2018-2019苏教版高中数学苏教版必修五学案：1章末复习课

习题课正弦定理和余弦定理［学习目标］1•进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用 2提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3•初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、 向量有关的综合问 题•自主学习知识点一正弦定理及其变形a =b = csin A sin B sin C2. a = 2Rsin A , b = 2Rsin_B , c = 2Rsin C.（化边为角）3. sin A = 2R ，sin B= 2R ，sin C=2R.（化角为边） 知识点二余弦定理及其推论2 2 21.a = b + c — 2bccos A , cos A = 2•在△ ABC 中，c 2= a 2+ b 2? C 为直角，c 2>a 2+ b 2? C 为钝角；c 2<a 2+ b 2? C 为锐角.知识点三解三角形的几类问题和解法2R.穴訝•（边角互化）知识点四三角形内角的函数关系在厶ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C,则有(1) sin(A + B)= sin C, cos(A + B) = —cos C, tan(A+ B) = —tan C,A +BC A + B C(2) sin — = cos , cos 3 = sin -.歹题型探究题型一利用正弦、余弦定理解三角形或求值n 1 例 1 如图，在△ ABC 中，B= 3，, AB= 8，点D 在BC 边上，且CD = 2, cos/ ADC =f.3 7(1)求sin/ BAD;⑵求BD , AC的长.解⑴在厶ADC中，1 n因为cos/ ADC = 7，/ ADC € (0, 3),4伍所以sin / ADC = 47 ,所以sin / BAD = sin(/ ADC —B)=sin / ADC cos B —cos / ADC sin B =3 x1—1 ^3= g7 2 7 2 14 .(2)在厶ABD中，由正弦定理得在厶ABC中，由余弦定理得AC2= AB2+ BC2—2AB BC c os B=82+ 52—2 X 8 X 5 X ] 49,所以AC= 7. 重点突破AB sin/ BAD sin / ADB 8X讦144 .3=3.反思与感悟应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理当题目中出现多个三角形时，应注意弄清每一个三角形中的边角关系，并分析这几个三角形中的边角之间的联系•跟踪训练1 如图，在△ ABC中，已知点D在BC边上，AD丄AC, sin / BAC = 押，AB =33 2, AD = 3，贝U BD的长为 ________A答案3解析2\[2•/ sin/ BAC = sin(90 °/ BAD)= cos/ BAD =-^,3•••在厶ABD 中，有BD2= AB2+ AD2—2AB AD cos/BAD = 18 + 9-2 3 2 3 2^2 = 3.3• BD = 3.题型二判断三角形的形状例2 在厶ABC中，b= asin C, c= acos B，试判断厶ABC的形状.a2+ c2—b22 . 2 .2a + c —b代入c= acos B,得c= a •2ac所以c2+ b2= a2,所以△ ABC是以A为直角的直角三角形.又因为b = asin C,所以b = a c，所以b= c,a所以△ ABC也是等腰三角形.综上所述，△ ABC是等腰直角三角形.反思与感悟(1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化•但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定•(2)常用的几种转化形式：①若cos A= 0,贝y A= 90° △ ABC为直角三角形；②若cos A<0，则△ ABC为钝角三角形；③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，则△ ABC为锐角三角形；④若sin2A+ sin2B= sin2C,则C= 90 ° △ ABC 为直角三角形；⑤若sin A = sin B或sin(A—B)= 0，贝U A = B,A ABC为等腰三角形；⑥若sin 2A = sin 2B,则A= B或A+ B= 90°, △ ABC为等腰三角形或直角三角形•解由余弦定理知cos B=2ac4跟踪训练2 在厶ABC中，cos A= 4,且(a —2) : b : (c+ 2)= 1 : 2 : 3,试判断三角形的形状.5解由已知设 a —2= x,贝U b = 2x, c+ 2= 3x, 所以a= 2+ x, c= 3x—2,由余弦定理得cos A = 4x2+ 3x—2 2—x+ 2 2 = 5.4x(3x—2) 5解得x= 4,所以a= 6, b = 8, c= 10, 所以a2+ b2= c2,所以三角形为直角三角形.题型三正弦、余弦定理与交汇知识点的综合应用例3 在厶ABC中，a, b, c分别是角A, B, C的对边,3 f fcos B =匚，且AB BC=—21.5(1)求厶ABC的面积;⑵若a = 7,求角C.~f f f -f解⑴•/ AB BC=—21,「. BA BC= 21.二BA BC = |BA| |BC| cos B = accos B= 21.3 4•・ac = 35,T cos B =二，二sin B = 75 5'1 1 4•••S- AB C=尹csinB=2x 35 x4 =14.⑵T ac= 35, a = 7,「・c= 5.由余弦定理得，b2= a2+ c2—2accos B = 32,「. b = 4 2.由正弦定理得，一三=—毛.sin C sin Bc 5^4 2•-sin C= b sin B=忑x 4 = 2.c<b且B为锐角，•• C —定是锐角.• - C = 45°.反思与感悟对于向量与正弦、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系.跟踪训练3 已知△ABC的三内角A、B、C所对边长分别是a、b、c,设向量m= (a+ b, sin C), n= ( .3a+ c, sin B —sin A),若m// n，则角B 的大小为 ___________ .答案150°解析■/ m / n,「. (a + b)(si n B —sin A) —sin C(,3a+ c)= 0,由正弦定理有(a+ b)(b—a)= c( , 3a+ c),即a? + c? —b? = —\i'3ac,再由余弦定理，得 cos B =- -23 ,••• B = 150° 题型四有关创新型问题例4 已知x>0, y>0，且x 2- xy + y 2= 1，求x 2- y 2的最大值与最小值 解 构造△ ABC ，使 AB = 1, BC = x , AC = y , C = 60° 由余弦定理知 AB 2= AC 2+ BC 2-2AC BCcos C , • 1 = x 2 + y 2- xy ,即x , y 满足已知条件， 2 2 4 2 2 x - y = 3(sin A — sin B)2=3(1 — cos 2A - 1 + cos 2B) =3(cos 2B - cos 2A) 2=3【COS (240 — 2A) — cos 2 A] 2 3 .3=3( — 2cos 2A — ~2S in 2A)2^3s in (2A + 60 °).