中考复习难题突破专题六 平行四边形存在性问题

难题突破专题六平行四边形存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”．解这类题目的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断．类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形1 如图Z6－1，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？图Z6－1例题分层分析(1)符合条件的点D有________个．(2)如何进行分类？2 如图Z6－2，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N.图Z6－2(1)直接写出点A，C，N的坐标．(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数表达式便可求得点N的坐标．(2)根据例1的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合条件的点P.解题方法点析已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形3 如图Z6－3，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.图Z6－3(1)求抛物线的函数表达式．(2)求点D的坐标．(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数表达式．(2)设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数表达式，与____________联立即可求出点D的坐标．(3)存在，分两种情况考虑：①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________；②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况．4 如图Z6－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－4(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．例题分层分析(1)由C(0，4)，A(－2，0)和对称轴x＝1可得三个关系式，分别是①__________，②__________，③________，然后联立①②③，即可求得a，b，c，从而得到函数表达式．(2)假设存在满足条件的点F，连结BF，CF，OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.设点F 的横坐标为t，则点F的坐标可表示为________，然后分别用t表示出△OBF，△OFC的面积，而△AOC的面积为________，然后根据四边形的面积为17，得到关于t的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点F.(3)先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式为________，再求出抛物线的顶点坐标为________，由点E在直线BC上，得到点E的坐标为________，从而求得DE＝________．若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，所以只需DE＝PQ.设点P的横坐标是m，则可表示出点P的坐标为______________，点Q的坐标是______________，然后再进行分类讨论．①当0＜m＜4时，PQ＝________________，②当m＜0或m＞4时，PQ＝______________，再根据DE＝PQ，即可得到关于m的方程，从而求得符合条件的点P的坐标．解题方法点析对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标．专题训练1．[2019·临沂] 如图Z6－5，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式．(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－52．[2019·泰安] 如图Z6－6，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标．(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝32x＋32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，则这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．图Z6－63.[2019·宜宾] 如图Z6－7，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连结AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位长度，当点C落在抛物线上时，求m的值．(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上时记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－74．[2019·齐齐哈尔] 如图Z6－8，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2－12x ＋32＝0的两个根，且OA>OC.(1)求线段OA，OC的长．(2)证明△ADE≌△COE，并求出线段OE的长．(3)直接写出点D的坐标．(4)若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－8参考答案类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形例1 【例题分层分析】(1)3 (2)分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线．解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．例2 【例题分层分析】(1)y＝0 x＝0解：(1)A(－1，0)，C(0，－3)，N(－3，0)．(2)存在．若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，－3)；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－4，3)；若CN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为(2，－3)．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例3 【例题分层分析】 (1)y ＝a(x －2)2＋3 点A (2)抛物线的函数表达式 (3)AD AD AN AN解：(1)设抛物线的顶点为E ，根据题意，得E(2，3)． 设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －2)2＋3， 将(4，0)代入，得0＝4a ＋3，即a ＝－34，∴抛物线的函数表达式为y ＝－34(x －2)2＋3＝－34x 2＋3x.(2)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将(4，0)，(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝3.故直线AC 的函数表达式为y ＝－34x ＋3，将直线AC 的函数表达式与抛物线的函数表达式联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x ＋3，y ＝－34x 2＋3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝94或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0，∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，94.(3)存在，分两种情况考虑：Ⅰ.若AD 为平行四边形的对角线，则有MD∥AN，MD ＝AN.由对称性得到M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，即DM 1＝2，故AN 1＝2， ∴点N 1的坐标为(2，0)．Ⅱ.若AD 为平行四边形的一边，则MN∥AD，MN ＝AD.①当点M 在x 轴上方时，如图①所示． 由Ⅰ知AN 2＝2，∴点N 2的坐标为(6，0)．②当点M 在x 轴下方时，如图②所示，过点D 作DQ ⊥x 轴于点Q ，过点M 3作M 3P ⊥x 轴于点P ，可得△ADQ≌△N 3M 3P ，∴M 3P ＝DQ ＝94，N 3P ＝AQ ＝3，∴点M 3的纵坐标为－94.将y M ＝－94代入抛物线的函数表达式，得－94＝－34x 2＋3x ，解得x M ＝2－7或x M ＝2＋7，∴x N ＝x M －3＝－7－1或7－1， ∴N 3()－7－1，0，N 4( 7－1，0)．综上所述，满足条件的点N 有4个，N 1(2，0)，N 2(6，0)，N 3(－7－1，0)，N 4( 7－1，0)． 例4 【例题分层分析】(1)①c＝4 ②0＝4a －2b ＋c ③b＝－2a (2)(t ，－12t 2＋t ＋4) 4(3)y ＝－x ＋4 (1，92) (1，3) 32 (m ，－m ＋4) (m ，－12m 2＋m ＋4) (－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m (－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m解：(1)由抛物线经过点C(0，4)可得c ＝4，① ∵对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，②又抛物线经过点A(－2，0)， ∴0＝4a －2b ＋c ，③由①②③得a ＝－12，b ＝1，c ＝4，∴抛物线的函数表达式是y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)假设存在满足条件的点F ，如图所示，连结BF ，CF ，OF.过点F 分别作FH⊥x 轴于点H ，FG ⊥y 轴于点G.设点F 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)，其中0＜t ＜4，则FH ＝－12t 2＋t ＋4，FG ＝t ，∴S △OBF ＝12OB·FH＝12×4×(－12t 2＋t ＋4)＝－t 2＋2t ＋8，S △OFC ＝12OC·FG＝12×4×t＝2t ，∴S 四边形ABFC ＝S △AOC ＋S △OBF ＋S △OFC ＝4－t 2＋2t ＋8＋2t ＝－t 2＋4t ＋12. 令－t 2＋4t ＋12＝17，即t 2－4t ＋5＝0，则判别式＝(－4)2－4×5＝－4＜0， ∴方程t 2－4t ＋5＝0无解，故不存在满足条件的点F. (3)设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b′(k≠0)， ∵直线经过点B(4，0)，C(0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝b′，0＝4k ＋b′，解得⎩⎪⎨⎪⎧b′＝4，k ＝－1， ∴直线BC 的函数表达式是y ＝－x ＋4.由y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92，得D(1，92)．∵点E 在直线BC 上，∴点E 的坐标为(1，3)，于是DE ＝92－3＝32.若以点D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，∵DE ∥PQ ，∴只需DE ＝PQ. 设点P 的坐标是(m ，－m ＋4)， 则点Q 的坐标是(m ，－12m 2＋m ＋4)．①当0＜m ＜4时，PQ ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ，由－12m 2＋2m ＝32，解得m ＝1或3.当m ＝1时，线段PQ 与DE 重合，m ＝1舍去， ∴m ＝3，此时P 1(3，1)．②当m ＜0或m ＞4时，PQ ＝(－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m ，由12m 2－2m ＝32，解得m ＝2±7，经检验符合题意，此时P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)．综上所述，满足条件的点P 有3个，分别是P 1(3，1)，P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)． 专题训练1．解：(1)令x ＝0，由y ＝ax 2＋bx －3得y ＝－3， ∴C(0，－3)，∴OC ＝3. 又∵OC＝3OB ，∴OB ＝1，∴B(－1，0)．把点B(－1，0)和A(2，－3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)过点B 作BE⊥x 轴，交AC 的延长线于点E. ∵∠BDO ＝∠BAC，∠BOD ＝∠BEA＝90°， ∴Rt △BDO ∽Rt △BAE ， ∴OD∶OB＝AE∶BE， ∴OD ∶1＝3∶3， ∴OD ＝1，∴D 点坐标为(0，1)或(0，－1)．(3)存在．M 1(0，－3)；M 2(－2，5)；M 3(4，5)．2．解：(1)由题意，设抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋k ， 把(－1，0)代入，得0＝－(－1－1)2＋k ，解得k ＝4， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. (2)当x ＝0时，y ＝－(0－1)2＋4＝3， ∴点C 的坐标是(0，3)，∴OC ＝3. ∵点B 的坐标是(3，0)，∴OB ＝3， ∴OC ＝OB ，则△OBC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°.过点N 作NH⊥y 轴，垂足为H.∵∠NCB ＝90°，∴∠NCH ＝45°，∴NH ＝CH ，∴HO ＝OC ＋CH ＝3＋CH ＝3＋NH ， 设点N 为(a ，－a 2＋2a ＋3)， ∴a ＋3＝－a 2＋2a ＋3， 解得a ＝0(舍去)或a ＝1， ∴点N 的坐标是(1，4)． (3)∵四边形OAPQ 是平行四边形， ∴PQ ＝OA ＝1，且PQ∥OA.设P(t ，－t 2＋2t ＋3)，则Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)．将点Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)代入y ＝32x ＋32，得－t 2＋2t ＋3＝32(t ＋1)＋32，整理得2t 2－t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝12，∴－t 2＋2t ＋3的值为3或154，∴P ，Q 的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(12，154)，(32，154)．3．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(5，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－25＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝5， ∴y ＝－x 2＋4x ＋5.(2)∵点C 的纵坐标为8，∴令－x 2＋4x ＋5＝8， 解得x 1＝1，x 2＝3，当x ＝1时，m ＝1－(－6)＝7；当x ＝3时，m ＝3－(－6)＝9.