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选择题：本大题共12小题，每题5分〔1〕设集合，，则〔A 〕{1,3} 〔B 〕{3,5} 〔C 〕{5,7} 〔D 〕{1,7}〔2〕设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=〔A 〕－3 〔B 〕－2 〔C 〕2 〔D 〕3〔3〕为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕23〔D 〕〔4〕△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b= 〔A 〔B 〔C 〕2 〔D 〕3〔5〕直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为〔A 〕13 〔B 〕12 〔C 〕23 〔D 〕34〔6〕假设将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为〔A 〕y =2sin(2x +π4) 〔B 〕y =2sin(2x +π3) 〔C 〕y =2sin(2x –π4) 〔D 〕y =2sin(2x –π3) 〔7〕.假设该几何体的体积是28π3，则它的外表积是 〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π 〔8〕假设a>b>0，0<c<1，则〔A 〕log a c <log b c 〔B 〕log c a <log c b 〔C 〕a c <b c 〔D 〕c a >c b 〔9〕函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤A B =(12i)(i)a ++1312565a =2c =2cos 3A =23结束〔A 〕〔B 〕〔C 〕 〔D 〕〔10〕平面过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,,，，则m ，n 所成角的正弦值为〔A 〕〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕〔11〕执行右面的程序框图，如果输入的n =1,则输出的值满足〔A 〕 B 〕 〔C 〕 D 〕〔12〕假设函数在单调递增，则a 〔A 〕 〔B 〕〔C 〕 〔D 〕本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每题5分〔13〕设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =___________〔14〕已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)=___________. 〔15〕设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设，则圆C 的面积为_________〔16〕某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i为虚部单位，若（1﹣i）z=2i，则z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i2．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}，集合B={x|（）x＜9}，则（∁U A）∪B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（1，+∞）3．在四边形ABCD中，=（2，3），=（6，﹣4），则该四边形的面积为（）A．2B．13 C． D．264．执行如图所示的程序，则输出的结果为（）A．B．C．D．根据上表可得回归直线=2x﹣a．则预测身高为180cm的学生的体重为（）A．73kg B．75kg C．77kg D．79kg6．已知向量=（a n，1），=（a n+1，2），且a1=1．若数列{a n}的前n项的和为S n，且∥，则S n=（）A．2n﹣1 B．1﹣2n C．2﹣（）n﹣1D．（）n﹣27．已知实数x、y满足，目标函数z=x+y，则z的最大值为（）A．3 B．2 C．D．8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（）A． B．C．D．9．能够把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的“和谐函数”，下列函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数”的是（）A．f（x）=2x+B．f（x）=tan C．f（x）=x3+x D．f（x）=ln10．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＜0，若a、b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．等于0 D．无法判断11．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x﹣）+g（x）的叙述正确的是（）A．函数的最大值为2，最小值为﹣2B．x=是函数的一条对称轴C．函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈ZD．将y=g（x﹣）+g（x）图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象12．已知直线l与双曲线﹣=1交于A、B两点，现取AB的中点M在第一象限，并且在抛物线y2=4x上，M到抛物线焦点的距离为2，则直线l的斜率为（）A．1 B．2 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．已知x∈[0，π]，使sinx≥的概率为_______．14．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．15．已知数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12．则a10=_______．16．设过曲线f（x）=e x+x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=2cosx﹣ax上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为_______．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2+cos2B=1．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，求y=a+c的取值范围．18．某媒体对“推迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数（2）用分层抽样的方法从赞同“推迟退休”的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这附：K2=．19．如图：四边形ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC中点，AB=AD=BE．现沿DE 将△CDE折起成四棱锥C′﹣ABED，点O为ED的中点．（1）在棱AC′上是否存在一点M，使得OM⊥平面C′BE？并证明你的结论；（2）若AB=2，求四棱锥C′﹣ABED的体积的最大值．20．已知圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2．（1）求抛物线的解析式；（2）当圆心C在抛物线上运动时．①|MN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②记|AM|=m，|AN|=n．求+的最大值，并求出此时圆C的方程．21．设函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切；①求实数a，b的值；②求函数f（x）在[，e]上的最大值；③当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：（θ为参数）．（1）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C2上的点P对应的参数为θ=，Q为C1上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6距离的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）使f（x）≥m恒成立的实数m的最大值为t，若a、b均为正实数，且满足a+b=2t．求a2+b2的最小值．2016年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（4）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i为虚部单位，若（1﹣i）z=2i，则z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=．则z的虚部为：1．故选：C．2．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}，集合B={x|（）x＜9}，则（∁U A）∪B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}={x|x≥1或x≤﹣3}，则∁U A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|（）x＜9}={x|x＞﹣2}则（∁U A）∪B={x|x＞﹣3}，故选：B3．在四边形ABCD中，=（2，3），=（6，﹣4），则该四边形的面积为（）A．2B．13 C． D．26【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，求得向量的模，由四边形的面积公式||•||，计算即可得到所求．【解答】解：由=（2，3），=（6，﹣4），可得•=2×6+3×（﹣4）=0，即AC⊥BD，又||==，||==2，则该四边形的面积为||•||=××2=13．故选：B．4．执行如图所示的程序，则输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值，利用裂项法即可计算得解．【解答】解：由程序框图知，本程序的功能是计算S=1++++…+的值．由于：S=1+（1﹣）+（）+（）+…+（）=1+1﹣==．故选：D．根据上表可得回归直线=2x﹣a．则预测身高为180cm的学生的体重为（）A．73kg B．75kg C．77kg D．79kg【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为180cm的高三男生的体重【解答】解：∵=170，=57，=2x﹣a，∴57=2×170﹣a，∴a=283，当x=180时，y=2×180﹣283=77，故选C．