•/ 0°<A<120° ,• 60°<2A + 60°<300° , 当 2A + 60° = 90°时，x 2— y 2有最小值一3当 2A + 60° = 270°时，x 2— y 2 有最大值—^3. 反思与感悟 解答此类题目，我们可以根据条件， 构造三角形，利用正弦、 余弦定理将问题 予以转化.如本题中将x 2-y 2转化为三角恒等变换及y = Asin( 3x+©的值域的问题.跟踪训练4已知x 、y 均为正实数，且 x 2 + y 2- 3= xy ,求x + y 的最大值.解 构造△ ABC ，角A , B , C 的对边分别为x , y , £, C = 60°由余弦定理知 x 2 + y 2- 3 =xy ，即x 、y 满足已知条件.__ j= y =_ V3 =2'sin A = sin B = sin 60 =' • x = 2sin A , y = 2sin B ,• x + y = 2(sin A + sin B) =2[sin A + sin(120 一 A)]由正弦定理得 xsin A •x =竽sin A ,2 3 y =—in B=2(sin A+^cos A + gsi n A) [3 1=2 ,3(亍sin A + 2cos A) =2 3sin(A + 30°.••• 0°<A<120° , A 当 A = 60°时，x + y 有最大值 2^3.尹当堂检测1•在钝角厶ABC 中，a = 1, b = 2,则最大边c 的取值范围是 ____________ . 答案5< c v 3解析 在钝角△ ABC 中，由于最大边为 c ,所以角C 为钝角.所以c 2>a 2+ b 2= 1 + 4 = 5,即 c > .瓦 又因 c < a + b = 1 + 2= 3,所以< c < 3.2•在△ ABC 中，若c = 2acos B ，则△ ABC 的形状一定是 _________ 三角形. 答案等腰 解析•/ c = 2acos B ，由正弦定理得2cos Bs in A = sin C = si n(A + B),A sin AcosB — cos Asin B = 0,即 sin(A — B)= 0, 又•.•一 n<— B< n,A A —B = 0 ,A A = B.•••△ ABC 是等腰三角形.3.已知△ ABC 的三边长分别为 AB = 7, BC = 5, AC = 6.则AB BC 的值为 ___________ 答案 -19 解析由余弦定理的推论知:所以 A B BC = |AB| |BC| • cos -ft )=7x 5X (— 3!)= — 19.x/3 c4.在△ ABC 中，B = 60 ° a = 1, S^BC =，则一2 sin C答案 2A c = 2,自查自cos B = AB 2+ BC 2- AC 22AB BC 1935.解析ABC= ^acsin B = 1 c 于2 2 2 1 ••• b2= a2+ c2—2accos B = 1 + 4—2 1 •(㊁)=3,- c b 3^--b= 3，… =' =^~= 2. u sin C sin B 电2a b c三角形•5. 在△ ABC 中，若-O-T=二77 =二TC，则△ ABC 是cos A cos B cos C ------------答案等边a b解析■/= , • sin Acos B—sin Bcos A = 0,cos A cos B•si n(A —B)= 0,•/ A, B€ (0, n, • A—B € (— n, n )•- A —B= 0 ,• A= B.同理B = C,「. A= B= C,•△ ABC为等边三角形.「课堂那结------------------------------------ 11•判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形（如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等）•对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论2•解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解•。

课题正弦定理江苏省木渎高级中学朱晓祥苏教版必修5第一章【教学目标】1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解斜三角形的两类根本问题．2．让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、推导、比拟，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理根本应用的实践操作．3．培养学生合情推理探索数学规律的数学能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一．【教学重点与难点】重点：正弦定理的探索、证明及其根本应用．难点：正弦定理应用中“两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数〞，以及逻辑思维能力的培养．【教学过程】一、问题情境问题1．某人站在河岸边点A位置，如何测量出其到对岸B处的距离？〔备用工具：测角仪、皮尺〕问题2．如何验证两个三角形全等？何谓三角形全等？问题3．直角三角形中有哪些边角关系？问题4．上述结论，对任意三角形也成立吗？〔几何画板演示〕二、建构数学[建构概念]设分别表示中角所对边的长，那么．问题5．如何证明该结论？[理解定义]〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一个正数．〔2〕每个等式可视为一个方程，知三求三．〔3〕由三角形六个元素中的三个元素〔至少有一个是边〕求其余三个未知元素的过程，称为解三角形．〔4〕如无特别说明，分别表示中角所对边的长．三、数学应用例1．在中，，，，求角和边．例2．在中，，，，求角和边．变式1：在中，，，，求角和边．变式2：在中，，，，求角和边．四、反思提炼1．利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：〔1〕两角和任意一边，求其它两边和一角；〔2〕两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其它的边和角．2．三角形全等给我们的启示．3 两边和其中一边的对角，三角形在什么情况下有一解，两解，无解？。