综上所述，将△ADC 沿x 轴向右平移7个或9个单位长度时，点C 落在抛物线上． (3)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x ＝2， 即点P 的横坐标为x P ＝2，由(2)得点E(1，8)． 若以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形， 则分两类情况讨论：①以BE 为一边的平行四边形，如图①，②，则||x Q －2＝4， 解得x Q ＝6或x Q ＝－2，∴Q(6，－7)或Q(－2，－7)；②以BE 为对角线的平行四边形，如图③， 则x Q ＝x B ＋x E －x P ＝5＋1－2＝4，∴Q(4，5)．综上所述，使得以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标为(6，－7)或(－2，－7)或(4，5)．4．解：(1)解x 2－12x ＋32＝0得x 1＝8，x 2＝4.∵边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋32＝0的两个根，且OA>OC ， ∴OA ＝8，OC ＝4.(2)∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E ， ∴AD ＝AB ＝CO ，∠ADE ＝∠ABC＝∠COE， 又∵∠AED＝∠CEO， ∴△ADE ≌△COE(AAS)， ∴CE ＝AE ＝OA －OE ＝8－OE.在Rt △OEC 中，由勾股定理得OE 2＋OC 2＝CE 2， 即OE 2＋42＝(8－OE)2， ∴OE ＝3.(3)如图所示，作DM⊥x 轴于点M ， 则△COE∽△CMD，∴OE DM ＝CO CM ＝CE CD ， 即3DM ＝44＋OM ＝58， ∴OM ＝125，DM ＝245，∴点D 的坐标为(－125，245)．(4)存在．如图①所示，点P 的坐标为(54，12)；① ②如图②所示，点P 的坐标为(4，5)；如图③所示，点P 的坐标为P 3(5，3－2 5)；③ ④如图④所示，点P 的坐标为P 4(－5，3＋2 5)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（）A.5B.﹣5C.3D.﹣32．不等式组111324(1)2()xxx x a-⎧-<-⎪⎨⎪--⎩…有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣53．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为()A．米B．+1)米C．(90﹣米D．1)米4．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．65．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最多有( )A．12个B．10个C．8个D．6个6．下列事件中，是随机事件的是( )A．任意抛一枚图钉，钉尖着地B．任意画一个三角形，其内角和是180oC．通常加热到100℃时，水沸腾D．太阳从东方升起7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝，则线段ON的长为（）A．2 BC．D．8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A. B. C. D.9．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π10．已知直线y＝mx﹣1上有一点B（1，n），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．12B．14或12C．14或18D．18或1211．在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存．现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1：2：3：5．若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．如图，在平面直角坐标系中，过y轴正半轴上一点C作直线l，分别与2yx=-（x＜0）和3yx=（x＞0）的图象相交于点A、B，且C是AB的中点，则△ABO的面积是（）A．32B．52C．2 D．5二、填空题13．不等式组1024xx-≤⎧⎨-<⎩的整数解．．．是_______．14．如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距________米.15．计算：﹣6+4＝_____．16．若一次函数3y kx =+（k 为常数，0k ≠），y 随x 的增大而减小，则k 的值可以是_______（写出一个即可）.17．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为______．18．张老师上班途中要经过1个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，张老师希望上班经过路口是绿灯，但实际上这样的机会是___． 三、解答题19．计算：112cos302)2︒-++-20．某市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？21．如图所示，函数y 1＝kx+b 的图象与函数2my x=（x ＜0）的图象交于A （a ﹣2，3）、B （﹣3，a ）两点．（1）求函数y 1、y 2的表达式；（2）过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴，试问在线段AB 上是否存在点P ，使S △PAM ＝3S △PBN ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．22．某市卫生局为了了解该市社区医院对患者随访情况，随机抽查了部分社区医院一年来对患者随访的次数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）该市卫生局共抽查了社区医院的患者多少人？并补全条形统计图；（2）请直接写出在这次抽样调查中的众数是，中位数是；（3）如果该市社区医院患者有60000人，请你估计“随访的次数不少于7次”社区医院的患者有多少人．23．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE．（1）若∠D＝78°，求∠EAC的度数．（2）若∠EAC＝α，则∠B的度数为（直接用含α的式子表示）24．某校为了解家长和学生“参与防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把调查的数据分为以下4类情形：A：仅学生自己参与；B：家长与学生一起参与；C：仅家长自己参与；D：家长和学生都未参与；并把调查结果绘制成了以下两种统计图（不完整）．根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生共有_____人．（2）已知B类人数是D类人数的6倍．①补全条形统计图；②求扇形统计图中B类的圆心角度数；③根据调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．25．某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级部分男生进行一次测试（满分50分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分类：A类（45＜m≤50），B类（40＜m≤45），C类（35＜m≤40），D类（m≤35）绘制出如图所示的不完整条形统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）补全条形统计图；（3）若该校九年级男生有600名，D类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．-1，0，114．115．﹣216．-1（答案不唯一）17．45°或30°18．5 12．三、解答题19．3 2【解析】【分析】利用实数混合运算的法则即可计算．【详解】（﹣2+1 221 2＝﹣3 2【点评】此题主要考查实数的运算，要熟记一些简单的三角函数的值，比如：cos60°＝sin30°＝12，sin60°＝cos30°＝2． 20．原来平均每亩产量是35万千克 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设原来平均每亩产量是x 万千克 根据题意得：3036101.5x x-= 解得：35x =经检验，35x =是原方程的解，答：原来平均每亩产量是35万千克；【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 21．（1）14y x =+，23y x =-；（2）存在，P 53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入直线AB 解析式可求得A 、B 两点的坐标，再把B 点坐标代入反比例函数解析式可求得k ，可求得函数y 2的表达式；（2）设出P 点坐标为（x ，x ＋4），根据三角形的面积关系可得到关于x 的方程，可求得P 点坐标． 【详解】解：（1）∵A 、B 两点在函数2my x=（x ＜0）的图象上， ∴3（a ﹣2）＝﹣3a ＝m ， ∴a ＝1，m ＝﹣3，∴A （﹣1，3），B （﹣3，1）， ∵函数y 1＝kx+b 的图象过A 、B 点，∴331k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得k ＝1，b ＝4 ∴y 1＝x+4，y 2＝3x-； （2）由（1）知A （﹣1，3），B （﹣3，1）， ∴AM ＝BN ＝1， ∵P 点在线段AB 上，∴设P点坐标为（x，x+4），其中﹣1≤x≤﹣3，则P到AM的距离为h A＝3﹣（x+4）＝﹣x﹣1，P到BN的距离为h B＝3+x，∴S△PBN＝12BN•h B＝12×1×（3+x）＝12（x+3），S△PAM＝12AM•h A＝12×1×（﹣x﹣1）＝﹣12（x+1），∵S△PAM＝3S△PBN，∴﹣12（x+1）＝32（x+3），解得x＝﹣52，且﹣1≤x≤﹣3，符合条件，∴P（﹣52，32），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣52，32）．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中用P点坐标分别表示出△PBN和△PAM的面积是解题的关键．22．(1)600,图见解析（2）4次，5次；（3）9000.【解析】【分析】（1）根据随访4次的有240人，所占百分比为40%，可得共抽查了社区医院的患者人数；再用被抽查的患者人数减去其余4个组的人数求出随访7次的人数，补全条形统计图即可；（2）根据众数和中位数的定义即可求出答案；（3）用总人数乘以“随访的次数不少于7次”的百分比，计算即可得解．【详解】解：（1）被抽查的社区医院的患者人数：240÷40%＝600（人）．所以该市卫生局共抽查了社区医院的患者600人．随访7次的人数：600﹣（240+120+150+30）＝60（人），补全统计图如图所示：（2）社区医院一年来对患者随访的次数中4次的人数最多，所以众数是4次，600个数据中，按照随访的次数从少到多排列，第300和301个数据都是5次，所以中位数是5次；故答案为：4次，5次；（3）60000×6030600+=9000（人）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了中位数、众数的定义以及用样本估计总体的思想．23．（1）∠EAC＝27°；（2）180+23α．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理计算即可；（2）设∠B的度数为x，仿照（1）的做法计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝51°，∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°；（2）设∠B的度数为x，则∠DAC＝∠DCA＝1802x︒-，∠AEC＝180°﹣x，则（180°﹣x）+1802x︒-+α＝180°，解得，x＝180+23α︒，故答案为：180+23α︒．【点睛】本题考查的是菱形的性质、圆周角定理，掌握菱形的四条边相等、对角相等以及圆周角定理是解题的关键．24．（1）300；（2）①详见解析；②108°；③100【解析】【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比；（2）①先求出B、D的人数和，结合B类人数是D类人数的6倍可得答案；②用360°乘以B 人数占被调查人数的比例即可得； ③总人数乘以样本中D 类别人数的比例． 【详解】（1）（1）本次接受调查的学生共有120÷40%=300（人）， 故答案为：300；（2） ①D 类人数 （300－120－75）÷（6+1）=15人． B 类人数 6×15=90人． 根据以上数据补全图形 ，②B 类的圆心角为 90300×360°=108°． ③2000×15300=100（人）． 答：估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的有100人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解题的关键.25．（1）15，30%，6%；（2）见解析；（3）该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多564名． 【解析】 【分析】（1）根据A 类学生的人数÷所占的百分比求得共抽取的学生数﹣A 类﹣B 类﹣D 类的学生数即可得到a ，a÷共抽取的学生数求得b ，1﹣A 类﹣B 类﹣C 类人数所占的百分比即可得到c ； （2）由C 类人数，补全条形统计图即可；（3）该校九年级男生人数×(1-D 类所占的百分比)即可得到结论． 【详解】（1）a ＝10÷20%﹣10﹣22﹣3＝15，b ＝1550×100%＝30%，c ＝1﹣20%﹣44%﹣30%＝6%； 故答案为：15，30%，6%； （2）补全条形统计图如图所示； （3）600×(1-6%)＝564名，答：该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多564名．【点睛】此题考查条形统计图，看懂图中数据是解题关键2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=()2133x-3-182与y 轴交于点A ，顶点为B ，直线l ：y=-43x+b 经过点A ，与抛物线的对称轴交于点C ，点P 是对称轴上的一个动点，若AP+35PC 的值最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1）B ．（3，114） C ．（3，165） D ．（3，125） 2．如图，在矩形ABCD 内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点E 、F 分别在边BC 、AD 上，则长AD 与宽AB 的比为( )A.6：5B.13：10C.8：7D.4：33．下列计算正确的是（ ） A ．2a+b ＝2ab B ．a 3÷a＝a 2 C ．（a ﹣1）2＝a 2﹣1D ．（2a ）3＝6a 34．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）A. B. C. D.5．已知△ABC ∼△DEF ，且△ABC 的面积为2cm 2，△DEF 的面积为8m 2，则△ABC 与△DEF 的相似比是（ ） A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：16．如图，AD 是△ABC 外接圆的直径．若∠B ＝64°，则∠DAC 等于（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°7．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C,分别以点A 、C 为圆心，以BC 、AB 的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD 、CD,得到的四边形ABCD 是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形8．