6．已知向量=（a n，1），=（a n+1，2），且a1=1．若数列{a n}的前n项的和为S n，且∥，则S n=（）A．2n﹣1 B．1﹣2n C．2﹣（）n﹣1D．（）n﹣2【考点】等比数列的前n项和；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得2a n=a n+1，再利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．【解答】解：由∥，则2a n=a n+1，∴{a n}是以1为首项的等比数列，公比q=2，∴S n==2n﹣1．故选：A．7．已知实数x、y满足，目标函数z=x+y，则z的最大值为（）A．3 B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣2x+2z，平移直线y=﹣2x+2z，由图象知当直线y=﹣2x+2z经过点A时，直线y=﹣2x+2z的截距最大，此时z最大，由得，即A（2，2），此时z=2+1=3，故选：A．8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥的一部分，底面为扇形，圆心角为120°，半径为2，锥体的高为4．其表面积为： ++=．故选D．9．能够把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的“和谐函数”，下列函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数”的是（）A．f（x）=2x+B．f（x）=tan C．f（x）=x3+x D．f（x）=ln【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定B、C、D三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而A不能，即可得出结论．【解答】解：因为B、C、D三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而圆2+y2=4是中心对称图形并关于原点对称，所以B、C、D三个函数的图象均能平分该圆的面积与周长，而A不能，故选A．10．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＜0，若a、b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．等于0 D．无法判断【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性求解即可．【解答】解：由已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，可得m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，当m=2时，f（x）=x3；当m=﹣1时，f（x）=x﹣3．对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＜0，函数是单调减函数，∴m=﹣1，f（x）=x﹣3．a+b＞0，ab＜0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f（a）+f（b）恒小于0．故选：A．11．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x﹣）+g（x）的叙述正确的是（）A．函数的最大值为2，最小值为﹣2B．x=是函数的一条对称轴C．函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈ZD．将y=g（x﹣）+g（x）图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，所给的函数y=g （x ﹣）+g （x ）=sin [2（x ﹣）﹣]+sin （2x ﹣）=﹣cos2x +（sin2x﹣cos2x ）=sin （2x ﹣），所以y 的最大值为，最小值为﹣，故A 错误；但x=时，y=0，故x=不是对称轴，故B 错误；令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，解得 k π﹣≤x ≤k π+．故C 正确；将函数向左平移个单位得到 y=sin （2x +），故D 错误，故选：C ．12．已知直线l 与双曲线﹣=1交于A 、B 两点，现取AB 的中点M 在第一象限，并且在抛物线y 2=4x 上，M 到抛物线焦点的距离为2，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B ．2C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据点与抛物线的关系求出中点M 的坐标，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式． 【解答】解：由已知设M （a ，b ）， 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1 ∵M 到抛物线焦点（1，0）的距离为2，∴a +1=2，即a=1，此时b 2=4，则b=2，即M （1，2）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得﹣=1，﹣=1，两式相减可得，（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）﹣（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0，M 为AB 的中点，即有x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，可得直线AB 的斜率为k====．故选：C二、填空题（本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．已知x ∈[0，π]，使sinx ≥的概率为 ．【考点】几何概型．【分析】求出满足sinx ≥的区间宽度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：由x ∈[0，π]，sinx ≥，可得≤x ≤，∴所求概率为P==，故答案为：．14．已知A 、B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为 ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，过点M 作MN ⊥x 轴，得到Rt △BNM ，通过求解直角三角形得到M 坐标，代入双曲线方程可得a 与b 的关系，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1（a ＞0，b ＞0），如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM=120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，则∠MBN=60°， 在Rt △BMN 中，|BM |=|AB |=2a ，∠MBN=60°，即有|BN |=2acos60°=a ，|MN |=2asin60°=a ，故点M 的坐标为M （2a ， a ），代入双曲线方程得﹣=1，即为a 2=b 2，即c 2=2a 2，则e==．故答案为：．15．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n =a n+1﹣a n （n ∈N *），若b 3=﹣2，b 10=12．则a 10= 21 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数的通项公式可得b n ，再利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出a n ．【解答】解：设等差数列{b n }的公差为d ，∵b 3=﹣2，b 10=12．∴b 1+2d=﹣2，b 1+9d=12，解得b 1=﹣6，d=2．∴b n =﹣6+2（n ﹣1）=2n ﹣8． ∵b n =a n+1﹣a n （n ∈N *），∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=（2n ﹣10）+（2n ﹣12）+…+（﹣6）+3=+3=n 2﹣9n +11．当n=10时，a 10=102﹣9×10+11=21． 故答案为：21．16．设过曲线f （x ）=e x +x （e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g （x ）=2cosx ﹣ax 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 [﹣1，2] ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f （x ）的导数，设（x 1，y 1）为f （x ）上的任一点，可得切线的斜率k 1，求得g （x ）的导数，设g （x ）图象上一点（x 2，y 2）可得切线l 2的斜率为k 2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，分别求y 1=a +2sinx 2的值域A ，y 2=的值域B ，由题意可得B ⊆A ，可得a 的不等式，可得a 的范围．【解答】解：f （x ）=e x +x 的导数为f ′（x ）=e x +1， 设（x 1，y 1）为f （x ）上的任一点，则过（x 1，y 1）处的切线l 1的斜率为k 1=e x1+1， g （x ）=2cosx ﹣ax 的导数为g ′（x ）=﹣2sinx ﹣a ，过g （x ）图象上一点（x 2，y 2）处的切线l 2的斜率为k 2=﹣a ﹣2sinx 2． 由l 1⊥l 2，可得（e x1+1）•（﹣a ﹣2sinx 2）=﹣1，即a +2sinx 2=，任意的x 1∈R ，总存在x 2∈R 使等式成立． 则有y 1=a +2sinx 2的值域为A=[a ﹣2，a +2]．y 2=的值域为B=（0，1），有B ⊆A ，即（0，1）⊆[a ﹣2，a +2]，即，解得﹣1≤a ≤2．故答案为：[﹣1，2]．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2sin 2+cos2B=1．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b=2，求y=a +c 的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB+2cos2B﹣1=0，进而解得cosB的值，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得y=a+c=4sin（A+），求得范围，利用正弦函数的性质可得sin（A+）∈（，1]，进而可求y=a+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2sin2+cos2B=1，有1﹣cos（A+C）+cos2B=1．