总 课 题不等式 总课时 第28课时 分 课 题不等式专题复习 分课时 第 1 课时 引入复习1．练习：（1）函数2231x x y --=的定义域为_________________；（2）比较大小：122-_________________310-；（3）已知}01|{>+=x x M ，}011|{>-=x x N ，则=⋂N M _________________； （4）不等式031>--x x 的解集是_________________； （5）方程05)2(2=++++m x m x 有两个正根，则m 的取值范围是_______________；（6）已知00>>>x b a ，，那么xa xb ++的取值范围是________________________； （7）已知b a ，都是正数，4=ab ，则b a +的最小值是_________________；（8）若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最_____值____________； （9）已知1log log 1122=⋅ >>b a b a ，，，则ab 的最小值是_____________； （10）现有含盐%7的盐水，若通过加入含盐%4的盐水xg ，制成生产上需要的含盐%5以上，%6以下的盐水，则x 的取值范围是__________________________． 例题剖析已知c b a >>，求证：ca cb b a -≥-+-411．解关于x 的不等式：)(12R a a x ax ∈ +<-．例3 证明不等式：（1）若00>>b a ，，且b a ≠，则3322b a b a ab +<+；（2）若b a ，是实数，且b a ≠，则4433b a b a ab +<+；（3）把（1）和（2）中的不等式推广到一般情形，并证明你的结论．例1 例2巩固练习1．已知00>>b a ，，则222b a +与2b a +的大小关系是222b a +_______2b a +． 2．已知0>ab ，那么a b b a +________2；已知0<ab ，那么ab b a +________2-； 3．函数θθθcos 2cos )(+=f ，)22(ππθ -∈，，则)(θf 的最小值为____________． 4．函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示． （1）方程0)(=x f 的解集是__________________________；（2）不等式0)(<x f 的解集是________________________； （3）不等式0)(>x f 的解集是________________________．5．甲、乙两同学分别解“)1[∞+ ∈，x ，求函数122+=x y 的最小值”的过程如下： 甲：x x x y 221221222=⋅≥+=，又1≥x ，所以2222≥x ． 从而2222≥≥x y ，即y 的最小值是22．乙：因为122+=x y 在)1[∞+ ，上单调递增，所以y 的最小值是31122=+⨯．试判断谁错？错在何处？yx 2 1 O －1课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=， 试比较R Q P ，，的大小．2．已知数列}{n a 的通项公式902+=n n a n ，+∈N n ，则数列中最大项是第_______项．3．若直角三角形两条直角边的和等于10，则当该直角三角形面积最大时，斜边的长是________________________．二 提高题4．求函数)0(432> --=x x x y 的最大值．5．已知关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 有两个根，且一个根比1小，另一个根比1大，求实数a 的取值范围．三 能力题6．设不等式x x ax ax 424222+<-+对任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围．7．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围．。

3.1 不等关系1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．会用不等式(组)表示不等关系．(重点) 3．会比较数(或式)的大小．(难点)[基础·初探]教材整理 不等关系阅读教材P 73～P 74，完成下列问题．在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．1．人类能听到的声音频率x 不低于80 Hz 且不高于2 000 Hz ，用不等式表示为________．【解析】 “不低于80 Hz ”即“≥80 Hz ”；“不高于2 000 Hz ”即“≤2 000 Hz ”．【答案】 80 Hz ≤x ≤2 000 Hz2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不高于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．【答案】 ⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【精彩点拨】 总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．【自主解答】 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.用不等式表示不等关系的注意事项1．利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．2．在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．[再练一题]1．一个两位数，个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．【解析】 该两位数为10b ＋a ，由题意可知10b ＋a >50. 【答案】 10b ＋a >506 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【精彩点拨】【自主解答】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎨⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎨⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步．(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意． (3)要将所有不等关系都表示为不等式．[再练一题]2．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，写出L 与W 的关系．图3-1-1【解】 由题意，得⎩⎨⎧(L ＋10)(W ＋10)＝350，L >4W ，L >0，W >0.[探究共研型]探究1 如果<b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？