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ） A ．与x 轴相切，与y 轴相切 B ．与x 轴相切，与y 轴相离 C ．与x 轴相离，与y 轴相切D ．与x 轴相离，与y 轴相离9．如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC ＝130°，则∠D 的度数是( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°10．若点()1A -3y ，，()2B -1y ，，()3C 2y ，在反比例函数2k +1y=x(k 为常数)的图象上，则123y y y ，，的大小关系是( ) A.213y y y << B.123y y y << C.231y y y <<D.321y y y <<11．如图，AB A B ''=，A A '∠=∠，若ABC A B C '''∆≅∆，则还需添加的一个条件有( )A.1种B.2种C.3种D.4种12．一元二次方程经过配方后可变形为（ ）A. B.C. D.二、填空题13．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝8，BD为边AC上的中线，点E在边BC上，且BE：BC ＝3：8，点P在Rt△ABC的边上运动，当PD：AB＝1：2时，EP的长为_____．14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为_____．15．设a为最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a+b+c=_____．16．关于x的方程＝3的解为_____．17．计算(1+1x)÷221x xx++的结果为____．18．小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象如图所示.小明选择的物体可能是( )A. B. C. D.三、解答题19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒．（1）设点Q到边AC的距离为h，直接用含t的代数式表示h；（2）当点E落在AC边上时，求t的值；（3）当点Q在边AB上时，设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）连接CD，直接写出CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值．20．解一元二次方程（1）（x﹣1）2＝4（2）x2﹣4x+1＝021．先化简，再求值：22144(1)1a aa a a-+-÷--，其中|a|＝1．22．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．23．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.24．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求小丽家今年7月的用水量．25．服装店准备购进甲乙两种服装共100件，费用不得超过7500元.甲种服装每件进价80元，每件售价120元；乙种服装每件进价60元，每件售价90元.（Ⅰ）设购进甲种服装x件，试填写下表.表一表二（Ⅱ）给出能够获得最大利润的进货方案，并说明理由.【参考答案】***一、选择题二、填空题1314．515．016．x＝2。

中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11右，下D3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么MA ND MD NP =；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么GQ KA GA KP=．图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1 【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。

难题突破专题六平行四边形存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”．解这类题目的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断．类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形1 如图Z6－1，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？图Z6－1例题分层分析(1)符合条件的点D有________个．(2)如何进行分类？2 如图Z6－2，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N.图Z6－2(1)直接写出点A，C，N的坐标．(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数表达式便可求得点N的坐标．(2)根据例1的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合条件的点P.解题方法点析已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形3 如图Z6－3，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.图Z6－3(1)求抛物线的函数表达式．(2)求点D的坐标．(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数表达式．(2)设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数表达式，与____________联立即可求出点D的坐标．(3)存在，分两种情况考虑：①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________；②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况．4 如图Z6－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－4(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．例题分层分析(1)由C(0，4)，A(－2，0)和对称轴x＝1可得三个关系式，分别是①__________，②__________，③________，然后联立①②③，即可求得a，b，c，从而得到函数表达式．(2)假设存在满足条件的点F，连结BF，CF，OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.设点F 的横坐标为t，则点F的坐标可表示为________，然后分别用t表示出△OBF，△OFC的面积，而△AOC的面积为________，然后根据四边形的面积为17，得到关于t的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点F.(3)先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式为________，再求出抛物线的顶点坐标为________，由点E在直线BC上，得到点E的坐标为________，从而求得DE＝________．若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，所以只需DE＝PQ.设点P的横坐标是m，则可表示出点P的坐标为______________，点Q的坐标是______________，然后再进行分类讨论．①当0＜m＜4时，PQ＝________________，②当m＜0或m＞4时，PQ＝______________，再根据DE＝PQ，即可得到关于m的方程，从而求得符合条件的点P的坐标．解题方法点析对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标．专题训练1．[2019·临沂] 如图Z6－5，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式．(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－52．[2019·泰安] 如图Z6－6，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标．(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝32x＋32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，则这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．图Z6－63.[2019·宜宾] 如图Z6－7，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连结AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位长度，当点C落在抛物线上时，求m的值．(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上时记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－74．[2019·齐齐哈尔] 如图Z6－8，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2－12x ＋32＝0的两个根，且OA>OC.(1)求线段OA，OC的长．(2)证明△ADE≌△COE，并求出线段OE的长．(3)直接写出点D的坐标．(4)若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－8参考答案类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形例1 【例题分层分析】(1)3 (2)分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线．解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．例2 【例题分层分析】(1)y＝0 x＝0解：(1)A(－1，0)，C(0，－3)，N(－3，0)．(2)存在．若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，－3)；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－4，3)；若CN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为(2，－3)．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例3 【例题分层分析】 (1)y ＝a(x －2)2＋3 点A (2)抛物线的函数表达式 (3)AD AD AN AN解：(1)设抛物线的顶点为E ，根据题意，得E(2，3)． 设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －2)2＋3， 将(4，0)代入，得0＝4a ＋3，即a ＝－34，∴抛物线的函数表达式为y ＝－34(x －2)2＋3＝－34x 2＋3x.(2)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将(4，0)，(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝3.故直线AC 的函数表达式为y ＝－34x ＋3，将直线AC 的函数表达式与抛物线的函数表达式联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x ＋3，y ＝－34x 2＋3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝94或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0，∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，94.(3)存在，分两种情况考虑：Ⅰ.若AD 为平行四边形的对角线，则有MD∥AN，MD ＝AN.由对称性得到M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，即DM 1＝2，故AN 1＝2， ∴点N 1的坐标为(2，0)．Ⅱ.若AD 为平行四边形的一边，则MN∥AD，MN ＝AD.①当点M 在x 轴上方时，如图①所示． 由Ⅰ知AN 2＝2，∴点N 2的坐标为(6，0)．②当点M 在x 轴下方时，如图②所示，过点D 作DQ ⊥x 轴于点Q ，过点M 3作M 3P ⊥x 轴于点P ，可得△ADQ≌△N 3M 3P ，∴M 3P ＝DQ ＝94，N 3P ＝AQ ＝3，∴点M 3的纵坐标为－94.将y M ＝－94代入抛物线的函数表达式，得－94＝－34x 2＋3x ，解得x M ＝2－7或x M ＝2＋7，∴x N ＝x M －3＝－7－1或7－1， ∴N 3()－7－1，0，N 4( 7－1，0)．综上所述，满足条件的点N 有4个，N 1(2，0)，N 2(6，0)，N 3(－7－1，0)，N 4( 7－1，0)． 例4 【例题分层分析】(1)①c＝4 ②0＝4a －2b ＋c ③b＝－2a (2)(t ，－12t 2＋t ＋4) 4(3)y ＝－x ＋4 (1，92) (1，3) 32 (m ，－m ＋4) (m ，－12m 2＋m ＋4) (－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m (－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m解：(1)由抛物线经过点C(0，4)可得c ＝4，① ∵对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，②又抛物线经过点A(－2，0)， ∴0＝4a －2b ＋c ，③由①②③得a ＝－12，b ＝1，c ＝4，∴抛物线的函数表达式是y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)假设存在满足条件的点F ，如图所示，连结BF ，CF ，OF.过点F 分别作FH⊥x 轴于点H ，FG ⊥y 轴于点G.设点F 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)，其中0＜t ＜4，则FH ＝－12t 2＋t ＋4，FG ＝t ，∴S △OBF ＝12OB·FH＝12×4×(－12t 2＋t ＋4)＝－t 2＋2t ＋8，S △OFC ＝12OC·FG＝12×4×t＝2t ，∴S 四边形ABFC ＝S △AOC ＋S △OBF ＋S △OFC ＝4－t 2＋2t ＋8＋2t ＝－t 2＋4t ＋12. 令－t 2＋4t ＋12＝17，即t 2－4t ＋5＝0，则判别式＝(－4)2－4×5＝－4＜0， ∴方程t 2－4t ＋5＝0无解，故不存在满足条件的点F. (3)设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b′(k≠0)， ∵直线经过点B(4，0)，C(0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝b′，0＝4k ＋b′，解得⎩⎪⎨⎪⎧b′＝4，k ＝－1， ∴直线BC 的函数表达式是y ＝－x ＋4.由y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92，得D(1，92)．