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换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13f x x--＝，求f （x ）的解析式。
【错解】令t=,则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2。
【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f ”作用的对象是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．t=，则t ≥0,且x ＝t 2＋1，所以f (t ）＝3－(t 2＋1）＝2－t 2（t ≥0）, 即f （x ）＝2－x 2（x ≥0)．【参考答案】f （x )＝2－x 2(x ≥0）．利用换元法求函数解析式时,一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1f x =+则()f x =A ．()211x x -≥B ．21x- C ．()211xx +≥D ．21x+【解析】（换元法)：令1t =，则()21,1x t t =-≥，所以()()()()2212111f t t t t t =-+-=-≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．【答案】A注意:用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥,忽略了这一点，在求()f x 时就会出错。
本题也可用配凑法，具体解析过程如下：))211111fx x =+=+-=-,又11≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2a f f f a ＝的a 的取值范围是A ．2[,1]3B ．［0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a 〈1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f (a ））＝3（3a －1)－1＝9a －4，()3122af a －＝，方程无解．当a≥1时,()21af a >＝，此时()()()22222aaa f f f a ＝，＝,方程恒成立,故选D ．【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个,a ＝错误!或a ＝1,所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－，()3122af a －＝,显然()()()2f a f f a ≠。
高中数学第五章三角函数笔记重点大全单选题1、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ） A ．35B ．−12C ．12D ．13答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7))=sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12故选：C2、sin1860°等于（ ） A ．12B ．-12C ．√32D ．-√32 答案：C分析：用诱导公式先化简后求值.sin1860°=sin (5×360°+60°)=sin60°=√32, 故选: C3、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ）A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A (3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A (3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D4、化简：tan(π−α)cos(2π−α)sin(−a+3π2 )cos(−a−π)sin(−π−a)的值为（）A．−2B．−1C．1D．2答案：B分析：运用同角三角函数间的基本关系和三角函数的诱导公式化简可得答案.解：原式＝−tanα⋅cosα⋅(−cosα)cos(π+a)⋅[−sin(π+a)]＝tanα⋅cos2α−cosα⋅sinα＝−sinαcosα⋅cosαsinα＝－1．故选：B.5、sin(3π2+α)=（）A．sinαB．−sinαC．cosαD．−cosα答案：D分析：利用诱导公式sin(π+α)=−sinα,sin(π2+α)=cosα代入计算．sin(3π2+α)=sin(π+π2+α)=−sin(π2+α)=−cosα．故选：D．6、函数y=−sin2x−4cosx+6的值域是（）A．[2,10]B．[0,10]C．[0,2]D．[2,8]答案：A分析：根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx的二次函数，利用换元法可得值域.函数y=−sin2x−4cosx+6=−(1−cos2x)−4cosx+6=cos2x−4cosx+5=(cosx−2)2+1，因为cosx∈[−1,1]，所以当cosx=1时，函数取得最小值2，当cosx=−1时，函数取得最大值10，故函数的值域为[2,10]，故选：A．7、关于函数y=sinx(sinx+cosx)描述正确的是（）A．最小正周期是2πB．最大值是√2C ．一条对称轴是x =π4D ．一个对称中心是(π8,12) 答案：D分析：利用三角恒等变换化简y 得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论. 解：由题意得：∵y =sinx(sinx +cosx) =sin 2x +12sin2x=1−cos2x 2+12sin2x =√22sin(2x −π4)+12选项A ：函数的最小正周期为T min =2πω=2π2=π，故A 错误；选项B ：由于−1≤sin(2x −π4)≤1，函数的最大值为√22+12，故B 错误； 选项C ：函数的对称轴满足2x −π4=kπ+π2，x =k2π+3π8，当x =π4时，k =−14∉Z ，故C 错误； 选项D ：令x =π8，代入函数的f(π8)=√22sin(2×π8−π4)+12=12，故(π8,12)为函数的一个对称中心，故D 正确；故选：D8、当θ∈(0,π2)，若cos (5π6−θ)=−12，则sin (θ+π6)的值为（ ） A ．12B ．√32C ．−√32D ．−12 答案：B分析：利用诱导公式和平方关系求解.因为cos (5π6−θ)=−cos (π−(5π6−θ))=−cos (π6+θ)=−12， 所以cos (π6+θ)=12， 因为θ∈(0,π2)， 所以π6+θ∈(π6,2π3)，所以sin (θ+π6)=√1−cos 2(π6+θ)=√32，故选：B 多选题9、已知角α,β,γ，满足α+β+γ=π，则下列结论正确的是（ ） A ．sin(α+β)=sinγB ．cos(β+γ)=cosα C ．sinα+γ2=sin β2D ．cosα+β2=sin γ2答案：AD分析：由诱导公式判断．因为α+β+γ=π，所以sin(α+β)=sin(π−γ)=sinγ，cos (γ+β)=cos (π−α)=−cosα，α+β+γ2=π2，sinα+γ2=sin (π2−β2)=cos β2，cosα+β2=cos (π2−γ2)=sin γ2．BC 错，AD 正确． 故选：AD ．10、如图，已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，|φ|≤π2）的图象与x 轴交于点A,B ，与y 轴交于点C ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠OCB =π3,|OA|=2，|AD|=2√213.则下列说法正确的有（ ）A ．f (x )的最小正周期为12B ．φ=−π6C ．f (x )的最大值为163D ．f (x )在区间(14,17)上单调递增答案：ACD分析：由题意可得：√3|Asinφ|=2+πω，sin(2ω+φ)=0，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据|AD|=2√213，可得方程(1−π2ω)2+A 2sin 2φ4=283，进而解出ω，φ，A ．判断出结论．由题意可得：|OB|=√3|OC|，∴√3|Asinφ|=2+πω，sin(2ω+φ)=0，A(2,0)，B(2+πω，0)，C(0,Asinφ)，∴D (1+π2ω,Asinφ2)，∵|AD |=2√213，∴(1−π2ω)2+A 2sin 2φ4=283，把|Asinφ|=1√3(2+πω)代入上式可得：(πω)2−2×πω−24=0，ω>0.解得πω=6，∴ω=π6，可得周期T =2πω=12，∴sin(π3+φ)=0，|φ|≤π2，解得φ=−π3.可知：B 不对，∴√3|Asin (−π3)|=2+6，A >0，解得A =163，函数f(x)=163sin(π6x −π3)，可知C 正确.x ∈(14,17) 时，(π6x −π3)∈(2π,5π2)，可得：函数f(x)在x ∈(14,17)单调递增.综上可得：ACD 正确. 故选：ACD小提示：关键点点睛：本题的关键是表示点B,C,D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.11、已知函数f(x)=√3cos(2x +π3)，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f(x)的最小正周期为π B ．函数f(x)在[0,π]上有三个零点 C ．当x =5π6时，函数f(x)取得最大值D ．为了得到函数f(x)的图象，只要把函数f(x)=√3cos(x +π3)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) 答案：AC分析：根据各选项分别进行讨论，从而得出结论. A 选项，根据周期公式T =2π2=π，故A 正确；B 选项，画出函数图象，根据图象可知函数f(x)在[0,π]上有两个零点，故B 错误；C 选项，画出函数图象，根据图象可知当x =5π6时，函数f(x)取得最大值，故C 正确；D选项，为了得到函数f(x)的图象，只要把函数f(x)=√3cos(x+π3)图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，故D错误.故选：AC.小提示：本题考查余弦型三角函数的知识点，涉及到函数的周期零点以及函数的图象等，属于基础题型.12、已知函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．f(x)=√3sin(2x+π3)B．函数f(x)在[π6,2π3]上单调递减C．函数g(x)＝√3cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移π12个单位得到D．函数f(x)的图象关于（5π12，0）中心对称答案：AC分析：首先利用“五点法”求函数的解析式，利用函数的性质求函数的单调递减区间，判断选项B，再利用平移规律，判断选项C ，利用对称中心公式求函数的对称中心，判断选项D . 