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第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．定点问题【例1】 已知椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 相同，如图，作直线AF 与x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于A 点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD |＝103.(1)求抛物线Γ的标准方程；(2)设直线l 不经过A 点且与抛物线Γ相交于N ，M 两点，若直线AN ，AM 的斜率之积为1，证明l 过定点．[解] (1)由椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)，得b 2＝9－c 2，由题可知F (c,0)，p ＝2c ，把x ＝c 代入椭圆E 的方程，得y 2C ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 29， ∴y C ＝9－c 23.∴|CD |＝103＝－c 23，解得c ＝2.∴抛物线Γ的标准方程为y 2＝4cx ，即y 2＝8x . (2)证明：由(1)得A (2,4)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2， ∴k MA ＝y 1－4y 218－2＝8y 1＋4，k NA ＝8y 2＋4， 由k MA ·k NA ＝8y 1＋4·8y 2＋4＝1， 得y 1y 2＋4(y 1＋y 2)－48＝0.(*)设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋t ，得y 2－8my －8t ＝0，∴y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8t ， 代入(*)式得t ＝4m －6，∴直线l 的方程为x ＝my ＋4m －6＝m (y ＋4)－6， ∴直线l 过定点(－6，－4)．过抛物线：＝4的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． [解] (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)． 定值问题【例2】 已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0) 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值？并求出该定值．[解] (1)由题意，设动圆P 的半径为r ，则|PM |＝4－r ，|PN |＝r ，可得|PM |＋|PN |＝4－r ＋r ＝4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知－2＜m ＜2，直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1x 2＝4m 2k 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3，y 1y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k2m 2－4k 2＋3，∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝(k 2＋1)[－6m2k 2－＋＋4k2k 2＋2.要使ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，需使4k 2－3＝0， 解得k ＝±32，此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABF 1的周长为8，且△AF 1F 2的面积的最大时，△AF 1F 2为正三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN 是椭圆C 经过原点的弦，MN ∥AB ，求证：|MN |2AB为定值．[解] (1)由已知A ，B 在椭圆上，可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 又△ABF 1的周长为8，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，即a ＝2.由椭圆的对称性可得，△AF 1F 2为正三角形当且仅当A 为椭圆短轴顶点， 则a ＝2c ，即c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：若直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝1，求得|AB |＝3，|MN |＝23，可得|MN |2AB＝4.若直线l 的斜率存在， 设直线l ：y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 有x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋k 23＋4k2，由y ＝kx 代入椭圆方程，可得x ＝±233＋4k2，|MN |＝21＋k 2·233＋4k2＝4＋k23＋4k2， 即有|MN |2AB＝4.综上可得，|MN |2AB为定值4.范围问题【例3】 已知m ＞1，直线l ：x －my －m 22＝0，椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点．(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m 22，得m 2＝2.又因为m ＞1，所以m ＝2， 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22，x 2m 2＋y 2＝1，消去x ，得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，则由Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24－1＝－m 2＋8＞0，知m 2＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13，y 13，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23，y 23.因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内， 所以OH →·OG →＜0， 即x 1x 2＋y 1y 2＜0.所以x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋m 22⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋m 22＋y 1y 2＝(m 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 28－12＜0.解得m 2＜4(满足m 2＜8)．又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1,2)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．[解] (1)由题意知2b ＝2，∴b ＝1.∵e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2. 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx＋4m 2－4＝0，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1 ①，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·m 2－4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54 ②，由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k2＝－1＋9＋k2.又120＜k 2≤54，∴0≤d 2＜87，∴0≤d ＜2147. ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.最值问题【例4】 (2019·太原模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ， B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝247. (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ＞0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k2， 因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3.(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x ＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解](1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上递增，⎝⎛⎭⎪⎫12，1上递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.1.(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2013·全国卷Ⅰ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2， 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.。