∵点E 在直线BC 上，∴点E 的坐标为(1，3)，于是DE ＝92－3＝32.若以点D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，∵DE ∥PQ ，∴只需DE ＝PQ. 设点P 的坐标是(m ，－m ＋4)， 则点Q 的坐标是(m ，－12m 2＋m ＋4)．①当0＜m ＜4时，PQ ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ，由－12m 2＋2m ＝32，解得m ＝1或3.当m ＝1时，线段PQ 与DE 重合，m ＝1舍去， ∴m ＝3，此时P 1(3，1)．②当m ＜0或m ＞4时，PQ ＝(－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m ，由12m 2－2m ＝32，解得m ＝2±7，经检验符合题意，此时P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)．综上所述，满足条件的点P 有3个，分别是P 1(3，1)，P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)． 专题训练1．解：(1)令x ＝0，由y ＝ax 2＋bx －3得y ＝－3， ∴C(0，－3)，∴OC ＝3. 又∵OC＝3OB ，∴OB ＝1，∴B(－1，0)．把点B(－1，0)和A(2，－3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)过点B 作BE⊥x 轴，交AC 的延长线于点E. ∵∠BDO ＝∠BAC，∠BOD ＝∠BEA＝90°， ∴Rt △BDO ∽Rt △BAE ， ∴OD∶OB＝AE∶BE， ∴OD ∶1＝3∶3， ∴OD ＝1，∴D 点坐标为(0，1)或(0，－1)．(3)存在．M 1(0，－3)；M 2(－2，5)；M 3(4，5)．2．解：(1)由题意，设抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋k ， 把(－1，0)代入，得0＝－(－1－1)2＋k ，解得k ＝4， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. (2)当x ＝0时，y ＝－(0－1)2＋4＝3， ∴点C 的坐标是(0，3)，∴OC ＝3. ∵点B 的坐标是(3，0)，∴OB ＝3， ∴OC ＝OB ，则△OBC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°.过点N 作NH⊥y 轴，垂足为H.∵∠NCB ＝90°，∴∠NCH ＝45°，∴NH ＝CH ，∴HO ＝OC ＋CH ＝3＋CH ＝3＋NH ， 设点N 为(a ，－a 2＋2a ＋3)， ∴a ＋3＝－a 2＋2a ＋3， 解得a ＝0(舍去)或a ＝1， ∴点N 的坐标是(1，4)． (3)∵四边形OAPQ 是平行四边形， ∴PQ ＝OA ＝1，且PQ∥OA.设P(t ，－t 2＋2t ＋3)，则Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)．将点Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)代入y ＝32x ＋32，得－t 2＋2t ＋3＝32(t ＋1)＋32，整理得2t 2－t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝12，∴－t 2＋2t ＋3的值为3或154，∴P ，Q 的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(12，154)，(32，154)．3．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(5，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－25＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝5， ∴y ＝－x 2＋4x ＋5.(2)∵点C 的纵坐标为8，∴令－x 2＋4x ＋5＝8， 解得x 1＝1，x 2＝3，当x ＝1时，m ＝1－(－6)＝7；当x ＝3时，m ＝3－(－6)＝9.综上所述，将△ADC 沿x 轴向右平移7个或9个单位长度时，点C 落在抛物线上． (3)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x ＝2， 即点P 的横坐标为x P ＝2，由(2)得点E(1，8)． 若以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形， 则分两类情况讨论：①以BE 为一边的平行四边形，如图①，②，则||x Q －2＝4， 解得x Q ＝6或x Q ＝－2，∴Q(6，－7)或Q(－2，－7)；②以BE 为对角线的平行四边形，如图③， 则x Q ＝x B ＋x E －x P ＝5＋1－2＝4，∴Q(4，5)．综上所述，使得以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标为(6，－7)或(－2，－7)或(4，5)．4．解：(1)解x 2－12x ＋32＝0得x 1＝8，x 2＝4.∵边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋32＝0的两个根，且OA>OC ， ∴OA ＝8，OC ＝4.(2)∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E ， ∴AD ＝AB ＝CO ，∠ADE ＝∠ABC＝∠COE， 又∵∠AED＝∠CEO， ∴△ADE ≌△COE(AAS)， ∴CE ＝AE ＝OA －OE ＝8－OE.在Rt △OEC 中，由勾股定理得OE 2＋OC 2＝CE 2， 即OE 2＋42＝(8－OE)2， ∴OE ＝3.(3)如图所示，作DM⊥x 轴于点M ， 则△COE∽△CMD，∴OE DM ＝CO CM ＝CE CD ， 即3DM ＝44＋OM ＝58， ∴OM ＝125，DM ＝245，∴点D 的坐标为(－125，245)．(4)存在．如图①所示，点P 的坐标为(54，12)；① ②如图②所示，点P 的坐标为(4，5)；如图③所示，点P 的坐标为P 3(5，3－2 5)；③ ④如图④所示，点P 的坐标为P 4(－5，3＋2 5)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题 1．-12的倒数的相反数是( ) A ．2-B ．2C ．12-D ．122．如图，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，且∠AOC ＝50°，过A 作AE ∥CD 交⊙O 于E ，则∠AOE 的度数为( )A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°3．观察“田”字中各数之间的关系：则a+d ﹣b ﹣c 的值为（ ） A.52B.﹣52C.51D.514．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y-⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，正方形ABCD 中，内部有4个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，则tan ∠AEH=( )A.13B.25C.27D.147．如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BI 、BD 、DC ．下列说法中错误的一项是（ ）A.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DC 重合B.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DI 重合C.∠CAD 绕点A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合D.线段ID 绕点I 顺时针旋转一定能与线段IB 重合 8．计算（﹣2x 2）3的结果是（ ） A ．﹣6x 5B ．6x 5C ．8x 6D ．﹣8x 69．在数轴上点M 表示的数为2-，与点M 距离等于3个单位长度的点表示的数为( ) A.1B.5-C.5-或1D.1-或510．若正比例函数y ＝kx 的图象经过点A （k ，9），且经过第一、三象限，则k 的值是（ ） A ．﹣9B ．﹣3C ．3D ．﹣3或311．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．21130x x+-= B ．ax 2+bx+c ＝0 C ．x 2+5x ＝x 2﹣3D ．x 2﹣3x+2＝012．下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件． A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13_____．14．计算：=______．15．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．16．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是_____． 17．把二次函数y ＝2x 2﹣8x+9，化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式是：___．18．在平面直角坐标系中，把过原点，平分第一、三象限的直线向右平移3个单位后，其函数解析式为________. 三、解答题19．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2与x 轴交于两点A （﹣1，0）和B （4，0），与Y 轴交于点C ，连接AC 、BC 、AB ，（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是抛物线上一点，连接BD 、CD ，满足ABC35DBC S S ∆=，求点D 的坐标；（3）点E 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点F 在线段BC 上（与B 、C 不重合），是否存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ，点E 从A 出发沿线段AC 运动至点C 停止，ED ⊥AB ，EF ⊥AC ，将△ADE 沿直线EF 翻折得到△A′D′E，设DE ＝x ，△A′D′E 与△ABC 重合部分的面积为y ． （1）当x ＝ 时，D′恰好落在BC 上？（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．21．为支持国货，郑州格东律师事务所准备购买若干台华为电脑和华为手机奖励优秀员工．如果购买1台电脑，2部手机，一共需要花费10200元；如果购买2台电脑，1部手机一共需要花费13200元． （1）求每台华为电脑和每部华为手机的价格分别是多少元？（2）财务张经理交代会记小李，购买华为电脑和手机一共50台/部，并且手机部数不少于电脑台数的4倍，那么小李最多应准备多少钱？22．近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同． （1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000元，问最少进货甲种空气净化器多少台？ 23．1135323(5)(1)(3)(10)10464675+----++- 24．已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得△OA 1B 1，再以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2；（2）直接写出点A 1的坐标，点A 2的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，AC //x 轴，点B 、C 的横坐标都是3，且BC 2=，点D 在AC 上，若反比例函数k y (x 0)x =>的图象经过点B 、D ，且AO 3BC 2=.（1）求k 的值及点D 的坐标；（2）将ΔAOD 沿着OD 折叠，设顶点A 的对称点'A 的坐标是()'A m,n ，求代数式m 3n +的值．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题1314．-15．1 16．（3，﹣2） 17．y ＝2（x ﹣2）2+1． 18．3y x =- 三、解答题19．（1）213y x x 222=--；（2）D的坐标为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，122⎛++ ⎝⎭，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F 的坐标为48,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2，﹣1）或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，结合点A ，B 的坐标可得出AB ，AC ，BC 的长度，由AC 2+BC 2＝25＝AB 2可得出∠ACB ＝90°，过点D 作DM ∥BC ，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，由D 1M 1∥BC 可得出△AD 1M 1∽△ACB ，利用相似三角形的性质结合S △DBC ＝35S ABC ∆ ，可得出AM 1的长度，进而可得出点M 1的坐标，由BM 1＝BM 2可得出点M 2的坐标，由点B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可得出直线D 1M 1，D 2M 2的解析式，联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D 的坐标；（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况考虑：①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC ，由点A ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进而可得出直线OF 1的解析式，联立直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F 1的坐标；②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE ，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC ∽△CF 3E ．由EC ＝EB 利用等腰三角形的性质可得出点F 2为线段BC 的中点，进而可得出点F 2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF 3的长度，设点F 3的坐标为（x ，12x ﹣2），结合点C 的坐标可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值，将其正值代入点F 3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解． 【详解】（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣2，得：2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝12 x 2﹣32x ﹣2． （2）当x ＝0时，y ＝12x 2﹣32x ﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2）．∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0）， ∴AC，BC＝AB ＝5． ∵AC 2+BC 2＝25＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°．