解：对于A ：根据函数的图象：2×π12+φ＝2kπ+π2（k ∈Z ），解得φ＝2kπ+π3（k ∈Z ），由于|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝π3．由于f （0）＝32，所以A sin π3=32，解得A ＝√3．所以f (x )＝√3sin(2x +π3)，故A 正确；对于B ：令π2+2kπ≤2x +π3≤2kπ+3π2（k ∈Z ），解得：π12+kπ≤x ≤kπ+7π12（k ∈Z ）， 所以函数的单调递减区间为[π12+kπ,kπ+7π12]（k ∈Z ），故函数在[π12,7π12]上单调递减，在[7π12,2π3]上单调递增，故B 错误；对于C ：函数f （x ＋π12）＝√3sin(2x +π6+π3)=√3cos2x =g(x)，故C 正确；对于D ：令2x +π3=kπ（k ∈Z ），解得x =−π6+kπ2（k ∈Z ），所以函数的对称中心为（−π6+kπ2,0）（k ∈Z ），由于k 为整数，故D 错误；故选：AC ．小提示：思路点睛：本题考查y =Asin (ωx +φ)的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数y =Asin (ωx +φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线x =x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证f (x 0)的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求ωx +φ的范围，验证此区间是否是函数y =sinx 的增或减区间.13、已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．f (136)=12B ．函数f (x −13)是偶函数C ．函数f (x )在区间[2k −23,2k +13](k ∈Z )上单调递增 D ．若函数f (x )在[−2,a ]上有5个零点，则176≤a <236答案：CD分析：根据图像得到函数解析式为f(x)=sin (πx +π6)，代入数据计算知A 错误，f (x −13)=sin (πx −π6)，非奇非偶，所以B 错误，计算单调性得到C 正确，计算t =πx +π6∈[−2π+π6,aπ+π6]，根据函数图像计算得到D 正确，得到答案.T 2=43−13=1，T =2πω=2，即ω=π，由13π+φ=2kπ+π2，可得φ=2kπ+π6，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ=π6， 因此函数f(x)=sin (πx +π6). f (136)=f (16)=√32，所以A 错误；f (x −13)=sin [π(x −13)+π6]=sin (πx −π6)，非奇非偶，所以B 错误；由2kπ−π2≤πx +π6≤2kπ+π2，可得2k −23≤x ≤2k +13(k ∈Z)，所以函数f(x)在区间[2k −23,2k +13](k ∈Z)单调递增，所以C 正确；因为x ∈[−2,a]，所以t =πx +π6∈[−2π+π6,aπ+π6]，结合函数y =sint(t ∈R)的图象可得3π≤aπ+π6<4π，所以176≤a <236，所以D 正确.故选：CD. 填空题14、若函数f (x )=2sin (ωx +π6)(ω>0)在区间[−π4,π4]上单调递增，则ω的最大值是__________. 答案：43分析：直接利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可求解. ∵−π4≤x ≤π4，∴π6−π4ω≤ωx +π6≤π4ω+π6，要使f (x )在[−π4,π4]上单调递增，则{π6−π4ω≥−π2,π4ω+π6≤π2,，解得{ω⩽83ω⩽43， 又∵ω>0，∴0<ω⩽43，则ω的最大值是43.所以答案是：43.15、已知cosα=13，则sin (π2+α)=_____________. 答案：13分析：直接利用诱导公式sin (π2+α)=cosα计算可得. 解：因为cosα=13，所以sin (π2+α)=cosα=13所以答案是：13.16、当θ∈(0,π2)时，若cos (5π6−θ)=−12，则sin (θ+π6)的值为_________． 答案：√32##12√3分析：先由已知条件求出sin (5π6−θ)，然后利用诱导公式可求得结果. ∵θ∈(0,π2)，∴5π6−θ∈(π3,5π6)，∴sin (5π6−θ)=√1−cos 2(5π6−θ)=√32， ∴sin (θ+π6)=sin [π−(5π6−θ)]=sin (5π6−θ)=√32．所以答案是：√32解答题17、已知函数f(x)=4−msinx−3cos2x（m∈R）．(1)若关于x的方程f(x)=0在区间(0,π)上有三个不同解x1,x2,x3，求m与x1+x2+x3的值；(2)对任意x∈[−π6,π]，都有f(x)>0，求m的取值范围．答案：(1)m＝4，x1+x2+x3=3π2；(2)(−72,2√3).分析：（1）由题设及同角三角函数平方关系有f(x)=3sin2x−msinx+1，令t=sinx∈(0,1]，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及x1,x2,x3的关系，进而求x1+x2+x3.（2）由（1）得t∈[−12,1]且3t2+1>mt恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围. （1）f(x)=4−msinx−3cos2x=3sin2x−msinx+1,设t=sinx，在(0,π)上0<t≤1，则y=3t2−mt+1，若f(x)=0有三个不同解x1,x2,x3，则3t2−mt+1=0有两个不同的根，其中t1=1，0<t2<1，所以3−m+1=0，得：m＝4，由t1=sinx1=1得：x1=π2，由t2=sinx，知：两个解x2,x3关于x=π2对称，即x2+x3=2×π2=π，综上，x1+x2+x3=π+π2=3π2；（2）由（1），当x∈[−π6,π]时，t∈[−12,1]，要使f(x)>0恒成立，即3t2−mt+1>0，得3t2+1>mt，当t＝0时，不等式恒成立，当t＞0时，m<3t+1t 恒成立，又3t+1t≥2√3t⋅1t=2√3，当且仅当t=√33时取等号，此时0<m<2√3，当t ＜0时，m >3t +1t ，而t ∈[−12,0)时y =3t +1t 为减函数，而y|t=−12=−32−2=−72，此时0>m >−72， 综上，实数m 的取值范围是(−72,2√3)．18、已知函数f (x )=3sin (2x +φ)(φ∈(0,π2))，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称．(1)求函数f (x )的表达式；(2)说明其图象是由y =sinx 的图象经过怎样的变换得到的．答案：(1)f (x )=3sin (2x +π6)(2)答案见解析分析：（1）写出变换后的函数解析式，根据函数的对称性可得出关于φ的等式，结合φ的取值范围可求得φ的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）根据三角函数图象的变换规律可得出结论.(1)解：将函数f (x )=3sin (2x +φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y =3sin [2(x +π6)+φ]=3sin (2x +π3+φ)．因为图象平移后关于y 轴对称，所以2×0+π3+φ=kπ+π2(k ∈Z )，所以φ=kπ+π6(k ∈Z )．因为φ∈(0,π2)，所以φ=π6，所以f (x )=3sin (2x +π6)．(2)解：将函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y =sin (x +π6)， 再把所得图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得函数y =sin (2x +π6)的图象， 再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即得函数y =3sin (2x +π6)的图象．。
高考数学易错点第8讲：三角函数与解三角形易错知识1．对于有关三角函数求值的问题，要注意角的范围，尤其是利用条件缩小角的范围，2．对于含有整数k 的问题，要注意对k 进行讨论，3．三角函数图象左右平移是针对自变量x 的，4.对于含有二次根式的求值问题，开方时要注意考虑正负，5.对于与三角函数有关的复合函数单调性问题，要注意内函数的单调性，6.逆用三角函数公式时，要注意其结构特征，易错分析一、忽视角的范围致错1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于()A ．－1213B ．－513C.513D.±1213【错解】选D ，因为1cos sin 22=+αα，又sin α＝513，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1213.【错因】【正解】2．已知sin θ＋cos θ＝43，θsin θ－cos θ的值为________．【错解】∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴sin θ－cos θ＝±23.答案：±23【错因】【正解】开方没考虑正负号复合函数忽视内函数自变量的符号3．已知θ∈(0，π)，＝43，则sinθ＋cosθ＝________.【错解】由题知＝43＝1＋tanθ1－tanθ⇒tanθ＝17，又因为θ∈(0，π)，＝17，sin2θ＝1θ＝210，θ＝7210，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1027cos102sinθθ，所以sinθ＋cosθ＝425或523-答案：425或523-【错因】【正解】4．在△ABC中，若C＝3B，则cb的取值范围为()A．(0,3)B．(1,3)C．(1，3)D．(3，3)【错解】选A由正弦定理可得，cb＝sin Csin B＝sin3Bsin B＝sin(B＋2B)sin B＝sin B·cos2B＋cos B·sin2Bsin B ＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又0＜B＜180°，∴≤0cos2B≤1，又c b>0，∴0＜c b＜3.【错因】【正解】二、对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负5．化简：2sin8＋1＋2cos8＋2＝()A．4cos4B．－2sin4－4cos4C．4sin4D．2sin4+4cos4【错解】选D原式＝21＋2sin4cos4＋4cos24＝2sin24＋cos24＋2sin4cos4＋2cos4＝2sin4＋2cos4＋2cos4=2sin4＋4cos4.【错因】【正解】6．若3π2<θ<5π2，则12＋1212＋12cosθ等于()A．sinθ4B．cosθ4C．－sinθ4D．－cosθ4【错解】选B 由二倍角公式得12＋12cos θ＝1＋cos θ2＝cos 2θ2＝cos θ2，∴12＋1212＋12cos θ＝4cos 2212cos 21212θθ⨯=+＝cos θ4【错因】【正解】三、三角函数图象左右平移时忽视自变量x 的系数致错7．