】：解：∵数列{a n}是等差数列.a7=a5+4.∴a5+2d=a5+4.（d是公差）.解得d=2.∵a3=a1+2d=-6.即a1+4=-6.解得a1=-10．故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式.属于基础题.熟记公式即可解题．2.（单选题.3分）方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（）A.2＜m＜3B. 2＜m＜52C. 52＜m＜3D. 114＜m＜3【正确答案】：A【解析】：根据方程x 2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆可得出{m−2＞03−m＞0m−2＞3−m.从而可解出52＜m＜3 .然后根据必要不充分条件即可得出正确选项．【解答】：解：方程x 2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆时. {m−2＞03−m＞0m−2＞3−m.解得52＜m＜3 .由52＜m＜3可得出2＜m＜3；而由2＜m＜3得不出52＜m＜3 .∴方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是2＜m＜3．故选：A．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程.焦点在x轴上的椭圆的特点.必要不充分条件的定义.考查了计算和推理能力.属于基础题．3.（单选题.3分）数列2. 43，85，167，329.…的一个通项公式a n等于（）A. 2n2n−1B. 2nnC. 2n2n−1D. 2n2n+1【正确答案】：C【解析】：分别判断出分子和分母构成的数列特征.再求出此数列的通项公式．【解答】：解：∵2.4.8.16.32.…是以2为首项和公比的等比数列.且1.3.5.7.9.…是以1为首项.以2为公差的等差数列.∴此数列的一个通项公式是a n= 2n2n−1.故选：C．【点评】：本题考查数列的通项公式.以及等差、等比数列的通项公式.考查学生分析解决问题的能力.属于基础题．4.（单选题.3分）已知△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.该双曲线的离心率是（）A. √2−1B. √22C. √2D. √2+1【正确答案】：D【解析】：利用已知条件列出方程.转化求解双曲线的离心率即可．【解答】：解：△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.A或B为三角形的直角顶点.可得2c= b 2a = c2−a2a.可得e2-2e-1=0.解得e=1+ √2 .（1- √2舍去）．故选：D．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用.是基本知识的考查.基础题．5.（单选题.3分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠.日益功倍．初日屠五两.今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉.每一天屠完的肉是前一天的2倍.第一天屠了5两肉.共屠了30天.问一共屠了多少两肉？（）A.5×210B.5×229C.230-1D.5×（230-1）【正确答案】：D【解析】：根据题意.分析可得该人每天所屠的肉成等比数列.且首项a1=5.公比为2.由等比数列的前n项和公式分析可得答案．【解答】：解：根据题意.分析可得该人每天所屠的肉成等比数列.且首项a1=5.公比为2.则该人共屠了30天.则一共屠肉S30= 5(1−230)1−2=5×（230-1）；故选：D．【点评】：本题考查等比数列的应用.注意将原问题转化为等比数列的前n 项和问题.属于基础题．6.（单选题.3分）如图所示.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.设 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点.试用 a ，b ⃗ ，c 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −a +b⃗ +12c B. −a +b ⃗ +c C. −a −b ⃗ +12c D. a −b ⃗ +12c 【正确答案】：A【解析】：根据平面向量的线性表示.利用 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解答】：解： A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - a = b ⃗ + 12 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ - a= b ⃗ + 12c - a ． 故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用.是基础题目． 7.（单选题.3分）已知等差数列{a n }的公差d≠0.且a 1.a 3.a 13成等比数列.若a 1=1.S n 为数列{a n }的前n 项和.则 2S n +16a n +3的最小值为（ ）A.4B.3C.2 √3 -2D.2【正确答案】：A【解析】：a 1.a 3.a 13成等比数列.a 1=1.可得：a 32=a 1a 13.即（1+2d ）2=1+12d.d≠0.解得d ．可得a n .S n ．代入 2S n +16a n +3利用分离常数法化简后.利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】：解：∵a 1.a 3.a 13成等比数列.a 1=1. ∴a 32=a 1a 13.∴（1+2d ）2=1+12d.d≠0. 