(江苏专用)2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 阶段复习课学案 苏教版选修1-1

§2.6　曲线与方程2.6.1　曲线与方程学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点　曲线与方程的概念思考　到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案　y ＝±x .在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理　如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上(条件②，即完备性)，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C 的点集和方程f (x ，y )＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x ，y )建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3.(√)2．到y 轴距离为2的点的直线方程x ＝－2.(×)3．方程＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线．(×)xy －2类型一　曲线与方程的概念例1　命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案　②解析　不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟　解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1　设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案　④解析　“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二　点与曲线的位置关系例2　方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C，D (8,0)中的________个．(53，－74)答案　2解析　由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C 不符合要求；(53，－74)将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟　点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．跟踪训练2　证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－2，2)是否在这个圆上．5解　(1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以＝5，也x 20＋y 20就是x ＋y ＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．2020(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x ＋y ＝25，两边开方取算术平方根，得2020＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．x 20＋y 20由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－2，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，5(－2，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．5类型三　曲线与方程关系的应用例3　判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解　(1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟　判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3　若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．解　∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－22＋.(a ＋12)12∴k ≤，12∴k 的取值范围是.(－∞，12]1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0；②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0.答案　③2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)9(x －1)2y 24①(－2,0)　②(1,2)　③(4,0)　④(3,1)答案　①③解析　将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.(m2，－m )答案　－或2185解析　依题意得2＋(－m －1)2＝10，(m2)解得m ＝2或m ＝－.185所以m 的值为2或－.1854．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案　两条相交直线解析　原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案　4个点解析　由题意，得Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线③一条线段④不能确定答案　②解析　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是________．(填序号)① (0,0)　②(7,15)　③(2,3)　④(4,4)答案　③解析　由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案　2解析　由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)x23x3①y＝a log a x；②y＝；③y＝log a a x；④y＝.答案　③④3x3解析　由y＝log a a x＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．y－25．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．答案　点(1,2)y－2y－2解析　由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．y－26．若点M到两坐标轴的距离的积为2016，则点M的轨迹方程是________．答案　xy＝±2016解析　设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2016，所以xy＝±2016.7．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案　必要不充分解析　由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0，则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0，得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k 的值为________．x 216y 24答案　±54解析　联立方程组Error!消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0，即k ＝±时，直线与椭圆有一个公共点．549．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法：①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0；②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上；④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号)答案　④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________．答案　4π解析　设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.答案　③解析　对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的．二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围4－y 2成的图形的面积．解　由x ＝，得x 2＋y 2＝4.4－y 2又x ≥0，∴方程x ＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C4－y 2与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝π·4＝2π.12所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明　因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②－＝0；③x 2－y 2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的x y xy 第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．答案　①解析　①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不x y 正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程＝1.xy 15．方程(2x ＋3y －5)(－1)＝0表示的曲线是什么？x －3解　因为(2x ＋3y －5)(－1)＝0，x －3所以可得Error!或者－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为x －3一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。

2.2.2 椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质．(重点) 2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点) 3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．椭圆的简单几何性质[基础自测]1．判断正误：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a .( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆．( )【解析】 (1)×.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于2a .(2)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c .(3)√.离心率e ＝c a越小c 就越小，这时b 就越接近于a ，椭圆就越圆． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的离心率是________.【导学号：95902089】【解析】 由方程可知a 2＝25，a ＝5，c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，∴e ＝c a ＝35.【答案】 35[合 作 探 究·攻 重 难]已知椭圆x 2＋(m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[思路探究] 把椭圆方程标准化→利用离心率求m 的值→求a ，b ，c →求性质【自主解答】 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －mm ＋3＝m m ＋m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m m ＋m ＋3.由e ＝32得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0； 四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[规律方法] 用标准方程研究几何性质的步骤将椭圆方程化为标准形式⇓ 焦点位置⇓ 求出a ，b ，c⇓写出椭圆的几何性质[跟踪训练]1．求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.【导学号：95902090】【解】 把已知方程化成标准方程x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74， 两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3).(1)已知椭圆x 2a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53在椭圆上，则椭圆的标准方程为__________．(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为________．[思路探究] 解决问题的关键是根据已知条件求出a 2和b 2.【自主解答】 (1)由e ＝c a ＝23得c 2a 2＝49，又c 2＝a 2－b 2，所以a 2－b 2a 2＝49得b 2a 2＝59. ①又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53在椭圆上得4a 2＋259b 2＝1， ②由①，②解得a 2＝9，b 2＝5.所以所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.【答案】 (1)x 29＋y 25＝1 (2)x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.[规律方法]1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是：(1)求出a 2，b 2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．[跟踪训练]2．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的方程为________.【导学号：95902091】【解析】 直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1.故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆方程为x 25＋y 2＝1.【答案】x 25＋y 2＝1(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为________．(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，则椭圆的离心率为________．[思路探究] (1)求出点P 的坐标，利用点P 在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e 的方程，解方程可得离心率．(2)在焦点三角形PF 1F 2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a ，b 的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解．