为了得到函数y ＝sinx y ＝sin 2x 的图象()A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位【错解】选B根据左加右减可知，为了得到函数y ＝sinx 可以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位．【错因】【正解】8．要得到y ＝cos y ＝sin 12x 的图象()A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移4π3个单位D ．向右平移4π3个单位【错解】选A因为y ＝)3(21cos π+x ，故要得到y ＝cos只需将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移π3个单位．【错因】【正解】四、涉及到整数k 的问题，忽视对k 的讨论致错9．已知角α为第一象限角，则α2是第________象限角．【错解】∵α是第一象限角，∴2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，则α2是第一象限角．答案：一【错因】【正解】10．(忽视对k 的讨论)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是________．【错解】A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：{2}【错因】【正解】五、含参问题忽视对参数的讨论致错11．已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝________.【错解】易知OP ＝(－4m )2＋(3m )2＝5m ，则sin α＝5353=m m，cos α＝5454-=-m m .故2sin α＋cos α＝25.答案：25【错因】【正解】六、三角函数的单调性问题中，忽视自变量x 的系数为负值致错12．函数f (x )＝sin ________．【错解】要求f (x )＝sin 的单调递增区间，只需令－π2＋2k π≤π6－x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得3π-＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )＝sin 3[π-＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z ).答案：3[π-＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z ).【错因】【正解】七、判断三角形形状时考虑不全致错13.已知在△ABC 中，三个内角为A ，B ，C ，sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是()A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【错解】选A 因为sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B ，解得A ＝B ，所以△ABC 是等腰三角形．【错因】【正解】八、忽视正切函数本身的定义域14．已知函数f(x)＝lg(tan x－1)＋9－x2，则f(x)的定义域是____．【错解】∵函数f(x)＝lg(tan x－1)＋9－x2，x－1>0，－x2≥0，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-∈+≥33,4xZkkxππ，∴x∈]343[π-，∴函数y＝f(x)的定义域为]343[，π-.答案：]343[，π-【错因】【正解】易错题通关1π＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈(阴影部分)是()2．在△ABC中，若sin2A＝sin2C，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A．3B．－3C．1D．－14.已知θ是第三象限角，且cos(π＋θ)＝13，则tanθ＝()A.24B．2C．22 D.105．已知α终边与单位圆的交点α是第二象限角，则1－sin2α＋2＋2cos2α的值等于()A.15B．－15C．3D．－36．设α角属于第二象限，且|cosα2|＝－cosα2，则α2角属于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．已知sin α，cos α是方程x 2－2kx ＋k 2＋k ＝0的两根，则k 的值为()A.1±32 B.1－32C ．1±3D ．1＋38.若θ∈(0，π)，tan θ＋1tan θ＝6，则sin θ＋cos θ＝()A ．233B ．－233C ．±233D ．239．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为()A.1665B ．－5665C ．－1665D.1665或－566510．已知cos α＝255，sin β＝1010，且α∈0，π2，β∈0，π2，则α＋β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π411．已知φ∈R，则“φ＝0”是“y ＝sin(x ＋φ)为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cos A ＝b cos B ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ，则△ABC 的形状为()A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形13．把函数f (x )＝2cos 2x －π4的图象向左平移m (m >0)个单位，得到函数g (x )＝2sin 2x －π3的图象，则m 的最小值是()A.724π B.1724π C.524π D.1924π14．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx ＋π4在区间π2，π上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A.12，54B.12，34C ．0，12D ．(0,2]15.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为()A ．1，π3B ．1，－π3C ．2，－π3D ．2，π316．已知函数f (x )＝sinωx ＋π6(ω>0)，对任意x ∈R ，都有f (x )≤f π3，并且f (x )在区间－π6，π3上不单调，则ω的最小值是()A ．1B ．3C ．5D ．717．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是()A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝218.（多选题）如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝()A ．B ．2C ．xD ．219.若0＜α＜π2，－π＜β＜－π2，＝13，＝－33，则()A ．－539B.539C ．－33D.3320．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．21．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为π2，且－2，则φ＝________.22．化简sin (n π＋α)cos (n π－α)cos[(n ＋1)π－α](n ∈Z)的结果为________．23．在锐角△ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________．24.若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是________．25．设f (x )＝m x m －1(m ≠0)．(1)若m ＝2，求函数f (x )的零点；(2)当x ∈0，π2时，－3≤f (x )≤4恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、忽视角的范围致错1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于()A ．－1213B ．－513C.513D.±1213【错解】选D ，因为1cos sin 22=+αα，又sin α＝513，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1213.【错因】没有注意条件α是第二象限角，【正解】选A∵α是第二象限角，则cos α>0，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知sin θ＋cos θ＝43，θsin θ－cos θ的值为________．【错解】∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴sin θ－cos θ＝±23.答案：±23【错因】没有注意由条件θsin θ<cos θ，【正解】∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，又θsin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.答案：－233．已知θ∈(0，π)，＝43，则sin θ＋cos θ＝________.【错解】由题知＝43＝1＋tan θ1－tan θ⇒tan θ＝17，又因为θ∈(0，π)，＝17，sin 2θ＝1θ＝210，θ＝7210，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1027cos 102sin θθ，所以sin θ＋cos θ＝425或523-答案：425或523-【错因】没有注意由tan θ＝17>0可以缩小角的范围，即可推出θ【正解】由题知＝43＝1＋tan θ1－tan θ⇒tan θ＝17，又因为θ∈(0，π)，且tan θ>0，所以θ∈＝17，sin 2θ＝1θ＝210，θ＝7210，所以sin θ＋cos θ＝8210＝425.答案：4254．在△ABC 中，若C ＝3B ，则cb的取值范围为()A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(1，3)D ．(3，3)【错解】选A由正弦定理可得，c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin (B ＋2B )sin B ＝sin B ·cos 2B ＋cos B ·sin 2Bsin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又0＜B ＜180°，∴≤0cos 2B ≤1，又c b >0，∴0＜cb＜3.