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平行线分线段成比例一、知识要点1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或其延长线）所得对应线段的比相等.二、知识要点及典型例题精讲【知识要点1】——平行线分线段成比例定理若1l ∥2l ∥3l ，则;;AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF===. 例1 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3,则BF 等于 .【知识要点2】——平行线分线段成比例定理推论如果BC ∥DE ，则AD AE AB AC =;AD AE BD CE =;BD CE AB AC=. 例2 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC,若AD:AB=3：4 ，AE=6，则AC= .【随堂练习三】一、判断题1.三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）2.一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ）3.如图1，321////l l l ，则BFAE DF CE BD AC ==（ ） 4.如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BCDE EC AE DB AD ==（ ） 二、选择题图1 图21.如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是（ ）A ．EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BCDE DB AD = 2.如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 31=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．123.如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．164.如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3图65.如图7，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） A. 0.5 B. 2 C.32 D. 23 三、填空题 1.如图8， 则 ＝________， ＝________；2.如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________.3.如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝ . EG ＝________；4.如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________； DB ＝________.21//l l DE AD AC AB 图7 E D C B A 图3 B AC F DE 图4 图5 图11 图10 图9 图8四、解答题1.如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ， 若AB=6cm ，求AP 的值.2.如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ，求证：OA ：AN=OB ：MB3.如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．4.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ，求证：AF ·BD ＝ AD ·FD5.已知直线l 截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点，且AD=BE.求证：EF ：FD=CA ：CB.OP NMC B A。
平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理：两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．典型例题：例题1. ①如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().②如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF找准对应线段是关键.例2.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例3 如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB跟踪训练1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD DF =BC CE B ．BC CE =DF AD C ．CD EF =BC BE D ．CD EF =AD AF第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）A.18B.12C.9D.33.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶FB ＝( )A. 5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．5∶3 4.如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若=，DE =4，则EF的长是．第4题图 第5题图 5.如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝4，CN ＝1.5，则ND ＝______.6．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，BC AB =32，DE=6，则EF= ．第6题图 第7题图7.如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5cm ，则线段BF 的长为_________cm ． 8.如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，求AC 的长．9.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB=3，DE=27，EF=4，求BC ．10、如图，在ABC △中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ︰DC=3︰1， AE ︰EC=2︰3，DE 的延长线交BA 的延长线于F 点，求EF ︰ED的值。
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。
2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。
这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
For personal use only in study and research; not for commercial use
平行线分线段成比例
一．选择题（共15小题）
1．若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=8cm，则线段d的长为（）
A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则=（）
A．B．2 C．D．
3．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，若AO=3，BO=6，CO=2，则BD的长为（）
A．4 B．10 C．11 D．12
5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，则下列式子不正确的是（）
A．=B．=C．=D．=
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，若AH=2，HB=3，BC=7，DE=4，则EF等于（）
A．B．C．D．以上不对
7．如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，AC=4，
CE=6，BD=3，则BF的长为（）
A．B．C．6 D．
8．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n 分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，则的值应该（）A．等于B．大于C．小于D．不能确定
9．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）
A．3 B．6 C．9 D．12
11．如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，则DE：DF=（）
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5
12．如图，l1∥l2∥l3，若，DF=6，则DE等于（）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长（）
A．B．1 C．D．6
14．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）
A．12 B．9 C．8 D．4
15．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD：DB=3：1，AE=6，则AC等于（）
A．3 B．4 C．6 D．8
平行线分线段成比例
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=8cm，则线段d的长为（）
A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm
【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad=cb，
代入a=5cm，b=2.5cm，c=8cm，
解得：d=4．
故线段d的长为4cm．
故选：B．
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则=（）
A．B．2 C．D．
【解答】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴==．
故选：A．
3．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=5，AC=8，DF=12，
∴，
即，
可得；DE=6，
故选：B．
4．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，若AO=3，BO=6，CO=2，则BD的长为（）
【解答】解：∵AB∥CD，
∴=，
∵AO=3，BO=6，CO=2，
∴DO=4，
∴BD=4+6=10，
故选：B．
5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，则下列式子不正确的是（）
A．=B．=C．=D．=
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴=或=
∴=．
故选：D．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，若AH=2，HB=3，BC=7，DE=4，则EF等于（）
A．B．C．D．以上不对
【解答】解：∵AH=2，HB=3，
∴AB=AH+BH=5，
∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：EF=．
故选：C．
7．如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF的长为（）
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∵AC=4，CE=6，BD=3，
∴，
解得：DF=，
∴BF=BD+DF=3+=．
故选：B．
8．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n 分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，则的值应该（）A．等于B．大于C．小于D．不能确定
【解答】解：作AH∥n分别交b、c于G、H，如图，
易得四边形AGED、四边形AHFD为平行四边形，
∴HF=GE=AD=4，
∵直线a∥b∥c，
∴=，即==，
∴====+，
∴＞．
故选：B．
9．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，∵DE∥BC，=，
∴==，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：∵DE∥BC，
∴即
解得：EC=6．
故选：B．
11．如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，则DE：DF=（）
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC=DE：EF=3：2，
∴DE：DF=3：5，
故选：D．
12．如图，l1∥l2∥l3，若，DF=6，则DE等于（）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
【解答】解：设DE=x，则EF=6﹣x．
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
∴=，
∴x=3.6，
经检验：x=3.6是分式方程的解．
故选：C．
13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长（）
A．B．1 C．D．6
【解答】解：∵DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，
∴=，
∴=，
∴EC=，
故选：C．
14．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）
A．12 B．9 C．8 D．4
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，即，
解得，EF=8，
故选：C．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD：DB=3：1，AE=6，则AC等于（）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵AD：DB=3：1，
∴AD：AB=3：4，
∵DE∥BC，
∴，
∴AC=8，
故选：D．
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文。
