河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)数学(理)试题(解析版)

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{0,1} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 【答案】A 【解析】试题分析：图中阴影部分表示的集合为(){}0,1UAB =,故选A.考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算.2. 已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ） A ．M B ．N C ．P D ．Q 【答案】D选D.考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.3. 如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ） A ．14π-B ．4πC ．18π-D ．与a 的取值有关 【答案】A 考点：几何概型.4. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ） 【答案】D 【解析】试题分析：由表格可知，2456855m ++++==，所以 6.5517.550t =⨯+=，所以有30405070505p ++++=，解得60p =，故选D.考点：线性回归.5. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于22222152c a b a e a a a ++==== 52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 【答案】C考点： 双曲线的标准方程与几何性质.6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．1074【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为4的等腰三角形，三棱柱的高为5，两个三棱锥的底面底与高皆为4的等腰三角形，高为1，因此几何体的体积为11110444524412323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选C. 考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积.7. 公元263n 为（ ）（参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°） A ．12 B ．24 C. 36 D ．4 【答案】B考点：1.数学文化；2.程序框图.8. 如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】D 【解析】试题分析：由图象可知，函数1()tan ()2t f x x π==-，由此知此函数是由tan y x π=的图象向右平移12个单位得到的，由选项可知D 正确，故选D.看完 考点：三角函数的图象与性质.9. 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．312【答案】B考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积.10. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积3S =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由2cos 2c B a b =+及正弦定理得2sin cos 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin C B A B B C B B C B C B =+=++=++，所以2sin cos sin 0B C B +=，又因为B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以1cos 2C =-，又133120,sin 2412C S ab C ab =︒===，即3ab c =，由余弦定理可得 2222292cos 3a b c a b ab C ab ==+-≥，当且仅当a b =时等号成立，解此不等式得13ab ≥，即ab 的最小值为13，故选B. 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式.【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题.11. 已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22) 【答案】B 考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 12. 已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-交于,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 【答案】D考点：导数与函数的单调性、极值、最值.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间[,]a b 上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若61()n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.【答案】5 考点：二项式定理.14. 已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________. 【答案】2 【解析】试题分析：抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设00(,)A x y ，则02pAF x =+，又因为60AFM ∠=︒ ，003sin 60()22p y AF x =︒=+，所以0013()3282OAF p pS OF y x ∆=⋅=+=，所以082p x p =-，00343()22p y x p=+=，代入2002y px =得24882()2p p p p =-，解之得2p =或23p =，又当23p =时，FA 与x 轴正方向的夹角为120，不符合题意，所以2p =. 考点：抛物线的标准方程及几何性质.15. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________. 【答案】84 【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生,①当有两所医院二人，一所医院一人时总数为22353333C C A A ⨯种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组的有33334A A +种；②有两所医院分1 人另一所学校分三人有113223C C A .故满足条件的公法共有()223331135333322333484C C A A A C C A A ⨯-++=种方法. 考点：1.两个计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．16. 若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1a ≤- 考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】(1) 12,32n n n a b n -==-；(2) ()3525n n T n =-⋅+.考点：1.n a 与n S 的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 18. （本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果： （1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？ 下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）39100；（2）列联表见解析,有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关. （Ⅱ）根据以上数据得到如表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.…………………………12分考点：1.古典概型；2.独立性检验.【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.求2K 的观察值或已知观察值，判断命题的正确性. 19. （本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 22211. 【解析】（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111*********cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B •=•=，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量， 所以22211222cos ,112113m n m n m n⨯+<>===⨯⨯++， 平面111A B C 与平面1CB D 222考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点2)P 到椭圆C 6. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.【答案】(1)22184x y+=；(2)45,43⎛⎤⎥⎝⎦.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.21. （本小题满分12分） 已知函数221()()(1)(22)2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.【答案】(1)0,1a b ==；(2)1m n +=-.【解析】（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭， 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫''=-++==-+=- ⎪⎝⎭. 当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥， 当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根，从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应点M 的坐标.【答案】（1）直线的普通方程3320x y --+=,曲线C 的普通方程为224x y +=；（2）最小值为1，相应的点为31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，上式取最小值1. 即当31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2232x xy y -+的最小值为1. 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3.（1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.【答案】(1) 3a b +=；(2) 132a <<. 【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】试题分析：因为A B A =I ，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A. 考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b r r满足()5a a b +=r r r g ，且2,1a b ==r r ，则向量a r 与b r 夹角的余弦值为（ ）A ．3B ． 3-．12 D ．12- 【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=r r r r r r r r r r r r r ，所以1cos ,2a b <>=r r ，故选C.考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B考点：程序框图.5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D考点：三视图.7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B ．32 C ．34 D ．74【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ．86π B ．6π C ．