【错因】忽略了A ＋B ＋C ＝180°及条件C ＝3B ，【正解】选B由正弦定理可得，c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin (B ＋2B )sin B ＝sin B ·cos 2B ＋cos B ·sin 2Bsin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ，∴0°＜B ＜45°，∴22cos B ＜1，∴1＜4cos 2B －1＜3，即1＜cb＜3.二、对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负5．化简：2sin 8＋1＋2cos 8＋2＝()A ．4cos 4B ．－2sin 4－4cos 4C ．4sin 4D ．2sin 4+4cos 4【错解】选D原式＝21＋2sin 4cos 4＋4cos 24＝2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2cos 4＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4=2sin 4＋4cos 4.【错因】开方时没有考虑2cos 4、sin 4＋cos 4的正负，【正解】选B原式＝21＋2sin 4cos 4＋4cos 24＝2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2|cos 4|＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，∵π＜4＜3π2，∴sin 4＋cos 4＜0，cos 4＜0，∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.6．若3π2<θ<5π2，则12＋1212＋12cos θ等于()A ．sinθ4B ．cosθ4C ．－sinθ4D ．－cosθ4【错解】选B 由二倍角公式得12＋12cos θ＝1＋cos θ2＝cos 2θ2＝cos θ2，∴12＋1212＋12cos θ＝4cos 2212cos 21212θθ⨯=+＝cos θ4【错因】没有用3π2<θ<5π2去求θ2、θ2的范围，【正解】选A∵3π2<θ<5π2，∴3π4<θ2<5π4，3π8<θ4<5π8，∴cos θ>0，cos θ2<0，sin θ4>0，∴12＋12cos θ＝1＋cos θ2＝cos 2θ2＝－cos θ2，∴12＋1212＋12cos θ＝1－cosθ22＝sin 2θ4＝sin θ4.三、三角函数图象左右平移时忽视自变量x 的系数致错7．为了得到函数y ＝sinx y ＝sin 2x 的图象()A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位【错解】选B根据左加右减可知，为了得到函数y ＝sinx 可以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位．x,【正解】选A ∵函数y ＝x sin 2∴为了得到函数y ＝sinx 可以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位．8．要得到y ＝cos y ＝sin 12x 的图象()A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移4π3个单位D ．向右平移4π3个单位【错解】选A因为y ＝)3(21cos π+x ，故要得到y ＝cos只需将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移π3个单位．【错因】函数图象平移变换时，没注意函数的名称是不一致的，不能直接进行平移，【正解】选Cy ＝＋π6＋y ＝cos图象，只需将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移4π3个单位．四、涉及到整数k 的问题，忽视对k 的讨论致错9．已知角α为第一象限角，则α2是第________象限角．【错解】∵α是第一象限角，∴2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，则α2是第一象限角．答案：一【错因】没有对k 分情况讨论，【正解】∵α是第一象限角，∴2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．答案：一或三10．(忽视对k 的讨论)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是________．【错解】A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：{2}【错因】没有对k 分情况讨论，【正解】当k 为奇数时：A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.当k 为偶数时：A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：{－2,2}五、含参问题忽视对参数的讨论致错11．已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝________.【错解】易知OP ＝(－4m )2＋(3m )2＝5m ，则sin α＝5353=m m，cos α＝5454-=-m m .故2sin α＋cos α＝25.答案：25【错因】没有对参数m 分情况讨论，【正解】易知OP ＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |，则sin α＝3m5|m |，cos α＝－4m 5|m |.当m >0时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当m <0时，sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α＝±25.答案：±25六、三角函数的单调性问题中，忽视自变量x 的系数为负值致错12．函数f (x )＝sin________．【错解】要求f (x )＝sin的单调递增区间，只需令－π2＋2k π≤π6－x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得3π-＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )＝sin3[π-＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z ).答案：3[π-＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z ).【错因】没有注意自变量x 的系数是负数，【正解】因为f (x )＝f (x )＝sin只需要求y ＝sin的单调递减区间．令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，可得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，所以y ＝sin2π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )，此即为函数f (x)＝sin答案：2π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )七、判断三角形形状时考虑不全致错13.已知在△ABC 中，三个内角为A ，B ，C ，sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是()A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【错解】选A因为sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B ，解得A ＝B ，所以△ABC 是等腰三角形．【错因】sin 2A ＝sin 2B 时，有两种可能：2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，【正解】选D因为sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，解得A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰或直角三角形．八、忽视正切函数本身的定义域14．已知函数f (x )＝lg (tan x －1)＋9－x 2，则f (x )的定义域是____．【错解】∵函数f (x )＝lg (tan x －1)＋9－x 2，x －1>0，－x 2≥0，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-∈+≥33,4x Z k k x ππ，∴x ∈]343[π-，∴函数y ＝f (x )的定义域为]343[，π-.答案：]343[，π-【错因】没有考虑x y tan =的定义域，【正解】∵函数f (x )＝lg (tan x －1)＋9－x 2，x －1>0，－x 2≥0，π＋π4<x <k π＋π2(k ∈Z )，3≤x ≤3，∴x －3π4，－∴函数y ＝f (x )－3π4，－－3π4，－易错题通关1π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈(阴影部分)是()【答案】C【解析】当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样，结合选项知选C.2．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2C ，则△ABC 的形状是()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因为sin 2A ＝sin 2C ⇒sin 2A ＝sin(π－2C )，所以A ＝C 或A ＋C ＝π2.当A ＝C 时，三角形为等腰三角形；当A ＋C ＝π2时，三角形为直角三角形．3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y ＝()A ．3B ．－3C ．1D ．－1【答案】B【解析】因为sin θ＝－31010<0，A (－1，y )是角θ终边上一点，所以y <0，由三角函数的定义，得y y 2＋1＝－31010.解得y ＝－3.4.已知θ是第三象限角，且cos(π＋θ)＝13，则tan θ＝()A.24B ．2C ．22 D.10【答案】C【解析】cos(π＋θ)＝－cos θ＝13，所以cos θ＝－13，又θ是第三象限角，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－＝－223，所以tan θ＝sin θcos θ＝－223－13＝22.5．已知α终边与单位圆的交点α是第二象限角，则1－sin 2α＋2＋2cos 2α的值等于()A.15B ．－15C ．3D ．－3【答案】C【解析】因为α终边与单位圆的交点α是第二象限角，所以sin α＝35，cos α＝－45，则1－sin 2α＋2＋2cos 2α＝1－2sin α·cos α＋2(1＋cos 2α)＝(sin α－cos α)2|sin α－cos α|＋2|cos α|＝75＋85＝3.6．