2013届高三数学一轮复习课时作业 (2)命题、量词和逻辑联结词 文 新人教B版

课时作业(二) [第2讲 命题、量词与逻辑联结词][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyC ．∀x ＞0，y ＞0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x ＜0，y ＜0，都有x 2＋y 2≤2xy2．命题p ：“∀x ∈R ，x 2－2x ＋3≤0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋3≥0 B ．∃x 0∈R ，x 0－2x 0＋3>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋3<0D ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋3<03．已知命题p ：3≥3；q ：3>4，则下列选项正确的是( ) A ．p 或q 为假，p 且q 为假，綈p 为真 B ．p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 为真 C ．p 或q 为假，p 且q 为假，綈p 为假 D ．p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 为假4．[2011·湖南六校联考] 已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，且命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围为________．能力提升5．[2011·大连八中模拟] 下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝1.5B ．∀x ∈R ，总有x 2－2x －3≥0C ．∀x ∈R ，∃y ∈R ，y 2<x D ．∃x ∈R ，∀y ∈R ，y ·x ＝y6．已知p ：x 2－2x －3≥0，q ：x ∈Z .若p 且q ，綈q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{x |x <－1或x >3，x ∈Z }D ．{x |－1<x <3，x ∈Z }7．[2011·仙桃模拟] 对于下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0； p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 48．若函数f (x )＝－x e x，则下列命题正确的是( )A ．∀a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e ，∃x 0∈R ，f (x 0)>a B ．∀a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，∃x 0∈R ，f (x 0)>a C ．∀x ∈R ，∃a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e ，f (x )>aD ．∀x ∈R ，∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，f (x )>a 9．下列说法正确的是( )A ．“a <b ”是“am 2<bm 2”的充要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20－1≤0”C ．“若a ，b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 都不是奇数”D ．已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为m ≥210．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．11．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)12．[2011·威海模拟] 已知命题p ：f (x )＝1－2mx在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式(x －1)2>m 的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．13．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52； 命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“綈p ∨綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④“p ∧綈q ”是假命题．其中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．14．(10分)命题p ：方程x 2－x ＋a 2－6a ＝0，有一正根和一负根．命题q ：函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴无公共点．若命题“p ∨q ”为真命题，而命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．15．(13分)命题p ：方程x 2－x ＋a 2－6a ＝0，有一正根和一负根．命题q ：函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴无公共点．若命题“p ∨q ”为真命题，而命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．课时作业(二)【基础热身】1．A [解析] 全称命题是∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2≥2xy 都成立，故选A. 2．B [解析] 全称命题的否定为特称命题．命题p 的否定为“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋3>0”，故选B.3．D [解析] 命题p 为真命题，命题q 为假命题，因此①p 且q 为假，②p 或q 为真，③綈p 为假．4．(－∞，1] [解析] 綈p 是假命题，则命题p 是真命题，即关于x 的方程4x －2x ＋1＋m ＝0有实数解，而m ＝－(4x －2x ＋1)＝－(2x －1)2＋1，所以m ≤1.【能力提升】5．D [解析] A 中因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，所以A 错误；B中因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，所以B 错误；C 显然错误；D 中当x ＝1时，即符合题意．综上可知D 正确．6．D [解析] p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z .由p 且q ，綈q 同时为假命题知，p 假q真，所以x 满足－1<x <3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{} |x －1<x <3，x ∈Z .7．D [解析] 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，p 2正确，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，而log 13x >1，p 4正确．8．A [解析] f ′(x )＝－e x (x ＋1)，由于函数f (x )在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减，故f (x )max ＝f (－1)＝1e ，故∀a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e ，∃x 0∈R ，f (x 0)>a . 9．D [解析] 对于A ，“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要条件，故A 错；对于B ，命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1>0”，故B 错；对于C ，“若a ，b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数”，故C 错；对于D ，若p ∨q 为假命题，则两命题都是假命题．若p 为假，则m ≥0，若q 为假，则有Δ＝m 2－4≥0⇒m ≥2或m ≤－2，若使两命题都是假命题，则m ≥2，故D 正确．10．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>011．真 [解析] 由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0，因此只需m 2－m ≤0，即0≤m ≤1，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．12．0≤m <12 [解析] 由f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，即m <12，由不等式(x －1)2>m 的解集为R ，得m <0.要保证命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m <12.13．③④ [解析] 命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以③④正确．14．[解答] 命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4a 2－6a >0，x 1x 2＝a 2－6a <0，解得0<a <6；q ：Δ＝(a －3)2－4＝(a －1)(a －5)<0，解得1<a <5.“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p 、q 中恰为一真一假，因为(1,5)(0,6)，故只能为p 真q 假，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <6，a ≤1或a ≥5，得a ∈(0,1]∪[5,6)．15．[解答] 命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a 2－6a>0，x 1x 2＝a 2－6a <0，解得0<a <6；q ：Δ＝(a －3)2－4＝(a－1)(a －5)<0，解得1<a <5.“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p 、q 中恰为一真一假，因为(1,5)(0,6)，故只能为p 真q 假，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <6，a ≤1或a ≥5，得a ∈(0,1]∪[5,6)．【难点突破】16．[解答] 若命题p 为真，则0<c <1，由2≤x ＋1x ≤52知，要使q 为真，需1c <2，即c >12.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0<c ≤12或c ≥1.。