解得d=2．∴a n =1+2（n-1）=2n-1． S n =n+n (n−1)2×2=n 2． ∴ 2S n +16a n+3 = 2n 2+162n+2 = (n+1)2−2(n+1)+9n+1 =n+1+ 9n+1 -2≥2 √(n +1)×9n+1 -2=4.当且仅当n+1= 9n+1 时取等号.此时n=2.且 2S n +16a n +3取到最小值4.故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式.等比中项的性质.基本不等式求最值.解题的关键是利用分离常数法化简式子.凑出积为定值． 8.（单选题.3分）已知F 是双曲线C ：x 2-y 28=1的左焦点.P 是C 右支上一点.A （0.6 √6 ）.当△APF 周长最小时.该三角形的面积为（ ） A. 12√6 B.18√25C. 2√2D.18√65【正确答案】：A【解析】：利用双曲线的定义.确定△APF 周长最小时.P 的坐标.即可求出△APF 周长最小时.该三角形的面积．【解答】：解：由题意.设F′是右焦点.则△APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2（A.P.F′三点共线时.取等号）. 直线AF′的方程为x−3+6√6=1 与x 2-y 28=1联立可得y 2+6 √6 y-96=0.∴P的纵坐标为2 √6 .∴△APF周长最小时.该三角形的面积为12×6×6√6−12×6×2√6 =12 √6．故选：A．【点评】：本题考查双曲线的定义.考查三角形面积的计算.确定P的坐标是关键．9.（多选题.3分）下列说法正确的是（）A.“|x|=2019”是“x=2019”的充分条件B.“x=-1”是“x2-2x-3=0”充分不必要条件C.“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”D.若b＜a＜0.则1a ＜1b【正确答案】：BD【解析】：在A中.“|x|=2019”是“x=2019”的必要不充分条件；在B中.“x=-1”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件；在C中.“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件；在D中.若b＜a＜0.则由不等式取倒数法则得1a ＜1b．【解答】：解：在A中.“|x|=2019”是“x=2019”的必要不充分条件.故A错误；在B中.“x=-1”⇒“x2-2x-3=0”.“x2-2x-3=0”⇒“x=-1或x=3”.∴“x=-1”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件.故B错误；在C中.“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件.故C错误；在D中.若b＜a＜0.则由不等式取倒数法则得1a ＜1b.故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查充分条件、必要条件、充要条件等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．10.（多选题.3分）已知等比数列{a n}中.满足a1=1.q=2.则（）A.数列{a2n}是等比数列B.数列{1a n}是递增数列C.数列{log2a n}是等差数列D.数列{a n}中.S10.S20.S30仍成等比数列【正确答案】：AC【解析】：由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n 项和公式.判断各个选项是否正确.从而得出结论．【解答】：解：等比数列{a n }中.满足a 1=1.q=2.则a n =2n-1.∴a 2n =22n-1. ∴数列{a 2n }是等比数列.故A 正确； 数列 {1a n} 是递减数列.故B 不正确；∵log 2a n =n-1.故数列{log 2a n }是等差数列.故C 正确；数列{a n }中.S 10= 1−2101−2 =210-1.S 20=220-1.S 30=230-1.故D 错误.故选：AC ．【点评】：本题主要考查等比数列的性质、通项公式及前n 项和公式.属于基础题． 11.（多选题.3分）已知三个数1.a.9成等比数列.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1的离心率为（ ）A. √5B. √33C.√102 D. √3【正确答案】：BC【解析】：运用等比数列的中项性质.解方程可得a.分别运用椭圆和双曲线的a.b.c 的关系和离心率公式.计算可得所求值．【解答】：解：三个数1.a.9成等比数列.可得a 2=9.即a=±3. 若a=3.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1即为椭圆 x 23 + y 22 =1.可得离心率为 √3−23 = √33； 若a=-3.则圆锥曲线x 2a+y 22 =1即为双曲线 y 22 - x 23=1.可得离心率为 √2+32 = √102． 故选：BC ．【点评】：本题考查等比数列的中项性质和椭圆、双曲线的离心率.考查方程思想和运算能力.属于基础题．12.（多选题.3分）已知点F 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点.AB.CD 是经过点F 的弦且AB⊥CD .AB 的斜率为k.且k ＞0.C.A 两点在x 轴上方．则下列结论中移动成立的是（ ） A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B.四边形ACBD 面积最小值为16p 2 C. 1|AB|+1|CD|=12pD.若|AF|•|BF|=4p 2.则直线CD 的斜率为 −√3 【正确答案】：ACD【解析】：设直线AB 的方程：x=my+ p2 .