设α角属于第二象限，且|cos α2|＝－cos α2，则α2角属于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°，k ∈Z.当k ＝2n ，n ∈Z 时，α2在第一象限；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2在第三象限，∴α2在第一象限或在第三象限，∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2<0，∴α2角在第三象限．7．已知sin α，cos α是方程x 2－2kx ＋k 2＋k ＝0的两根，则k 的值为()A.1±32 B.1－32C ．1±3D ．1＋3【答案】B【解析】α＋cos α＝2k ，αcos α＝k 2＋k ，∵sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝4k 2－2(k 2＋k )＝1，即2k 2－2k －1＝0，解得k ＝2±234＝1±32.∵sin α＋cos α＝2sin ∴sin α＋cos α∈[－2，2]，即2k ∈[－2，2]，∴k ∈－22，22，∴k ＝1－32.9.若θ∈(0，π)，tan θ＋1tan θ＝6，则sin θ＋cos θ＝()A ．233B ．－233C ．±233D ．23【答案】A【解析】因为tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝6，所以sin θcos θ＝16，又θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ>0，所以sin θ＋cos θ>0.所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝43，所以sin θ＋cos θ＝233.9．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为()A.1665B ．－5665C ．－1665D.1665或－5665【答案】A【解析】在△ABC 中，由cos A ＝513，sin B ＝35，可得sin A ＝1－cos 2A ＝1213，因为sin B <sin A 且A 为锐角，则b <a ，所以A >B ，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝45，则cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－513×45＋1213×35＝1665.10．已知cos α＝255，sin β＝1010，且αβα＋β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4【答案】B【解析】因为αβ所以sin α＝1－cos 2α＝55，cos β＝1－sin 2β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0＜α＋β＜π，故α＋β＝π4.11．已知φ∈R，则“φ＝0”是“y ＝sin(x ＋φ)为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当φ＝0时，y ＝sin(x ＋φ)为奇函数；当y ＝sin(x ＋φ)是奇函数时，φ＝k π，k ∈Z ，所以“φ＝0”是“y ＝sin(x ＋φ)为奇函数”的充分不必要条件，故选A.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cos A ＝b cos B ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ，则△ABC 的形状为()A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】因为a cos A ＝b cos B ，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，又A ，B ∈(0，π)，故可得A ＝B 或A ＋B ＝π2.由c 2＝a 2＋b 2－ab ，得cos C ＝12，又C ∈(0，π)，故可得C ＝π3.综上所述，A ＝B ＝C ＝π3.故三角形ABC 是等边三角形．13．把函数f (x )＝2cos x m (m >0)个单位，得到函数g (x )＝2sin x 图象，则m 的最小值是()A.724π B.1724π C.524π D.1924π【答案】B【解析】选B把函数f (x )＝2cosx m (m >0)个单位，得到f (x )＝2cos2(x ＋m )－π4＝2cos x ＋2mg (x )＝x 2cos π2－x 2x 由2m －π4＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，得m ＝－7π24＋k π，k ∈Z ，∵m >0，∴当k ＝1时，m 最小，此时m ＝π－7π24＝17π24.14．已知ω>0，函数f (x )＝sin 在区间π2，π上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A.12，54B.12，34C ，12D ．(0,2]【答案】A【解析】由π2≤x ≤π，得π2ω＋π4≤ωx ＋π4≤πω＋π4，由题意π2ω＋π4，πω＋π4⊆2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．当k ＝0＋π4≥π2，＋π4≤3π2，得12≤ω≤54.15.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ＞0，|φ|则ω，φ的值分别为()A ．1，π3B ．1，－π3C ．2，－π3D ．2，π3【答案】D【解析】由图象知，T 4＝7π12－π3＝π4，即T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2.2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，故φ＝π3，故选D.16．已知函数f(x )＝(ω>0)，对任意x ∈R ，都有f (x )≤并且f (x )在区间－π6，π3上不单调，则ω的最小值是()A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D【解析】由题意，f f (x )的最大值，∴ωπ3＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋1，k ∈Z .∵ω>0，∴k ∈N .当k ＝0时，ω＝1，f(x )＝sin 在－π6，π3上单调递增，不符合题意；当k ＝1时，ω＝7，f(x )＝sinx ω的最小值是7.17．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是()A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S△ABC ＝2【答案】AD【解析】选AD 由A ＋3C ＝π，得B ＝2C .根据正弦定理b sin B ＝c sin C，得23sin C ＝3×2sin C cos C ，又sin C >0，故cos C ＝33，sin C ＝63，故A 正确；sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝223，故B 错误；由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将b ＝23，c ＝3代入得a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝3或a ＝1.若a ＝3，则A ＝C ＝π4，且B ＝π2，与sin B ＝223矛盾，所以a ＝1，故C 错误；S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×23×63＝2，故D 正确．故选A 、D.18.（多选题）如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝()A ．B ．2C ．xD ．2【答案】BC【解析】由题图可知，函数的最小正周期T ＝π，∴2π|ω|＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y ＝sin(2x ＋φ)×π6＋0，∴2×π6＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，即＝2k π＋2π3，k ∈Z ，∴y ＝x 故A 错误；由x sin π2sin 2B 正确；由x x ＋π2＋cos x C 正确；由x x cos πx cos 2D 错误．综上可知，正确的选项为B 、C.20.若0＜α＜π2，－π＜β＜－π2，＝13，＝－33，则()A ．－539B.539C ．－33D.33【答案】D【解析】∵0＜α＜π2，－π＜β＜－π2，则π4＜π4＋α＜3π4，π2＜π4－β2＜3π4，∴＝223，＝63，因此，＝13×＋223×63＝33.20．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,3]【解析】∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴a －9≤0，＋2＞0，∴－2＜a ≤3.21．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为π2，且－2，则φ＝________.【答案】－π4【解析】由题意T ＝2×π2＝π，ω>0，所以ω＝2πT＝2，－π4＋2，－π4＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，又－π<φ<0，所以φ＝－π4.22．化简sin (n π＋α)cos (n π－α)cos[(n ＋1)π－α](n ∈Z)的结果为________．【答案】(－1)n ＋1sin α(n ∈Z)【解析】①当n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝sin (2k π＋α)cos (2k π－α)cos[(2k ＋1)π－α]＝sin αcos α－cos α＝－sin α.②当n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，原式＝sin[(2k ＋1)π＋α]cos[(2k ＋1)π－α]cos[(2k ＋2)π－α]＝(－sin α)(－cos α)cos α＝sin α.综上，化简的结果为(－1)n ＋1sin α(n ∈Z)．23．在锐角△ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________．【答案】3【解析】设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ＝2，对sin B ＋sin C ＝2sin A 运用正弦定理，得b ＋c ＝2a ＝4，解得c ＝4－b ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组2＋c 2＝b 2＋(4－b )2＞4，2＋4＝(4－b )2＋4＞b 2，2＋4＞c 2＝(4－b )2，解得32＜b ＜52，故bc ＝b (4－b )＝－b 2＋4b ，结合二次函数的性质，得到154＜bc ≤4.