24π D 6π 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个【答案】D 【解析】试题分析：在坐标系内作出函数()y f x =的图象，由图象可知，方程()()f x a a R =∈的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D.考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 【答案】B故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 【答案】2【解析】 试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．【答案】14考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=o 点的仰角45CAB ∠=o 以及75MAC ∠=o ，从C 点测得60MCA ∠=o ，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】150考点：解三角形应用举例.【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ． 【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min 1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x+>∴==+≥Q ，当且仅当1x =时取等号，所以min ()(1)2f x f ==，即()2min 211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e==，所以()1max 1g x k ke⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.（2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD I 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP P .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明,若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23.（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD Θ平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴，)1,2,2(-=,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则 ⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：1X5 67 8 P0.4ab0.1且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性.（2）由已知得，样本的频率分布表如下：2X34 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：2X34 5 6 7 8 p0.30.20.20.10.10.1所以，2 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ．考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数212ii+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 【答案】C 【解析】考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A 【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ，正确；B 中，若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则两平面可能相交或平行，故B 错；C 中，若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12l l 、可能相交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D 错，故选A ． 考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【答案】B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式． 【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ．5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2222x y y z x x+++==+表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P -的斜率k 加上2．因为(3,2)A 、(1,0)C -，所以4,23AP CP k k ==-，所以由图知43k ≥或2k ≤-，所以1023k +≥或20k +≤，即103z ≥或0z ≤，故选D ．考点：简单的线性规划问题．6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】C考点：1、对数的运算；2、基本不等式．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和 【答案】D 【解析】试题分析：第一次循环，得1,2A i ==；第二次循环：1+21,3A i =⨯=；第三次循环：21+21+21,4A i =⨯⨯=；第四次循环：231+2+2+2,5A i ==；第五次循环：2341+2+2+2+2,6A i ==；第六次循环：23451+2+2+2+2+2A =，76i =>，不满足循环条件，退出循环，输出23451+2+2+2+22A =+，即计算数列{}12n -前6项的和，故选D ．考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220oo ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b+-＝a b -+2aba b-=2a b a b -+≥-D ． 考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737C ．715D ．2041【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式． 11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B 【解析】试题分析：由条件知，方程22ln a x x -=-，即22ln a x x -=-在1[,]e e上有解．设2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=．因为1x e e ≤≤，所以()0f x '=在1x =有唯一的极值点．因为1()f e＝212e --，2()2f e e =-，()(1)1f x f ==-极大值，又1()()f e f e <，所以方程22ln a x x -=-在1[,]e e上有解等价于221e a -≤-≤-，所以a 的取值范围为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，故选B ．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 【答案】a b < 【解析】试题分析：因为()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->12>，又()12a b -+≥所以()1122a b -+>，即a b <．考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α= ．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22αα+＋cos 2)2α+＝2222αα+＝2222222sin cos cos sin 2sin cos sin cos 2αααααααα-⋅+++＝2222tan 1tan 2tan 1tan 12αααα-++++＝22223130231312⨯-+=++． 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】80 【解析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________． 【答案】1724b <≤ 【解析】考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先根据正弦函数性质解出M 中的元素，从而得到21,x k k Z =+∈，由此可求得数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和． 18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围． 【答案】（1）12；（2）32⎤⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）首先利用向量的数量积公式求出函数()f x 的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（2）首先由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，然后利用三角函数公式化简求出角A 的范围，从而求出三角函数值的范围．试题解析：（1）()21113sincos cos cos sin 44422222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭， 由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=， 所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则22,33A C A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A A C B --的大小．【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影， ∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==且,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD A C ⊥，且AEAD A =，∴AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 且直角1A AC ∆中，11A A AC AE AC ===，又2AD ADE π=∠=，∴sin 2AD AED AE ∠===，且二面角1A A C B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A A C B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =， 由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间； （2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-． 【解析】（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能， 故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立， 即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点． 【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中122k x +=，2x =【解析】试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到()f x 的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得a 的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数()x Γ的导数可为0，从而对函数()x Γ求导后解得切点横坐标0x 与m 的关系，根据不等式得到0x 的范围，进而求得实数m 的范围；（3）当函数()x ϕ存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数k ，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．