设直线AB 的倾斜角为θ（θ≠0）.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.利用韦达定理可得|AB|=2psin 2θ. 设C （x 3.y 3）.D （x 4.y 4）.同理可得 y 3y 4=−p 2.x 3x 4= p 24 .|CD|= 2pcos 2θ ． A.由 OC⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3x 4+y 3y 4即可判定； B.四边形ACBD 面积S= 12 CD•AB= 4p 22sin 2θ•cos 2θ = 8p 2sin 22θ.即可判定； C.由 1|AB|+1|CD|=sin 2θ2p+cos 2θ2p = 12p.即可判定； D.|AF|•|BF|=（ x 1+p2 ）（x 2+ p2 ）=x 1x 2+ p2(x 1+x 2) + p 24 =4p 2.⇒m= √3 . θ=π6 ．则直线CD 的倾斜角为 2π3 .即可判定【解答】：解：如图所示：F （ p2 .0）.设直线AB 的方程：x=my+ p2 .设直线AB 的倾斜角为θ（θ≠0）．设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.联立直线AB 与抛物线的方程整理得：y 2-2pmy-p 2=0． ∴ y 1y 2=−p 2.x 1x 2=y 122p•y 222p = p 24．y 1+y 2=2pm ． |AB|= √1+m 2 • √(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2p （1+m 2）=2p •(1+cos 2θsin 2θ) = 2psin 2θ. 设C （x 3.y 3）.D （x 4.y 4）.同理可得 y 3y 4=−p 2 .x 3x 4= p 24 .|CD|= 2pcos 2θ ．对于A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3x 4+y 3y 4= p 24−p 2=−3p 24.故正确； 对于B.四边形ACBD 面积S= 12 CD•AB= 4p 22sin 2θ•cos 2θ = 8p 2sin 22θ .故其最小值为8p 2.故错；对于C. 1|AB|+1|CD|=sin 2θ2p+cos 2θ2p = 12p.故正确； 对于D.|AF|•|BF|=（ x 1+p2 ）（x 2+ p2 ）=x 1x 2+ p2(x 1+x 2) + p 24 =4p 2.则 p2(x 1+x 2)=7p2⇒x 1+x 2=7p ．⇒2pm 2=6p.⇒m= √3 .（m ＞0）. θ=π6 ． 则直线CD 的倾斜角为 2π3 .其斜率为- √3 ． 故选：ACD ．【点评】：本题考查了抛物线的性质.韦达定理.弦长公式.考查了数学运算.属于中档题．13.（填空题.3分）已知空间向量 a =（- √32 . 12 .1）. b ⃗ =（- √32 . 12.0）.若空间单位向量 c 满足： c •a =c •b ⃗ =0.则 c =___ 【正确答案】：[1]± (12，√32，0) 【解析】：设 d = λc =（x.y.z ）.由 c •a =c •b ⃗ =0.可得 d •a = c • b ⃗ =0.即 −√32 x+ 12 y+z=0. −√32 x+ 12y=0.令x=1.解得y.z 即可得出．【解答】：解：设 d = λc =（x.y.z ）.∵ c •a =c •b ⃗ =0. 则 d •a = c • b ⃗ =0. ∴ −√32 x+ 12 y+z=0. −√32 x+ 12 y=0. 令x=1.则y=- √3 .z=0． ∴ d=（1. √3 .0）． ∴ c =± d|d |=± (12，√32，0) ． 故答案为：．± (12，√32，0) ．【点评】：本题考查了空间向量、数量积运算性质、单位向量.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（填空题.3分）已知命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-1]∪[6.+∞）【解析】：命题p 是假命题.利用分离m.通过二次函数的最值转化求解．【解答】：解：∵命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则 ∴∀m∈[-1.1].a 2-5a-3≥m+2恒成立. ∴a 2-5a-3≥3. ∴a≤-1或a≥6.故答案为：（-∞.-1]∪[6.+∞）．【点评】：本题考查复合命题真假的关系.参数取值范围.考查转化、逻辑推理、计算能力． 15.（填空题.3分）已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 且b 1=a 1.则数列{b n }的通项公式b n =___ ． 【正确答案】：[1]2n+2-3【解析】：首先利用数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 建立等量关系式.进一步求出数列的通项公式．【解答】：解：数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) . 则：b n+1=2b n +3.所以b n+1+3=2（b n +3）.整理得b n+1+3b n +3=2 （常数）.所以数列{b n +3}是以b 1+3=8为首项.2为公比的等比数列． 所以 b n +3=8•2n−1=2n+2 . 故 b n =2n+2−3 （首项符合通项）. 故 b n =2n+2−3 ． 故答案为：2n+2-3．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．16.