【提示】 若a >b ，则a －b >0，反之也成立； 若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立； 若a <b ，则a －b <0，反之也成立． 探究2 若a >b ，则ab >1吗？反之呢？【提示】 若a >b ，当b <0时，a b <1，即a >bD ⇒\ab >1； 若a b >1，则ab －1>0，即a －b b >0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0， 即ab >1D ⇒\a >b ，反之也不成立．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【精彩点拨】 ―x <1【自主解答】 x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x <1，∴x －1<0， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x .1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤： ①作商变形； ②与1比较大小； ③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围： ①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．[再练一题]3．若m >2，比较m m 与2m 的大小． 【解】 ∵m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m，又m >2，∴m2>1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >⎝ ⎛⎭⎪⎫m 20＝1， ∴m m >2m .[构建·体系]1．用不等式表示a 与b 的平方和是非负数，应为________．【解析】 a 与b 的平方和应表示为a 2＋b 2，非负数即≥0，故a 2＋b 2≥0. 【答案】 a 2＋b 2≥02．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为________．【解析】 由题意可知v ≤120，d ≥10，即⎩⎨⎧v ≤120，d ≥10.【答案】 ⎩⎨⎧v ≤120，d ≥103．b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)，若再添上m g 糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为________.【导学号：91730050】【解析】 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． 【答案】 a ＋m b ＋m >ab4．已知m ＝x 2＋2x ，n ＝3x －2，则m 与n 的大小关系是________． 【解析】 ∵m －n ＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴m －n >0，∴m >n . 【答案】 m >n5．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？【解】设软件数为x ，磁盘数为y ，由题意得⎩⎨⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，y ≥2且y ∈N .我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A 容器不小于B 容器的容积．若前一个量用a 表示，后一个量用b 表示，则上述事实可表示为________；________；________.【答案】 a <b a >b a ≥b2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为________.【导学号：91730051】【解析】 “限重”即不超过的意思，即T ≤40. 【答案】 T ≤403．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．【解析】 “不低于”即≥，“高于”即>， “超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.【答案】⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >454．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．【答案】⎩⎨⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”设身高为h (米)，请用不等式表示下表中的不等关系身高超过1.5米可表示为h >1.5， 身高不足1.2米可表示为h <1.2. 【答案】 1.2≤h ≤1.5 h >1.5 h <1.26．若a∈R，则a1＋a2与12的大小关系是________．【解析】∵a1＋a2－12＝2a－1－a22(1＋a2)＝－(a－1)22(1＋a2)≤0，∴a1＋a2≤12.【答案】a1＋a2≤127．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过 2 200 km，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．【解析】如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为8xx－12，因此，不等关系“它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式8xx－12>9来表示．【答案】8(x＋19)>2 2008xx－12>98．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．【解析】∵A＝n－n－1＝1n＋n－1，B＝n＋1－n＝1n＋1＋n，∵0<n＋n－1<n＋1＋n，∴A>B.【答案】A>B二、解答题9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，根据题意需用不等式组来表示，则有⎩⎨⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ∈N *，y ∈N *，即⎩⎨⎧5x ＋6y ≤40，3x ≥y ，x ∈N *，y ∈N *.10．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 【解】 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．[能力提升]1．已知a ≠0，b ≠0，且a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________． 