试题解析：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+， ∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根， 由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mkx x x x ϕ-++-+'=--=---方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为1212k x +-=<，或2212k x ++=>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中122222k k x x +++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理． 23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为22x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【答案】（1）2；（2）16． 【解析】考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值． 【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6． 【解析】试题分析：（1）由条件可知关于x 的不等式t x x ≥---|2||1|有解即可，因此只需()max12x x t ---≥，进而可求出实数t 的集合T ；（2）根据条件知道应有max 33log log t n m ≥⋅，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出n m +的最小值．试题解析：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ．考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数212ii+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 【答案】C 【解析】考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A 【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ，正确；B 中，若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则两平面可能相交或平行，故B 错；C 中，若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12l l 、可能相交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D 错，故选A ． 考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【答案】B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式． 【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ．5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2222x y y z x x+++==+表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P -的斜率k 加上2．因为(3,2)A 、(1,0)C -，所以4,23AP CP k k ==-，所以由图知43k ≥或2k ≤-，所以1023k +≥或20k +≤，即103z ≥或0z ≤，故选D ．考点：简单的线性规划问题．6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】C考点：1、对数的运算；2、基本不等式．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和【答案】D 【解析】试题分析：第一次循环，得1,2A i ==；第二次循环：1+21,3A i =⨯=；第三次循环：21+21+21,4A i =⨯⨯=；第四次循环：231+2+2+2,5A i ==；第五次循环：2341+2+2+2+2,6A i ==；第六次循环：23451+2+2+2+2+2A =，76i =>，不满足循环条件，退出循环，输出23451+2+2+2+22A =+，即计算数列{}12n -前6项的和，故选D ．考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220oo ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b+-＝a b -+2aba b-=2a b a b -+≥-D ．考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737C ．715D ．2041【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式． 11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B 【解析】试题分析：由条件知，方程22ln a x x -=-，即22ln a x x -=-在1[,]e e上有解．设2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=．因为1x e e ≤≤，所以()0f x '=在1x =有唯一的极值点．因为1()f e＝212e --，2()2f e e =-，()(1)1f x f ==-极大值，又1()()f e f e <，所以方程22ln a x x -=-在1[,]e e上有解等价于221e a -≤-≤-，所以a 的取值范围为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，故选B ．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 【答案】a b < 【解析】试题分析：因为()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->()112a b ->，又()()112a b a b -+≥-以()1122a b -+>，即a b <．考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α= ．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝22sin 2cos 222αα+＋2(1cos 2)2α+＝22sin 22cos 222αα++＝22222222sin cos cos sin 222sin cos sin cos 2αααααααα-⋅+⋅+++＝22222tan 1tan 222tan 1tan 12αααα-⋅+⋅+++＝22222313220231312⨯-⨯+⨯+=++． 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】80 【解析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________． 【答案】1724b <≤ 【解析】考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先根据正弦函数性质解出M 中的元素，从而得到21,x k k Z =+∈，由此可求得数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）32⎤⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）首先利用向量的数量积公式求出函数()f x 的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（2）首先由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，然后利用三角函数公式化简求出角A 的范围，从而求出三角函数值的范围．试题解析：（1）()21113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭， 由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则22,33AC A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，所以sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A A C B --的大小． 【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影， ∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==且,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD A C ⊥，且AEAD A =，∴AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 且直角1A AC ∆中，11A A AC AE AC ===，又2AD ADE π=∠=，∴sin AD AED AE ∠===1A A C B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A A C B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =， 由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间； （2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-． 【解析】（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能， 故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立， 即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点． 【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中122k x +-=，222k x +=）【解析】试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到()f x 的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得a 的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数()x Γ的导数可为0，从而对函数()x Γ求导后解得切点横坐标0x 与m 的关系，根据不等式得到0x 的范围，进而求得实数m 的范围；（3）当函数()x ϕ存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数k ，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．试题解析：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+， ∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根， 由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mkx x x x ϕ-++-+'=--=---方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为212412k k m x +-+=<，或222412k k mx +++=>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中2212242422k k m k k mx x +++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理． 23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 【答案】（1）2；（2）16．【解析】考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值． 【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6． 【解析】试题分析：（1）由条件可知关于x 的不等式t x x ≥---|2||1|有解即可，因此只需()max12x x t ---≥，进而可求出实数t 的集合T ；（2）根据条件知道应有max 33log log t n m ≥⋅，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出n m +的最小值．试题解析：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。