【自主解答】 (1)依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a 2＋4c 2b2＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2，又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)，从而e ＝2－1.(2)方法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt△MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21，而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2∴3b ＝2a .∴b 2a 2＝49. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.法二：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，∴c 2a 2＝59，∴c a ＝53，即e ＝53. 【答案】 (1)2－1 (2)53[规律方法] 求椭圆离心率及范围的两种方法直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解.若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝c a求解.方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围.[跟踪训练]3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为__________.【导学号：95902092】【解析】 因为MF 2垂直于x 轴，∠MF 1F 2＝45°，所以△MF 1F 2是等腰直角三角形，以MF 1为斜边．设MF 1＝2m (m ＞0)，则MF 2＝F 1F 2＝m ，又因为F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(1＋2)m ，而2c ＝F 1F 2＝m ，所以e ＝c a ＝2c2a＝m＋2m＝2－1. 【答案】2－1[探究问题]1．已知直线y ＝kx ＋m 和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2a 2＋y2b2＝1得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2kma 2x ＋a 2(m 2－b 2)＝0，设该二次方程的判别式为Δ，若Δ＞0，则直线与椭圆有两个交点；若Δ＝0，则直线与椭圆有一个交点；若Δ＜0，则直线与椭圆没有交点．2．如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究1中得到的关于x 的二次方程有什么关系？【提示】 探究1中得到的关于x 的二次方程(a 2k 2＋b 2)x 2＋2kma 2x ＋a 2(m 2－b 2)＝0的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标．3．设直线与椭圆有两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，那么如何求线段AB 的长和M 的坐标？【提示】 方法一：解方程(a 2k 2＋b 2)x 2＋2kma 2x ＋a 2(m 2－b 2)＝0，可得x 1，x 2，由y ＝kx ＋m 可得y 1，y 2，即得A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段AB 的长和M 的坐标．方法二：根据根与系数的关系，采取“设而不求”思路解决问题． 即 AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋kx 1＋m －kx 2－m 2＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，点M 的坐标可直接利用根与系数的关系求解．上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题．如图2­2­2所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，过右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当l 与x 轴垂直时，AB 长为433.图2­2­2(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在一点P ，使得OP →＝OA →＋OB →，求直线l 的斜率.【导学号：95902093】【自主解答】 (1)由题意可知2c ＝2，c ＝1，当l 与x 轴垂直时|AB |＝2b 2a ＝433，由a 2＝b 2＋c 2，得a ＝3，b ＝2，故椭圆的标准方程是：x 23＋y 22＝1.(2)设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程：y ＝k (x －1)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 23＋y22＝1，可得(3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2.因为OP →＝OA →＋OB →则⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝x 1＋x 2y 3＝y 1＋y 2，代入椭圆方程x 1＋x 223＋y 1＋y 222＝1，又x 213＋y 212＝1，x 223＋y 222＝1，化简得2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0，即(3k 2＋2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋3k 2＋3＝0 将x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2代入得3k 2－6－3k 2×6k 23k 2＋2＋3k 2＋3＝0，化简得k 2＝2，k ＝±2，故直线l 的斜率为± 2.[规律方法] 椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.[跟踪训练]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P 是该椭圆上的一个动点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值．【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意ca ＝32，且a ＝2，得c ＝3，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，由(1)知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24－3＝34x 2－2， ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1.[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________.【导学号：95902094】【解析】 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 【答案】x 24＋y 23＝12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．【答案】 (±3，0)3．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为________.【导学号：95902095】【解析】 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1.∴1m ＝2，∴m ＝14. 【答案】 144．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．【解析】 设过左焦点F 1的正三角形的边交椭圆于A ，则AF 1＝c ，AF 2＝3c ，有2a ＝(1＋3)c ，∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.【答案】3－15．当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144. (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点.【导学号：95902096】【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，9x 2＋16y 2＝144.消去y 得，9x 2＋16(x ＋m )2＝144， 化简整理得，25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0， Δ＝(32m )2－4×25(16m 2－144)＝－576m 2＋14 400. (1)当Δ<0时，得m <－5或m >5，直线l 与椭圆无公共点. (2)当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆有且仅有一个公共点． (3)当Δ>0时，得－5<m <5，直线l 与椭圆有两个公共点．。

第2章圆锥曲线与方程[体系构建][自我校对]①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ②y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ③(±a ，0)，(0，±b )或(0，±a )，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0) ⑦2c ⑧c a ⑨x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) ⑩y ＝±bax ⑪y＝±ab x ⑫y 2＝±2px (p ＞0) ⑬x 2＝±2py (p ＞0) ⑭⎝ ⎛⎭⎪⎫±p2，0 ⑮y ＝±p 2 ⑯PFd ＝e[题型探究]应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离互相转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．已知A (4,0)，B (2,2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求MA ＋MB 的最大值与最小值．[精彩点拨] A (4,0)为椭圆的右焦点，B 为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化．[规范解答] 如图所示，由题意，知点A (4,0)恰为椭圆的右焦点，则A 关于O 的对称点为A 1(－4,0)(左焦点)．由椭圆的定义，得MA ＋MA 1＝2a ，∴MA ＝2a －MA 1， ∴MA ＋MB ＝(2a －MA 1)＋MB ＝2a ＋(MB －MA 1)．∵|MB －MA 1|≤A 1B ＝210，即－210≤MB －MA 1≤210，又2a ＝10，∴MA ＋MB 的最大值是10＋210，最小值为10－210.[再练一题]1．双曲线16x 2－9y 2＝144的左、右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝64，求△PF 1F 2的面积.【导学号：71392145】[解] 双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为x 29－y 216＝1，即a 2＝9，b 2＝16，所以c 2＝25，解得a ＝3，c ＝5，所以F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，由双曲线的定义， 可知|m －n |＝2a ＝6， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝m 2＋n 2－(2c )22mn ＝(m －n )2＋2mn －4c 22mn ＝36＋2×64－4×252×64＝12，所以∠F 1PF 2＝60°. 所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin∠F 1PF 2＝12m ·n ·sin 60°＝163，所以△PF 1F 2的面积为16 3.1式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．2．待定系数法是求圆锥曲线标准方程的主要方法，其步骤是： (1)定位置：先确定圆锥曲线焦点的位置，从而确定方程的类型； (2)设方程：根据方程的类型，设出方程； (3)求参数：利用已知条件，求出a ，b 或p 的值； (4)得方程：代入所设方程，从而得出所求方程．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程． [精彩点拨] 设出所求椭圆的方程，利用待定系数法求解．[规范解答] 因为c ＝9－4＝5，所以所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝c a ＝55，c ＝5，所以a ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝20，所以所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1.[再练一题]2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的焦半距长为c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． [解析] 法一：如图，在△OAB 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OE ＝34c ，AB ＝a 2＋b 2＝c .由于AB ·OE ＝OA ·OB ， ∴c ·34c ＝ab ，∴34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同时除以a 2，得34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－b a ＋34＝0， ∴b a ＝3或b a ＝33(舍去)． ∴e ＝c a ＝a 2＋b2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 法二：直线l 方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，由原点到直线l 的距离为34c ，得|ab |b 2＋a2＝34c ，即ab ＝34c 2，两边平方得a 2b 2＝316c 4. ∴16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， ∴3c 4－16a 2c 2＋16a 4＝0， 同除以a 4得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43(舍去)，∴e ＝2. [答案] 2知曲线的定义，若符合，就可以直接利用已知曲线的方程，结合待定系数法求解；若动点满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点满足的条件不明了，但与之相关的另一点在已知的曲线上，我们就使用代入法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法．设圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C ，过原点作圆的弦OA ，求OA 中点B 的轨迹方程.