【解析】a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2 ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，a 2b 2>0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 【答案】 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b2．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为________.【导学号：91730052】【解析】 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1,百度百度 此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .【答案】 M >N3．如图3-1-2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示出来________．(1) (2)图3-1-2【解析】 (1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S 1＝12a 2＋12b 2＝12(a 2＋b 2)，(2)的面积S 2＝ab ，所以有12(a 2＋b 2)>ab .【答案】 12(a 2＋b 2)>ab4．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．【解】 依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <1，47＋47k ＋47k 2≥1，(k ∈N *)．。

1.1 正弦定理2教学目标：1.会熟练应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；2．初步掌握正弦定理的变形形式，并会应用教学重点、难点：正弦定理及应用教学过程：一、复习回顾1、正弦定理：正弦定理的变形形式（1）a= ；b= ；c=（2）=A sin =B sin =C sin（3）=C B A sin :sin :sin2、正弦定理可以解哪两类三角形问题3、练习：（1）在△ABC 中，已知010,30a c A ===，则B= _______________（2）在△ABC 中，已知a=3，b=6，A=600，则B= _______________ 三、数学运用例1【例1】根据下列条件，判断△ABC 的形状（1）222sin sin sin A B C +=，（2）cos cos a A b B =，解题小结： 练习：1． △ABC 中，tan sin tan sin A A B B =，则三角形 为例2、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，用正弦定理证明：AB BD AC DC =练习：在△ABC 中，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线与D ，用正弦定理证明：AB BD AC DC =在△ABC 中，若3:2:1::=C B A ，求c b a ::在△ABC 中，若6:5:4sin :sin :sin =C B A ，周长为30，求三边长。

在△ABC 中，若135cos ,54cos ==B A ，求c b a :: 在△ABC 中，若c a b B +==2,600，判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，,5:3:1::=c b a 求CB A sin sin sin 2- 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，已知43cos cos ,10===b a A B c ，求b a, 课后练习1．在△ABC 中，060A =，a =sin sin sin a b c A B C++=++ 2．若△ABC 中，cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 是 三角形 ．3.在△ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-- 证明：△ABC 是等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若cos cos cos 222ab c A B C ==，则△ABC 为正三角形；(4)若A a sin =B b cos =Cc cos ，则△ABC 为等腰直角三角形． 以上正确命题的个数是_____四、课堂小结五、作业书第11页第5题。

苏教版高中数学必修5全部教案【精美整理版】目录第一章解三角形 (1)第1课时正弦定理（1） (1)第2课时正弦定理（2） (3)第3课时正弦定理（3） (7)第4课时余弦定理（1） (10)第5课时余弦定理（2） (13)第6课时余弦定理（3） (16)第7课时正、余弦定理的应用（1） (20)第8课时正、余弦定理的应用（2） (24)第9课时解三角形复习课 (27)(1)、(2) (27)第二章数列 (34)第1课数列的概念及其通项公式 (34)第2课时数列的概念及其通项公式 (37)第3课时等差数列的概念和通项公式 (40)第4课时等差数列的概念和通项公式 (44)第5课时等差数列的概念和通项公式 (47)第6课时等差数列的前n项和（1） (50)第7课时等差数列的前n项和（2） (54)第8课时等差数列的前n项和（3） (59)第9课时等比数列的概念和通项公式 (63)第10课时等比数列的概念和通项公式 (67)第11课时等比数列的概念和通项公式 (70)第12课时等比数列的 (74)前n项和(1) (74)第13课时等比数列的 (77)前n项和(2) (77)第14课时等比数列的 (82)前n项和(3) (82)第15、16课时数列复习课(2课时) (87)第三章不等式 (100)第1课时不等关系 (100)第2课时一元二次不等式(1) (104)第3课时一元二次不等式(2) (110)第4课时一元二次不等式(3) (114)第5课时一元二次不等式应用题 (118)第6课时二元一次不等式表示的平面区域 (120)第7课时二元一次不等式组表示的平面区域 (124)第8课时简单的线性规划问题 (128)第9课时线性规划应用题 (131)第10课时基本不等式的证明(1) (135)第11课时基本不等式的证明(2) (139)第12课时不等式的证明方法 (142)第13课时基本不等式的应用（1） (145)第14课时基本不等式的应用(2) (148)第15课时不等式复习课 (151)本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］ (157)听课随笔第一章 解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫【重点难点】重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