绝密★启用前2017届河北衡水中学高三文12月月考数学试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知集合{|24}A x x =<<，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =∩（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)2．已知21iz i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若sin 2a =，则cos a =（ ）A ．23- B ．13-C ．13D ．234．设向量,a b 满足||a b += ||a b -= a b = •（ ）A ．1B ．2C ．3D ．55．要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．13B ．11C ．9D ．77．已知(,)P x y 为平面区域001(0)x y x y a x a a -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤+>⎩内的任意一点，当该区域的面积为3时，2z x y =-的最大值是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．18．已知实数0a <，函数22,1,(),1,x a x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,0)-B ．[2,1]--C ．(,2]-∞-D ．(,0)-∞9．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?若π取3，估算该圆堡的体积为（1丈=10尺）（ ）A ．1998立方尺B ．2012立方尺C ．2112立方尺D ．2324立方尺10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24B ．30C ．48D ．7211．若实数数列：123181a a a --，，，，成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是（ ）A ．13C 12．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，且(2)(4)1f f +=-，则a =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知函数3()2f x ax x =-的图象过点(1,4)-，则a = ．14．已知抛物线2:4C y x =，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为 ．15．若42log (34)log a b +=a b +的最小值为 ．16．数列{}n a 满足1(1)(1)n n n a a a +--=，82a =，则2017S = ．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos B b A c +=．（1）求B ；（2）若a =，ABC S ∆=b ．18．已知等差数列{}n a 的前三项为142a a -，，，记前n 项和为n S ． （1）设2550k S =，求a 和k 的值；（2）设n n S b n=，求371141n b b b b -++++ 的值． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=°，2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，N 为AD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积．20．已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D两点，且AC 与BD 同向．（1）求2C 的方程；（2）若||||AC BD =，求直线l 的斜率．21．设函数2()mx f x e x mx =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标．23．选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3．（1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围．参考答案1．C【解析】试题分析：{}{|(1)(3)0}|13B x x x x x =--<=<<，所以{}|23(2,3)A B x x =<<=∩故选C ．考点：集合的运算．2．D【解析】 试题分析：()()()2121111i i i z i i i i -===+++-,1z i =-,所以z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ．考点：1．复数的运算；2．复数相减的概念．3．C【解析】试题分析：221cos 12sin 1223αα=-=-⨯=⎝⎭,故选C ． 考点：二倍角公式．4．A【解析】试题分析：因为||a b += 222()210a b a a b b +=+⋅+= ………………①，又||a b -= 222()26a b a a b b -=-⋅+= …………②，①-②得44a b ⋅= ，所以1a b ⋅= ，故选A ．考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积．5．B【解析】 试题分析：sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-,所以要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象向右平移12π个单位即可，故选B ． 考点：三角函数图象的平移变换．6．C【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为满足条件1312lg lg lg 2lg 13522i S i i =++++=+<++ 的最小的i 值，解之得8i >，所以i 的最小值为9，故选C ．考点：程序框图．7．A【解析】试题分析：在直角坐标系内作出平面001(0)x y x y a x a a -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤+>⎩，当区域面积为3时，1a =，由图可知，当目标函数过点(2,2)B -时目标函数2z x y =-有最大值，即max 2226z =⨯+=，故选A ．考点：线性规划．8．B【解析】试题分析：因0a <，所以(1)(1)f a f a -≥+等价于()()2121a a a ++≥--，解之得21x -≤≤-，即实数a 的取值范围是[2,1]--，故选B ．考点：1．函数的表示；2．二次不等式的解法．9．A【解析】试题分析：由底面半径为r ，则248r π=，又3π=，所以8r =，所以该圆堡的体积为883111998V =⨯⨯⨯=立方尺，故选A ．考点：1．数学文化；2．旋转体的表面积与体积．10．C【解析】试题分析：该三视图所表示的几何体为如下图所示的三棱锥，其底面是一个直角边长为6的等腰直角三角形，高为4，所以其体积116642432V =⨯⨯⨯⨯=，故选C ．AC考点：三视图．【名师点睛】本题考查三视图，属中档题；对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量．11．D【解析】试题分析：因为123181a a a --，，，，成等比数列，所以2221(81)81,9a a =-⨯-==-（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为2219y x -=，其中1,3,a b c ===c e a==D ． 考点：1．等比数列的性质；2．双曲线的几何性质．【名师点睛】本题考查等比数列的性质、双曲线的几何性质，属中档题；求双曲线的离心率的值或范围的基本思想是建立关于,,a b c 的方程或不等式，根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a c 的等量关系或不等关系，解方程或不等式可得所求离心率的值或范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同．12．C【解析】试题分析：因为函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，所以2()log y f x x α==-，(2)(4)12321,f f ααα+=-+-=-=- 所以2α=，故选C ． 考点：1．函数与反函数的关系；2．对数的运算性质．【名师点睛】本题考查函数与反函数的关系、对数的运算性质，属中档题；函数与反函数的图象关于直线y x =对称，本题中未给出两个函数是反函数，而是给出对称关系，教科书中只提到了指数函数与对数函数互为反函数，本题取之于教材，而高于教材．13．2-【解析】试题分析：因为函数3()2f x ax x =-的图象过点(1,4)-，所以(1)24,2f a a -=-+==-． 考点：函数的表示与求值．14．0x y -=【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由,A B 在抛物线上，所以2211224,4y x y x ==，两式作差得2212124()y y x x -=-，所以直线AB 的斜率1212124414y y k x x y y -====-+，直线方程为22y x -=- 即0x y -=．考点：直线与抛物线的位置关系．15．7+【解析】试题分析：由42log (34)log a b +=34ab a b =+，即304a b a =>-，所以4a >，312477744a ab a a a a +=+=-++≥+=+--当且仅当4a =+时取等号，所以a b +的最小值为7+．考点：1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．16．20172【解析】试题分析：由1(1)(1)n n n a a a +--=得1111111n n n n n n na a a a a a a ++-=+==---，所以87121a a ==-，解得712a =，761121a a ==-，61a =-，同理54321112,,1,2,22a a a a a ===-==，即数列{}n a 是一个周期数列，周期是为4，且12341121222a a a a +++=+-+=，所以20172016120172422S =⨯+=． 考点：1．数列的递推关系；2．数列的性质．【名师点睛】本题考查数列的递推关系、数列的性质，属中档题．数列是特殊的函数，函数的周期性可在数列中应用，本题就是利用了数列的周期性求解的，数列周期的判断方法一般是通过求出数列的前若干项，通过观察规律得到的．17．(1) 30B =︒；(2) b =【解析】试题分析：(1) 由正弦定理得将条件中的边换为相应角的正弦值，并由sin sin()C A B =+化简整理可得tan 3B =，从而求出角B 的值；(2) 由a =及三角形面积公式可求得边,a c 的值，再利用余弦定理可求出边b ．试题解析：（1sin sin cos sin A B B A C +=，()sin sin cos sin A B B A A B +=+，sin sin cos A B A B =，由sin 0A ≠得tan B =，所以30B =︒．…………6分（2）由a =得21sin 2ABC S ac B ∆===2,c a ==由余弦定理得22228b a c =+=，故b =12分 【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角恒等变换． 18．(1) 3,50a k ==；（2）222n n +． 【解析】试题分析：(1)由等差数列{}n a 的前三项为142a a -，， 可列出关系式()128a a -+=，从而求出a 的值，求出数列的首项与公差，由数列的前n 项和公式可求k 的值；（2）由（1）可知2n S n n =+，所以1nn s b n n ==+，即{}n b 是等差数列，由等差数列求和公式求之即可．试题解析：（1）由已知得1231,4,2a a a a a =-== ，又1322a a a += ，∴()128a a -+=，即3a =．∴12a =，公差212d a a =-=．由()112k k k S ka d -=+，得()12225502k k k -+⨯=， 即225500k k +-=．解得50k =或51k =-（舍去）．∴3,50a k ==．（2）由()1n 12n n S na d -=+，得()2n 1222n n S n n n -=+⨯=+．∴1nn s b n n==+，∴{}n b 是等差数列． 则()()[]()3711413171111411n b b b b n -++++=+++++++-+ ；()442n n +=．∴237114122n b b b b n n -++++=+ ．