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第2课时定点、定值、范围、最值问题一、选择题1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是（)A.错误!B．［－2，2］C．[－1，1］D．［－4，4］解析Q（－2，0），设直线l的方程为y＝k（x＋2），代入抛物线方程,消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.答案C2．（2017·石家庄模拟）已知P为双曲线C:错误!－错误!＝1上的点，点M满足|错误!|＝1,且错误!·错误!＝0，则当|错误!｜取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )A.错误!B.错误! C．4 D．5解析由错误!·错误!＝0，得OM⊥PM,根据勾股定理，求|MP｜的最小值可以转化为求|OP｜的最小值,当｜OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0）,而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝错误!，故选B.答案B3．已知椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1（m＞0),如果直线y＝错误!x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( ）A．2 B．2错误! C．8 D．2错误!解析根据已知条件得c＝错误!，则点(错误!，错误!错误!）在椭圆错误!＋错误!＝1（m＞0）上，∴错误!＋错误!＝1，可得m＝2错误!.答案B4．若双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是（) A．[3，＋∞） B．（3，＋∞) C．(1,3] D．（1，3）解析依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±错误!x，与抛物线方程联立消去y得x2±错误!x＋2＝0。
第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程[考情展望] 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等.2.考查不同条件下求直线的方程(点斜式、两点式及一般式等).3.题型多为客观题，多与两直线的位置关系、直线与圆的位置关系及圆锥曲线结合交汇命题．一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.二、直线方程的五种形式1．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 【答案】 B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1【答案】 D3．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝ . 【答案】 －34．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是 ，斜截式方程是 ．【答案】3x －y －23－3＝0 y ＝3x －23－35．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0【答案】 D6．(2013·辽宁高考)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0【答案】 C考向一 [132] 直线的倾斜角和斜率(1) 若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 (2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 【答案】 (1)B (2)B规律方法1 1.解答本例(2)时极易错选D ，出错的原因是忽视了正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化情况． 2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k ＝tan α的值域问题；已知斜率k 的范围求倾斜角的范围，实质上是在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k ＝tan α在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．对点训练 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k的取值范围是 ．【答案】 [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1考向二 [133] 求直线的方程已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【尝试解答】(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)∴直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0.②若a≠0，则设所求直线的方程为xa＋ya＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a＋4a＝1，∴a＝7，∴直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)．由点斜式得y－4＝±(x－3)，所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.规律方法2 1.截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．对点训练△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC的垂直平分线DE的方程．【解】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0. (3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.考向三 [134] 直线方程的综合应用已知直线方程为(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0.(1)证明：直线恒过定点M ；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【尝试解答】 (1)(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0可化为(x －2y －3)m ＝－2x －y －4.由⎩⎨⎧ x －2y －3＝0，－2x －y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴直线必过定点M (－1，－2)．(2)设直线的斜率为k (k ＜0)，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， ∴|OA |＝1－2k ，|OB |＝2－k ， S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k (2－k )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k －2)2－k . ∵k ＜0，∴－k ＞0， ∴S △AOB ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k －2)2－k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋(－k )≥4.当且仅当－4k ＝－k ，即k ＝－2时取等号，∴△AOB 的面积最小值是4，此时直线的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)，即y ＋2x ＋4＝0.规律方法3 1.解答本题的关键是面积最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔细体会此解法．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．对点训练 直线l 经过点P (3,2)且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程．【解】 法一 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)， ∴A (a,0)，B (0，b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝24，3a ＋2b＝1，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0. 法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得直线l 在x 轴的正半轴上的截距a ＝3－2k ， 令x ＝0，得直线l 在y 轴的正半轴上的截距b ＝2－3k ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k (2－3k )＝24， 解得k ＝－23，∴直线l 的方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.易错易误之十五 求直线方程忽视零截距 —————————— [1个示范例] ——————设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.此处易忽视在x 轴与y 轴上的截距为零的情形． 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0， ∴a ≤－1综上可知a 的取值范围是a ≤－1.【防范措施】 1.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形．注意分类讨论思想的运用．————————— [1个防错练] ———————求经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【解】 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.课时限时检测(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线方程(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1 D ．m ≠1【答案】 D2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( ) A ．－π7 B.π7 C.5π7 D.6π7 【答案】 D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】 B4．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(1，－2) D ．