【导学号：71392146】[精彩点拨] 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解． [规范解答]法一(直接法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意，得OB 2＋BC 2＝OC 2，如图所示：即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(定义法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知，CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1， 所以(2x －1)2＋(2y )2＝1. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交轨法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立，消去k 即得其交点轨迹方程y 2＋x (x －1)＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y2＝14(x ≠0,1)， 显然B (1,0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)即为所求．[再练一题]3．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，求点P 与Q (0，－1)连线中点M 的轨迹方程． [解] 设P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1.又P (x 0，y 0)在曲线y ＝2x 2＋1上， ∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2. ∴点M 的轨迹方程为y ＝4x 2.1数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．2．直线l 截圆锥曲线所得的弦长AB ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．如图2­1所示，O 为坐标原点，过点P (2,0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y2＝2x 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．图2­1(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON .【导学号：71392147】[精彩点拨] 设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系求解． [规范解答] (1)过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －2)． (2)把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M ，N 两点在抛物线上，∴y 21·y 22＝4x 1x 2＝16， 而y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－4.(3)∵OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4－4＝0， ∴OM →⊥ON →，∴OM ⊥ON . [再练一题]4．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y216＝1所截线段的中点坐标．[解] 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0， ∴x 1＋x 2＝3，∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.(1)平面几何法：主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法：建立目标函数，解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[精彩点拨] 联立、消元→一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→韦达定理→弦长公式→求函数最值[规范解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2， 所以当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x . [再练一题]5．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若AF ＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 长的最小值．[解] (1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，设A (x 1，y 1)，则由抛物线的定义，可知AF ＝x 1＋1＝4，∴x 1＝3，代入y 2＝4x 中，得y 21＝4×3，即y 1＝±23，故A 点的坐标为(3，±23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∵直线与抛物线相交于A ，B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2＞4；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时AB ＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.1们之间可能构成函数关系，利用函数思想来处理这类问题是常用的方法，如解析几何中的最值问题、参数取值范围问题都可用函数思想来处理．2．由于在解析几何中大多数题目都是以方程的形式给出直线和圆锥曲线，因此可用方程思想讨论直线与圆锥曲线的位置关系问题．一般是将直线方程代入圆锥曲线方程，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而去解决与“距离”“中点”有关的问题．点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：71392148】[精彩点拨] (1)由PA ⊥PF 得P 点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P 点的坐标． (2)由M 到直线AP 的距离等于MB ，求出M 点坐标，将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值．[规范解答] (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.消去y 整理得2x 2＋9x －18＝0， 解得x ＝32或x ＝－6(舍去)．所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)由(1)知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532，A (－6,0)，由两点式方程得直线AP 的方程为y －0532－0＝x ＋632＋6，即x －3y ＋6＝0.设点M (m,0)，由点到直线的距离公式，得M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.又MB ＝|m －6|， 于是|m ＋6|2＝|m －6|. 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15. 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15. [再练一题]6．已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12(O 为坐标原点)，求椭圆的方程． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋2，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 消去y ，整理得(a 2＋4b 2)x 2－8a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2. 又设AB 的中点M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝4a 2a 2＋4b 2，y M ＝－12x M ＋2＝8b 2a 2＋4b 2. ∵直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝12， ∴2b 2a 2＝12，∴a 2＝4b 2， 从而x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2＝4，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2＝8－2b 2. 又∵AB ＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52×16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，∴a 2＝4b 2＝16， 故所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1. [链接高考]1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．[解析] 由双曲线的方程得，双曲线的右准线为x ＝32，两条渐近线方程为y ＝±33x ，右准线与两条渐近线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32， 则四边形F 1PF 2Q 的面积为S 四边形F 1PF 2Q ＝12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3. [答案] 2 32．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为________.【导学号：71392149】[解析] 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，半径r ＝2，不妨设双曲线C 的一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0.因为该渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2， 所以|2b |b 2＋a 2＝4－1＝3，两边平方得3a 2＝b 2，即b 2a ＝3， 从而e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. [答案] 2 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为________．[解析] 由双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52①.又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)， ∴a 2＋b 2＝9②.由①②联立可解得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. [答案] x 24－y 25＝1 4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． [解] (1)设点F 的坐标为(－c,0)． 依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2＝34. 所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，2m . 将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4. 由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 由点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ， 可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2. 又因为△APD 的面积为62，故12·6m23m2＋2·2|m|＝62，整理得3m2－26|m|＋2＝0，解得|m|＝63，所以m＝±63.所以直线AP的方程为3x＋6y－3＝0或3x－6y－3＝0.。

2.1 圆锥曲线学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)[自主预习·探新知]教材整理圆锥曲线阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．圆、两条相交直线、1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是椭圆、抛物线．、双曲线2．设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a>0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( ) [解析] (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√[合作探究·攻重难]C的轨迹；(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长.【导学号：71392047】[精彩点拨](1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．[自主解答](1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB ＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)．(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．[解析] 根据椭圆的定义，应填必要不充分．[答案] 必要不充分图形？(1)|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝6；(2)(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2＝6.[精彩点拨]把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．[自主解答](1)∵|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________.【导学号：71392048】[解析] ∵|PA|－|PB|＝6<10时，∴P的轨迹为双曲线的一支．又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．[答案] 双曲线的一支一条射线M的轨迹．[精彩点拨]把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．[自主解答]选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝|3x＋4y＋1|，MF＝(x－1)2＋(y－2)2.由题意知d＝MF，且F∉l，由抛物线定义知，M的轨5迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．[解析] 由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．[答案] 抛物线[1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？【导学号：71392049】[提示]若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．2．抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？[提示]在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．