∴cosB+2cos2B﹣1=0，∴cosB=或cosB=﹣1，又B∈（0，π），∴B=．…（Ⅱ）由正弦定理，∴y=a+c=2RsinA+2RsinC=（sinA+sinC）…= [sinA+sin（﹣A）]= [sin（A+）]=4sin（A+）．…而c=﹣A，∴，∴sin（A+）∈（，1]，∴y=4sin（A+）∈（2，4]．…18．某媒体对“推迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数（1）是否有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关？（2）用分层抽样的方法从赞同“推迟退休”的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这附：K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题设知K2==≈11.978＞10.828，由此得到结果；（2）所抽样本中男士有，女士有4人，基本事件总数为15个，满足恰有1名为企业职工和1名事业职工的基本事件有2×4=8个，由此能求出事件“恰有1名为企业职工和1名事业职工”的概率．【解答】解：（1）K2==≈11.978＞10.828．∴有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关．…（2）由分层抽样是按比例抽取，所以，．…∴企业抽取2人记为a、b，事业抽取4人记为1、2、3、4．总的事件：共15个基本事件，符合条件的事件为：8个，…∴所求概率为P=．…19．如图：四边形ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC中点，AB=AD=BE．现沿DE 将△CDE折起成四棱锥C′﹣ABED，点O为ED的中点．（1）在棱AC′上是否存在一点M，使得OM⊥平面C′BE？并证明你的结论；（2）若AB=2，求四棱锥C′﹣ABED的体积的最大值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．（2）底面ABED的面积不变为2．当平面C'ED⊥平面ABED时，锥体的高最大，根据棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）存在，当M为AC的中点时，OM⊥平面C′BE．取BC'的中点F，连结MF，FE．∵MF为△ABC'的中位线．∴MP∥AB，MP=AB，又AB∥ED，AB=ED，O为ED中点，∴MF∥EO，MF=EO．∴四边形EFMO为平行四边形．∴MO⊥EF．而EF⊂平面BEC'，OM⊄平面BEC'，∴OM⊥平面BEC'．（2）∵底面ABED的面积不变为2．∴当平面C'ED⊥平面ABED时，锥体的高最大．即C'O⊥平面ABED时，体积最大，此时OC'=，∴最大体积为=2．20．已知圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2．（1）求抛物线的解析式；（2）当圆心C在抛物线上运动时．①|MN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②记|AM|=m，|AN|=n．求+的最大值，并求出此时圆C的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线的定义，结合圆的弦长公式建立方程进行求解即可．（2）①根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可．②求出相应的长度，结合基本不等式进行求解．【解答】解：（1）抛物线的准线为y=﹣，当C在抛物线顶点时，圆C的半径为p，圆C 的方程为x2+y2=p2．∴弦长l=2=2=p=2．∴p=2，∴抛物线的方程为x2=4y．（2）①记C（a，），圆C的半径r=．由垂径定理知|MN|=2=2=2×2=4．∴|MN|为定值4．②由①知，M（a﹣2，0），N（a+2，0），∴|AM|==，|AN|==．∴+====2•=2，当a=0时， +=2．当a≠0时， +=2•=2≤2=2．当且仅当a=±2时， +有最大值为2，此时圆C的方程为（x±2）2+（y﹣2）2=8．21．设函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切；①求实数a，b的值；②求函数f（x）在[，e]上的最大值；③当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】①求出函数的导数，根据切线方程，得到切线的斜率和切点，进而得到a，b；②求出导数，求出极值和端点的函数值，比较即可得到最大值；③当b=0时，即有alnx≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，求出最小值，再求﹣x的最小值即可．【解答】解：①函数f（x）=alnx﹣bx2，的导数f′（x）=﹣2bx，由于函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，则a﹣2b=0，﹣b=﹣，解得a=1，b=；②f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=x，f′（x）=0，解得x=1，1∈[，e]，且f（1）=﹣，f（）=﹣1﹣，f（e）=1﹣e2，则函数f （x ）在[，e ]上的最大值为：f （1）=﹣；③当b=0时，不等式f （x ）≥m +x 对所有的a ∈[0，]，x ∈（1，e 2]都成立，则alnx ≥m +x 对所有的a ∈[0，]，x ∈（1，e 2]都成立，即m ≤alnx ﹣x 对所有的a ∈[0，]，x ∈（1，e 2]都成立， 令h （a ）=alnx ﹣x ，则h （a ）为一次函数，由于x ∈（1，e 2]，则lnx ＞0，在a ∈[0，]上单调递增，则h （a ）min =h （0）=﹣x ，即有m ≤﹣x 对所有的x ∈（1，e 2]都成立． 则m ≤（﹣x ）min =﹣e 2．即有实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣e 2]．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB=BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （Ⅰ）求证：AC •BC=AD •AE ；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE 的长．【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（I ）如图所示，连接BE ．由于AE 是⊙O 的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E 与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB ．进而得到△ABE ∽△ADC ，即可得到． （II ）利用切割线定理可得CF 2=AF •BF ，可得BF ．再利用△AFC ∽△CFB ，可得AF ：FC=AC ：BC ，进而根据sin ∠ACD=sin ∠AEB ，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I ）如图所示，连接BE ．∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°．又∠E 与∠ACB 都是所对的圆周角， ∴∠E=∠ACB ．∵AD ⊥BC ，∠ADC=90°． ∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB ：AD=AE ：AC ， ∴AB •AC=AD •AE ． 又AB=BC ，∴BC •AC=AD •AE ． 解：（II ）∵CF 是⊙O 的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：（θ为参数）．（1）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C2上的点P对应的参数为θ=，Q为C1上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1：（α为参数），利用平方关系可得普通方程．曲线C2：（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．（2）由已知P（3，4），Q，M，直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程．再利用点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（1）曲线C1：（α为参数），利用平方关系可得：=1，是焦点在y轴上的椭圆．曲线C2：（θ为参数），利用平方关系可得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，是以（3，4）为圆心，1为半径的圆．（2）由已知P（3，4），Q，M，直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．d==≤．当sin=1时取等号．∴PQ中点M到直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6距离的最大值是．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）使f（x）≥m恒成立的实数m的最大值为t，若a、b均为正实数，且满足a+b=2t．求a2+b2的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，分类讨论，求出不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）利用基本不等式，即可求a2+b2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）x≤1时，﹣x+1﹣x+2≤4，∴x≥﹣0.5，∴﹣0.5≤x≤1；1＜x＜2时，x﹣1﹣x+2≤4，恒成立；x≥2时，x﹣1+x﹣2≤4，∴x≤3.5，∴2≤x≤3.5，综上所述，不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣0.5≤x≤3.5}．…（Ⅱ）由f（x）≥m知m≤1，∴t=1．即a+b=2，则a2+b2=（a+b）2﹣2ab=4﹣2ab≥4﹣2•=4﹣2•1=2当且仅当a=b=1时取最小值2．…2016年9月12日。