运用向量得到AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，所以|AD ―→|＝12AB 2―→＋AC 2―→＋2|AB ―→|·|AC ―→|·cos ∠BAC＝12b 2＋c 2＋2bc ·b 2＋c 2－42bc＝122b 2＋2c 2－4＝1228－4bc ，结合bc 的范围，得|AD ―→|的范围为324.若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是________．【答案】7π4【解析】∵α∈π4，π，β∈π，3π2，∴2α∈π2，2π，又0＜sin 2α＝55＜12，∴2ααβ－α∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－255.又sin(β－α)＝1010，∴β－α∴cos(β－α)＝－1－sin 2(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×－55×1010＝22.又αβ∈π，3π2，∴α＋βα＋β＝7π4.25．设f (x )＝m x m －1(m ≠0)．(1)若m ＝2，求函数f (x )的零点；(2)当x ∈0，π2时，－3≤f (x )≤4恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由m ＝2⇒f (x )＝x 1，令f (x )＝0，则x ＝－12，即2x －π3＝2k π＋2π3或2x －π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6(k ∈Z )，21∴f (x )的零点是x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由0≤x ≤π2可得－π3≤2x －π3≤2π3，所以－12≤x1.①当m >0时，易得m 2－1≤f (x )≤2m －1，由－3≤f (x )≤4x )min ≥－3，x )max ≤4，1≥－3，－1≤4，，解得0<m ≤52；②当m <0时，可得2m －1≤f (x )≤m 2－1，由－3≤f (x )≤4x )min ≥－3，x )max ≤4，－1≥－3，1≤4，，解得－1≤m <0.综上可得，m的取值范围是[－1,0)，52.。
【状元笔记】三角函数你记不住的公式都在这里
一、同角三角函数基本关系式
二、诱导公式
三、特殊角的三角函数值
四、两角和与差的正弦、余弦和正切
五、辅助角公式
六、二倍角公式
七、解三角形
八、三角函数
3秒判断三角函数奇偶性状元秘籍
三角函数f(x)=Asin（ωx+φ）或f(x)=Acos（ωx+φ）判断奇偶性是高中数学常考题型，作为一道选择题，我们必须用最快的方法解决它。
首先来看一道例题：
普通同学会这样解答：
而学霸往往巧用方法完成“秒杀”：
TIPS总结方法
我们来总结一下三角函数f(x)=Asin（ωx+φ）或f(x)=Acos（ωx+φ）遇到判断奇偶性的方法：
只需令其中的x=0，
如果得出f（x）=0，就是奇函数；
得出f（x）=±A，就是偶函数；
如果f（x）既不等于0，也不等于±A，就是非奇非偶函数；
对于f(x)=Asin（ωx+φ）+b 或f(x)=Acos（ωx+φ）+b，b≠0时的题型，仍然按照上述判断方法先判断前半部分，偶函数+b=偶函数，奇函数+b=非奇非偶函数。
333绵阳市开元中学高 2014 级高三一轮复习③ tan (A + B )= - tan C ；④sinA + BC = cos , ⑤cosA +B = sinC 《解三角形》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角2 22 2 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1. 正弦定理及其变形在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）asin A = b sin B = c sin C= 2R (R 为三角形外接圆半径） 变式：（1） a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C (边化角公式）（2）sin A = a ,sin B =2Rb , sin C =c 2R 2R (角化边公式） （2） 方位角（3）a : b : c = sin A : sin B : sin C(4) a = sin A , a = sin A , b =sin B b sin B c sin C c sin C2. 正弦定理适用情况： （1） 已知两角及任一边；（2） 已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3. 余弦定理及其推论从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的。
（3） 方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如： ①北偏东 即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos Acos A =b 2 +c 2 - a 22bc②“东北方向”表示北偏东（或东偏北） 45︒ .（4） 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos Ccos B =a 2 + c 2 -b 22ac a 2 + b 2 - c 2二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）4. 余弦定理适用情况：cos C =2ab1．在V ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝3 2，则 AC ＝ ()（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5. 常用的三角形面积公式A.4B ．2C ．D ． 2 2．在V ABC 中， a 2 = b 2 + c 2 + 3bc ，则∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 底⨯高；2 （2） 1 1 1 abcS = ab sin C = ac sin B = bc sin A = (R 为∆A 接BC 圆半径 )（两边夹一角）；2 2 2 4R6. 三角形中常用结论（1） a + b > c , b + c > a , a + c > b (即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2） 在∆A ，BC 即大边A 对> 大B ⇔角，a >大b 角⇔对s 大in 边A >）sin B ( （3） 在∆ABC 中， A + B + C = ，所以①sin (A + B )= sin C ；② cos (A + B )= -cos C ；3. 设V ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C + c cos B = a sin A , 则V ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4. 若△ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 ，则△ABC ()3考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3 3 33 3 14 15 3 14 15考点四：利用正余弦定理求角2 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积A. 一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.DBAB在△DAB 中，由正弦定理，得sin ∠DAB ＝sin ∠ADB ，cos A bAB ·sin ∠DAB 5(3＋\r(3))·sin 45°5. 在∆ABC 中，若cos B ＝a ，则△ABC 是()A. 等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6. 在∆ABC 中， AB =, AC = 1 , ∠A = 30︒ ，则∆ABC 面积为() ∴DB ＝sin ∠ADB ＝ sin 105°5(3＋\r(3))·sin 45°＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝2＝10 3(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝20 3(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBCA.B.C.或 D ．或 12424 2＝300＋1 200－2×10 3×20 3×2＝900， 7. 已知∆ABC 的三边长a = 3, b = 5, c = 6 ，则∆ABC 的面积为() ∴CD ＝30(海里)，A ．B ． 2C ．D ． 2 30∴需要的时间 t ＝30＝1(小时)．故救援船到达 D 点需要 1 小时．8. 在锐角中∆ABC ,角 A , B 所对的边长分别为a , b .若2a sin B = 3b ,则角等于 ()三、高考真题赏析A.B.C.D.1．（2016 年ft 东）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知tan A tan B126 4 3 2(tan A + tan B ) = + cos B .cos A9．在△ABC 中，若 a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求 cos C 的最小值.A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定1【解析】(Ⅰ)由2(tanA + tanB) = tanA tanB+ 得10. 在∆ABC ,内角 A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . a sin B cos C + c sin B cos A = ∠B = ()b , 且a > b ,则2 2 ⨯ sinC =sinA cosB+ sinB cosA， A.B.C. 2D. 5cosAcosB cosAcosB cosAcosB 2sin C = sin B + sin C a + b = 2c633 6所以，由正弦定理，得．a 2 +b 2 -c 2 (a + b )2 - 2ab - c32c 3c 23 1（Ⅱ）由cos C == = - 1 ≥ - 1 = - 1 = ．11. 