[精彩点拨]根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．[自主解答]由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．4．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内有一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆.【导学号：71392050】[证明] 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )，∴圆心M 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆． [当 堂 达 标·固 双 基]1．已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝6，则点P 的轨迹是________． [解析] ∵PF 1＋PF 2＝6＞F 1F 2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆． [答案] 以F 1，F 2为焦点的椭圆 2．已知抛物线上一点P 到焦点F 的距离为32，则点P 到抛物线准线的距离为________． [解析] 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P 到准线的距离为32. [答案] 323．以F 1，F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1，F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________. [解析] 由椭圆的定义可知P 2F 1＋P 2F 2＝10. 又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5. [答案] 5 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹为________.【导学号：71392051】[解析] ∵MN ＝4，PM －PN ＝3<4，∴动点P 的轨迹为双曲线的右支．[答案] 双曲线的右支 5．动点P (x ，y )的坐标满足(x －5)2＋y2－(x ＋5)2＋y2＝4，试确定点P 的轨迹．[解](x －5)2＋y2的几何意义是点P 到定点A (5,0)的距离，(x ＋5)2＋y2的几何意义是点P 到定点B (－5，0)的距离，因此原式可化为PA －PB ＝4＜AB ＝10，故点P 的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．。

§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)两种形式的标准方程(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．1．方程x 2m －y 2n ＝1(m ·n ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .(×)3．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，焦距为2c ，则a 2＝b 2＋c 2.(×)类型一 求双曲线的标准方程例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆y 225＋x 216＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程y 225＋x 216＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.类型二 曲线方程的讨论例2 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，解得m ＞5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn ＜0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．跟踪训练2 (1)“3＜m ＜5”是“方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的_________条件．答案 充分不必要解析 (m －5)(m 2－m －6)＝(m －5)(m －3)(m ＋2)．①方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线⇒(m －5)(m 2－m －6)＜0，即(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0 ⇒3＜m ＜5或m ＜－2 ⇏3＜m ＜5，∴3＜m ＜5不是“x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m ＜5⇒(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0， 即(m －5)(m 2－m －6)＜0⇒x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． ∴3＜m ＜5是x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1的充分条件．(2)讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25，k ＞25，分别进行讨论． ①当k ＜9时，25－k ＞0,9－k ＞0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9＜k ＜25时，25－k ＞0,9－k ＜0，所给方程表示双曲线，此时a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ③当k ＞25时，所给方程没有轨迹． 类型三 双曲线的定义及标准方程的应用例3 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°， 所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，① 在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2＝100，②将②代入①得PF 1·PF 2＝32， 所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 反思与感悟 求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ；②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出PF 1·PF 2的值； ④利用公式12PF F S ＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线y 2a 2－x 2b2＝1中焦点三角形的面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系． 跟踪训练3 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．解 在△MF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos θ.①∵F 1F 22＝4c 2，MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1·MF 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2， ∴①式化为4c 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2(1－cos θ)， ∴MF 1·MF 2＝2b 21－cos θ，∴12MF F S ＝12MF 1·MF 2·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝b 2tan θ2.1．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 依题意得(1＋k )(1－k )>0，即(k ＋1)(k －1)<0，解得－1<k <1. 2．双曲线x 2k 2＋8－y 28－k 2＝1的焦距为________．答案 8解析 依题意得焦距为2k 2＋8＋8－k 2＝8.3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点． 令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， ∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.4．已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________． 答案 ±6解析 由题意知，k ≠0.当k >0时，方程化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝3k2，∴2×3k2＝6，解得k ＝6. 当k <0时，方程化为y 2－k －x 2－k2＝1，∴c 2＝－32k ，∴2×－3k2＝6，解得k ＝－6. 综上，k ＝－6或k ＝6.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，设M (x M ，y M )，将x M ＝5代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，可设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．一、填空题1．满足条件：a ＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________． 答案 x 24－y 212＝1解析 由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2，可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.答案 1解析 由题意知焦点在x 轴上，因此4－a ＝a ＋2， 所以a ＝1.经检验，a ＝1满足题意．故a ＝1.3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A (－2，－5)，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 220－x 216＝1解析 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝6. 设F 1(0，－6)，F 2(0,6)分别为双曲线的焦点， AF 1＝(－2)2＋(－5＋6)2＝5， AF 2＝(－2)2＋(－5－6)2＝55，根据双曲线的定义，2a ＝|AF 1－AF 2|＝45， 所以a ＝25，b 2＝c 2－a 2＝16， 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上任意一点P 满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 29－x 216＝1解析 由题意得，焦点位于y 轴上，且c ＝5,2a ＝6，所以a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝16，因此所求双曲线的标准方程是y 29－x 216＝1.5．已知双曲线x 24－y 2m ＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m ＝________.答案 5 解析 因为c ＝4＋m ＝3，所以解得m ＝5.6．已知方程x 29－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (9，＋∞)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－k <0，k －3>0，解得k >9.7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 13解析 设PF 1＝d 1，PF 2＝d 2，则d 1＋d 2＝26，① |d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c22d 1d 2＝18－166＝13.8．与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________________．答案 x 23－y 23＝1解析 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上，∴设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又∵两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.① 又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，a b 由①②得，a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 9．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左，右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，PF 1＝2＋x ，PF 2＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以PF 2＋PF 1＝3－1＋3＋1＝2 3.10．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．答案 x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 11．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案 1或5解析 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，2若P 在双曲线的左支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF －2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF ＋2a )＝12(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.二、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左，右焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设MF 1＝m ，MF 2＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12F 1F 2·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 三、探究与拓展14．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m 的值为________． 答案 7或－2解析 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上时，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2.综上，m ＝7或m ＝－2.15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左，右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23， 又F 1F 2＝25，所以在△MF 1F 2中，MF 1边最长，cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212MF 2·F 1F 2<0， 又因为∠MF 2F 1∈(0°，180°)， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