1.2简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第Ⅰ组：全员必做题1．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是____________．2．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为______________．3．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．4．(2013·盐城一模)现有下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”；②若集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则A ∩(∁R B )＝A ；③函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝k π＋π2(k ∈Z )； ④若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则b 与a －b 的夹角为60°.其中正确命题的序号有________．5．(2013·苏北四市二调)已知集合A ＝{(x ，y )|x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2，r >0}，若“点(x ，y )∈A ”是“点(x ，y )∈B ”的必要不充分条件，则r 的最大值是________．6．(2013·东北四市调研)已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈『1,2』，x 2－1≥0.以下命题：①(綈p 1)∧(綈p 2)；②p 1∨(綈p 2)；③(綈p 1)∧p 2；④p 1∧p 2.其中为真命题的是________(填序号)．7．下列命题：①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1”；②命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1，则綈p ：∀x ∈R ，sin x ≤1；③若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题；④“φ＝π2＋2k π(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件． 其中为真命题的是________(填序号)．8．已知命题p ：“∀x ∈『1,2』都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________．9．已知命题p ：“∀x ∈N *，x >1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．10．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．11．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12<0的解集是{x |3<x <4}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________(填序号)．12．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”． 其中正确结论的序号为________．第Ⅱ组：重点选做题1．命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，函数f (x )＝|log 2x |的值域为『0，＋∞)；命题q ：∃m ≥0，使得y ＝sin mx 的周期小于π2，试判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 的真假性．2．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．『解析』全称命题含有量词“∀”，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立． 『答案』∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )22．『解析』命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数．『答案』存在一个指数函数，它不是单调函数3．『解析』由题意x ∈R 时，x 2＋(a －1)x ＋1>0恒成立，所以Δ＝(a －1)2－4<0，即－2<a －1<2，所以－1<a <3.『答案』(－1,3)4．『解析』命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B ＝(－1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝A ；命题③真，若φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π2＝±cos ωx 为偶数；命题④假，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以由三角形法则可得|a |，|b |的夹角为60°，b 与(a －b )的夹角为120°.所以填写答案为②③.『答案』②③5．『解析』集合A 是由四点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)围成的正方形区域，集合B 表示的是以(0,0)为圆心，r 为半径的圆域．由于点(x ，y )∈A 是点(x ，y )∈B 的必要不充分条件，所以r 的最大值是点(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|2＝22. 『答案』226．『解析』∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 2＋x ＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈『1,2』，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题．『答案』③7．『解析』对于①，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1”，①错误；由全称命题的否定是存在性命题知，②正确；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p 且q 为假命题，故③错误；函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数的充要条件为φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故④错误．『答案』②8．『解析』若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈『1,2』，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 20＋2ax 0＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p ∧q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.『答案』(－∞，－2』∪{1}9．『解析』q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真． 『答案』∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真 10．『解析』当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0， 得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0.『答案』『－8,0』11．『解析』因为命题p 和命题q 都是真命题，所以命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧綈q ”是假命题，命题“綈p ∨q ”是真命题，命题“綈p ∨綈q ”是假命题．『答案』①②③④12．『解析』在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．『答案』①③第Ⅱ组：重点选做题1．『解析』对于命题p ，当f (x )＝|log 2x |＝0时，log 2x ＝0，即x ＝1,1∉(1，＋∞)，故命题p 为假命题．对于命题q ，y ＝sin mx 的周期T ＝2π|m |<π2，即|m |>4，故m <－4或m >4，故存在，m ≥0，使得命题q 成立，所以p 且q 为假命题．故p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．2．『解析』由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52， 要使此式恒成立，需1c <2，即c >12， 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12； 当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0<c ≤12或c ≥1.。