选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）设集合，，则（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} （2）设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ） （B ） （C ）23（D ）（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b= （A （B （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤A B =I (12i)(i)a ++1312565a =2c =2cos 3A =23（A ）（B ）（C ） （D ）（10）平面过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,,，，则m ，n 所成角的正弦值为（A（B ） （C（D ）（11）执行右面的程序框图，如果输入的n =1,则输出的值满足（A ） B ） （C ） D ）（12）若函数在单调递增，则a （A ） （B ）（C ） （D ）本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =___________ （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)=___________. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为_________（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
湖南省$%#&届高三四校联考试题数学!文科"参考答案一#选择题题!号#$'()&*+,#%###$答!案-./././--/#!$解析%1!'"1"2'1"1$2#3'1&4#3'1的共轭复数为#"'1&故选-!$!$解析%易知"2'#"##%(&$2'#"###(&则"$%%$2'#"%&#'#(&故选.!'!$解析%!15(*678!#*6378!(*678!!,%63#*6"2!15(*678!#*6378!(*6!"!15#*6"2!15!(*6"#*6"2!15'%62#$&故选/!(!$解析%由已知得$ " 2!"$&$""!#&&"2!"'&$"&"&又 2!"#&#"&4!$ " " 2'3$"&2(&4&2#&故选.!)!$解析%抛物线方程化为#$2#'(&4)%&#(!"'&焦点到准线距离为#$'2#&4'2#$&故选/!&!$解析%易知0错&故选0!*!$解析%*$2+$'$2'$3,$'$2('&4''$3',$2('$&4',$2'$!两渐近线方程(29,'#29槡''#&渐近线的斜率-2槡''&2'%6&故两渐近线夹角为&%6&故选.!+!$解析%'$3,$"+$$',2#$:;5.(78!.278!.$!15.(!15.2#$&.)!%&"&4+2 &或)&&故选0!,!$解析%令$#"(2/!由约束条件知/)#'&)*$&故0<;=2'$2,&故选/!#%!$解析%易知+&#&故选-!##!$解析%设底面边长为#&则12槡'(#'槡2#&'&4#2(&4侧视图是长为(&宽为槡$'的矩形&2侧槡槡2(>$'2+'&故选-!#$!$解析%3!#"2$#3#"/"#$#3#2#"/3#$#3#& 当/3#2%即/2"#时&3!#"2#&此时3!'"&3!,"&3!+"都为#&能构成一个正三角形的三边长&满足题意!当/3##%&即/#"#时&3!#"在 上单调递增&"/&3!#"&#!4"/&3!'"&3!,"&3!+"&#!由3!'"33!,"#3!+"得"$/*#("#&/'"#$! 当/3#&%即/&"#时&3!#"在 上单调递减&#&3!#"&"/&由3!'"33!,"#3!+"得$*"/(/*"$&4"$'/&"#!综上+"$'/'"#$&故选/!二#填空题#'!$!$解析%4"!"#(23"!"#(2"3!"#(2"?8@$#(2"?8@$$"$2$!#(!!$&3A "!$解析%点"!#&%"在圆外&4#3&3##%&4&#"$!又B #3&!"$$3($2&$("#表示圆!4&$("##%(&#$或&&"$&4&#$!#)!#'!$解析%#%!15 78! 2&78! &4!152')&:;5 $2!15 $78! $2$!15$ $$!15 $78! $2#"78! !152#"()')2#'!#&! !$解析% 当'2%时&3!#"2"#$3,"显然是偶函数&故 正确!由3!%"23!$"&则","2"("('3,"&而3!#3#"2"!#3#"$"$'!#3#"3,"2"#$3!$"$'"#3#"$'3,"&3!#"#"2"!#"#"$"$'!#"#"3,"2"#"$#3#$"$'3$'#3,"2"#$3!$'"$"#3#"$'3,"&43!#3#"+3!#"#"&43!#"的图像不关于#2#对称&故 错误! 3!#"2"!#"'"$3,"'$"2!#"'"$3,"'$在区间)'&3A "上是增函数&故 正确! 5!#"2"!#"'"$3,"'$""$有(个零点&故 错误!三#解答题#*!$解析%!#"当6*$时&'6226"26"#2-!$6"#""-!$6"#"#"2- $6"#&''2- $$2+(-2$&4'62$6!当62#时&'#22#2- !$#"#"2$&综上所述&'62$6!&分 !$"由!#"知6'626 $6则762#>$#3$>$$3'>$'3 3!6"#"$6"#36 $6! $762#>$$3$>$'3'>$(3 3!6"#"$636 $63#! " 得+"762$#3$$3$'3 3$6"6 $63#&"762$!#"$6"#"$"6 $63#2$!$6"#""6 $63#&"762$63#"$"6 $63#&762!6"#"$63#3$!#$分 #+!$解析%!#"B "$为,8的直径&.是,"$上一点&4".-.$!又B 1.垂直,8所在平面&41.-".&4".-平面1.$!又B 9&:分别为1"&1.的中点&49:.".&49:-平面1.$!&分 !$"设点:到平面$.9的距离为;&由1:"$.921$".9:得#'; 2/$.92#'>+>#$>'>'&4;2+>,$#$槡>+>'$2,槡'$2'槡$2槡'$$&即点:到平面$.9的距离为槡'$$!#$分 #,!$解析%!#"众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点&即众数的估计值为##)!'分 设中位数的估计值为#&则#%>%!%%)3%!%#%>#%3%!%$%>#%3!#"##%">%!%'%2%!)&解得#2##)!4中位数的估计值为##)!&分!$"从图中知&成绩在)+%&,%"的人数为%!%%)>#%>(%2$!人"&成绩在),%&#%%"的人数为&$2%!%#%>#%>(%2(!人"&设成绩在)+%&,%"的学生记为'&,&成绩在),%&#%%"的学生记为+&;&*&3!则从成绩在)+%&#%%"内的学生中任取$人组成的基本事件有!'&,"!'&+"!'&;"!'&*"!'&3"!,&+"!,&;"!,&*"!,&3"!+&;"!+&*"!+&3"!;&*"!;&3"!*&3"共#)种!其中成绩在)+%&,%"的学生至少有一人的基本事件有!'&,"!'&+"!'&;"!'&*"!'&3"!,&+"!,&;"!,&*"!,&3"共,种&所以成绩在)+%&,%"的学生至少有一人的概率为<2,#)2')!#$分$%!$解析%!#"*$2+$'$2'$",$'$2#(&$0122'('$2(&,$2''!4椭圆.的方程为#$(3($'2#!)分 !$"设<"#<$的斜率分别为-#&-$&<!#%&(%"!即-#2(%#%3$&-$2(%#%"$&-#-$2($%#$%"(2'#"#$%!"(#$%"(2' ("#$%(#$%"(2"'(&*分 由=<"+(2-#!#3$"知>!(&&-#"&由=<$+(2-$!#"$"知?!(&$-$"&4>?的中点@!(&'-#3-$"!4以>?为直径的圆的方程为!#"("$3!("'-#"-$"$2#(!&-#"$-$"$2!'-#"-$"$&令(2%&4#$"+#3#&3,-$#3&-#-$3-$$2,-$#"&-#-$3-$$&4#$"+#3#&3#$-#-$2%&4#$"+#3#&3#$>"!"'(2%&即#$"+#3*2%&解得#2*或#2#&4存在定点!#&%"&!*&%"经过以>?为直径的圆!#$分$#!$解析%!#"3A !#"2$#"!"#"-$' ##&当-为奇数时&3A !#"2$#3$'##%&43!#"在!%&3A "上单调递增&3!#"无极值!$分 当-为偶数时&3A !#"2$#"$'#2$#$"$'#2$!#3槡'"!#"槡'"#&43!#"在!%&槡'"上单调递减&!槡'&3A "上单调递增&43!#"有极小值&3!#"极小值23!槡'"2'"$'?5槡'2'"'?5'!)分 !$"B -2$%#&&则3!#"2#$"$'?5#&令4!#"2#$"$'?5#"$'#&4A !#"2$#"$'#"$'2$#$"$'#"$'#2$#!#$"'#"'"令4A !#"2%&4#$"'#"'2%&B '#%&##%&4#%2'3'$3(槡'$!当#)!%&#%"时&4A !#"&%&44!#"在!%&#%"上单调递减!当#)!#%&3A "时&4A !#"#%&4!#"在!#%&3A "上单调递增!,分 又4!#"2%有唯一解&44!#%"2%&4A !#%"2%'&即#$%"$'?5#%"$'#%2%& #$%"'#%"'2%&'#%分 " 得+$'?5#%3'#%"'2%($?5#%3#%"#2%(#%2#!4'2#$!#$分$$!$解析%!#"如图&过9作9>."$交".于>&连结$:!4$99.2">>.! 又B "9平分3$".&43$"923."9&又9>."$&43$"923"9>&43."923"9>!4">2>9!4>9"$2.>".("$".2>9.>2">.>! 由 知"$".2$99.!)分 !$"B "9 9:2$9 9.!又"$".2$99.(9.2$>#'2$'&B /"9.4/"$:&4"9"$2".":&4"9 ":2"$ ".&4"9 !"939:"2"$ ".&4"9$2"$ ".""9 9:2"$ "."$9 9.2'>$"#>$'2&"$'2#&'&4"92槡(''!#%分$'!$解析%.#+ $2$78! &4#$3($"$#2%&所以.#的普通方程为!#"#"$3($2#&.$+#(3$2"('&4'#2"(("+&所以.$的普通方程为'#3((3+2%!圆心.#!#&%"到'#3((3+2%的距离;2"'3+")2##)##&4.#与.$相离!)分 !$"">?"<152##)"#2&)!#%分 $(!$解析%!#"由3!#"#%得"#"$"#"#"#"&两边平方得#$"(#3(##$"$#3#&解得#&'$&即实数#的取值范围是"A &!"'$!)分 !$""'3,"3"'","*"'3,3'","2$"'"&B 3!#"2"#"$"""#"#"&3!#"<;=2#&4$"'"*#("'"*#$('*#$或''"#$!所以'的取值范围为"A &"!*#$5#$&3A )"!#%分。