过点D 作DM ∥BC ，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，如图1所示． ∵D 1M 1∥BC ，∴△AD 1M 1∽△ACB ． ∵S △DBC ＝35S ABC ∆， ∴125AM AB =, ∴AM 1＝2，∴点M 1的坐标为（1，0）， ∴BM 1＝BM 2＝3，∴点M 2的坐标为（7，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx+c （k≠0）， 将B （4，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx+c ，得： 402k c c +=⎧⎨=-⎩ ，解得：122k c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线BC 的解析式为y ＝12x ﹣2． ∵D 1M 1∥BC ∥D 2M 2，点M 1的坐标为（1，0），点M 2的坐标为（7，0）， ∴直线D 1M 1的解析式为y ＝12 x ﹣12 ，直线D 2M 2的解析式为y ＝12x ﹣72． 联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，得：2112213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或2172213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：112x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，3313x y =⎧⎨=-⎩ ，4432x y =⎧⎨=-⎩，∴点D 的坐标为（2，2），（，2），（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）分两种情况考虑，如图2所示．①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC ， 设直线AC 的解析设为y ＝mx+n （m≠0）， 将A （﹣1，0），C （0，﹣2）代入y ＝mx+n ，得：-02m n n +=⎧⎨=-⎩ ，解得：22m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2． ∵AC ⊥BC ，OF 1⊥BC ，∴直线OF 1的解析式为y ＝﹣2x ．连接直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，得：2122y xy x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ， 解得：4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点F 1的坐标为（45 ，﹣85）； ②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE ，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC ∽△CF 3E ． ∵EC ＝EB ，EF 2⊥BC 于点F 2， ∴点F 2为线段BC 的中点， ∴点F 2的坐标为（2，﹣1）；∵BC ＝，∴CF 2＝12 BC ，EF 2＝12 CF 2＝，F 2F 3＝12 EF 2＝4 ，∴CF 3＝4． 设点F 3的坐标为（x ，12x ﹣2），∵CF 3＝4，点C 的坐标为（0，﹣2）， ∴x 2+[12x ﹣2﹣（﹣2）]2＝12516，解得：x 1＝﹣52 （舍去），x 2＝52，∴点F 3的坐标为（52，﹣34）． 综上所述：存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，点F 的坐标为（45 ，﹣85 ），（2，﹣1）或（52，﹣34）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D且与直线BC平行的直线的解析式；（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F的坐标．20．（1）95；（2）22(01)915925xy<⎪=≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩＜x）（＜x）….【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的值，然后根据同角的正弦函数值相等表示出AE为3x，当点D′恰好落在BC上时，再根据等角的三角函数值相等表示出EC为13x，然后求出x的值即可；（2）由（1）可得AE和AD，当点A'与点C重合时，求出x的值，然后根据三角形的面积公式分三种情况讨论，求出y关于x的函数关系式即可.【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB2 =，∴sinA=13 DE BCAE AB==,∵DE=x，∴AE＝3x，当D′恰好落在BC上时，如图所示：ED′＝ED ＝x ，∠DEA ＝∠D′EC， ∴∠ED′C＝∠A ，∴EC ＝13x ， ∵3x+13x ＝6，∴x ＝95，故答案为：95；（2）由（1）可得，AE=3x ，∴AD ＝，当点A'与点C 重合时，AE=EC=12AC=3， ∴3x ＝3 ∴x ＝1．①当0＜x≤1时，如图1，y=12212222AD DE x x x ==； ②当1＜x≤95时，如图2， ∵AE ＝A'E ＝3x ， ∴AA'＝6x ． ∴CA'＝6x ﹣6．∵tan A'='4CH BC CA AC ==，∴1)6)42x CH x -=-=，∴y=221132(1)1)22(66)22222x x x x x x ----=-＝-222x +-； ③当925x ＜＜时，如图3， ∵∠EIC+∠IEC ＝∠IEC+∠A'，∴∠EIC ＝∠A'．∴tan CE EIC CI ==, ∵CE ＝（6﹣3x ），∴3)CI x =- ∴11(63)22(63)22y CE CIx x ==--＝2-+综上所述，22(01)915925x y <⎪=+-≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩＜x ）＜x ）….【点睛】本题主要考查了勾股定理、利用三角函数值解直角三角形、一元二次函数及三角形的面积公式等知识点，根据题意作出辅助线，分类讨论是解题的关键.21．（1）每台华为电脑的价格是5400元，每部华为手机的价格是2400元；（2）小李最多应准备150000元钱． 【解析】【分析】（1）设每台华为电脑的价格是x 元，每部华为手机的价格是y 元，根据“如果购买1台电脑，2部手机，一共需要花费10200元；如果购买2台电脑，1部手机一共需要花费13200元”，列出关于x 和y 的二元一次方程组，解之即可；（2）设购买华为电脑m 台，则购买华为手机（50﹣m ）部，购买手机和电脑总共需要W 元钱，根据“手机部数不少于电脑台数的4倍”，列出关于m 的一元一次不等式，解之，根据题意列出W 关于a 的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合m 的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）设每台华为电脑的价格是x 元，每部华为手机的价格是y 元，根据题意得：210200213200x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：54002400x y =⎧⎨=⎩．答：每台华为电脑的价格是5400元，每部华为手机的价格是2400元．（2）设购买华为电脑m 台，则购买华为手机（50﹣m ）部，购买手机和电脑总共需要W 元钱，根据题意得： 50﹣m≥4m 解得：m≤10．W=5400m+2400（50﹣m ）=3000m+120000，即W 是m 的一次函数．∵k=3000＞0，∴W 随m 增大而增大而增大，∴当m=10时，W 取到最大值，W （最大）=150000． 答：小李最多应准备150000元钱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意中的数量关系列出方程组、不等式、一次函数关系式是解决问题的关键．22．（1）每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元（2）至少进货甲种空气净化器10台． 【解析】 【分析】(1)设每台甲种空气净化器为x 元，乙种净化器为(x+300)元，根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同，列出方程求解即可；(2)设甲种空气净化器为y 台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据进货花费不超过42000元，列出不等式求解即可． 【详解】(1)设每台甲种空气净化器为x 元，乙种净化器为(x+300)元，由题意得：60007500300x x =+， 解得：x ＝1200，经检验得：x ＝1200是原方程的解， 则x+300＝1500，答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元． (2)设甲种空气净化器为y 台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据题意得： 1200y+1500(30﹣y)≤42000， y≥10，答：至少进货甲种空气净化器10台． 【点睛】本题考查分式方程和不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程和不等式是解决问题的关键． 23．34335- 【解析】 【分析】根据有理数的加减法法则计算即可. 【详解】 原式=11353235131010464675-+-+- 13153231531010446675⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭15935=-+ 34335=- 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减法的运算法则是关键. 24．(1)见解析；（2）点A 1的坐标为：（﹣1，3），点A 2的坐标为：（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：△OA 1B 1，△OA 2B 2，即为所求；（2）点A 1的坐标为：（﹣1，3），点A 2的坐标为：（2，﹣6）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 25．（1）k=3；D （1，3）；（2）m+3n=9 【解析】 【分析】（1）先根据AO 3BC 2=，BC ＝2得出OA 的长，再根据点B 、C 的横坐标都是3可知BC ∥AO ，故可得出B 点坐标，再根据点B 在反比例函数ky (x 0)x=>的图象上可求出k 的值，由AC ∥x 轴可设点D （t ，3）代入反比例函数的解析式即可得出t 的值，进而得出D 点坐标；（2）过点A′作EF ∥OA 交AC 于E ，交x 轴于F ，连接OA′，根据AC ∥x 轴可知∠A′ED＝∠A′FO＝90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA′∽△A′FO，设A′（m ，n ），可得出31m nn m -=-，再根据勾股定理可得出m 2＋n 2＝9，两式联立可得出m 3n +的值. 【详解】 解：（1）∵AO 3BC 2=，BC ＝2， ∴OA ＝3，∵点B 、C 的横坐标都是3， ∴BC ∥AO ， ∴B （3，1），∵点B 在反比例函数ky (x 0)x=>的图象上， ∴13k=，解得k ＝3， ∵AC ∥x 轴， ∴设点D （t ，3）， ∴3t ＝3，解得t ＝1， ∴D （1，3）；（2）过点A′作EF ∥OA 交AC 于E ，交x 轴于F ，连接OA′（如图所示）， ∵AC ∥x 轴，∴∠A′ED＝∠A′FO＝90°， ∵∠OA′D＝90°， ∴∠A′DE＝∠OA′F， ∴△DEA′∽△A′FO， 设A′（m ，n ）， ∴31m nn m -=-， 又∵在Rt △A′FO 中，m 2＋n 2＝9， ∴m+3n=9.【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣2k 和二次函数y ＝﹣kx 2+2x ﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（ ）A. B.C. D.2．已知二次函数y ＝x 2﹣3x+m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m ＝0的两实数根是( ) A ．x 1＝1，x 2＝﹣1B ．x 1＝1，x 2＝3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝1，x 2＝33．我们探究得方程x+y ＝2的正整数解只有1组，方程x+y ＝3的正整数解只有2组，方程x+y ＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z ＝10的正整数解得组数是（ ） A ．34B ．35C ．36D ．374．如图，B 是线段AP 的中点，以AB 为边构造菱形ABCD ，连接PD ．若tan ∠BDP ＝12，AB ＝13，则BD 的长为（ ）AB ．C D ．5．如图，在等腰ABC ∆中，3,5AB AC BC A ===,则AB 的长为（）A ．15B ．C ．20D ．6．下列说法错误的是A ．Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，则AC=5；B ．极差能反映一组数据的变化范围；C ．经过点A （2，3）的双曲线一定经过点B （-3，-2）；D ．连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．7．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ）A.12πB.6πC.12π+D.6π+8．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sin θ的值为（ ）A.313B.513C.512D.12139．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线0x =C ．在1x >时，y 随x 增大而减小D ．抛物线与x 轴只有一个交点10．在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x 轴的距离为( ) A.3B.－3C.4D.－411．如图，等腰直角ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点O 在斜边AB 上，且满足:BO OA =，将BOC ∆绕C 点顺时针方向旋转到AQC ∆的位置，则AQC ∠的大小为（ ）A ．100︒B ．105︒C ．120︒D ．135︒12．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <），其对称轴是1x =，与x 轴的一个交点在()2,0，()3,0之间.有下列结论：①0abc <；②0a b c -+=；③若此抛物线过()12,y -和()23,y 两点，则12y y <，。

1.如图,已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，顶点为P.若以A、
C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.
4.如图,抛物线y= 54x 2+bx+c 与y 轴交于点A(0，1),过点A 的直线与抛物线交于另一点B （3，5
2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛 物线于点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN,当m 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?