（填空题.3分）抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点A （ √3 .m ）（m ＞1）到抛物线准线的距离为 134 .点A 关于y 轴的对称点为B.O 为坐标原点.△OAB 的内切圆与OA 切于点E.点F 为内切圆上任意一点.则 OE⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [3−√3，3+√3]【解析】：利用点 A(√3， m) 在抛物线上.求出m.点A 到准线的距离为 32p +p2=134.求出p.即可解出抛物线方程.设点F （cosθ.2+sinθ）（θ为参数）.化简数量积.求解范围即可．【解答】：解：因为点 A(√3， m) 在抛物线上.所以 3=2pm ⇒m =32p.点A 到准线的距离为 32p +p2=134. 解得 p =12 或p=6．当p=6时. m =14＜1 .故p=6舍去.所以抛物线方程为x 2=y.∴ A(√3， 3)， B(−√3， 3) .所以△OAB 是正三角形.边长为 2√3 .其内切圆方程为x 2+（y-2）2=1.如图4.∴ E (√32， 32) ．设点F （cosθ.2+sinθ）（θ为参数）.则 OE⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32cosθ+3+32sinθ=3+√3sin (θ+π6) .∴ OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[3−√3， 3+√3] ．故答案为： [3−√3，3+√3] ．【点评】：本题考查抛物线的简单性质.直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用.考查转化思想以及计算能力．17.（问答题.0分）（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 的最小值； （2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .求a+b 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）把 3x +1x−2 =3x-6+ 33x−6+6.利用基本不等式求出即可； （2）利用柯西不等式求出即可．【解答】：解：（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 =3x-6+ 33x−6 +6 ≥2√3+6 .当且仅当 x =2+√33时.取等号.3x +1x−2 的最小值 2√3+6 ； （2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .a+b= 12 （a+b ）（ 1a +2b ）≥ 12 （1+ √2 ）2= 3+2√22.当且仅当 b =√2a 时.取等号.故a+b 的最小值为 3+2√22．【点评】：考查基本不等式和柯西不等式的应用.中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2n+1-2（n∈N *）.{b n }是等差数列.且a 3=b 4-2b 1.b 6=a 4．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{（-1）n b n 2}的前2n 项和T 2n ．【正确答案】：【解析】：（1）通过 S n =2n+1−2 .转化求解 a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d.转化求解b n =3n-2．（2）利用分组求解数列的和转化求解即可．【解答】：解：（1）因为 S n =2n+1−2 .所以数列{a n }是以2为首项.公比为2的等比数列.所以 a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d.由a 3=b 4-2b 1.b 6=a 4.所以8=3d-b 1.16=5d+b 1. 所以3=d.b 1=1.所以b n =3n-2．（2） T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3（b1+b2）+3（b3+b4）+…+3（b2n-1+b2n）.又因为b n=3n-2.所以T2n=3（b1+b2）+3（b3+b4）+…+3（b2n-1+b2n）=3（b1+b2+…+b2n）.所以T2n=3×2n(b1+b2n)2=3n[1+3×(2n)−2]=18n2−3n．【点评】：本题考查数列的求和.等差数列以及等比数列的应用.考查转化思想以及计算能力.是中档题．19.（问答题.0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.边长为2.利用综合法完成以下问题：（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A-B1C-A1的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）设点A1到平面ACB1的距离为d.由V A1−ACB1=V C−A1AB1.能求出点A1到平面ACB1的距离．（2）分别取B1C、A1C的中点E.F.连结AE.AF.EF.推导出∠AEF是二面角A-B1C-A1的平面角.由此能求出二面角A-B1C-A1的余弦值．【解答】：解：（1）∵△ACB1是边长为2 √2的等边三角形.∴ S△ACB1 = 12×2√2×2√2×sinπ3=2 √3 .∵ V C−A1AB1 = 13×2×12×2×2 = 43.设点A1到平面ACB1的距离为d.由V A1−ACB1=V C−A1AB1.得13×d×2√3=43.解得d= 2√33．故点A1到平面ACB1的距离为2√33．（2）分别取B1C、A1C的中点E.F.连结AE.AF.EF.∵△ACB1是边长为2 √2的等边三角形.