2016高考全国课标卷文科数学模拟试题参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.C2 A3.解析:画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A(1，1)． 当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.4. 解析：∵数据总个数n ＝10，又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4，∴所求的频率为4/10=0.4.5.解析:A ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴+=（+）+（-+）=+=6.6解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A.7. 解析:log 2π＞1，log 0.5π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1，∴a ＞c ＞b8.解析：∵bcos C ＋ccos B ＝asin A ，由正弦定理得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C)＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴A=900，故△ABC 为直角三角形．9.解析:由题意可得所求直线l 经过点（0，3），斜率为1，故l 的方程是 y ﹣3=x ﹣0，即x ﹣y+3=0。
选D10. 解析：由图象知函数周期T ＝2(1211π-125π)＝π，∴ω＝2，把(125π,2)代入解析式，得2=2sin(2×125π+φ)，即sin(65π+φ)=1. ∴65π＋φ＝2π＋2k π(k ∈Z )，φ＝3π-＋2k π(k ∈Z )．又2π-<φ<2π，∴φ＝3π-.故选A ． 11. 解析：函数f （x ）=x 3的导数为f'（x ）=3x 2，由f ′（x 0）=0，得x 0=0，但此时函数f （x ）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x 0是f （x ）的极值点，则f ′（x 0）=0成立，即必要性成立， 故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，12. 答案：C二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分．）13.(解答：因为α∈(π，23π)，cos α=﹣53，所以sin α=﹣54，所以tan α=34 14. 解析：由程序框图，i ＝1后：A ＝1×2，B ＝1×1，A ＜B ？否；i ＝2后：A ＝2×2，B ＝1×2，A ＜B ？否；i ＝3后：A ＝4×2，B ＝2×3，A ＜B ？否；i ＝4后：A ＝8×2，B ＝6×4，A ＜B ？是，输出i ＝4.15.解析：如图所示，在正四棱锥O －ABCD 中，V O －ABCD ＝31×S 正方形ABCD ·|OO 1|＝31×（3）2×|OO 1|＝223，∴|OO 1|＝223，|AO 1|＝26，在Rt △OO 1A 中，OA ＝6，即R=6，∴S 球＝4πR 2＝24π. 16. 解析:由y=f （x ）﹣a|x|=0得f （x ）=a|x|，作出函数y=f （x ），y=a|x|的图象，当a ≤0，不满足条件，∴a ＞0，当a=2时，此时y=a|x|与f （x ）有三个 交点， 当a=1时，此时y=a|x|与f （x ）有五个 交点，∴要使函数y=f （x ）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a ＜2三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17解:(1)由a 1=1与S n =32n +a n 可得 a 1+a 2=322+a 2，得 a 2=3 有a 1+a 2+a 3=323+a 3;得a 3=6 (2)当n ≥2时, S n =32n +a n ① S n-1=31n +a n-1② ①-②可得3 a n =(n+2) a n –(n+1) a n-1 即11n a a 1-+=-n n n 故由累乘法可得a n =2n n 2+ ,所以{a n }的通项公式为2n n 2+ 18解：（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，∵ABCD 是矩形，∴O 为BD 的中点∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ∴PB ∥平面AEC ；（2）∵AP=1，AD=3，三棱锥P ﹣ABD 的体积V=43，∴V=61PA ·AB ·AD=43， ∴AB=23，作AH ⊥PB 角PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面PAB ∴BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ． 又AH= (PA ·AB)/PB=13133，A 到平面PBC 的距离13133 19解:（1）由已知得25+y+10=55，x+y=35；所以x=15，y=20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为(1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10)/100=1.9 (分钟).（2）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得P(A 1)=15/100=3/20，P(A 2)=30/100=3/10，P(A 3)=25/100=1/4因为A= A 1∪A 2∪A 3且A 1，A 2，A 3是互斥事件，P(A)=P(A 1∪A 2∪A 3)=3/20+3/10+1/4=7/10故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7/10.20解：（1）函数的导数f ′（x ）=3x 2﹣6x+a ；f ′（0）=a ；则y=f （x ）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x 轴交点的横坐标为﹣2，∴f （﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（2）当a=1时，f （x ）=x 3﹣3x 2+x+2，设g （x ）=f （x ）﹣kx+2=x 3﹣3x 2+（1﹣k ）x+4，由题设知1﹣k ＞0，当x ≤0时，g ′（x ）=3x 2﹣6x+1﹣k ＞0，g （x ）单调递增，g （﹣1）=k ﹣1，g （0）=4，则g （x ）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．当x ＞0时，令h （x ）=x 3﹣3x 2+4，则g （x ）=h （x ）+（1﹣k ）x ＞h （x ）．则h ′（x ）=3x 2﹣6x=3x （x ﹣2）单调递增，g （﹣1）=k ﹣1，g （0）=4，则g （x ）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∴g （x ）＞h （x ）≥h （2）=0，∴g （x ）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k ＜1时，曲线y=f （x ）与直线y=kx ﹣2只有一个交点21解:（1）若∠BFD=90°，则△BFD 为等腰直角三角形，且|BD|=2p ，圆F 的半径r=|FA|=2p ，又根据抛物线的定义可得点A 到准线l 的距离d=|FA|=2p 。
2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数i（3﹣i）的共轭复数是（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i2．设U=R，A=｛x|2x＞1}，B=｛x|log2x＞0｝，则A∩∁U B=()A．｛x｜x＜0}B．{x|x＞1} C．｛x｜0＜x≤1｝D．｛x|0≤x＜1｝3．计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于（）A．B．C．D．4．已知向量，，若,则m=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1,则a=（）A．4 B．2 C．D．6．下列命题是假命题的是(）A．∀φ∈R,函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R,使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（﹣2，1），=（﹣3，0)，则在方向上的投影为2D．“｜x｜≤1”是“x＜1"的既不充分也不必要条件7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是,则该双曲线两渐近线夹角是（）A．B．C．D．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c，若（a2+b2﹣c2）tanC=ab，则角C的值为（)A．或B．或C．D．9．设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（）A．B．C．3 D．910．如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的(）A．c＜x B．x＜c C．c＜b D．b＜c11．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示,侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（)A．8 B． C．4 D．12．对于函数f（x）,若∀a，b，c∈R，f（a）,f（b），f（c）为某三角形的三边长，则称f(x）为“可构造三角形函数”，已知是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0］B．（﹣∞，0］C．［﹣2，﹣1]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卷的横线上．。