第二章 圆锥曲线与方程(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)1．椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．解析：由已知2c ＝6，∴c ＝3，而c 2＝9，∴20－k ＝9或k －20＝9，∴k ＝11或k ＝29.答案：11或292．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意知，m <0，双曲线mx 2＋y 2＝1化为标准形式y 2－x 2－1＝1，故a 2＝1，b 2＝－1m，所以a ＝1，b ＝－1m，则由2－1m ＝2×2，解得答案：－1431，则该椭圆的离心率为________．>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2b2a ＝ 2a 2c －c ＝1，即M (4，3)的双曲线方程为________． 解析：设方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，将M (4，3)代入方程得λ＝4，所以方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝15．已知双曲线3x 2－y 2＝9，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于________．解析：即求离心率，双曲线化为标准方程x 23－y 29＝1，可知a ＝3，c ＝a 2＋b 2＝3＋9＝23，e ＝c a ＝233＝2.答案：26．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，而抛物线y 2＝2px 的焦点为(p 2，0)，则p2＝2，故p ＝4.答案：47．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．解析：由题意得F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1·AF→＝－4，解得y 0＝±2，此时点A 的横坐标为y 204＝1，故点A 的坐标是(1答案：(1，±2)8．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的任意一点，又点Q PQ 的最大值为________．解析：设P 的坐标(x ，y )，则PQ 2＝x 2＋(y ＋4)4)2＝－916(y －649)2＋6259(－4≤y ≤4)， 当y ＝4时，PQ 2最大，此时PQ 最大，且PQ 的最大值为－16＋＋＝8. 答案：8 ．以双曲线x 9－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．．又因为点(5,0)到渐近线y ＝±43x 的距离为4，0.焦点到椭________．⎩⎪a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2 3 c ＝3，椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1 11．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，M (－2,0)，N (2,0)，则MN →＝(4,0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )；由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4x ＋2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .答案：y 2＝－8x12．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，又设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0.于是BP →＝(x ，y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝32x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →＝(－a ，b )＝(－32x,3y )，由OQ →·AB →＝1可得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)13．抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的取值范围是____________．解析：法一：设两对称点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且AB 所在直线的方程可设为：y ＝－1mx ＋b ，代入y 2＝x ，得y 2＋my －mb ＝0， ∴y 1＋y 2＝－m ，且Δ＝m 2＋4mb ＞0.①设A 、B 的中点为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝－m2， 又A 、B 的中点在直线y ＝m (x －3)上，所以x 0＝52，又(x 0，y 0)在直线y ＝－1mx ＋b 上．∴b ＝y 0＋1m x 0＝－m 2＋52m，代入①并整理得：m 2＜10， ∴－10＜m ＜10，∴m 的取值范围是(－10，10)．法二：设两对称点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A 、B 的中点为(x 0，y 0)，依题意，则有：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧y 21＝x 1 ①y 22＝x 2 ②y 1－y 2x 1－x 2＝－1m ③y 1＋y 2＝2y 0 ， ④x 1＋x 2＝2x 0 ⑤y 0＝m x 0－⑥y 20＜x 0⑦①－②得：(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝x 1－x 2，将③④代入上式得：y 0＝－m2，⑧将⑧代入⑥得：x 0＝52，⑨将⑧⑨代入⑦得⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 22＜52，∴m 2＜10，∴－10＜m ＜10. ∴m 的范围是(－10，10)． 答案：(－10，10)14．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0且a ≠b )的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题：①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝a 上； ②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝b 上； ③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a,0)．其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．解析：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则PA ＝PB ，F 1A ＝F 1M ，F 2B ＝F 2M ，又点P 在双曲线右支上，所以PF 1－PF 2＝2a ，故F 1M －F 2M ＝2a ，而F 1M ＋F 2M ＝2c ，设M 点坐标为(x,0)，则由F 1M －F 2M ＝2a 可得(x ＋c )－(c －x )＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①④正确．答案：①④ 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m.(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程； (2)若水面上升1 m ，求水面宽度．解：(1)如图，以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由已知条件可知，点B 的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p ×(－4)，即p ＝2.所以，所求抛物线标准方程是x 2＝－4y .(2)若水面上升1 m ，则y ＝－3，代入x 2＝－4y ，得x 2＝－4×(－3)＝12，x ＝±23，所以这时水面宽为4 3 m.16．(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解：(1)把椭圆方程化为标准形式为x 29＋y 24＝1，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)．故设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝59a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝2，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x ＝355，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则有p 2＝355，故p ＝655.所以抛物线的标准方程为y 2＝－1255x .17．(本小题满分14分)已知双曲线x 29－y 227＝1与点M (5,3)，F 为右焦点，试在双曲线上求一点P ，使PM ＋12PF 最小，并求出这个最小值．解：双曲线的右焦点F (6,0)，离心率e ＝2，右准线为l ：x ＝32.作MN ⊥l 于N ，交双曲线右支于P ，连结FP ，则PF ＝ePN ＝2PN ⇒PN ＝12PF .此时PM ＋12PF ＝PM ＋PN ＝MN ＝5－32＝72为最小值．在x29－y227＝1中，令y ＝3，x 2＝12⇒x ＝±23； 又∵x >0，∴取x ＝2 3.即当所求P 点的坐标为(23，3)时，PM ＋12PF 取最小值72.18．(本小题满分16分)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点N (－2，1)在椭圆上，线段NF 2与y 轴的交点M 满足NM →＋F 2M →＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)由已知，点N (－2，1)在椭圆上，∴有2a 2＋1b2＝1，①又∵NM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，∴M 为NF 2的中点，∴－2＋c ＝0，c ＝ 2.∴有a 2－b 2＝2，②由①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4，故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，即m ＋n ＝4.①又由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos π3＝F 1F 22，即m 2＋n 2－mn ＝(22)2.②由①2－②，得mn ＝83，∴S △F 1PF 2＝233.19．(本小题满分16分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N (3)以M 为圆心，MB 为半径作圆AK 与圆M 的位置关系．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为于是4＋p2＝5，∴p ＝2.(2)∵点A 的坐标是(4,4)MN ＝－4， 43x －＝－34x ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85 y ＝45，8(3)由题意得，圆M 的圆心是点(0,2)，半径为2.当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－m(x －m )，即为4x －(4－m )y －4m ＝0，圆心M (0,2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋m －2， 令d >2，解得m >1.∴当m >1时，直线AK 与圆M 相离； 当m ＝1时，直线AK 与圆M 相切； 当m <1时，直线AK 与圆M 相交．20. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 解：由题设得A (－3,0)，B (3,0)，F (2,0)．(1)如图，设点P (x ，y )，则PF 2＝(x －2)2＋y 2， PB 2＝(x －3)2＋y 2.由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－(x －3)2－y 2＝4，化简得x ＝92.故所求点P 的轨迹为直线x ＝92.(2)如图，由x 1＝2，x 219＋y 215＝1及y 1＞0，得y 1＝53，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，从而直线AM 的方程为y ＝13x ＋1；由x 2＝13，x 229＋y 225＝1及y 2＜0，得y 2＝－209，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－209，从而直线BN 的方程为y ＝56x －52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋1，y ＝56x －52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103.所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，103. (3)证明：如图，由题设知，直线AT 的方程为y ＝m 12(x ＋3)，直线BT 的方程为y ＝m6(x－3)．点M (x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝m 12x 1＋，x 219＋y215＝1，得x 1－x 1＋9＝－m 2122·x 1＋25.因为x 1≠－3，则x 1－39＝－m 2122·x 1＋35，解得x 1＝240－3m280＋m2， 从而得y 1＝40m80＋m2.点N (x 2，y 2)满足⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝m6x 2－，x 22＋y22＝1，解得x 2若x 1＝x 210，此时直线MN 的方程为x ＝1，。