9.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),顶点D的坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点P、Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。

难题突破专题六平行四边形存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”．解这类题目的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断．类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形1 如图Z6－1，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？图Z6－1例题分层分析(1)符合条件的点D有________个．(2)如何进行分类？2 如图Z6－2，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N.图Z6－2(1)直接写出点A，C，N的坐标．(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数表达式便可求得点N的坐标．(2)根据例1的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合条件的点P.解题方法点析已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形3 如图Z6－3，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.图Z6－3(1)求抛物线的函数表达式．(2)求点D的坐标．(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数表达式．(2)设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数表达式，与____________联立即可求出点D的坐标．(3)存在，分两种情况考虑：①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________；②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况．4 如图Z6－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－4(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．例题分层分析(1)由C(0，4)，A(－2，0)和对称轴x＝1可得三个关系式，分别是①__________，②__________，③________，然后联立①②③，即可求得a，b，c，从而得到函数表达式．(2)假设存在满足条件的点F，连结BF，CF，OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.设点F 的横坐标为t，则点F的坐标可表示为________，然后分别用t表示出△OBF，△OFC的面积，而△AOC的面积为________，然后根据四边形的面积为17，得到关于t的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点F.(3)先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式为________，再求出抛物线的顶点坐标为________，由点E在直线BC上，得到点E的坐标为________，从而求得DE＝________．若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，所以只需DE＝PQ.设点P的横坐标是m，则可表示出点P的坐标为______________，点Q的坐标是______________，然后再进行分类讨论．①当0＜m＜4时，PQ＝________________，②当m＜0或m＞4时，PQ＝______________，再根据DE＝PQ，即可得到关于m的方程，从而求得符合条件的点P的坐标．解题方法点析对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标．专题训练1．[2019·临沂] 如图Z6－5，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式．(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－52．[2019·泰安] 如图Z6－6，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标．(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝32x＋32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，则这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．图Z6－63.[2019·宜宾] 如图Z6－7，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连结AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位长度，当点C落在抛物线上时，求m的值．(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上时记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－74．[2019·齐齐哈尔] 如图Z6－8，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2－12x ＋32＝0的两个根，且OA>OC.(1)求线段OA，OC的长．(2)证明△ADE≌△COE，并求出线段OE的长．(3)直接写出点D的坐标．(4)若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－8参考答案类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形例1 【例题分层分析】(1)3 (2)分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线．解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．例2 【例题分层分析】(1)y＝0 x＝0解：(1)A(－1，0)，C(0，－3)，N(－3，0)．(2)存在．若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，－3)；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－4，3)；若CN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为(2，－3)．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例3 【例题分层分析】 (1)y ＝a(x －2)2＋3 点A (2)抛物线的函数表达式 (3)AD AD AN AN解：(1)设抛物线的顶点为E ，根据题意，得E(2，3)． 设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －2)2＋3， 将(4，0)代入，得0＝4a ＋3，即a ＝－34，∴抛物线的函数表达式为y ＝－34(x －2)2＋3＝－34x 2＋3x.(2)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将(4，0)，(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝3.故直线AC 的函数表达式为y ＝－34x ＋3，将直线AC 的函数表达式与抛物线的函数表达式联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x ＋3，y ＝－34x 2＋3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝94或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0，∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，94.(3)存在，分两种情况考虑：Ⅰ.若AD 为平行四边形的对角线，则有MD∥AN，MD ＝AN.由对称性得到M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，即DM 1＝2，故AN 1＝2， ∴点N 1的坐标为(2，0)．Ⅱ.若AD 为平行四边形的一边，则MN∥AD，MN ＝AD.①当点M 在x 轴上方时，如图①所示． 由Ⅰ知AN 2＝2，∴点N 2的坐标为(6，0)．②当点M 在x 轴下方时，如图②所示，过点D 作DQ ⊥x 轴于点Q ，过点M 3作M 3P ⊥x 轴于点P ，可得△ADQ≌△N 3M 3P ，∴M 3P ＝DQ ＝94，N 3P ＝AQ ＝3，∴点M 3的纵坐标为－94.将y M ＝－94代入抛物线的函数表达式，得－94＝－34x 2＋3x ，解得x M ＝2－7或x M ＝2＋7，∴x N ＝x M －3＝－7－1或7－1， ∴N 3()－7－1，0，N 4( 7－1，0)．综上所述，满足条件的点N 有4个，N 1(2，0)，N 2(6，0)，N 3(－7－1，0)，N 4( 7－1，0)． 例4 【例题分层分析】(1)①c＝4 ②0＝4a －2b ＋c ③b＝－2a (2)(t ，－12t 2＋t ＋4) 4(3)y ＝－x ＋4 (1，92) (1，3) 32 (m ，－m ＋4) (m ，－12m 2＋m ＋4) (－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m (－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m解：(1)由抛物线经过点C(0，4)可得c ＝4，① ∵对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，②又抛物线经过点A(－2，0)， ∴0＝4a －2b ＋c ，③由①②③得a ＝－12，b ＝1，c ＝4，∴抛物线的函数表达式是y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)假设存在满足条件的点F ，如图所示，连结BF ，CF ，OF.过点F 分别作FH⊥x 轴于点H ，FG ⊥y 轴于点G.设点F 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)，其中0＜t ＜4，则FH ＝－12t 2＋t ＋4，FG ＝t ，∴S △OBF ＝12OB·FH＝12×4×(－12t 2＋t ＋4)＝－t 2＋2t ＋8，S △OFC ＝12OC·FG＝12×4×t＝2t ，∴S 四边形ABFC ＝S △AOC ＋S △OBF ＋S △OFC ＝4－t 2＋2t ＋8＋2t ＝－t 2＋4t ＋12. 令－t 2＋4t ＋12＝17，即t 2－4t ＋5＝0，则判别式＝(－4)2－4×5＝－4＜0， ∴方程t 2－4t ＋5＝0无解，故不存在满足条件的点F. (3)设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b′(k≠0)， ∵直线经过点B(4，0)，C(0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝b′，0＝4k ＋b′，解得⎩⎪⎨⎪⎧b′＝4，k ＝－1， ∴直线BC 的函数表达式是y ＝－x ＋4.由y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92，得D(1，92)．∵点E 在直线BC 上，∴点E 的坐标为(1，3)，于是DE ＝92－3＝32.若以点D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，∵DE ∥PQ ，∴只需DE ＝PQ. 设点P 的坐标是(m ，－m ＋4)， 则点Q 的坐标是(m ，－12m 2＋m ＋4)．①当0＜m ＜4时，PQ ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ，由－12m 2＋2m ＝32，解得m ＝1或3.当m ＝1时，线段PQ 与DE 重合，m ＝1舍去， ∴m ＝3，此时P 1(3，1)．②当m ＜0或m ＞4时，PQ ＝(－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m ，由12m 2－2m ＝32，解得m ＝2±7，经检验符合题意，此时P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)．综上所述，满足条件的点P 有3个，分别是P 1(3，1)，P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)． 专题训练1．解：(1)令x ＝0，由y ＝ax 2＋bx －3得y ＝－3， ∴C(0，－3)，∴OC ＝3. 又∵OC＝3OB ，∴OB ＝1，∴B(－1，0)．把点B(－1，0)和A(2，－3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)过点B 作BE⊥x 轴，交AC 的延长线于点E. ∵∠BDO ＝∠BAC，∠BOD ＝∠BEA＝90°， ∴Rt △BDO ∽Rt △BAE ， ∴OD∶OB＝AE∶BE， ∴OD ∶1＝3∶3， ∴OD ＝1，∴D 点坐标为(0，1)或(0，－1)．(3)存在．M 1(0，－3)；M 2(－2，5)；M 3(4，5)．2．解：(1)由题意，设抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋k ， 把(－1，0)代入，得0＝－(－1－1)2＋k ，解得k ＝4， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. (2)当x ＝0时，y ＝－(0－1)2＋4＝3， ∴点C 的坐标是(0，3)，∴OC ＝3. ∵点B 的坐标是(3，0)，∴OB ＝3， ∴OC ＝OB ，则△OBC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°.过点N 作NH⊥y 轴，垂足为H.∵∠NCB ＝90°，∴∠NCH ＝45°，∴NH ＝CH ，∴HO ＝OC ＋CH ＝3＋CH ＝3＋NH ， 设点N 为(a ，－a 2＋2a ＋3)， ∴a ＋3＝－a 2＋2a ＋3， 解得a ＝0(舍去)或a ＝1， ∴点N 的坐标是(1，4)． (3)∵四边形OAPQ 是平行四边形， ∴PQ ＝OA ＝1，且PQ∥OA.设P(t ，－t 2＋2t ＋3)，则Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)．将点Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)代入y ＝32x ＋32，得－t 2＋2t ＋3＝32(t ＋1)＋32，整理得2t 2－t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝12，∴－t 2＋2t ＋3的值为3或154，∴P ，Q 的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(12，154)，(32，154)．3．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(5，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－25＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝5， ∴y ＝－x 2＋4x ＋5.(2)∵点C 的纵坐标为8，∴令－x 2＋4x ＋5＝8， 解得x 1＝1，x 2＝3，当x ＝1时，m ＝1－(－6)＝7；当x ＝3时，m ＝3－(－6)＝9.综上所述，将△ADC 沿x 轴向右平移7个或9个单位长度时，点C 落在抛物线上． (3)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x ＝2， 即点P 的横坐标为x P ＝2，由(2)得点E(1，8)． 若以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形， 则分两类情况讨论：①以BE 为一边的平行四边形，如图①，②，则||x Q －2＝4， 解得x Q ＝6或x Q ＝－2，∴Q(6，－7)或Q(－2，－7)；②以BE 为对角线的平行四边形，如图③， 则x Q ＝x B ＋x E －x P ＝5＋1－2＝4，∴Q(4，5)．综上所述，使得以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标为(6，－7)或(－2，－7)或(4，5)．4．解：(1)解x 2－12x ＋32＝0得x 1＝8，x 2＝4.∵边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋32＝0的两个根，且OA>OC ， ∴OA ＝8，OC ＝4.(2)∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E ， ∴AD ＝AB ＝CO ，∠ADE ＝∠ABC＝∠COE， 又∵∠AED＝∠CEO， ∴△ADE ≌△COE(AAS)， ∴CE ＝AE ＝OA －OE ＝8－OE.在Rt △OEC 中，由勾股定理得OE 2＋OC 2＝CE 2， 即OE 2＋42＝(8－OE)2， ∴OE ＝3.(3)如图所示，作DM⊥x 轴于点M ， 则△COE∽△CMD，∴OE DM ＝CO CM ＝CE CD ， 即3DM ＝44＋OM ＝58， ∴OM ＝125，DM ＝245，∴点D 的坐标为(－125，245)．(4)存在．如图①所示，点P 的坐标为(54，12)；① ②如图②所示，点P 的坐标为(4，5)；如图③所示，点P 的坐标为P 3(5，3－2 5)；③ ④如图④所示，点P 的坐标为P 4(－5，3＋2 5)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．小明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一段路，在这段路上所骑行的路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小明上学途中下坡路的长为1800米;②小明上学途中上坡速度为150米/分，下坡速度为200米/分;③如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，则小明返回时经过这段路比上学时多用1分钟;④如果小明放学后按原路返回，返回所用时间与上学所用时间相等，且返回时下坡速度是上坡速度的1.5倍，则返回时上坡速度是160米/分其中正确的有（）A.①④B.②③C.②③④D.②④2．小刚家2017年和2018年的家庭支出情况如图所示，则小刚家2018年教育方面支出的金额比2017年增加了（）A．0.216万元B．0.108万元C．0.09万元D．0.36万元3．如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为（0，），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（，），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为（）A.4B.3 D.14．如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向上，且经过第二象限的点A.若点A的横坐标为-1，则一次函数y=(a+b)x+b的图象大致是( )A. B. C. D.5．如图，平行四边形ABCD 的对角线BD ＝6cm ，若将平行四边形ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 在旋转过程中所经过的路径长为（ ）A.3πcmB.6πcmC.πcmD.2πcm6．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．75 C ．53D ．547．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①：以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ； ②：分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③：作射线BG ，交AC 边于点D ， 若4BC =，5AB =，则ABD S ∆=（ ）A ．3B ．103C ．6D ．2038．如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案关系为（ ）A.关于y 轴对称B.关于x 轴对称C.重合D.宽度不变，高度变为原来的一半9．给出下列算式：①(a 3)2＝a 3×2＝a 6；②a m a n＝a m+n(m ，n 为正整数)；③[(－x)4]5＝－x 20．其中正确的算式有( )． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图，在圆O 中，点A 、B 、C 在圆上，∠OAB ＝50°，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°11．整数a 满足下列两个条件，使不等式﹣2≤352x +＜12a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程135-22ax x x x----＝1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．612．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ） A ．一组对边平行，另一组对边相等 B ．一组对边平行，一组对角相等 C ．一组对边平行，一组邻角互补 D ．