选择题：本大题共12小题，每小题5分（1)设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A){1，3｝ （B)｛3，5} （C ）｛5，7｝ （D ）{1，7} （2）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 (C ）2 (D ）3(3）为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B)12 （C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =,则b= (A（B（C)2 （D ）3（5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为（A ）错误! （B ）错误! （C ）错误! (D ）错误!(6）若将函数y =2sin （2x +错误!)的图像向右平移错误!个周期后，所得图像对应的函数为（A)y =2sin （2x +错误!) （B ）y =2sin （2x +错误!） （C ）y =2sin （2x –错误!) （D ）y =2sin(2x –错误!)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是错误!,则它的表面积是（A)17π （B ）18π （C ）20π （D)28π （8）若a>b>0,0<c 〈1，则（A ）log a c 〈log b c （B ）log c a 〈log c b （C ）a c 〈b c (D ）c a 〉c b (9）函数y =2x 2–e |x ｜在[–2，2］的图像大致为n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n开始（A)（B)（C ） （D ）(10)平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为(A ）32 （B ）22 （C)33 （D)13（11)执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1，则输出,x y 的值满足（A ）2y x = B)3y x = （C ）4y x = D ）5y x =（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (D)11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本卷包括必考题和选考题两部分.第（13） ~ （21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2016年全国普通高等学校高考数学四模试卷（文科）（衡水金卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U=R，A={x|0＜x＜4}，B={x|x2﹣3x+2＞0}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=R D．A⊆∁R B2．已知复数z=3+i（i为虚数单位），则的模为（）A．2 B．3 C．D．53．某中学三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每班编号，依次为1到24，现用系统抽样的方法，抽取4个班级进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的第二个编号为（）A．3 B．9 C．12 D．64．已知双曲线﹣y2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=﹣2x，则双曲线的实轴长为（）A．B．C．2 D．15．已知x，y满足不等式组，则z=2y+x的最小值为（）A．2 B．C．3 D．6．执行下面的程序框图，则输出的m的值为（）A．9 B．7 C．5 D．117．某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（）A．96 B．192 C．144 D．2408．已知各项互异的等比数列{a n}中，a1=2，其前n项和为S n，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，则S5=（）A．4 B．7 C．5 D．9．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）的周期为2πB．f（x）在区间（0，）内单调递增C．f（x）的一个对称中心为（，0）D．当x∈[0，]时，f（x）的值域为[﹣2，0]10．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥平面ABCD，∠APD=120°，AB=PA=PD=2，则该四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为（）A．B．C．8πD．36π11．已知A，B为抛物线C：y2=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若=﹣4，则||FA|﹣|FB||=（）A．B．C．4 D．12．已知函数f（x）=，则不等式f（log2x）﹣f（log x）≥的解集为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[，2]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知递增等差数列{a n}中，a1=1，a=a1a5，则a10=．14．在▱ABCD中，•=8，•=﹣12，则||=．15．若曲线f（x）=f′（2）lnx﹣f（1）x+2x2在点（，f（））处的切线为l，则切线l的斜率为．16．已知函数f（x）=2x2+3，g（x）=a，若对于任意的x∈R，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosA+acosC=2asinB （1）求A（2）若△ABC的面积为2，求实数a的最小值．18．2016届高三某次联考之后，某中学的数学教师对A班和B班共n名学生的数学成绩进行了统计（满分150分），得到如下各分数段内的男生人数统计表和各个分数段人数的频率分布直方图．组数分组男生占本组的频率第一组[80，90）12 0.6第二组[90，100）10 p第三组[100，110）10 0.5第四组[110，120） a 0.4第五组[120，130） 3 0.3第六组[130，140] 6 0.6（1）求n，a，p的值和频率分布直方图中第二组矩形的高；（2）分数在[130，140]的男生中，A班有4人，从这6个男生中任选2人进行学习经验交流，求取到2人中至少一名是B班男生的概率；（3）若110分（含110分）以上为优秀．（i）完成下面的2×2列联表，并求出男生和女生的优秀率；成绩优秀不优秀总计性别男生女生总计（ii）根据上面表格的数据，判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”？附表及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．19．如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，且四边形ABEF为菱形，ABCD为直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，AB=2AD=2CD=2，H是EF的中点（1）求证：平面AHC⊥平面BCE（2）求四棱锥C﹣ABEH的体积．20．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若不经过原点的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，且l与x轴不垂直，OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为﹣．求△AOB的面积．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣a，e为自然对数的底数（1）若x∈R，不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：n∈N*，不等式++…+＞恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O1于点N．（1）点E是上异于A，N的任意一点，PE交CN于点M，求证：A，D，M，E四点共圆（2）求证：PN2=PB•PC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C1：，（φ为参数，a＞0），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：ρsin（θ+）=1（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）曲线C1上恰好存在四个不同的点到曲线C2的距离相等，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2016年全国普通高等学校高考数学四模试卷（文科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U=R，A={x|0＜x＜4}，B={x|x2﹣3x+2＞0}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=R D．A⊆∁R B【考点】并集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B并集即可得到答案．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，解得x＞2或x＜1，∴B={x|x＞2或x＜1}，∵A={x|0＜x＜4}，∴A∪B=R，故选：C．2．已知复数z=3+i（i为虚数单位），则的模为（）A．2 B．3 C．D．5【考点】复数求模．【分析】求出复数的模，利用复数的模的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=3+i（i为虚数单位），可得|z|==，则||==．故选：C．3．某中学三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每班编号，依次为1到24，现用系统抽样的方法，抽取4个班级进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的第二个编号为（）A．3 B．9 C．12 D．6【考点】系统抽样方法．【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可得出结论．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3，则抽到的第二个编号为3+6=9．故选：B．4．已知双曲线﹣y2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=﹣2x，则双曲线的实轴长为（）A．B．C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线﹣y2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=﹣2x，可得=2，求出a，即可求出双曲线的实轴长．【解答】解：∵双曲线﹣y2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=﹣2x，∴=2，∴a=，∴2a=1，即双曲线的实轴长为1故选：D．5．已知x，y满足不等式组，则z=2y+x的最小值为（）A．2 B．C．3 D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣x+平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（1，1），所以z=x+2y的最小值为1+2×1=3；故选：C．6．