第2章圆锥曲线与方程[对应学生用书P46]一、圆锥曲线的意义1．椭圆平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1．椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2 y2标准方程＋＝1(a＞b＞0)a2 b2y2 x2＋＝1(a＞b＞0) a2 b2范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －a≤y≤a，－b≤x≤b顶点(±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0) (0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率0<e<12.双曲线的标准方程和几何性质1焦点的 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 位置标准方 程x 2 y 2－ ＝1(a ＞0，b ＞0) a 2 b 2y2x 2－ ＝1(a ＞0，b ＞0)a 2b 2图形焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 2c范围 x ≥a 或 x ≤－a ，y ∈Ry ≥a 或 y ≤－a ，x ∈R顶点 (±a,0)(0，±a )对称性 关于 x 轴、y 轴、坐标原点对称 轴长实轴长＝2a ，虚轴长＝2b渐近线 方程b y ＝± x aa y ＝± x bc离心率e ＝ >1a 3. 抛物线的标准方程和几何性质 类型y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)图形pp p p焦点(，0 )(－ ，0)(0，2 )(0，－2)22p准线 x ＝－2px ＝2py ＝－ 2py ＝2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0 x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0)离心率e ＝1开口方向 向右向左向上向下2三、圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离比等于常数e的点的轨迹．当0<e<1时，表示椭圆；当e>1时，表示双曲线；当e＝1时，表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．(2)对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(－c,0)，F2(c,0)对应的a2 a2准线方程分别为x＝－，x＝.c c四、曲线与方程1．定义如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．2．求曲线的方程的方法(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．对应阶段质量检测(二)[见8开试卷](时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)x2 y21．(江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．16 9x2 y2 3解析：令－＝0，解得y＝±x.16 9 43答案：y＝±x4y22．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________．3解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝± 3x，所以所求距3| ± 3 × 1－0| 3离为＝.1＋3 2答案：32x2 y23．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是________．(a－1)2 a2解析：由题意得Error!1解之得a< ，且a≠0，21即a的取值范围是(－∞，0)∪(0，2 ).答案：(－∞，0 ∪(0，\f(1,2)))x2 y24．(辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等9 16于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0)，所以P，Q都在双曲线的右支上，则有FP－PA＝6，FQ－QA＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP＋FQ＝28，所以△PQF的周长为FP＋FQ＋PQ＝44.答案：44x2 y25．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝2a2的一个交点，F1，F2分别是双曲a2 b2线的左、右焦点，且PF1＝3PF2，则双曲线的离心率为________．解析：由Error!得PF1＝3a，PF2＝a，设∠F1OP＝α，则∠POF2＝180°－α，在△PF1O中，PF21＝OF21＋OP2－2OF1·OP·cosα①，在△OPF2中，PF＝OF＋OP2－2OF2·OP·cos(180°－α)②，2 2由cos(180°－α)＝－cos α与OP＝2a，c3a①＋②得c2＝3a2，∴e＝＝＝ 3.a a答案： 36．已知动圆P与定圆C：(x＋2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，动圆P在直线x＝1的左侧，其半径等于1－x，则PC＝1－x＋1，即(x＋2)2＋y2＝2－x.∴y2＝－8x.4答案：y2＝－8xx2 y27．已知双曲C1＝－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到a2 b2双曲线C1的渐进线的距离为2，则抛物线C2的方程为________________________．x 2 y2 c a2＋b2解析：∵双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的率心率为2.∴＝＝2，∴b＝3a.∴a2 b2 a ap(0，2 )到双曲线的渐近双曲线的渐近线方程为 3 x±y＝0.∴抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点p|3 ×0±2|线的距离为＝2.2∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.答案：x2＝16y8．过抛物线x2＝8y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝8，则P1P2的值为________．p p解析：由题意知p＝4，由抛物线的定义得P1P2＝P1F＋P2F＝(y＋2)＝(y1＋y2)＋p＝1＋2)(y2＋8＋4＝12.答案：12x2 y2 39．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________．4 3 3x2 y2解析：∵椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，4 33 1∴右焦点到直线3x－3y＝0的距离d＝＝.3＋9 21答案：2x2 y210．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，a2 b24连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．54 解析：在△ABF中，AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，5AB 则AF＝6.由AB2＝AF2＋BF2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝OF＝＝5.2设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所c 5以BF＝AF1＝8.由椭圆的性质可知AF＋AF1＝14＝2a⇒a＝7，则e＝＝.a75答案：75x2 y211．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的a2 b2直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．1 解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入2x2 y2 a2 3 9椭圆方程＋b2＝1消去y，得(＋b2)x2－a2x＋a2－a2b2＝0，a2 4 2 43a22所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，a22(＋b2)4x2 y2又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3.所以E的方程为＋＝1.18 9x2 y2答案：＋＝118 912．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于__________________________．解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)由Error!得4x2－8x＋1＝0，1∴x1＋x2＝2，x1x2＝，4∴AB＝(1＋22)(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝15.答案：1513．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．x2 y2 解析：如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦半径为c.a2 b2由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴AF2＝c，AF1＝2c·sin60°＝3c.∴AF1＋AF2＝2a＝( 3＋1)c.c 2∴e＝＝＝3－1.a3＋1答案：3－1x2 y2 14．给出如下四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＋＝1的3 25 1 y2 x2离心率e＝；③抛物线x＝2y2的准线的方程是x＝－；④双曲线－＝－1的渐近线方程3 8 49 2565是y＝±x.7其中所有不正确命题的序号是________．3解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e＝；37④渐近线的方程为y＝±x.5答案：①②④二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)x2 y215．(本小题满分14分)求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，144 169并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．x2 y2解：椭圆＋＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y轴上，144 169y2 x2于是设双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，a2 b2又双曲线过点(0,2)，∴c＝5，a＝2，∴b2＝c2－a2＝25－4＝21，y2 x2∴双曲线的标准方程是－＝1，实轴长为4，4 21c 5焦距为10，离心率e＝＝，a 22 21渐近线方程是y＝±x.2116．(本小题满分14分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，当直线l斜率不存在时，|AB|＝4，不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知k≠0，2k2＋4则x1＋x2＝.k2由抛物线定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，2k2＋4∴x1＋x2＋2＝8，即＋2＝8.k2解得k＝±1.所以直线l的方程为y＝±(x－1)，7即x－y－1＝0，x＋y－1＝0.x2 y217．(本小题满分14分) 如图，F 1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的a2 b2左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为40 3，求a，b的值．1解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.2(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－3(x－c)．8 3 3代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c).c，－5 58 16所以|AB|＝1＋3·|c－0|＝c.5 51 1 16 32 3由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40 ，解得a＝10，b＝32 2 5 2 55 3.法二：设AB＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义BF1＋BF2＝2a可知，BF1＝3a－t.由余弦定理得(3a－t)2＝a2＋t2－2at cos 60°可得，8t＝a.51 8 32 3由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40 知，32 5 2 5a＝10，b＝5 3.x2 y2 18．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一a2 b2个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；8(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解：(1)由题意得Error!x2 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，1 故点O到直线l 1的距离d＝，k2＋14k2＋3所以AB＝2 4－d2＝2 .k2＋1又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.8k8由Error!消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－，y0＝－1.4＋k2 4＋k28 k2＋1所以PD＝.4＋k21 8 4k2＋3设△ABD的面积为S，则S＝AB·PD＝，2 4＋k232 32 16 13 所以S＝≤＝，13 13134k2＋3＋4k2＋32 4k2＋3·4k2＋310 当且仅当k＝±时取等号．210 所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.219．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．解：(1)设M到直线l的距离为d，根据题意d＝2|MN|.由此得|4－x|＝2 (x－1)2＋y2，x2 y2化简得＋＝1，4 3x2 y2所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.4 39(2)法一：由题意，设直线 m 的方程为 y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 2 y 2 将 y ＝kx ＋3代入 ＋ ＝1中， 4 3有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中 Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，3 故 k 2> . 2由根与系数的关系得，24k x 1＋x 2＝－ ，①3＋4k 2 24x 1x 2＝ .② 3＋4k 2 又因为 A 是 PB 的中点，故 x 2＝2x 1，③将③代入①，②，得8k 12 x 1＝－ ，x 21＝ ， 3＋4k 2 3＋4k 28k12 3 可得 (－3＋4k 2)2＝ ，且 k 2＞ ， 3＋4k2 23 3 解得 k ＝－ 或 k ＝ ， 2 23 3 所以直线 m 的斜率为－ 或 . 2 2法二：由题意，设直线 m 的方程为 y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是 PB 的中点，x 2 ∴x 1＝ ，①23＋y 2 y 1＝ .②2x 21 y 21又 ＋ ＝1，③4 3 xy 2 2＋ ＝1，④4 3联立①，②，③，④解得Error!或Error!即点 B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，3 3 所以直线 m 的斜率为－ 或 . 2 220．(湖南高考)(本小题满分 16分)过抛物线 E ：x 2＝2py (p >0)的焦点 F 作斜率分别为 k 1，k 210的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD 为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0，k2>0，证明：FM·FN<2p2；7 5(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．5p 解：(1)证明：由题意，抛物线E的焦点为F(0，2 )，p直线l1的方程为y＝k1x＋.2由Error!得x2－2pk1x－p2＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk21＋p.p所以点M的坐标为(pk，FM＝(pk1，pk)．1，pk21＋2)21p同理可得点N的坐标为(pk，FN＝(pk2，pk)．2，pk2＋2) 2于是FM·FN＝p2(k1k2＋k21k)．2因为k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，k1＋k2所以0<k1k2<( 2 )2＝1.故FM·FN<p2(1＋12)＝2p2.p p (2)由抛物线的定义得FA＝y1＋，FB＝y2＋，2 2 所以AB＝y1＋y2＋p＝2pk21＋2p，从而圆M的半径r1＝pk21＋p.故圆M的方程为p(x－pk1)2＋(y－pk2 2)2＝(pk21＋p)2，3化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k21＋1)y－p2＝0.4同理可得圆N的方程为3x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.24于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为11(k2－k1)x＋(k2－k21)y＝0.又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0. 因为p>0，所以点M到直线l的距离|2pk21＋pk1＋p| p|2k21＋k1＋1|d＝＝5 51 7p[2(k8]1＋4)2＋＝.51 7p故当k1＝－时，d取最小值.4 8 57p7 5由题设，＝，解得p＝8.8 55故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.12。