∴AE⊥B1C.AE= 2√2×sinπ3= √6 .∵△A1B1C是直角三角形.EF是△A1B1C的中位线. ∴EF || A1B1.EF⊥B1C.EF=1.∴∠AEF是二面角A-B1C-A1的平面角.在△AEF中. AF=12A1C=√3 .∴cos∠AEF= 1+6−32√6= √63．∴二面角A-B1C-A1的余弦值为√63．【点评】：本题考查点到平面的距离的求法.考查二面角的余弦值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.0分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.AB=2.BC=1. PC=PD=√2 .E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD || 平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M.使得AM⊥BD？若存在.求PMPD的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（I ）设BD 交AC 于点F.连结EF ．推导出EF || PD ．由此能证明PD || 平面ACE ． （II ）取CD 的中点O.连结PO.FO ．推导出PO⊥平面ABCD ．建立空间直角坐标系O-xyz.利用向量法能求出二面角E-AC-D 的余弦值．（Ⅲ）在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD ．设 PMPD =λ(λ∈[0，1])，M(x ，y ，z) .则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D(0，−1，0) ．利用向量法能求出在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD .且 PM PD =12 ．【解答】：（共14分）证明：（I ）设BD 交AC 于点F.连结EF ． 因为底面ABCD 是矩形.所以F 为BD 中点． 又因为E 为PB 中点.所以EF || PD ． 因为PD⊄平面ACE.EF⊂平面ACE. 所以PD || 平面ACE ．…．（4分） （II ）取CD 的中点O.连结PO.FO ． 因为底面ABCD 为矩形.所以BC⊥CD ．因为PC=PD.O 为CD 中点.所以PO⊥CD .OF || BC ．所以OF⊥CD ． 又因为平面PCD⊥平面ABCD.PO⊂平面PCD.平面PCD∩平面ABCD=CD. 所以PO⊥平面ABCD ．如图.建立空间直角坐标系O-xyz.则 A(1，−1，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，E (12，12，12)设平面ACE 的法向量为m=（x.y.z ） AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，32，12)所以 {AC⃗⃗⃗⃗⃗ •m =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ •m =0⇒{−x +2y =0，−12x +32y +12z =0⇒{x =2y ，z =−y. 令y=1.则x=2.z=-1.所以m=（2.1.-1）．平面ACD 的法向量为 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) . cos ＜m ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=m•OP ⃗⃗⃗⃗⃗|m|•|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√66 ．如图可知二面角E-AC-D 为钝角.所以二面角E-AC-D 的余弦值为 −√66．…．（10分）（Ⅲ）在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD ．设 PMPD =λ(λ∈[0，1])，M(x ，y ，z) .则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD⃗⃗⃗⃗⃗ ，D(0，−1，0) ． 因为（x.y.z-1）=λ（0.-1.-1）.所以M （0.-λ.1-λ）. AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1−λ，1−λ)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−2，0) ．因为AM⊥BD .所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ． 所以1-2（1-λ）=0.解得 λ=12∈[0，1] ．所以在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD .且 PMPD =12 ．…．（14分）【点评】：本题考查线面平行的证明.考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查空间想象能力.考查数形结合思想.是中档题． 21.（问答题.0分）已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a n 2+a n -2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =2n (n−1)na n（n∈N*）.求数列{b n }的前n 项和T n ．（3）是否存在实数λ使得T n +2＞λ•S n 对n∈N +恒成立.若存在.求实数λ的取值范围.若不存在说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论.