执行下面的程序框图，则输出的m的值为（）A．9 B．7 C．5 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的m，n的值，当n=6时，满足条件6＞5，退出循环，此时输出的m的值为9．【解答】解：模拟执行程序，可得第1次，mn=1，m=3，n=2；第2次，mn=6，m=7，n=3；第3次，mn=21，m=5，n=4；第4次，mn=20，m=11，n=5；第5次，mn=55，m=9，n=6；此时输出的m的值为9．故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（）A．96 B．192 C．144 D．240【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为三棱柱去掉一个三棱锥，分别计算体积即可．【解答】解：由题意，该几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥D﹣A1B1C1，∴体积V=﹣=192．故选：B．8．已知各项互异的等比数列{a n}中，a1=2，其前n项和为S n，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，则S5=（）A．4 B．7 C．5 D．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】根据a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，根据等差数列性质求得，2a6﹣3a5+a4=0，则2q2﹣3q+1=0，即可求得q的值，根据等比数列前n项和公式，即可求得S5．【解答】解：a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，（a5+S5）﹣（a4+S4）=（a6+S6）﹣（a5+S5），∴2a6﹣3a5+a4=0，即2q2﹣3q+1=0，q=或q=1（舍去），∴S5==，故答案选：D．9．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）的周期为2πB．f（x）在区间（0，）内单调递增C．f（x）的一个对称中心为（，0）D．当x∈[0，]时，f（x）的值域为[﹣2，0]【考点】正弦函数的对称性．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴它的周期为=π，故排除A；在区间（0，）内，2x﹣∈（﹣，），∴f（x）=2sin（2x﹣）在区间（0，）内单调递增，故B满足条件；令x=，求得f（x）=，故排除C；当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）=2sin（2x﹣）∈[﹣，2]，故f（x）的值域为[﹣，2]，故排除D，故选：B．10．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥平面ABCD，∠APD=120°，AB=PA=PD=2，则该四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为（）A．B．C．8πD．36π【考点】球的体积和表面积．【分析】设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=2，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+22=22+（1﹣d）2，求出R，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．【解答】解：取AD的中点E，连接PE，△PAD中，∠APD=120°，PA=PD=2，∴PE=1，AD=2，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=2，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+22=22+（2﹣d）2，∴d=1，R=，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为=．故选B．11．已知A，B为抛物线C：y2=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若=﹣4，则||FA|﹣|FB||=（）A．B．C．4 D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由=﹣4，可得||=4||，设||=t，则||=4t，点A，B在抛物线的准线上的射影分别为A1，B1，过A作AM⊥BB1，垂足为M，则|BM|=|AA1|﹣|BB1|=3t，又|AB|=|AF|+|BF|，可得|AM|=，可得tan∠ABM=．不妨设直线AB的斜率为，可得直线AB的方程，与抛物线方程联立解出即可得出．【解答】解：∵=﹣4，∴||=4||，设||=t，则||=4t，点A，B在抛物线的准线上的射影分别为A1，B1，过A作AM⊥BB1，垂足为M，则|BM|=|AA1|﹣|BB1|=|AF|﹣|BF|=3t，又|AB|=|AF|+|BF|=5t，∴|AM|==4t，∴tan∠ABM=．不妨设直线AB的斜率为，可得直线AB的方程为：y﹣0=（x﹣1），由，化为：4x2﹣17x+4=0，解得x A=4，x B=，∴||FA|﹣|FB||=．故选：D．12．已知函数f（x）=，则不等式f（log2x）﹣f（log x）≥的解集为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，2]D．[，2]【考点】其他不等式的解法．【分析】先判断函数f（x）的奇偶性和单调性质，再原不等式转化为log2x≥1，解得即可．【解答】解：f（﹣x）=﹣=﹣f（x），∴f（log2x）﹣f（log x）=f（log2x）﹣f（﹣log2x）=2f（log2x），∵f（log2x）﹣f（log x）≥，∴f（log2x）≥==f（1），∵f（x）==1﹣=1﹣为增函数，∴log2x≥1=log22，∴x≥2故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知递增等差数列{a n}中，a1=1，a=a1a5，则a10=19．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设递增等差数列{a n}的公差为d＞0，由a1=1，a=a1a5，可得（1+d）2=1×（1+4d），解得d即可得出．【解答】解：设递增等差数列{a n}的公差为d＞0，∵a1=1，a=a1a5，∴（1+d）2=1×（1+4d），解得d=2．则a10=1+2×（10﹣1）=19．故答案为：19．14．在▱ABCD中，•=8，•=﹣12，则||=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的加减的集合意义以及向量的数量积的运算即可求出．【解答】解：∵•=8，•=﹣12，∴•（+）=8，∴||2+•=8∴||2=8+12=20，∴||=2，故答案为：2．15．若曲线f（x）=f′（2）lnx﹣f（1）x+2x2在点（，f（））处的切线为l，则切线l的斜率为29．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】令x=1，可得f（1），求出导数，再令x=2，求出f′（2）=14，及切线的斜率，从而得到f（x），即可得到切线l的斜率．【解答】解：x=1，f（1）=﹣f（1）+2，∴f（1）=1f（x）=f′（2）lnx﹣f（1）x+2x2，则f′（x）=•f′（2）﹣f（1）+4x，则f′（2）=•f′（2）﹣f（1）+8，即f′（2）=﹣2f（1）+16=14，∴f（x）=14lnx﹣x+2x2，∴f′（x）=﹣1+4x，∴切线l的斜率为f′（）=29．16．已知函数f（x）=2x2+3，g（x）=a，若对于任意的x∈R，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，3）．【考点】函数恒成立问题．【分析】不等式f（x）＞g（x）恒成立，即2x2+3＞a恒成立，分离参数可得a＜恒成立，换元求最值，即可确定实数a的取值范围．【解答】解：不等式f（x）＞g（x）恒成立，即2x2+3＞a恒成立．∴a＜恒成立．设t=（t≥1），则y=2t+在[1，+∞）上单调递增，∴t=1，y min=3，∴a＜3．故答案为：（﹣∞，3）三、解答题（共5小题，满分60分）17．设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosA+acosC=2asinB （1）求A（2）若△ABC的面积为2，求实数a的最小值．【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．【分析】（1）由ccosA+acosC=2asinB，利用正弦定理可得：sinCcosA+ sinAcosC=2sinAsinB利用和差公式、诱导公式化简即可得出．（2）sin=2，可得bc=8．由余弦定理可得：a2=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵ccosA+acosC=2asinB，∴sinCcosA+sinAcosC=2sinAsinB，∴sin（C+A）=sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=．∵A为锐角，∴A=．（2）sin=2，可得bc=8．由余弦定理可得：a2=≥2bc﹣bc=bc=8，当且仅当b=c=2时取等号．∴．∴a的最小值为2．18．2016届高三某次联考之后，某中学的数学教师对A班和B班共n名学生的数学成绩进行了统计（满分150分），得到如下各分数段内的男生人数统计表和各个分数段人数的频率分布直方图．组数分组男生占本组的频率第一组[80，90）12 0.6第二组[90，100）10 p第三组[100，110）10 0.5第四组[110，120） a 0.4第五组[120，130） 3 0.3第六组[130，140] 6 0.6（1）求n，a，p的值和频率分布直方图中第二组矩形的高；（2）分数在[130，140]的男生中，A班有4人，从这6个男生中任选2人进行学习经验交流，求取到2人中至少一名是B班男生的概率；（3）若110分（含110分）以上为优秀．（i）完成下面的2×2列联表，并求出男生和女生的优秀率；优秀不优秀总计成绩性别男生女生总计（ii）根据上面表格的数据，判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”？附表及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．【考点】独立性检验．【分析】（1）利用频率、频数、样本容量的关系，即可得出结论；（2）求出基本事件的个数，即可求取到2人中至少一名是B班男生的概率；（3）（i）根据条件完成下面的2×2列联表，并求出男生和女生的优秀率；（ii）根据上面表格的数据，求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（1）第一组的人数为=20，概率为0.020×10=0.2，所以n==100．