【考点】等差数列的性质与前n 项和公式． 19．（1）见解析；（2）23． 【解析】试题分析：(1)欲证AD ⊥平面PNB ，只要证PN AD ⊥、BN AD ⊥即可，由等边三角形性及菱形的性质可证PN AD ⊥、BN AD ⊥；(2) 利用等体积转换的方法求解，即P NMB M PNB V V --= ，求出三角形PNB 的面积及M 到平面PNB 的距离即可求体积．试题解析：（1）∵,PA PD N =为AD 的中点，∴PN AD ⊥，……（2分） ∵底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴BN AD ⊥，……（4分） ∵PN BN N = ，∴AD ⊥平面PNB ．……（6分） （2）∵2PN PD AD ===，∴PN NB ==7分）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PN AD ⊥， ∴PN ⊥平面ABCD ，……（8分） ∴PN NB ⊥，∴1322PNB S ∆==．……（9分） ∵AD ⊥平面,//PNB AD BC ，∴BC ⊥平面PNB ．（10分） ∵2PM MC =，∴22132233323P NRM M PNB C PNB V V V ---===⨯⨯⨯=．（12分） 【考点】1．线面垂直的判定与性质；2．面面垂直的判定与性质；3．多面体的体积．【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、多面体的体积，属中档题；证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．20．(1)22198x y +=；(2) 【解析】试题分析：(1)先求出抛物线的焦点，从而可求得椭圆的焦点，又椭圆与双曲线均关于x 轴对称，由公共弦长为,,a b c 的关系式，求出,a b 即可；（2）设l 的方程为()1y k x =-，代入抛物线方程得()2222240k x k x k -++=，从而求出212224k x x k ++=，即22242k AB k +=+，将直线方程代入椭圆方程得()222289189720k x k x k +-+-=，由此得23421889k x x k +=+，求出()2248189k CD k +=+，由AB CD =列出方程解之即可．试题解析：（1）由21:4C y x =知其焦点F 的坐标为()1,0，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -=①；又1C 与2C的公共弦长为1C 与2C 都关于x 轴对称，且1C 的方程为21:4C y x =，由此易知1C 与2C的公共点的坐标为3,2⎛ ⎝，∴229614a b +=②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为222:198x y C +=． （2）如图，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因AC 与BD 同向，且AC BD =知AB CD =，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()2222240k x k x k -++=，由12,x x 是这个方程的两根，212224k x x k ++=，从而22242k AB k+=+, 由()221198y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()222289189720k x k x k +-+-=，而34,x x 是这个方程的两根，23421889k x x k +=+，从而()2222481118638989k k CD k k +=-=++， 由AB CD =得：238k =，解得k =l的斜率为±【考点】1．椭圆与抛物线的性质；2．直线与抛物线、椭圆的位置关系．【名师点睛】本题考查椭圆与抛物线的性质、直线与抛物线、椭圆的位置关系，属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用．21．（1）()f x 在(),0-∞时单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）[]1,1-． 【解析】试题分析：（1）求函数()f x 的导数，分0m ≥与0m <分别讨论()f x '的符号，即可得到函数()f x 的单调性；（2）任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-等价于max min ()()1f x f x e -≤-，由（1）可知min ()(0)f x f =，max ()(1)f x f =或max ()(1)f x f =-，所以只要(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩ ，解不等式组即可．试题解析：（1）()(1)2mxf x m e x '=-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mxe f x '-≤<；当(0,)x ∈+∞时，10,()0mxef x '-≥>．所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,在区间(,0)-∞上单调递减；若m 0<，则当(,0)x ∈-∞时，10,()mx e f x '-><；当(0,)x ∈+∞时，10,()mx e f x '-<>．所以，()f x 在(),0-∞时单调递减，在()0,+∞单调递增． 综上，()f x 在(),0-∞时单调递减，在()0,+∞单调递增．（2）由（1）知，对任意的,m ()f x 在[]1,0-单调递减，在[]0,1单调递增，故()f x 在x 0=处取得最小值．所以对于任意1212,[1,1],()()1x x f x f x e ∈--≤-的要条件是(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩，即m-m e -m e-1e +m e-1⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，① 令()g xx e x =-，则()()g 1,g xx e x =-在()0,+∞单调递增，在(,0-∞单调递减不妨设()01g x e =-，因为()()211111,221g e g e e e-=-<--=->-，所以()02,1x ∈--，所以0011x m x m -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，综上，m 的取值范围为[]1,1-．【考点】1．导数与函数的单调性、极值、最值；2．函数与不等式．22．（120y -=,曲线C 的普通方程为224x y +=；（2）最小值为1，相应的点为1,2M ⎛⎝⎭或1,2⎛-- ⎝⎭． 【解析】试题分析：(1)将直线中的参数消去，即可得到其普通方程，在极坐标方程2ρ=两边平方，由222x y ρ=+替换即可得到圆的直角坐标方程．(2)由变换公式先写出变换后的方程为一椭圆，用椭圆的参数方程表示点()2cos ,sin M θθ代入222x y +，由三角函数知识求之即可．试题解析：（1）由1x t =-，得1t x =-，代入2y =，20y -=． 由2ρ=，得24ρ=，∴224x y +=．（2）∵'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴'C 的直角坐标方程为2214x y +=．∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==．∴222224coscos 2sin 2cos 233x y πθθθθθ⎛⎫+=-+=++ ⎪⎝⎭． ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩1．即当1,2M ⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，222x y +的最小值为1． 【考点】1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐标与直角坐标的互化；3．大陆架参数方程的应用．23．(1) 3a b +=；(2) 132a <<． 【解析】试题分析：(1)由绝对值不等式()()x a x b x a x b a b --+≤--+=+可得m a x ()3f x a b =+=；（2）对于x a ∀≥均有()()g x f x <等价于max min ()()g x f x < ，分别求()g x 的最大值与()f x 的最小值，解不等式即可．试题解析：（1）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，……2分 所以()f x 的最大值为a b +，∴3a b +=，……4分（2）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=--=-，……6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于()max ,3x a g x ∀≥<-成立， ∵()g x 的对称轴为2ax a =-<，∴()g x 在[),x a ∈+∞为减函数， ∴()g x 的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-，……8分 ∴2233a a -+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为,0,3a ob a b >>+=，所以132a <<．……10分 【考点】1．绝对值不等式的性质；2．函数与不等式．。

河北省衡水中学2017届上学期高三年级五调考试数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥， 则图中阴影部分表示的集合为A ．{1}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示 复数1zi+的点是 A ．M B ．N C ．Q D ．P3．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空 白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向 此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能 性都一样，则他击中阴影部分的概率是 A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 4．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为 A ．45 B ．60 C.55 D ．505．已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于2.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214x y -= D ．2214y x -=6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°） A ．12 B ．4 C. 36 D ．248．如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为9．三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是ABC.D10. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积S =，则ab 的最小值为A ．13B ．12 C. 16D ．311．已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．4) B．C. D．)+∞ 12．已知直线y a =分别与函数1x y e+=和y =,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是A ．3ln 22-B ．5ln 22+ C. 3ln 22+ D ．5ln 22-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若6(n x 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14．已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆，则p 的值为__________.15．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16．若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（Ⅰ）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A，111AC =，114C AA π∠=.