如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3 + 3 )海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45︒ ，B 点2ab2ab2ab 2( a + b )2 2 2 2北偏西60︒ 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60︒ 且与 B 点相距20 船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB ＝5(3＋ 3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，1海里的 C 点的救援所以cos C 的最小值为 ．22．（2016 年四川）在△ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,且cos A + cos B = sin C. a b c3 3 5 3(\r(3)＋1)3＋1 考点五：正余弦定理实际应用问题（I）证明：sin A sin B sin C ；3 3 Ctan tan tan 5（II ）若b 2 + c 2 - a 2 = 6bc ，求tan B .5∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是∆ADC 面积的 2 倍．a =b =c (Ⅰ) 求sin ∠B ；(Ⅱ)若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．【解析】（I ）证明：由正弦定理 sin A sin Bsin C 可知sin ∠C2cos A + cos B = sin C = 1原式可以化解为 sin A sin B sin C∵ A 和 B 为三角形s i 内n A 角sin , B ∴sin A sin B ≠ 0 则，两边同时乘以，可得sin B cos A + sin A cos B = sin A sin B 由和角公式可知， sin B cos A + sin A cos B = sin (A + B )= sin (- C )= sin C原式得证。
第十七讲 解三角形问题及其简单应用 1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解1.3 由cos 0A =产生的漏解现象2.解三角形出现增解的应对策略2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定 2.2根据两角正弦值大小剔除增解 2.3 根据三角函数值的范围剔除增解 3．几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数 3.2 根据三角形解的个数求字母参数范围4.三角形形状的判定4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角 4.2化边为角判定三角形形状4.3化角为边判断判定三角形形状5.三角形中的取值范围与最值问题 5.1三角形形状隐含角的范围5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用 5.3利用余弦定理、基本不等式求最值 5.4化归为三角函数的最值与值域问题6. 三角形中几种常见的变换方法 6.1 两角和与第三角的三角函数关系 6.2 不能遗忘的“切化弦”7.常见的解三角形实例 7.1距离的测量问题 7.2高度的测量问题 7.3角度的测量问题 7.4是否进入某区域问题7.5与最值有关的实际应用问题1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 【典例】在ABC ∆，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且1,a c ==（1）若3C π=，则A = _______；(2)若6A π=，则b = _______．【变式1】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6,8,45b c B ===，则cos C = .【变式2】已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，45a b B =， 试判断符合条件的ABC ∆有多少个？1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解【典例1】在ABC ∆中，1,30AB AC B ==，求ABC ∆的面积.【变式1】若ABC ∆的面积为5,8AB AC ==，则BC 等于 ．【变式2】ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3,1b c ==，ABC ∆A cos 与a 的值.【变式3】已知()2sin 2f x x x =+，A 是ABC ∆的内角，且()1f A =，求A 的大小.【变式4】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，sin cos c C c A =-(1)求角A ； (2)若2a =，ABC ∆,b c .【典例2】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果有性质B b A a cos cos =,试问这个三角形的形状具有什么特点？【变式2】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos 1cos2cos 1cos2b C C c BB+=+，判断ABC △的形状.【变式3】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b ≠，=-B A 22cos cos A A cos sin 3B B cos sin 3-．求角C 的大小．1.3 由cos 0A =产生的漏解现象【典例】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,3c C π==.若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 的面积.【变式1】若θ是三角形的内角，则cos θ可能为0，但0sin >θ在△ABC 中，已知角60=B .若cos()cos sin 2B A C A --=，求角A 的大小.【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos a b c B c A -=-，判断ABC △的形状.2.解三角形出现增解的应对策略2.1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定【典例】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若a 2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为 .【变式1】三角形中大边对大角，非最大边所对的角一定是锐角在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π,13A a b ==，则边长c 等于（）A.1B.2 1 D.3【变式2】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3a =，b 32π=∠A ，则B ∠= ．【变式3】已知在ABC ∆中，1,2,6AB AC C π===，则ABC ∆的面积为___________.【变式4】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，若1,3a c C π==，则角A =______.【变式5】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角,,A B C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，则角=C .【变式6】在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB .求C 2sin 的值.2.2根据两角正弦值大小剔除增解【典例】在ABC ∆中，54sin =B ，135cos =A ，则C cos 的值为___________.【变式1】在ABC ∆中，求证：sin sin A B A B >⇔>.【变式2】在ABC ∆中，若53sin =A ，135cos =B ，则C cos 的值为 ．【变式3】在ABC ∆中，12sin 13B =，4cos 5A =，则C cos 的值为___________.2.3 根据三角函数值的范围剔除增解【典例】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，λ=a ，λ3=b ， 45=A ，则满足此条件的三角形有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【变式1】钝角ABC ∆的面积是12，1=AB ，2=BC ，则=AC ( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1【变式2】借助余弦函数的单调性，缩小角的范围，避免讨论 已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， ,A B 为锐角，且532cos =A ，1010sin =B ，则B A +的值为 ．【变式3】根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解 在∆ABC 中，已知3sin 463cos 41A B A B +=+=cos sin ，，则角C = .3．几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数 【典例】已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，045,2,3===B b a ， 试判断符合条件的ABC ∆有多少个？【变式1】已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，不解三角形，则下列判断正确的（1）4,5,30a b A ===有两个解； （2）5,4,60a b A ===有一个解；（3）120a b B ===有一解；（4）60a b A ==无解.【变式2】已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形：①B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．【变式3】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若18,24,45a b A ===，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定【变式4】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2,6,30a b A ===，则满足此条件的三角形的个数是几个？3.2 根据三角形解的个数确定字母参数的范围【典例】如果满足60B =，12,AC BC k ==的三角形ABC 恰好有一个解，那么实数k 的取值范围是【变式1】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2b a ==，此三角形有解，则角A 的取值范围是 .