(1,2) 【答案】 A5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a 表示的直线是( )【答案】 C6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b 的值为 ． 【答案】 －128．如图8－1－1，点A 、B 在函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上，则直线AB 的方程为 ．图8－1－1【答案】 x －y －2＝09．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于 ．【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．【解】 设A (a,0)，B (0，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝－1，∴⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－2.即A (－2,0)，B (0，－2)，∴k AB＝－2－00－(－2)＝－1，故直线l的倾斜角为135°.11．(12分)(1)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．(2)求经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程．【解】(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－25时，此时，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由3x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－3，∴倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，∴所求直线的斜率为 3.又过点A(－3，3)，∴所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.12．(13分)已知定点P(6,4)与直线l1：y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M.求使△OQM面积最小的直线l的方程．【解】∵Q点在l1：y＝4x上，可设Q(x0,4x0)，则PQ的方程为y－44x0－4＝x－6 x0－6.令y＝0，得x＝5x0x0－1(x0＞1)，∴M⎝⎛⎭⎪⎫5x0x0－1，0.∴S △OQM ＝12×5x 0x 0－1×4x 0＝10×x 20x 0－1＝10×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x 0－1)＋1x 0－1＋2≥40. 当且仅当x 0－1＝1x 0－1即x 0＝2时取等号，∴Q (2,8)．PQ 的方程为：y －48－4＝x －62－6，∴x ＋y －10＝0. 第二节 两条直线的位置关系[考情展望] 1.考查由已知两条直线平行与垂直求参数.2.考查距离的计算及对称问题.3.本节内容客观题主要考查基础知识和基本能力，主观题主要在知识交汇处命题注重考查分类讨论与数形结合思想．一、两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.二、几种距离1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.2．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是() A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【答案】 A2．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A. 2 B．2－ 2C.2－1D.2＋1【答案】 C 3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7D.133【答案】 A4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝ .【答案】 15．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是 ．【答案】 －36．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是 ．【答案】 5考向一 [135] 两条直线的平行与垂直已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？【尝试解答】 (1)3≠m ·(m －2)即m 2－2m －3≠0，所以m ≠3且m ≠－1.当m ≠3且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)要使l 1⊥l 2，只要1·(m －2)＋m ·3＝0即m ＝12.∴当m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)要使l 1∥l 2，只要⎩⎨⎧ 3＝m ·(m －2)6(m －2)≠2m ⇒⎩⎨⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3.∴当m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)由(3)知，当m ＝3时，l 1与l 2重合．规律方法1 在研究直线平行与垂直的位臵关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)；(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根．对点训练 (1)(2015·威海模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直(2)已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( )A ．0或3或－1B ．0或3C ．3或－1D ．0或－1【答案】 (1)B (2)D考向二 [136] 两直线的交点与距离(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．【尝试解答】 (1)法一 先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15， 代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2. 由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.规律方法2 求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k 的代数关系式求解；(2)从几何中位臵关系的角度，利用几何关系求解．在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解．对点训练 直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．【解】 当直线l 与x 轴垂直时，此时l 的方程为x ＝2，A 到l 的距离为d 1＝1，B 到l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．∵直线l 过点P (2，－5)，∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0.∴A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1， B (－1,6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. ∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12， ∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.考向三 [137] 对称问题光线由点P (－1,3)射出，遇直线l ：x ＋y ＋1＝0反射，反射光线经过点Q (4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．【尝试解答】 设P (－1,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，点Q (4，－2)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为Q ′(x 2，y 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1－3x 1＋1·(－1)＝－1x 1－12＋y 1＋32＋1＝0⇒⎩⎨⎧x 1＝－4，y 1＝0， 所以P ′(－4,0)．同理有Q ′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P ′Q ，斜率k 1＝－2－04－(－4)＝－14. 直线方程为x ＋4y ＋4＝0.入射光线所在直线为PQ ′，斜率k 2＝－5－31－(－1)＝－4，直线方程为4x ＋y ＋1＝0.∴入射光线直线方程为4x ＋y ＋1＝0，反射光线直线方程为x ＋4y ＋4＝0. 规律方法3 (1)求点M (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)的对称点N 的方法：设N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －b x －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(垂直关系)A ·a ＋x 2＋B ·b ＋y 2＋C ＝0(中点在直线上)求出x ，y ，即得点N 的坐标．(2)两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：点(x ，y )关于x 轴、y 轴、直线x －y ＝0、直线x ＋y ＝0及原点的对称点分别为(x ，－y )、(－x ，y )、(y ，x )、(－y ，－x )和(－x ，－y )．对点训练 已知点A 的坐标为(－4,4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．【解】 (1)设点A ′的坐标为(x ，y )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ y －4x ＋4＝13，3×x －42＋y ＋42－2＝0，解得x ＝2，y ＝6，∴A ′点的坐标为(2,6)．