（Ⅰ）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （Ⅱ）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆E 2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆E上，点P 到椭圆E. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆E 于 ,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点， 求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，R b a ∈,，且曲线()y f x =与x轴切于原点O .（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C上任一点，求222x y -+的最小值，并求出相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （Ⅰ）求a b +的值；（Ⅱ）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）A （9）C （10）A （11）D （12）B二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.]1,-∞-（三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.解：（Ⅰ）()*11n n a S n N λ+=+∈， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 是以1为首项，以1λ+为公比的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分∴数列{}n b 是以1为首项，以3为公差的等差数列.)12,13132n n n a b n n -∴==+-=-）（*N ∈n ()12,13132n nn a b n n -∴==+-=-）（*N ∈n ………………6分 （Ⅱ）()1322n n n a b n -=-⋅，设{}n n b a 的前n 项和为n T ， ()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A . 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）22⨯联表：…………8分2K 的观测值k ()22100638227 4.575 3.84185153070K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11//B A GE ∴.⊄GE 平面11ABB A ，//GE ∴平面11ABB A ，同理可得//GF 平面11ABB A ，…………2分 又GFGE G =，所以平面//GEF 平面11ABB A ，EF ⊂平面GEF ，//EF ∴平面11ABB A .…………4分（Ⅱ）连接1AC ，在11C AA ∆中，11111,4C A A AC π∠==， 所以由余弦定理得2222111111*********cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，且11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，以A 为坐标原点，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,Axyz设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -，),0,1,0(),1,0,1(),1,2,1(),1,1,2(11111=-=-=-=∴B A C A CD CB ………………8分设平面111A B C 的一个法向量为=m ()111,,m x y z =，则m 110,0m A C m A B ∙=∙=，⋅m 110,0m A C A B ∙=∙=，即1110x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则1,011==z y ，)1,0,1(=∴m 为平面111C B A 的一个法向量. ………………9分设平面D CB 1的一个法向量为)(222z y x n =，则⎩⎨⎧=-+=-+=⋅=⋅,02,02,0,02222221z y x z y x n CB n 即令3,1,1222===z y x 则，n ∴()1,1,3=为平面1CB D 的一个法向量，………………10分所以n m m m n m ⋅>=<∴,coscos ,2m n m n m n <>===⨯⨯，平面111A B C 与平面1CB D ………………12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆E 的右焦点(),0,2F c PF c ==，………1分()2,2在椭圆E 上，22421a b ∴+=，…………2分由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l 的方程为：y kx =2l 的方程为：()()11221,,,y x A x y B x yk=-，由22184x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y得()221240k x++-=，所以12122412x x x xk-+==+，…………7分则12AB x=-=，………………8分设圆心(Q到2l的距离为则,1d1d=<得21k>，…………9分又,MP AB QM CD⊥⊥，所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离，设为2d，则2d==………………10分所以MAB∆面积212s AB d===…………11分令()2213,t k=+∈+∞，则110,,3St⎫⎛⎫∈==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上，MAB∆面积的取值范围为4⎤⎥⎝⎦.…………12分21.解：（Ⅰ）()()()()221221222xf x ax bx a b ax b e x x x x⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦()()2212322xax a b x a e x x⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分()00f a∴==，又()010,1f a b b=-+=∴=.………………4分（Ⅱ）不等式()()()2101112xf x x e x x x⎛⎫>⇔-⋅>-++⎪⎝⎭，整理得()211102xx e x x⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102xxe x x->⎧⎪⎨⎛⎫-++>⎪⎪⎝⎭⎩或2101102xxe x x-<⎧⎪⎨⎛⎫-++<⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分令()()()()()211,1,12x x xg x e x x h x g x e x h x e⎛⎫=-++==-+=-⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在区间()0+∞，内单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 内单调递增，而()00g =； ∴2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当0x <或1x >时，()0f x >；当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴由()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立，可得当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（Ⅰ）由1x t =-，得1t x =-，代入2y =+，20y --=. 由2p =，得24,4p x y =∴+=422=+∴y x C 的直角坐标方程为曲线.…………5分（Ⅱ）,12x xC y y⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩的直角坐标方程为2214x y +=.设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.222224cos cos 2sin 2cos 233x y πθθθθθ⎛⎫∴+=-+=++ ⎪⎝⎭∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩1.即当M ⎛ ⎝⎭或1,M ⎛- ⎝⎭时，222x y +的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，均有()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x 的对称轴为2ax a =-<，()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数，()g x ∴的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-，…………8分2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<. ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛3,21………………10分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且AB A =，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】 试题分析：因为A B A =，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A.考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．2 B ． 2- C ．12 D ．12- 【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=，所以1cos ,2a b <>=，故选C.考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B考点：程序框图.5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D考点：三视图.7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B ．32 C ．34 D ．74【答案】D【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是）A ．B ．6πC ．24πD 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个 【答案】D 【解析】试题分析：在坐标系内作出函数()y f x =的图象，由图象可知，方程()()f x a a R =∈的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D.考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x += ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 【答案】B故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．【答案】14考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】150考点：解三角形应用举例.【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ．【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x+>∴==+≥，当且仅当1x =时取等号，所以min ()(1)2f x f ==，即()2min211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e==，所以()1max 1g x k ke⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.（2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明,若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23.