进一步求出数列的通项公式．（3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围．【解答】：解：（1）当n=1时.a 1=2．当n≥2时. 2a n =2(S n −S n−1)=2[(a n 2+a n −2)−(a n−12+a n−1−2)] .整理可得：（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0. 可得a n -a n-1=1.∴{a n }是以a 1=2为首项.d=1为公差的等差数列． ∴ a n =2+(n −1)×1=n +1(n ∈N ∗) ．（2）由（Ⅰ）得a n =n+1. ∴ b n =2n (n−1)n (n+1)=2n+1n+1−2nn ． ∴ T n =(222−2)+(233−222)+⋯+(2n+1n+1−2n n)=2n+1n+1−2 ．（3）假设存在实数λ.使得 2n+1n+1＞λn (n+3)2对一切正整数恒成立. 即 λ＜2n+2n (n+1)(n+3) 对一切正整数恒成立.只需满足 λ＜(2n+2n (n+1)(n+3))min即可.令 f (n )=2n+2n (n+1)(n+3).由数列的单调性可得.所以f （1）=1.f （2）= 815 .f （3）= 49 . f (4)=1635 ＜f （5）＜f （6）＜… 当n=3时有最小值 f (3)=49 ． 所以 λ＜49 ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.恒成立问题的应用.数列的求和的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型． 22.（问答题.0分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) .与x 轴负半轴交于A （-2.0）.离心率e =12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与椭圆C 交于M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）两点.连接AM.AN 并延长交直线x=4于E （x 3.y 3）.F （x 4.y 4）两点.若 1y 1+1y 2=1y 3+1y 4.求证：直线MN 恒过定点.并求出定点坐标．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出a 、c.得到b.即可求椭圆C 的方程； （2）法1： {y =kx +m ，x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0 .通过韦达定理.结合k AM =k AE 推出y=kx+m=k （x-1）.说明直线MN 恒过定点（1.0）． 法2：设直线AM 的方程为：x=t 1y-2.通过 {x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0 求出E(4，6t1)同理F(4，6t2) .得到直线系方程说明直线过定点（1.0）．【解答】：解：（1）由题有a=2. e=ca =12．∴c=1.∴b2=a2-c2=3．∴椭圆方程为x24+y23=1．（2）法1：{y=kx+m，x24+y23=1．⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0 .△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0⇒m2＜12k2+9.x1+x2=−8km3+4k2 . x1x2=4m2−123+4k2．又k AM=k AE∴ y1−0 x1+2=y3−04+2⇒y3=6y1x1+2同理y4=6y2x2+2又1y1+1y2=1y3+1y4∴ y1+y2y1y2=x1+26y1+x2+26y2=x1y2+x2y1+2(y1+y2)6y1y2⇒4（y1+y2）=x1y2+x2y1⇒4（kx1+m+kx2+m）=x1（kx2+m）+x2（kx1+m）⇒（4k-m）（x1+x2）-2kx1x2+8m=0.⇒(4k−m)−8km3+4k2−2k(4m2−12)3+4k2+8m=0⇒24(k+m)3+4k2=0．∴m=-k.此时满足m2＜12k2+9∴y=kx+m=k（x-1）∴直线MN恒过定点（1.0）．法2：设直线AM的方程为：x=t1y-2则{x=t1y−2x24+y23=1⇒(3t1+4)y2−12t1y=0 .∴y=0或y1=12t3t12+4.∴ x1=t1y1−2=t112t13t12+4−2=6t12−83t12+4同理x2=6t22−83t22+4. y2=12t23t22+4.当x3=4时.由x3=t1y3-2有y3=6t1．∴ E(4，6t1)同理F(4，6t2) .又1y1+1y2=1y3+1y4.∴ 3t12+412t1+3t22+412t2=t16+t26. ⇒(t1+t2)(3t1t2+4)12t1t2=t1+t26.当t1+t2≠0时.t1t2=-4.∴直线MN的方程为y−y1=y1−y2x1−x2(x−x1)⇒y−12t13t12+4=12t13t12+4−12t23t22+46t12−83t12+4−6t22−83t22+4(x−6t12−83t12+4)⇒y−12t13t12+4=4t1+t2(x−6t12−83t12+4)⇒y=4t1+t2x−4t1+t2•6t12−8 3t12+4+12t13t12+4=4t1+t2x−4(3t12+4)(3t12+4)(t1+t2)=4t1+t2(x−1) .∴直线MN恒过定点（1.0）当t1+t2=0时.此时也过定点（1.0）综上直线MN恒过定点（1.0）．【点评】：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用.考查发现问题解决问题的能力.是难题．。