由题可知，第二组的频率为1﹣0.2﹣0.2﹣0.15﹣0.1﹣0.1=0.25，所以第二组矩形的高为=0.025，可知第二组的人数为100×0.25=25，所以p==0.4，第四组的频率为0.015×10=0.15，第四组的人数为100×0.15=15，所以a=15×0.4=6；（2）分数在[130，140]的男生共6人，A班有4人，从这6个男生中任选2人进行学习经验交流，有C62=15种情况，取到2人中至少一名是B班男生，有15﹣C42=9种情况，∴取到2人中至少一名是B班男生的概率是=0.6；（3）（i）完成下面的2×2列联表，优秀不优秀总计成绩性别男生15 32 47女生20 33 53总计35 65 100男生的优秀率0.15，女生的优秀率0.2；（ii）根据上面表格的数据，K2=≈0.371＜2.706，∴没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．19．如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，且四边形ABEF为菱形，ABCD为直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，AB=2AD=2CD=2，H是EF的中点（1）求证：平面AHC⊥平面BCE（2）求四棱锥C﹣ABEH的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明AH⊥平面ABCD，即可证明平面AHC⊥平面BCE；（2）求出棱锥的底面积和高，结合棱锥的体积公式，即可求四棱锥C﹣ABEH的体积．【解答】解：（1）证明：连接AE，在菱形ABEF中，∠ABE=60°，∴△AEF为等边三角形，∵H是EF的中点∴AH⊥EF，∵EF∥AB，∴AH⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AH⊥平面ABCD，∴AH⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=2，∠BAD=∠CDA=90°，∴AC=BC=，从而AC2+BC2=AB2，则AC⊥BC，∵AH∩AC=A，∴BC⊥平面AHC，∵BC⊂平面BCE，∴平面AHC⊥平面BCE（2）过C作CG⊥AB于G，则CG⊥AH，∵AB∩AH=A，∴CG⊥平面ABEH，∵AH=，∴S ABEH==，四棱锥C﹣ABEH的体积V=×1=．20．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若不经过原点的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，且l与x轴不垂直，OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为﹣．求△AOB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由正方形，可得b=c，e==，将点（1，）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设不经过原点的直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程x2+2y2=2，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及直线的斜率公式可得1+2k2=2t2，化简整理，即可得到所求三角形的面积．【解答】解：（1）椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形，可得b=c，a==c，e==，将点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=c=1，可得椭圆方程为+y2=1；（2）设不经过原点的直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，即有△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，即为t2＜1+2k2，x1+x2=﹣，x1x2=，又k OA k OB=﹣，可得•==k2+=k2+=﹣，化简可得1+2k2=2t2，O到AB的距离d=，即有△AOB的面积为S=d•|AB|=•••=|t|•=|t|•=．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣a，e为自然对数的底数（1）若x∈R，不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：n∈N*，不等式++…+＞恒成立．【考点】不等式的证明．【分析】（1）由f（x）=e x﹣ax﹣a，求出导数f'（x）=e x﹣a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论a=0，a＜0，a＞0，求实数a的取值范围；（2）由（1）和已知可得，e x≥x+1，可得．n∈N*时，e n＞n+1，即＞．由等比数列的求和公式和累加法，即可得证．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣ax﹣a，f'（x）=e x﹣a，若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，故a＜0不满足条件．若a=0，f（x）=e x≥0恒成立，满足条件．若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，当x＜lna时，f'（x）＜0；当x＞lna时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=e lna﹣a•lna﹣a=﹣a•lna，由f（lna）≥0得﹣a•lna≥0，解得0＜a≤1．综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]．（2）证明：由（1）和已知可得，当a=1时，f（x）=e x﹣x﹣1≥0恒成立，即为e x≥x+1，当且仅当x=0时，取得等号．则n∈N*时，e n＞n+1，即＞．又+++…+==，则++…+＞恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O1于点N．（1）点E是上异于A，N的任意一点，PE交CN于点M，求证：A，D，M，E四点共圆（2）求证：PN2=PB•PC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AB，根据圆内接四边形的性质，得到∠ABC=∠E，根据圆周角定理的推论得到，、∠ABC=∠ADC，从而得到∠ADC=∠E，进一步得到A，D，M，E四点共圆；（2）根据两个角对应相等，易证明△PDN∽△PNA，得到PN2=PD•PA，再结合割线定理即可证明．【解答】证明：（1）连接AB．∵四边形AEPB是⊙O1的内接四边形，∴∠ABC=∠E．在⊙O2中，∠ABC=∠ADC，∴∠ADC=∠E，∴A，D，M，E四点共圆；（2）连接AN、PN．∵四边形ANPB是⊙O1的内接四边形，∴∠ABC=∠PNA．由（1）可知，∠PDN=∠ADC=∠ABC．∴∠PDN=∠PNA．又∠DPN=∠NPA，∴△PDN∽△PNA．∴PN2=PD•PA．又∵PD•PA=PB•PC，∴PN2=PB•PC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C1：，（φ为参数，a＞0），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：ρsin（θ+）=1（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）曲线C1上恰好存在四个不同的点到曲线C2的距离相等，求a的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1：，（φ为参数，a＞0），平方相加可得可得x2+y2=a2=a2．曲线C2：ρsin（θ+）=1，展开可得：=1，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为直角坐标方程．（2）圆心（0，0）到直线的距离d==1．根据曲线C1上恰好存在四个不同的点到曲线C2的距离相等，可得直线两侧各有两个点到直线的距离为1，因此﹣1＞1，解出即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1：，（φ为参数，a＞0），可得x2+y2=a2（1+sin2φ）+a2（1﹣sin2φ）=a2．曲线C2：ρsin（θ+）=1，展开可得：=1，化为直角坐标方程：y+x=2．（2）圆心（0，0）到直线的距离d==1．∵曲线C1上恰好存在四个不同的点到曲线C2的距离相等，∴直线两侧各有两个点到直线的距离为1，∴﹣1＞1，解得．故a的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2，①当x≥时，不等式即2x﹣3+x﹣1≥2，解得x≥2，②当1＜x＜时，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，解得x＜0．③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，解得2x≤2，即x≤．∴综上，原不等式解集为{x|x≤或x≥2}．（2）即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|=，则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，数形结合可得≥3，∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）．2016年8月27日。
2cos 3A =2016年湖南高考文科数学试题及答案(满分150分，时间120分钟)第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} (2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12（C ）13 （D ）56 （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，则b=（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3)（C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a >c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=_________. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=_________. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=23，则圆C 的面积为________。