听课随笔第1章 解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.1 正弦定理 第1课时【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________； （2）_________________________________________________________________【精典范例】 【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 【解】【例2】根据下列条件解三角形： （1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 【解】追踪训练一1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（ ）A )13(5-B )13(5+C 10D )26(5+2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，听课随笔32sin =B ，则A sin = （ ） A 43 B 61C 21D 13．在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c .4．根据下列条件解三角形： （1）40=b ，20=c ，025=C ； （2）13=b ，26=a ，030=B 。

苏教版高二数学必修5全套学案§1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又，从而在直角三角形ABC中，．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则，同理可得，从而．类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即．试试：（1）在中，一定成立的等式是（）．A．B.C.D.（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如；．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※典型例题例1.在中，已知，，cm，解三角形．变式：在中，已知，，cm，解三角形．例2.在．变式：在．三、总结提升※学习小结1.正弦定理：2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※知识拓展，其中为外接圆直径.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在中，若，则是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶D．2∶2∶3.在△ABC中，若，则与的大小关系为（）.A.B.C.≥D.、的大小关系不能确定4.已知ABC中，，则=．5.已知ABC中，A，，则=．课后作业1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．2.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，求实数k的取值范围为．§1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．复习2：在△ABC中，已知，，，解此三角形．。

学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的联系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想在不等式中的应用．
知识点一一元二次不等式的概念
思考我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么你能写出不等式x2>1的解集吗？
梳理(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做________________不等式．
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．
(3)不等式所有解的________称为解集．解不等式的任务是求解集．
知识点二“三个二次”的关系
思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．。

章末分层突破[自我校对]①分式不等式的解法②选点法③一正、二定、三相等_________________________________________________ _________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.(1)一化：化二次项系数为正数．(2)二判：判断对应方程的根．(3)三求：求对应方程的根．(4)四画：画出对应函数的图象．(5)五解集：根据图象写出不等式的解集．2．含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的形如a(x－x1)(x－x2)的形成时，往往需要对其根分x1>x2，x1＝x2，x1<x2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．解不等式：a(x－1)x－2>1(a≠1)．【精彩点拨】先化分式不等式为整式不等式，再就a的取值讨论不等式的解法．【规范解答】 原不等式可化为a (x －1)x －2－1>0， 即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0，(*) 当a >1时，(*)即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0， 而a －2a －1－2＝－1a －1－1<0. ∴a －2a －1<2，此时，x >2或x <a －2a －1. 当a <1时，(*)即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)<0， 而2－a －2a －1＝aa －1. 若0<a <1，则a －2a －1>2，此时2<x <a －2a －1； 若a ＝0，则(x －2)2<0，此时无解； 若a <0，则a －2a －1<2，此时a －2a －1<x <2.综上所述：当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a －2a －1或x >2； 当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2<x <a －2a －1； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1<x <2. [再练一题]1．解不等式x 2－2ax ＋2≤0.