(2)法一 在直线l ′上任取一点P ′(x ，y )，其关于点A (－4,4)的对称点(－8－x,8－y )必在直线l 上，∴即3(－8－x )＋(8－y )－2＝0，即3x ＋y ＋18＝0，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.法二 由题意可知l ′∥l ，设l ′的方程为3x ＋y ＋c ＝0， 由题意可知|－12＋4＋c |9＋1＝|－12＋4－2|9＋1， 解得c ＝18或c ＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.易错易误之十六小视斜率不存在——————————[1个示范例]——————已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值．【解】法一当直线斜率不存在，即a＝0时，有l1：3x－5＝0，l2：－x －2＝0，符合l1∥l2.此处易误认为直线l1与l2的斜率一定存在，漏掉讨论直线斜率不存在的情形当直线斜率存在时，l1∥l2，－32a＝3a－1a＝a＝－16，经检验，a＝－16符合题意．故使l1∥l2的a的值为0或－1 6.法二由l1∥l2⇔3·(－a)－(3a－1)·2a＝0，得a＝0或a＝－16，经检验，a＝0或a＝－16均符合题意，故使l1∥l2的a的值为0或－16.【防范措施】在讨论含参数的两条直线的位置关系时，一定不要忘记两条直线的斜率是否存在的情况，否则会出现漏解．—————————[1个防错练]———————已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a 的值是．【解析】因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.【答案】0或1课时限时检测(四十六)两条直线的位置关系(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.12B．－12C．2D．－2【答案】 A2．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A．－12 B．－2C．0 D．10【答案】 A3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是()A．0 B．2C.13D．4【答案】 B4．当0＜k＜12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 B5．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有()A．2个B．3个C．4个D．6个【答案】 C6．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 1：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是 ．【答案】 －18．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ． 【答案】 x －y ＋1＝09．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为 ．【答案】 ±1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 【解】 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0. 又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等． ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.11．(12分)已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．【解】 (1)证明 直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0， 由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线P A 的斜率k P A ＝4－33＋2＝15， ∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.12．(13分)过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．【解】 当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)， 此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |. ∴直线l 的斜率存在．∴设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)．令y ＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0. 由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得C 点横坐标x C ＝1＋3kk －2. 若|BC |＝2|AB |，则|x B －x C |＝2|x A －x B |. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3k k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k . ∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k ， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.第三节 圆的方程[考情展望] 1.结合直线方程，考查运用待定系数法求圆的方程.2.考查运用圆的几何性质求动点的轨迹方程.3.多以选择题、填空题形式考查．一、圆的定义及方程确定圆的方程时，常用到的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上 (2)圆心在任一弦的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 二、点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系1．若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.2．若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.3．若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.从位臵看d，r的关系判定点与圆的位臵关系还可利用点到圆心的距离d与r的关系：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．1．圆的方程为x2＋y2＋2by－2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为()A．(0，b)，3b B．(0，b)，3|b|C．(0，－b)，3b D．(0，－b)，3|b| 【答案】 D2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a＜－2或a＞23B．－23＜a＜0C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜2 3【答案】 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是() A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1【答案】 A4.已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 ． 【答案】 (x －2)2＋y 2＝105．(2013·重庆高考)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 【答案】 B6．(2014·课标全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是 ．【答案】 [－1,1]考向一 [138] 求圆的方程求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)和点B (3，－2)的圆的方程．【尝试解答】 法一 ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)． 设所求圆的圆心坐标为C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，b ＝－12(a －4)，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴C (2,1)，r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. 规律方法1 求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．对点训练 (2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为 ．【答案】 (x －2)2＋(y －1)2＝4考向二 [139] 与圆有关的最值问题已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【尝试解答】 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率．所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x ＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.规律方法2与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和(x，y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．对点训练已知圆Q：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任一点．(1)求y－2x－1的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值．【解】 (1)设y －2x －1＝k ，则kx －y －k ＋2＝0.