§2.1圆锥曲线学习目标 1.掌握圆锥曲线的类型及其定义、几何图形和标准方程，会求简单圆锥曲线的方程.2.通过对圆锥曲线性质的研究，感受数形结合的基本思想和理解代数方法研究几何性质的优越性.知识点一椭圆的定义思考如果动点P到两定点A，B的距离之和为PA＋PB＝2a(a>0且a为常数)，点P的轨迹一定是椭圆吗？答案不一定.当2a>AB时，P点的轨迹是椭圆；当2a＝AB时，P点的轨迹是线段AB；当2a<AB时，P点无轨迹.梳理平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两焦点之间的距离称为椭圆的焦距.知识点二双曲线的定义思考1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？答案如图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数.如果改变一下位置，使MF2－MF1＝常数.可得到另一条曲线.思考2 在双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<F1F2?答案若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一支.只有当2a<F1F2时，动点的轨迹才是双曲线；当2a＝F1F2时，动点的轨迹是两条射线；当2a>F1F2时，满足条件的点不存在.梳理平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.知识点三抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.思考1 画出的曲线是什么形状？答案抛物线.思考2 DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？答案是.AB是直角三角形的一条直角边.思考3 点D在移动过程中，满足什么条件？答案DA＝DC.梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.1.设F1，F2为定点，F1F2＝3，动点M满足MF1＋MF2＝3，则动点M的轨迹是椭圆.( ×)2.已知定点M(1,1)，定直线l：x＝3，有一动点N，点N到M点的距离MN始终等于N点到直线l的距离，则N点的轨迹是一条抛物线.( √)3.已知A(－3,0)，B(3,0)，且MA－MB＝8，则M点的轨迹是双曲线.( ×)类型一椭圆定义的应用例1 在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列.(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A.由正弦定理，可得AC＋AB ＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点).(2)椭圆的焦点为B，C，焦距为10.反思与感悟此类题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点满足的条件.注意三点要构成三角形，轨迹要除去两点.跟踪训练1 已知△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，且AB，BC，AC成等差数列.(1)求证：点A在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用(1)证明在△ABC中，由AB，BC，AC成等差数列得AB＋AC＝2BC＝12>BC满足椭圆定义，所以点A在以B，C为焦点的椭圆上运动.(2)解焦点坐标为(－3,0)，(3,0).类型二双曲线定义的应用例2 如图，已知动圆C与圆F1，F2均外切(圆F1与圆F2相离)，试问：动点C的轨迹是什么曲线？考点双曲线的定义题点双曲线定义的理解解设动圆C的半径为R，圆F1，F2的半径分别为r1，r2，易知CF1＝R＋r1，CF2＝R＋r2.所以CF1－CF2＝r1－r2.又CF1－CF2＝r1－r2<F1F2，故动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线靠近F2的一支.引申探究若把本例中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解设动圆C的半径为R，圆F1，F2的半径分别为r1，r2.易知CF1＝R－r1，CF2＝R－r2，CF2－CF1＝r1－r2<F1F2.故动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线靠近F1的一支.反思与感悟判断动点轨迹是双曲线应满足三个条件(1)动点P到两定点的距离之差是否为常数.(2)该常数是否小于两定点之间的距离. (3)其差是否加上绝对值.跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动.设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的理解 解 因为|sin C －sin B |＝12sin A ，由正弦定理，可得|AB －AC |＝12BC ＝12m ，且12m <BC ，所以点A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC 的两个交点). 类型三 抛物线定义的应用例3 若动圆与定圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹. 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的理解解 如图所示，设动圆O ′的半径为r ，则动圆的圆心O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，点O ′到直线x ＝－1的距离为r ，从而可知点O ′到点(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等.由抛物线定义可知，动圆圆心O ′的轨迹是抛物线.引申探究点P 到点F (2,0)的距离比它到直线l ：x ＝－3的距离小1，则点P 的轨迹是________. 答案 抛物线解析 将直线l ：x ＝－3向右平移1个单位，得直线l ′：x ＝－2.依题意知，点P 到F (2,0)的距离等于点P 到l ′：x ＝－2的距离，可见点P 的轨迹是抛物线.反思与感悟 判断点的轨迹是抛物线注意应满足两点 (1)判断动点到定点与到定直线的距离相等. (2)要特别注意定点不在定直线上.跟踪训练3 已知直线l ：x ＋2y －3＝0，点F (2,1)，P 为平面上一动点，过P 作PE ⊥l 于E ，PE ＝PF ，则点P 的轨迹为________.考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的理解 答案 抛物线解析 ∵点F (2,1)不在直线l 上，且PE ＝PF ， ∴点P 的轨迹为抛物线.1.动点M 到定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0的距离之和是2，则动点M 的轨迹是__________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 椭圆定义的理解 答案 椭圆解析 ∵MA ＋MB ＝2>1＝AB ， ∴点M 的轨迹是椭圆.2.已知两点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M 的轨迹是____________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 双曲线定义的理解 答案 双曲线解析 ∵||MF 1－MF 2＝6<F 1F 2＝10， ∴点M 的轨迹是双曲线.3.到定点A (4,0)和到定直线l ：x ＝－4的距离相等的点的轨迹是__________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 抛物线定义的理解 答案 抛物线4.动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹为________.(从圆、椭圆、双曲线或抛物线中选填一个) 考点 圆锥曲线的定义 题点 抛物线定义的理解 答案 抛物线解析 由题意知，动圆圆心到直线x ＝－1的距离与到定点(1,0)的距离相等，由抛物线定义可得圆心的轨迹为抛物线.5.如图，已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内有一定点B (3,0).动圆P 过B 点且与圆A 内切，设动圆P 的半径为r ，试判断圆心P 的轨迹.考点圆锥曲线的定义题点椭圆定义的理解解由题意知A(－3,0)，PA＝10－r，PB＝r，则PA＋PB＝10>AB＝6，满足椭圆的定义，故点P的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆.1.在椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.2.在双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线.3.在抛物线定义中F∉l.若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线.一、填空题1.已知定点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________. 考点圆锥曲线的定义题点椭圆定义的理解答案椭圆解析∵MF1＋MF2＝10>F1F2，∴点M的轨迹是椭圆.2.已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是______.考点圆锥曲线的定义题点双曲线定义的理解答案双曲线解析点M(x，y)到点(1,1)及到点(－3，－3)的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)的距离为4 2.由定义知，动点M的轨迹是双曲线.3.已知平面内有一条长度为4的定线段AB，动点P满足PA－PB＝3，则点P的轨迹是________________________________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 双曲线定义的理解答案 以A ，B 为焦点的双曲线的一支(靠近焦点B )解析 ∵PA －PB ＝3<4，∴动点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的一支(靠近焦点B )上. 4.若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 抛物线定义的理解 答案 直线解析 由定点F (1,1)在直线l ：3x ＋y －4＝0上， 故动点P 的轨迹为直线.5.已知在△ABC 中，A ，C 两点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，且三边a ，b ，c 满足a ＋c ＝32b ，则点B 的轨迹为________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 椭圆定义的理解 答案 椭圆(除去与x 轴的交点) 解析 设点B 的坐标为(x ，y ).由a ＋c ＝32b ，得BC ＋AB ＝32AC ，即BC ＋BA ＝6＞AC .由椭圆的定义，知点B 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆.又因为A ，B ，C 构成三角形，所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，除去椭圆与x 轴的交点.6.平面内有两个定点F 1，F 2及动点P ，设命题甲是“|PF 1－PF 2|是非零常数”，命题乙是“动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线”，那么甲是乙的____________条件. 考点 圆锥曲线的定义、条件判断 题点 双曲线定义的理解、条件判断 答案 必要不充分解析 按照双曲线的定义可知，若动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2|是非零常数；反之，若|PF 1－PF 2|是非零常数，则动点P 的轨迹不一定是以F 1，F 2为焦点的双曲线.7.已知F 1(0，－2)，F 2(0,2)，PF 1＋PF 2＝m ，则当m ＝________时，点P 的轨迹是线段，当m ∈________时，点P 的轨迹是椭圆.考点 圆锥曲线的定义 题点 椭圆定义的理解 答案 4 (4，＋∞)解析 当m ＝4时，点P 的轨迹是线段F 1F 2. 当PF 1＋PF 2＝m >F 1F 2＝4时，满足椭圆的定义， 此时点P 的轨迹是椭圆.8.下列说法中正确的有________.(填序号)①已知F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到F 1，F 2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆； ②已知F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；③到点F 1(－6,0)，F 2(6,0)的距离之和等于点M (10,0)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆； ④到点F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆. 考点 圆锥曲线的定义 题点 椭圆定义的理解 答案 ③解析 椭圆是到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用.①中，F 1F 2＝12，故到F 1，F 2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F 1F 2； ②中，点到F 1，F 2两点的距离之和为常数8小于F 1F 2，故这样的点不存在；③中，点(10,0)到F 1，F 1两点的距离之和为(10＋6)2＋02＋(10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12，故③中点的轨迹是椭圆；④中，点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线. 