（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==AD n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴，)1,2,2(-=,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则 ⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性.（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -2.已知向量a r 与b r 的夹角为60,2,5a b ==or r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．33.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ．12日B ．16日C ． 8日D ．9日4.已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．4 B ．16 C ． 9 D ．35.动点(),P x y满足1253yx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q为()1,1,O-为原点，OQ OP OQλ=u u u r u u u r u u u rg，则λ的最大值是（）A．1-B．1C．2 D．26.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（）A．105+B．102+C．626+D．626+7.已知函数()()2sin sin3f x x xϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos2g x xϕ=-的图象（）A．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B．可由函数()f x的图象向右平移3π个单位得到C．可由函数()f x的图象向左平移6π个单位得到D．可由函数()f x的图象向左平移3π个单位得到8.ABC∆中，若()sin3sin cosC A A B=+，则（）A．3 Bπ=B．2b a c=+C．ABC∆是直角三角形D．222a b c=+或2B A C=+9.已知数列{}n a满足()111,2nnnaa a n Na*+==∈+，若()()11121,nnb n n N baλλ*+⎛⎫=-+∈=-⎪⎝⎭g，且数列{}nb是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（）A．23λ>B．32λ>C．23λ<D．32λ<10.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC AM BDλμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=（）A．43B．53C．158D．211.已知函数()3212f x ax x=+，在1x=-处取得极大值，记()()1'g xf x=,程序框图如图所示，若输出的结果20142015S>，则判断框中可以填人的关于n的判断条件是（）A．2014n≤？B．2015n≤？C．2014n>？D ．2015n >？12.已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）[来源:学#科#网] 13.数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．14.在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则DE DF u u u r u u u r g 的值为 ．15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos 23C =，且cos cos 2a B b A +=， 则ABC ∆面积的最大值为 ．16.已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()3cos 23cos a C b c A =.（1）求角A 的大小；（2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N *==-+∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说 明理由； （3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32n mT m Z >∈,对 n N *∈恒成立, 求m 的最大值.19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且525,,55B AOB α⎛⎫-∠= ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()3f m n θ=,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求[来源:] 其单调增区间.[来源:][来源:学.科.网Z.X.X.K]20.（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）已知()()()()()211321,,22g x x m x m h x f x g x x=+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值.21.（本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =. [来源:学科网] （1）①求证：数列{}2n a 为等差数列； ②求数列{}n a 通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33n n S n N n *>∈+.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E.（1）证明:CD CE =； （2）求ADBD的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点()2,3M 对应的参数,34ππϕθ==与曲线2C 交于点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程；（2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥；（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围.。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知会合 A xN |1 x log 2 k ，会合 A 中起码有 3 个元素，则（ ）A ． k 8B ． k 8C ． k 16D ． k 16 2.复数 2 i的共轭复数的虚部是（ ）12iA ．3B ．3C ．-1D ．15 53.以下结论正确的选项是（）A ．若直线 l 平面 ，直线 l 平面，则 / /B ．若直线 l / / 平面，直线 l //平面，则 / /C ．若两直线 l 1、 l 2 与平面 所成的角相等，则 l 1 / /l 2D ．若直线 l 上两个不一样的点 A 、B 到平面 的距离相等，则 l / /4.等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a 2 a 5 2a 3 ，且 a 4 与 2a 7 的等差中项为 5，则 S 54（）A ． 29B ．31C ．33D ．365.已知实数 x, y 知足x2y 1，则 z 2x y 2 的取值范围为（）x y 1 0xA ． 0,10B ．,2 U10,C ． 2,10D ．,0 U10,3333A． 8B．6C．4D．27.阅读如下图的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列2n 1前5项的和B．计算数列2n1前5项的和．计算数列2n 1 前6项的和D．计算数列2n 1前6项的和C8. ABC中，“角A, B, C成等差数列”是“sin C 3 cos A sin A cos B ”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不必需条件9.已知a b ，二次三项式ax22x b0 对于一确实数 x 恒成立，又 x0 R ，使22x0 b 0 成立，则a2b2的最小值为（）ax0a bA． 1B．2C．2D．2 210.已知等差数列a n,b n的前n项和分别为S n,T n，若对于随意的自然数n，都有S n 2n 3，则a1a15a3（）T n4n 3 2 b3b9b2b10A．19B．17C．7D．20 4137154111.已知函数g x ax21x e,e为自然对数的底数与 h x 2ln x 的图象上存在关e于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（）12122A ．1,e22B ． 1,e2C ．e 22, e2D ． e2,uuuv uuuv uuuv12.如图，在 OMN 中， A, B 分别是 OM , ON 的中点，若 OP xOA yOB x, y R ，且点 P 落在四边形 ABNM 内（含界限），则y 1 的取值范围是（ ）x y 2A ．1,2B ． 1 ,33 3 3 4C ．1,3D ．1,24 44 3第Ⅱ卷（非选择题共 90分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若实数 a 、b 0,1 ，且知足 1 a b1，则 a 、b 的大小关系是 _____________．4若 tan1 10 , , ，则 sin 22cos cos 2的值为 ___________．14.tan34 24415.一个几何体的三视图如下图，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数 f xlg x , x 0，若对于 x 的方程 f 2 x bf x 1 0 有 8 个不一样x 2 6x 4, x根，则实数 b 的取值范围是 ______________．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）已知 f x2sin x，会合M x | f x2, x 0 ，把M中的元素从小到大挨次排2成一列，获得数列a n , n N*．（1）求数列a n的通项公式；（2）记b n12，设数列 b n的前n项和为T n，求证：T n 1 ．a n1418.（本小题满分 12 分）已知向量（1）若m 3 sinx,1 , n cosx,cos 2x，记 f x mgn ．444f x 1，求cos x的值；3（2）在锐角ABC 中，角A, B, C的对边分别是a, b, c，且知足2a c cosB b cosC ，求 f 2A 的取值范围．19.（本小题满分 12 分）如下图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中，平面 A1 BC侧面A1B1BA，且AA1AB2 ．（1）求证：AB BC ；（2）若直线AC与平面A1BC所成角的正弦值为1，求锐二面角 A A1C B的大小．220.（本小题满分 12 分）已知函数 f x 2 ax 1 2ln x a R ．（1）若曲线 g xf xx 上点 1,g 1处的切线过点 0,2 ，求函数 g x 的单一减区间；（2）若函数 yf x在 0,1上无零点，求 a 的最小值．221.（本小题满分 12 分）已知 px, m , q xa,1 ，二次函数 f x pgq 1 ，对于 x 的不等式f x2m 1 x1 m2 的解集为,m U m 1, ，此中 m 为非零常数，设g x f x ．x 1（ 1）求 a 的值；（2）若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数x g xx ln x 的图象相切， 且切点的横坐标 x 0 知足 x 0 1 x 0 3 ，务实数 m 的取值范围；（3）当实数 k 取何值时，函数x g xk ln x 1 存在极值？并求出相应的极值点．请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，且 BC CD ，其对角线 AC 与 BD 订交于点 M ，过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延伸线于点 P ．（ 1）求证： ABgMD ADgBM ；（2）若 CPgMD CBgBM ，求证： ABBC ．23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x m 2 t已知直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半2y t2轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos23 2 sin212 ，且曲线C 的左焦点 F 在直线 l 上．（1）若直线l与曲线C交于A, B两点，求FA gFB的值；（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值．24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 x0 R 使不等式x1x 2 t 成立．