一组对边相等，一组邻角相等 二、填空题13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,A B 均在格点上，12,l l 是一条小河平行的两岸. (Ⅰ)AB 的距离等于_____；(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN (点M 在1l 上，点N 在2l 上，桥的宽度忽略)，使AM MN NB ++最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出MN ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.14．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数的和是9的概率为_____.15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为_____．16．关于x的方程＝3的解为_____．17．在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（m，3），（m+2，3），直线y＝3x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为_____．（用含m的代数式表示）18．如图，已知AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠CDO＝50°，则∠DOF＝_____度．三、解答题19．为了提高学生的身体素质，某班级决定开展球类活动，要求每个学生必须在篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球中选择一项参加训练（只选择一项），根据学生的报名情况制成如下统计表：（1）该班学生的总人数为人；（2）由表中的数据可知：a＝，b＝；（3）报名参加排球训练的四个人为两男（分别记为A、B）两女（分别记为C、D），现要随机在这4人中选2人参加学校组织的校级训练，请用列表或树状图的方法求出刚好选中一男一女的概率．20．(1)阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB，PC＝2．求∠BPC的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为_____；在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为_____，综上可得∠BPC的度数为_____；(2)类比迁移如图2，点P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB，PC＝1，求∠APC的度数；(3)拓展应用如图3，在四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝12AD．∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．21．(1)计算：(﹣1)8+24×(﹣2)﹣3(2)化简：2) 1xx x 1÷(1--+122．一只不透明的袋子中装有1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，摸到蓝球的概率为；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求至少有1次摸到红球的概率．23．解方程：3x（x﹣4）＝4x（x﹣4）．24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求证：BC2＝2C D•OE．25．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝kx的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13取格点C ，连接AC ，(使1AC l )，取格点E 、F ，连接EF (使1EF l )，与AC 交于点A'；同理作点B'；连接AB'与1l 交于点M ，连接A'B 与2l 交于点N ，连接MN ，即为所求14．19 15．411016．x ＝217．﹣3﹣3m≤b≤3﹣3m ． 18．25 三、解答题19．（1）该班学生的总人数为50人；（2）16，20%；（3）刚好选中一男一女的概率为23． 【解析】 【分析】（1）用篮球的人数除以其所占百分比即可得总人数；（2）根据各项目的人数之和等于总人数可求得a 的值，用羽毛球的人数除以总人数可得b 的值； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）该班学生的总人数为12÷24%＝50（人）， 故答案为：50；（2）a ＝50﹣（12+8+4+10）＝16， 则b ＝1050×100%＝20%， 故答案为：16，20%； （3）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中刚好选中一男一女的有8种结果，∴刚好选中一男一女的概率为82 123．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（1）2；30°；90°；（2）∠APC=90°；（3）．【解析】【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．【详解】解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+）2=4=PP′2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA=12 PC，∴∠AP′P=30°；∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．故答案为：2；30°；90°；（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；，在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=）2+）2=2=AP2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°（3）如图3，∵AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD=2AB，∴DG=2BC=6，过A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，∴==∴．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．21．(1)-4；(2)11 x-.【解析】【分析】(1)根据幂的运算性质以及二次根式的性质化简即可；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【详解】解：(1)原式＝1124()8+⨯-＝1﹣3﹣2＝﹣4； (2)原式＝(1)(1)x x x +-÷1x x +＝(1)(1)x x x +-•1x x +＝11x -． 【点睛】 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．(1)13;(2)89. 【解析】【分析】（1）由共有3种等可能结果，其中摸到蓝球可能的结果有1种，根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）∵袋中共有3个球，∴共有3种等可能结果，其中摸到蓝球可能的结果有1种．∴P （摸到蓝球）=13， 故答案为：13； （2）将2个红球编号为红球1，红球2，用树状图表示出所有可能出现的结果，由树状图知，共有9种等可能结果，其中至少有一次摸到红球可能的结果有8种．∴P （至少有1次摸到红球）=89． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．23．x 1＝0，x 2＝4．【解析】【分析】先整理方程，把右边的项移到左边，然后利用因式分解法解方程.【详解】3x（x﹣4）＝4x（x﹣4），整理得：x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x＝0，x﹣4＝0，x1＝0，x2＝4．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．24．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接OD，根据直角三角形中线性质和圆周角定理可得∠ODE＝90°；（2）连接OE，根据三角形中位线性质证△ABC∽△BDC，BC2＝2CD•OE．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE＝DE＝BE＝ BC，∴∠C＝∠CDE，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：连接OE，∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BDC，．BC2＝2CD•OE．；【点睛】考核知识点：三角形中位线，相似三角形判定和性质.25．（1）3y x；（2）当k ＝3时，S 有最大值． S 最大值＝34． 【解析】【分析】（1）当F 为AB 的中点时，点F 的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k 的二次函数，利用二次函数求出最值即可．【详解】（1）∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B （3，2），∵F 为AB 的中点，∴F （3，1），∵点F 在反比例函数y ＝k x 的图象上， ∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x； （2）由题意知E ，F 两点坐标分别为E （2k ，2），F （3，3k ）， ∴S △EFA ＝12 AF•BE＝12×13k （3﹣12k ）， ＝12k ﹣112k 2 ＝﹣112（k 2﹣6k+9﹣9） ＝﹣112（k ﹣3）2+34当k ＝3时，S 有最大值．S 最大值＝34． 【点睛】此题考查反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）A. B.C. D.2．如图，三角形OAB 和三角形BCD 是等腰直角三角形，点B 、D 在x 轴上，∠ABO ＝∠CDB ＝90°，点A 在双曲线y= 上，若△OAC 的面积为，则k 的值为（ ）A. B.- C.﹣9 D.﹣123．已知抛物线y ＝3x 2+1与直线y ＝4cos α•x 只有一个交点，则锐角α等于（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°4．现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm ，方差分别是2S 甲、2S 乙，如果22>S S 乙甲，那么两个队中队员的身高较整齐的是（ ）A ．甲队B ．乙队C ．两队一样整齐D ．不能确定5．点A ，点B 的位置如图所示，抛物线y ＝ax 2﹣2ax 经过A ，B ，则下列说法不正确的是（ ）A.点B 在抛物线对称轴的左侧;B.抛物线的对称轴是x ＝1C.抛物线的开口向上 ;D.抛物线的顶点在第四象限. 6．下列计算正确的是（ ）A ．222()a b a b +=+B ．()22424a a -=-C ．532a a a ÷=D ．4711a a a +=7．如图，幼儿园计划用30m 的围栏靠墙围成一个面积为100m 2的矩形小花园（墙长为15m ），则与墙垂直的边x 为（ ）A ．10m 或5mB ．5m 或8mC ．10mD ．5m8．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简21a a +--的结果为（ ）A ．21a --B ．21a +C ．－3D ．39．如图，在平面直角坐标系xO 1y 中，点A 的坐标为（1，1）．如果将x 轴向上平移3个单位长度，将y 轴向左平移2个单位长度，交于点O 2，点A 的位置不变，那么在平面直角坐标系xO 2y 中，点A 的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣2，﹣3）D ．（3，4）10．下列各式计算正确的是（ ）A ．（a 5）2＝a 7B ．2x ﹣2＝212xC ．3a 2•2a 3＝6a 6D ．a 8÷a 2＝a 6 11．如图，是反比例函数在第一象限内的图像上的两点，且两点的横坐标分别是2和4，则的面积是( )A. B. C. D.12．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）A ．b 2＞4acB ．ax 2+bx+c≥﹣6C ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1D ．若点（﹣2，m ），（﹣5，n ）在抛物线上，则m ＞n二、填空题13．如图，正方形ABCD ，6AB =，E 、F 为BC 边上两点，1EF =，若135AEC BAF ∠+∠=︒，则线段AE 的长为____．14．已知在△ABC 中，AB=AC ． （1）若∠A=36º，在△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包．．括．△ABC ），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是_____；（2）若∠A≠36º， 当∠A=_____时，在等腰△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC ）.（写出两个答案即可） 15．若△ABC 三条边长为a ，b ，c ，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．16．8-的立方根是__________．17．计算()322x -5xy ⋅的结果等于_____.18．若关于x 的方程226111k x x x -=+--有增根，则k 的值为_____． 三、解答题 19．某校创客社团计划利用新购买的无人机设备测量学校旗杆AB 的高.他们先将无人机放在旗杆前的点C 处（无人机自身的高度忽略不计），测得此时点A 的仰角为60︒，因为旗杆底部有台阶，所以不能直接测出垂足B 到点C 的距离.无人机起飞后，被风吹至点D 处，此时无人机距地面的高度为3米，测得此时点C 的俯角为37︒，点A 的仰角为45︒，且点B ，C ，D 在同一平面内，求旗杆AB 的高度.（计算结果精确到0.1米， 1.414≈ 1.732≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）20．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx+b(k ＜0)，经过点(6，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y ＝m x(x ＞0)的图象G 交于A ，B 两点． (1)求直线的表达式；(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G 在点A 、B 之间的部分与线段AB 围成的区域(不含边界)为W ．①当m ＝2时，直接写出区域W 内的整点的坐标 ；②若区域W 内恰有3个整数点，结合函数图象，求m 的取值范围．21．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ∥BD ，过点D 作ED ∥AC ，两线相交于点E ．（1）求证：AE ＝DE ；（2）连接BE ，交AC 于点F ．若BE ⊥ED 于点E ，求∠AOD 的度数．22．“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A ．非常了解，B ．比较了解，C ．基本了解，D ．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次共调查 名学生；扇形统计图中C 所对应扇形的圆心角度数是 ；（2）补全条形统计图；（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名学生同时被选中的概率．23．某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，销售量将减少1千克（1）现该商场保证每天盈利1500元，同时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最大？24．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ︒∠=，以AB 为直径的O 交BC 于点F ，连结OC ，过。

中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△P AC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例2、如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例3、如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例4、如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例5、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例6、如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4。

1 中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33uu uu u uu u u uu u uu r 右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33uu u u u u u uu u uu uu r 右，上D 1(2, 7)．由于C(0, 3)33u u uu u u uu u uu uu u r 下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33uu u u u u u uu u u u uu r 下，左D 2(－4, 1)．由于P(－1, 4)11u u u u uu u u u uu uu r 右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11u uu u u u uu u u u uu r 右，下D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2。

专题6二次函数与平行四边形存在性问题解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A C B D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2022•娄底）如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣6与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点P （m ，n ）（0＜m ＜6）在抛物线上，当m 取何值时，△PBC 的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作FE ∥AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；四边形PBOC（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），＝x P＝＝3m，∴S△POCS△BOP＝|y P|＝+2m+6），＝＝18，∵S△BOC＝S四边形PBOC﹣S△BOC∴S△PBC+S△POB）﹣S△BOC＝（S△POC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，＝；∴当m＝3时，S△PBC最大方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴S△PBC＝；∴当m＝3时，S△PBC最大（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【例2】．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，∵该抛物线与直线BC始终有交点，∴Δ＝9﹣4h≥0，∴h≤．∴h的最大值为．（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，∴E（2，﹣1），∴DE＝2，设点M（m，﹣m2+4m﹣3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：①当DE为边时，DE∥MN，则N（m，m﹣3），∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．②当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t﹣3），∴，解得m或（舍），∴N（3，0）．综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．【例3】（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M 坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．【解答】（1）解：由题意得，，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，∴D（﹣1，4），由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AD2＝20，∵C（0，3），∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，∵∠BOC＝90°，∴tan∠BCO＝＝，∴∠DAC＝∠BCO；（3）解：如图，作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，∴DE∥FD1，∴△DEC∽△D1FC，∴＝，∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴D1（2，1），∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝0时，y＝﹣3，∴N（0，﹣3），同理可得：，∴，∴OM＝3，∴M（3，0），设P（2，m），当▱MNQP时，∴MN∥PQ，PQ＝MN，∴Q点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，∴Q（﹣1，8），当▱MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，∴Q′（5，﹣8），综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．