【变式2】若满足条件3=AB ，A C >， 60=C 的ABC ∆有两个，则边长BC 的取值范围是 .【变式3】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,4b B π==，且此三角形只有一个解，则边长a 的取值范围是 .4.三角形形状的判定4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角 【典例】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，用余弦定理证明：当角C 为钝角时，222a b c +<；当角C 为锐角时，222a b c +>.【变式1】在ABC ∆中，若222sin sin sin B C A +>，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【变式2】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定【变式3】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若三边满足333a b c +=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4.2化边为角判定三角形形状 【典例】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cb a ==，判定ABC △的形状.【变式1】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos cos cA B C ab==，判定ABC △的形状.【变式2】在ABC △中，已知sin 2sin cos A B C =，判定ABC △的形状.【变式3】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos a b C =，判定ABC △的形状.【变式4】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知A c a sin =，B A C cos sin 2sin =，判定ABC △的形状.【变式5】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 2sin cos A B C =，))((a c b c b a -+++bc 3=，判定ABC △的形状.4.3化角为边判断判定三角形形状 【典例1】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =⋅，判断ABC △的形状.【变式1】在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【变式2】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B =，2b a c =+，试判断ABC ∆的形状．【典例2】在△ABC 中，若 22tan tan A a B b =，试判定△ABC 的形状.【变式1】在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状 .【变式2】在△ABC 中，若BA BA C cos cos sin sin sin ++=，则△ABC 的形状如何？5.三角形中的取值范围与最值问题 5.1三角形形状隐含角的范围【典例】设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，求cos sin A C +的取值范围．【变式1】在锐角ABC ∆中，6=AC ，A B 2=，则BC 的取值范围是 .【变式2】锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 设2C B =，则cb的取值范围是 .【变式3】钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则m 的取值范围是 .【变式4】在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC A的值等于 ，AC 的取值范围为 .【变式5】锐角△ABC 满足不等式tan 0,tan 0,tan 0A B C>>>同时成立锐角ABC ∆中，若tan 1,tan 1A t B t =+=-，则t 的取值范围是 .5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用 【典例】在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，边长1,2a b ==，则边长c 的取值范围是 .【评注】ABC ∆为锐角三角形cos 0,cos 0,cos 0A B C ⇔>>>同时成立，且三角形两边之和大于第三边；若A 是钝角，则cos 0A <且b c a +>.【变式1】锐角ABC ∆的边长分别为a ，3，1，则a 的取值范围是 .【变式2】在钝角ABC ∆中，三边长分别为4,5，x ，则实数x 的取值范围为_______________.5.3利用余弦定理、基本不等式求最值【典例1】若ABC ∆的内角A 、B 、C 满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 .【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边，化简整理后，再应用基本不等式求最值。
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1)一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b cab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．7．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．5-B ．CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.8．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.9．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.10．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.11．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.12．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C 3D ．22【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 22111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u rsin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 93555OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.14．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案. 【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.15．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．4cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。
第十课时《解三角形》本章小结与复习一、教学目标：1、熟练掌握三角形中的边角关系：掌握边与角的转化方法；掌握三角形的形状判断方法。
2、通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向杰斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。
3、注重思维引导及方法提炼，展现学生的主题作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心。
二、教学重难点：重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形。
难点：正弦定理、余弦定理的灵活应用，及将实际问题转化为数学问题并能正确地解出这个数学问题。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（二）、知识归纳1.解三角形常见类型及解法(1)已知一边和两角,利用正弦定理求其它边和角;(2)已知两边和夹角,利用余弦定理求其它边和角;(3)已知三边,利用余弦定理求其它的角;(4)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求其它边和角,注意有两解和一解的情形. 2.三角形解的个数的确定： 已知两边和其中一边的对角不能确定唯一的三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形理解.3.三角形形状的判定方法： 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.4.解三角形应用题的基本思路： 解三角形应用题的关键使将实际问题转化为解三角形问题来解决,其基本解题思路是:首先分析此题属于哪种类型的问题,然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意图中,最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答. （三）例题探析例1、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π， AB∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，， ∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin ABC AB C==．所以，最小边BC = 例2、在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 例3、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ． 解：（1）sin tan cos C C C =∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5c o s 2a b C ∴=， 20ab ∴=．又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．例4、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例5、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