（1）求知足条件的实数t 的会合 T ；（2）若m 1,n 1，对t T ，不等式log2mglog3n t 恒成立，求m n 的最小值．参照答案一、选择题题123456789101112号答C C A B D C D A D A B C案二、填空题13. ab 14．015．80 16． 217 b4三、解答题17．解：（1）∵ f x2 ，∴x kk Z ，∴ x 2k 1,k Z ．．．．．．．．．．．．．．．．．．322分又∵ x0 ，∴ a n2n 1 nN * ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分∴ T n b 1 L b n1 1 1 1111 1 141L4 n 1 42 23 n n 1 41∴ T n4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分uv v3sin x cosxcos 2x 3 sin x 1 cos x1 sin x1 ，18．（1） f x mgn644 42 2 2 22 22由 f x1 ，得 sinx61，所以 cos x31 2sin 2x 6 1．．．．．．．．．．．．．62 222分（ 2）因为 2a c cosB b cosC ，由正弦定理得2sin A sin C cosBsin B cosC ，所以 2sin AcosB sin C cosB sin B cosC ，所以 2sin A cosB sin B C ，因为 A B C，所以 sin BCsin A ，且 sin A 0 ，所以 cos B1，又0B，所以 B，22222 ， 3则 A C, A C ，又0C，则A，得3A3326263所以3sin A 1 ，又因为f 2A sin A 1 ，2662故函数 f 2 A 的取值范围是31, 3．．．．．．．．．．．．．．．．12 分2219．（1）证明：如图，取 A1 B 的中点D，连结AD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因 AA1AB ，则 AD A1B ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由平面 A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC I侧面A1ABB1A1B ，．．．．．．．．．．．．．．3分得 AD平面A1BC，又BC平面A1BC，所以 AD BC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，则 AA1底面ABC，所以AA1BC ．又 AA1 I AD A ，进而BC侧面A1ABB1，又 AB侧面A1ABB1，故AB BC ．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解法一：连结CD，由（ 1）可知AD平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影，∴ACD 即为直线 AC 与平面A1BC所成的角，因为直线AC 与平面A1BC所成的角的正弦值为1，则ACD26，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分在等腰直角A1AB 中， AA1AB 2，且点D是 A1B 中点，∴1 A 1B2且 ADC, ACD，2 2 6AD∴ AG2 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分过点 A 作 AEA 1C 于点 E ，连结 DE ，由（ 1）知 AD 平面 A 1BC ，则 ADA 1C ，且 AE I AD A ，∴AED 即为二面角 A A 1C B 的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分且直角 A 1AC 中， AEA 1 AgAC22 2 2 6 ，AC2 3 31又 AD2, ADE ，∴ sin AEDAD2 23，且二面角 A A 1C B 为锐二面2AE6 23角，∴ AED，即二面角 A A 1CB 的大小为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分3解法二（向量法）：由（ 1）知 AB BC 且 BB 1 底面 ABC ，所以以点 B 为原点，以 BC 、 BA 、 BB 1 所在直线分别为 x, y, z 轴成立空间直角坐标系 Bxyz ，如下图，且设 BC a ，则A 0,2,0 ,B 0,0,0 ,C a,0,0 , A 1 0,2,2 ，uuuv uuuv uuuv uuuv0,0,2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 BC a,0,0 , BA 10,2,2 , ACa, 2,0 , AA 1 分设平面 A 1BC 的一个法向量 n 1x, y, z ，uuuvuuuvn 1 得：由 BCn 1 , BA 1za，令 y 1 ，得 x 0, z1 ，则 n 10,1, 1 ．．．．．．．．．．．．10 分2 y 2z 0设直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角为，则，uuuv6g2uuuv得 sinAC n11，解得 a 22, 2,0 ，ACgn 1，即 AC6 4 a 222又设平面 A 1 AC 的一个法向量为 n 2 ，同理可得 n 3 1,1,0 ，设锐二面角 AA 1CB 的大小为，则coscos n 1, n 2n 1 g1，且0,，得，n 2n 1 n 2 223∴锐二面角 AA 1CB 的大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分32，∴ 20．解：（1）∵ g x3 a x2 a 2ln x ，∴ g x3 axg x 1 a ，．．．．．．．．2 分又 g 1 11 a 1 21，得 a2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分，∴ 1 0由 g x 3 2 2x 2 0 ，得 0 x 2 ，x x∴函数 g x 单一减区间为 0,2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分（2）因为 f x0在区间 0,1上恒成立不行能，2故要使函数 f x在 0,1 上无零点，只需对随意的 x 0, 1, f x 0 恒成立，22即对 x0,1,a22ln x恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分2x 1令 I x2 2ln x , x0,1，x 1221 2ln x2ln x22x则 I xxx 2x 2．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分1x 1再令 m x 2ln x2 2, x 0,1，x 22 22 1 x ，则 m xxx 2x 2故 m x 在 0,1上为减函数，于是 m x m12 2ln 2 0 ，22进而，故要使I x0 ，于是 I x 在 0,1 上为增函数，所以 I x I 12 4ln 2 ，22a 22ln x恒成立，只需 a2 4ln 2,，x 1综上，若函数 f x 在 0,1上无零点，则 a 的最小值为22 4ln 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分uvvx a,1 , f xuv v21．解：（1）∵ p x, m , qpgq 1，∴二次函数 f x x 2 ax m 1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分 对于 x 的不等式 f x2m 1 x1 m2 的解集为,0 U m 1,，也就是不等式 x 2a 1 2m xm 2 m 0 的解集为,0 U m 1,，∴ m 和 m 1 是方程 x 2 a 1 2m x m 2 m 0 的两个根，由韦达定理得： mm 1a 1 2m ，∴ a 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分（2）由（ 1）得 gf x x2 2x m 1m ，xx1x 1x 1x 1∴ x g x x ln x ln x 1m,x1m ，x1 xx 21∵存在一条与 y 轴垂直的直线和x 的图象相切，且切点的横坐标为 x 0 ，1mmx 0 1 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分∴ x 02x 0x 0 x 0 1∵ x 0 1 x 0 3 ，∴ x 02 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分令 h xx12 x 2 ，则 h x 11 x 1 x 1 ，xx 2x 2当 x 2 时， hx1x 1 x 10 ，12x 2x∴ h xx 12在 2,上为增函数，x进而 h x 0x 0 + 1 2 h 2 1，∴ m1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7 分x 022（3）x g x k ln x 1x 1m k ln x 1 的定义域为 1,，x 1∴x1mkx 22 k x k m 1x2x 1x 211方程 x 22 k x km 1 0 （* ）的鉴别式2 k 2 4 k m 1 k 24m ．①若 m 0 时，2kk 2 4m0 ，方程（ * ）的两个实根为 x 121，或2 kk 2 4m 1，x 22则 x 1, x 2 时， x0 ； xx 2 ,时，x 0 ，∴函数 x 在 1,x 2 上单一递减，在 x 2 ,上单一递加，此时函数x 存在极小值，极小值点为x 2 ,k 可取随意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分②若 m 0 时，当0 ，即 2m k 2m 时， x 22 k x km 1 0 恒成立，x0, x 在 1,上为增函数，此时x 在 1,上没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分下边只需考虑0 的状况，由 0，得 k2m 或 k 2 m ，当 k2 k k24m 2 kk 24m2 m ，则 x121, x221，故 x 1,时，x 0，∴函数x 在 1,上单一递加，∴函数x 没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当 k 22k k 24m2k k 24mm 时， x121, x221，则 x 1, x1时，x0; x x1, x2时，x0; x x2 ,时，x0 ，∴函数x 在 1,x1上单一递加，在x1 , x2上单一递减，在 x2 ,上单一递加，此时函数x 存在极大值和极小值，极小值点x2，有极大值点 x1．综上所述，若 m0 时， k 可取随意实数，此时函数x 有极小值且极小值点为x2；若 m 0 时，当k2m 时，函数x 有极大值和极小值，此时极小值点为x2，极大值点为 x1（此中x1 2 kk24m, x2 2 kk24m）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分2222．解：（1）由BC CD 可知，BAC DAC ，在ABD 中，则AB AD，所以 ABgMD AD gBM ；．．．．．．．．．．．．．5分BM DM（2）由CPgMD CBgBM ，可知CP BMCB MD ，又由（ 1）可知BM AB，MD AD则 CP AB，由题意 BAD PCB ，可得 BAD :PCB ，CB AD则 ADB CBP ，又 ADB ACB ，即 CBP ACB ，又 PB为圆O 的切线，则CBP CAB ，所以ACB CAB ，即AB AC ．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）已知曲线 C 的标准方程为x2y21，则其左焦点为2 2,0 ．124x2 22t与曲线C : x2y 2则 m 2 2 ，将直线l的参数方程2 1 联立，2124y t2得 t 22t 2 0 ，则FA gFB t1t22．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由曲线C的方程为x2y 21，可设曲线 C 上的定点P 2 3 cos ,2sin，124则以 P 为极点的内接矩形周长为4 2 3 cos2sin16sin0，32所以该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分1, x124．解：（1）令f x x1x22x 3,1x2，则1 f x1，1, x2因为x0 R 使不等式x1x2t 成立，有 t T t |t 1．．．．．．．．．．．．．．5 分（2）由（ 1）知，log3mglog3n 1，依据基本不等式 log3 m log3 n2log3 mlog 3 n 2 ，进而 mn 32，当且仅当m n 3 时取等号，再依据基本不等式 m n 2 mn 6 当且仅当m n 3 时取等号，所以 m n 的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。