由于P (x ，y )是圆上任一点，当直线与圆有交点时，如图所示：两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由d ＝|－2k －k ＋2|1＋k 2＝1，得k ＝3±34. ∴y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－34. (2)令x －2y ＝m ，同理，两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值． 由d ＝|－2－m |5＝1，得m ＝－2±5.∴x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－ 5.考向三 [140] 与圆有关的轨迹问题设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．【尝试解答】 ∵四边形MONP 为平行四边形， ∴OP →＝OM →＋ON →，设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，则ON →＝OP →－OM →＝(x ，y )－(－3,4)＝(x ＋3，y －4)．又点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动， ∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.又当OM 与ON 共线时，O 、M 、N 、P 构不成平行四边形． 故动点P 的轨迹是圆且除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.规律方法3 1.本例中点P 是平行四边形MONP 的一个顶点，因此在点M 、O 、N 三点共线时，点P 是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可用Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．对点训练 (2014·课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解】 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.规范解答之十三 破解圆的方程综合问题 —————————— [1个示范例] ——————(12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 【规范解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0) ，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.6分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组： ⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①8分 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ② 10分 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.12分【名师寄语】 (1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．————————— [1个规范练] ———————在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切． (1)求圆的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则r ＝|－4|12＋(－3)2＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)，设P (x 0，y 0)， 则|P A |＝(x 0＋2)2＋y 20，|PO |＝x 20＋y 20，|PB |＝(x 0－2)2＋y 20.又|P A |，|PO |，|PB |成等比数列， ∴|PO |2＝|P A |·|PB |，即x 20＋y 20＝[(x 0＋2)2＋y 20][(x 0－2)2＋y 20]， 整理得y 20＝x 20－2.∴P A →·PB →＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝(x 20－4)＋y 20＝2x 20－6.又点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜4. ∴2≤x 20＜3，∴－2≤P A →·PB →＜0.课时限时检测(四十七) 圆的方程(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)【答案】 A2．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝()A.3π4 B.π4C.3π2 D.5π4【答案】 A3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是()A．3－ 2 B．3＋ 2C．3－22 D.3－22【答案】 A4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 【答案】 A5．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径为( )A ．2 2 B. 2 C ．3 D ．1【答案】 C6．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的范围是 ．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞8．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是 ．【答案】 (x －1)2＋(y ＋1)2＝99．已知圆C 过点A (1,0)和B (3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为 ．【答案】 (x －2)2＋(y －2)2＝5 三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知圆的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2. (1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)． 【解】 (1)设C (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝m ，y ＝4－m . 消去m ，得y ＝4－x .∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直， ∴直线OC 的方程为x －y ＝0. 由⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2. 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.11．(12分)已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点． (1)求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； (2)求x －2y 的最大值和最小值； (3)求y －2x －1的最大值和最小值．【解】 (1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为 d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65. ∴P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为 d ＋r ＝65＋1＝115， 最小值为d －r ＝65－1＝15. (2)设t ＝x －2y ，则直线x －2y －t ＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点． ∴|－2－t |12＋(－2)2≤1.∴－5－2≤t ≤5－2. ∴t max ＝5－2，t min ＝－2－ 5. 即x －2y 的最大值为5－2.最小值为－2－ 5.(3)设k＝y－2 x－1，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，∴|－3k＋2|k2＋1≤1.∴3－34≤k≤3＋34.∴k max＝3＋34，k min＝3－34.即y－2x－1的最大值为3＋34，最小值为3－34.12．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【解】(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心O(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－12＝x－32，即y＝x－1，所以b＝a－1.①又由在y轴上截得的线段长为43，知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②由①②得：a＝1.b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知OA⊥OB，即k OA·k OB＝－1，∴m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1.整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13 可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122， 即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0.∴m ＝4或m ＝－3，∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[考情展望] 1.考查根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.3.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题．一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法1．几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离． 2．代数法：――→ 判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.。