【例4】（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案；方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+m，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线MN的解析式为y＝x，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，把x＝1代入y＝x，得y＝1，∴D（1，1），方法一：设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，将C（0，﹣3），D（1，1）代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，4x﹣3＝0，∴x＝，∴E（，0），∴OE＝．方法二：由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，∵BC∥MN，∴△DEO∽△CEB，∴，设OE＝x，则BE＝3﹣x，∴，解得x＝，∴OE＝．②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知，FD在直线上，∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），由点D在直线MN上，设D（t，t），如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），∵BC∥MN，∴∠OBC＝∠DOB，∵GD∥x轴，∴∠GDF＝∠DOB，∴∠OBC＝∠GDF，又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，∴△DGF≌△BOC（AAS），∴GD＝OB，GF＝OC，∵GD＝t﹣1，OB＝3，∴t﹣1＝3，∴t＝4，∴D（4，4），如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，同理可证△DKF≌△COB（AAS），∴KD＝OC，∵KD＝1﹣t，OC＝3，∴1﹣t＝3，∴t＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）；（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，如图，四边形BFCD为平行四边形，设D（t，t），F（1，n），同理可证△DHC≌△BPF（AAS），∴DH＝BP，HC＝PF，∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，∴，∴，∴D（2，2），F（1，﹣5），综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．1．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y 轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可；，利用二次函数求最值；（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标．【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，（2）作ED⊥x轴于D，由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，∴ED＝sin45°×2t＝，＝＝﹣，∴S△BEP最大为2．当t＝﹣时，S△BEP最大为2．∴当t＝2时，S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，∴点N的横坐标为：4或或．2．（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM ⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式；（2）先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以当m＝2时，PN 由面积S△BCP有最大值，P（2，）；（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）．【解析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得：，∴y＝﹣x2+x+4；（2）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B与点C代入可得，，解得，∴y＝﹣x+4，∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，∴S△BCP∵B（4，0），C（0，4），∴BC＝8，∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4，∴PN＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PN有最大值，∴P（2，）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+，∵抛物线沿着射线CB设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，∵新抛物线y'过原点，∴0＝﹣+﹣t，解得t＝2或t＝﹣6（舍），∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，∴x＝3，∴D（3，2），∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝，∴E点的横坐标为，∵点F为新抛物线y'上一动点，设F点横坐标为n，①当AE与DF为平行四边形的对角线时，∴﹣3+＝n+3，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，∴﹣3+n＝3+，∴n＝，∴F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，∴﹣3+3＝n+，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．3．（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值．【解析】（1）将（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a，得，解得，∴，∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．（2）存在．∵，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C（0，﹣2），B（4，0），设，，当四边形BCFE是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝±，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝或，当h＝时，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，∴E（4，0），F（8，2），此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；综上，h的值为或±．4．（2021•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）填空：△ABC的形状是直角三角形．（2）求抛物线的解析式；（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，求P点坐标；（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．【解析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC为直角三角形，故答案为：直角三角形；（2）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②，当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，则△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0，解得：c＝，将c的值代入③式并解得x＝，故点P的坐标为（，）；（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D（，2），设点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（n，﹣n2+n+3），①当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，解得：m＝（舍去）或2或；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，解得m＝（舍去）或0，综上，m＝0或2或或，故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）．5．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF ＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因为抛物线对称为x＝1，∴②，联立①②，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4），令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线MC为y＝kx﹣3，代入点M得k＝﹣1，∴直线MC为y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴N（﹣3，0），令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），过C作CP∥AN，使CP＝AN，则四边形ANCP为平行四边形，∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴P（2，﹣3），∵P的坐标满足抛物线解析式，∴P（2，﹣3）在抛物线上，即P（2，﹣3）；（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，∴D（0，3），∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形．6．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为（0，3），∵OG﹣OB＝3，∴B坐标为（3，0），∵tan∠CAO＝3，∴＝3，∴OA＝1，∴点A坐标为（﹣1，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵Q为线段PB中点，＝S△CPB，∴S△CPQ面积最大时，△CPQ面积最大．当S△CPB设P坐标（a，﹣a2+2a+3），过点P作PH∥y轴交BC于点H，H坐标为（a，﹣a+3），∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，S△CPB＝•PH•（x B﹣x C）＝•PH•3＝PH＝（﹣a2+3a）＝﹣（a2﹣3a+﹣）＝﹣（a﹣）2+，当a＝时，即P坐标为（，）时，＝S△CPB＝，最大S△CPQ∴P坐标为（，）；（3）沿CB方向平移2个单位，即向右2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2，M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），点N坐标设为（n，0），∵＝，∴＝，∴y D＝1，则1＝﹣（x﹣3）2+2﹣1＝﹣（x﹣3）2，（x﹣3）2＝1，x﹣3＝±1，∴x＝4或2，∴x D＝4或x D＝2，＝⇒＝，∴x N＝7，或＝，∴x N＝5，∴N坐标为（7，0）或（5，0），或＝⇒＝，得y D＝﹣1，则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，（x﹣3）2＝3，x＝±+3，∴x D＝3﹣或x D＝3+，即x N＝﹣或，N坐标为（﹣，0）或（，0）．7．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；求得P坐标，②当S△COP（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：，解得，∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，Rt△AOB中，AB＝＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：：S△COP＝1：2，∵S△AOP：S△AOC＝1：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝1：3，而C（2，6），即CH＝6，∴PQ＝2，即y P＝2，在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，∴x＝﹣2，∴P（﹣2，2）；②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：：S△AOP＝1：2，∵S△COP：S△AOC＝2：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝2：3，∵CH＝6，∴PQ＝4，即y P＝4，在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，∴x＝0，∴P（0，4）；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），∴AN的中点为（，），OC中点为（，），∴，解得，∴N（6，6），②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，∴N（﹣2，6），③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，∴N（﹣6，﹣6），综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．8．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；＝S△CEF+S△BEF （2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线l的解析式为y＝kx+n，将B（3，0），D（0，3）代入上式得：．解得：．∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．∵点P（m，0），EF⊥x轴，∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）．∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．∵B（3，0），∴OB＝3．＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，∵S四边形CEBF∴＝﹣．∵＜0，有最大值＝．∴当m＝时，S四边形CEBF即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．（3）存在．①当点M在直线BD的下方时，如图，令x＝0，则y＝﹣3．∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．∵A（﹣1，0），∴OA＝1．过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，∵四边形ACMN为平行四边形，∴AC∥MN，AC＝MN．∵NF⊥ME，ME⊥OE，∴NF∥OE．∴∠ACO＝∠MNF．在△AOC和△MFN中，．∴△AOC≌△MFN（AAS）．∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．∴N（h﹣1，﹣h+4）．∴NG＝﹣h+4，∵NG+GF＝NF＝3，∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．②当点M在直线BD的上方时，如图，过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．∴NE＝EF+NF＝h+1．∴N（h+1，﹣h+2）．∴GF＝OE＝h﹣2．∵MG+GF＝MF＝3，∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）．9．（2021•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x ﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为（﹣1，﹣4m+1）；当二次函数L1，L2的y 值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是﹣1＜x＜3；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3（2）结论：四边形AMDN由二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得：A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（﹣1，﹣4m+1），顶点N 坐标为（3，4m﹣1），∴AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），∴AD与MN互相平分，∴四边形AMDN是平行四边形，又∵AD＝MN，∴▱AMDN是矩形．（3）①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．解得：x＝，抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或．10．（2022•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；（2）先求出BC的解析式，设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函数求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，则△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）求出平移后的函数解析式为y'＝x2+x﹣5，则D（﹣3，﹣5），设M（m，＝m2+m﹣5），E （x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），分三种情况讨论：①以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，求得M（﹣6，4）．【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵OB＝2OC，∴OB＝6，∴B（6，0），将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝x﹣3，∴设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴PQ＝﹣t2+3t，∵CO＝3，BO＝6，∴BC＝3，在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cos∠BCO＝，∵PQ∥CO，∴∠HQP＝∠OCB，∴sin∠HQP＝＝，cos∠HQP＝＝，∴HP＝PQ，HQ＝PQ，∴△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，∵点P是直线BC下方，∴0＜t＜6，∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴平移后的函数解析式为y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5，∴D（﹣3，﹣5），设M（m，﹣m2+m﹣5），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣3x﹣3，设E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），①以EF为平行四边形的对角线时，．解得m＝或m＝，∴M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（﹣6，4）．11．（2022•平桂区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y ＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求该抛物线的表达式；（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），分两种情况：①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，﹣2）；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，，得P（1，﹣8）．【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得：n＝3，∴C（0，3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，答：C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，∴P（1，t），∵平移BC使点B与P重合，B（3，0），∴C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：。