故正确的是③.9.在△ABC 中，已知AB ＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，则顶点C 的轨迹为________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 双曲线定义的理解答案 双曲线的一支(除去与直线AB 的交点) 解析 由正弦定理，得sin A ＝a2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径).∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的一支(除去与直线AB 的交点).10.已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q 使得PQ ＝PF 2，则动点Q 的轨迹是________.考点 圆锥曲线的定义 题点 椭圆定义的理解与运用 答案 以F 1为圆心的圆解析 由P 是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF 1＋PF 2＝定值，而PQ ＝PF 2，则QF 1＝PF 1＋PQ ＝PF 1＋PF 2＝定值，所以点Q 的轨迹是以F 1为圆心的圆. 二、解答题11.已知点F (0，－1)，直线l ：y ＝3，动点P 到直线l 的距离与它到点F 的距离的差为2，试判断动点P 的轨迹. 考点 圆锥曲线的定义 题点 抛物线定义的理解解 因为点P 到直线l 的距离与它到点F 的距离的差为2，所以点P 到直线y ＝1的距离与它到点F 的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线.12.一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？ 考点 圆锥曲线的定义 题点 双曲线定义的理解解 由声速为340m/s 可知F 1，F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6000(m)，且小于F 1F 2＝10000，因此爆炸点在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上.13.已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝132，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝32，动圆C 与圆C 1内切同时与圆C 2外切，求证：动圆圆心C 的轨迹是椭圆. 考点 圆锥曲线的定义 题点 椭圆定义的理解证明 由已知可得圆C 1与圆C 2的圆心坐标与半径分别为C 1(4,0)，r 1＝13； C 2(－4,0)，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r . 由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件， 可得C 1C ＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得C 2C ＝r 2＋r .② 如图所示，由①＋②可得CC 1＋CC 2＝r 1＋r 2＝13＋3＝16.即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且C 1C 2＝8，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1，C 2两点为其焦点.三、探究与拓展14.方程5·(x －2)2＋(y －2)2＝|3x －4y －6|表示的曲线为________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 抛物线定义的理解 答案 抛物线解析 方程5·(x －2)2＋(y －2)2＝|3x －4y －6|，即为(x －2)2＋(y －2)2＝|3x －4y －6|32＋(－4)2，即动点(x ，y )到定点(2,2)的距离等于动点(x ，y )到定直线3x －4y －6＝0的距离，且(2,2)不在定直线3x －4y －6＝0上.由抛物线的定义知表示的曲线为抛物线.15.已知定直线l 及定点A (A 不在l 上)，n 为过点A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任意一点，线段AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证：点P 的轨迹为抛物线. 考点 圆锥曲线的定义 题点 抛物线定义的理解证明 如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA ，PN ，NB .由题意知PB 垂直平分线段AN ， 且点B 关于AN 的对称点为P ， ∴AN 也垂直平分PB .∴四边形PABN 为菱形，∴PA ＝PN . ∵AB ⊥l ，∴PN ⊥l .故点P 符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离和到定直线l 的距离相等，∴点P 的轨迹为抛物线.。

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上．) 1．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x2．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝__________.【导学号：95902166】【解析】 a 2＝1，b 2＝m ，∴c 2＝1＋m ，e ＝ca ＝1＋m1＝3，求得m ＝2. 【答案】 23．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围为________．【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.【答案】 (3,4)∪(4,5)4．以y ＝3为准线的抛物线的标准方程为________．【解析】 设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，则－p2＝3，p ＝－6，则抛物线方程为x 2＝－12y .【答案】 x 2＝－12y5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【导学号：95902167】【解析】 依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，即p ＝2.【答案】 26．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______．【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝2×3＝6，因为PF 1＝4，所以PF 2＝2.在△PF 1F 2中，cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.【答案】 2 120°7．已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 ∵2c ＝AB ＝2，∴c ＝1，∴CA ＋CB ＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．【答案】y 24＋x 23＝1(y ≠±2) 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________．【解析】 由双曲线的渐近线bx －ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切得2ba 2＋b 2＝3，由c ＝a 2＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝ 3. 【答案】 x 2－y 23＝19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23＝1的右焦点，则双曲线的离心率为__________.【导学号：95902168】【解析】 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，则双曲线x 2a 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)，即有c ＝a 2＋3＝2，则a ＝1，故双曲线的离心率为e ＝ca＝2.【答案】 210．已知抛物线C ：x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是________．【解析】 显然t ≠0，直线AB 的方程为y ＝4tx －1，代入抛物线方程得2tx 2－4x ＋t ＝0.由题意Δ＝16－8t 2<0，解得t <－2或t > 2. 【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．【解析】 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 【答案】 612．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.【导学号：95902169】【解析】 x 2＋y 2＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则⎭⎪⎬⎪⎫PO ＝r ＋1PA ＝r ＋2⇒PA －PO ＝1＜AO ＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． 【答案】 双曲线的一支13.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.【导学号：95902170】图1【解析】 将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．【答案】6314．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝2FB ，则k ＝________.【解析】 过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由抛物线定义可知，AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，又∵2FB ＝FA ，∴AA 1＝2BB 1，即B 为AC 的中点．从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋，y 2＝8x ，⇒消去x 得y 2－8ky ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧3y B ＝8k ，2y 2B ＝16，，消去y B 得k ＝223.【答案】223二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，若抛物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.(1)求抛物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及离心率e .【导学号：95902171】【解】 设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，则有⎝⎛⎭⎪⎫2632＝2p ×23，所以p ＝2，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，焦点F 的坐标为(1,0)．(2)由双曲线C 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23，所以a ＝13，b 2＝89 ，所以双曲线C 2的方程为9x 2－98y 2＝1，离心率e ＝3.16．(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．【解】 ①焦点在x 轴上，椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2 ＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.17．(本小题满分14分)如图2所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.【导学号：95902172】图2【解】 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0.所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k2|x 1－x 2| ＝1＋k2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×32－4×5×85＝85.18．(本小题满分16分)如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .图3(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2＝1. 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知，c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2.又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2.故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m2＝1(m ＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上， 所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.19．(本小题满分16分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【导学号：95902173】【解】 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .20．(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知AB ＝32F 1F 2. (1)求椭圆的离心率．(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2＝2 2.求椭圆的方程．【解】 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)，由AB ＝32F 1F 2，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )， 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0，而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－4c 3，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ －4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－4c 3＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝x 1－2＋y 1－c2＝53c .由已知，有TF 22＝MF 22＋r 2，又MF 2＝22，故有⎝⎛⎭⎪⎫c ＋2c 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－2c 32＝8＋59c 2.解得c 2＝3.所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.。