【解】 对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a <2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a>2或a<－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a ＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.1.(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一族平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A,1 t B产品需要的各种原料数，可得到的利润以及工厂现有各种原料数如下表：(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【精彩点拨】 先用二元一次不等式组表示约束条件，并画出可行域，再利用图解法求最优解．【规范解答】(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.[再练一题]2．实数x ，y满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是________.【导学号：91730074】【解析】 连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W <1.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22解“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等方法，构造定值成立的条件，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．设函数f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．【精彩点拨】 (1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解．【规范解答】 (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋a x ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1. ∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时，f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋a x ＋1－1，若x ＋1＋a x ＋1≥2a ， 则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号， 此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到． 设x 1>x 2≥0， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a (x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>x 2≥0，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>1，x 2＋1≥1， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>1，而0<a <1， ∴a(x 1＋1)(x 2＋1)<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (0)＝a . [再练一题]3．东海水晶制品厂去年的年产量10万件，每件水晶产品的销售价为100元，从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本投入n 关系g (n )＝80n ＋1，若水晶产品销售价格不变，第n 次投入后的平均利润为f (n )万元．(1)求f (n )；(2)从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解】 (1)第n 次投入后，产量10＋n 万件，售价100元，固定成本80n ＋1元，科技成本投入100n 万元，∴f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)， 当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润520万元． 答：从今年算起第8年利润最高为520万元.的取值范围，经常采用分离参数的方法，转化为字母参数与函数的最值关系问题．对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种： 1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．2．分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ； 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . 3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．若x 2－2ax ＋2≥a 在x ∈[－1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．【精彩点拨】 可联系二次函数，利用对称轴与所给区间的关系讨论a ，也可结合二次函数的图象构造a 的不等式组．【规范解答】 法一：设f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .(1)当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝(－2a )2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ>0，a ≤－1，g (－1)≥0，解得－3≤a ≤1. [再练一题]4．若关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2对任意的x 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 法一：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴4x ＋mx 2－2x ＋3<2等价于2x 2－8x ＋6－m >0，要使2x 2－8x ＋6－m >0恒成立，则只需要Δ<0， 即64－8(6－m )<0，∴m <－2， ∴m 的取值范围是m <－2.法二：结合法一，不等式2x 2－8x ＋6－m >0对任意的x 恒成立，则只需m <2x 2－8x ＋6对任意的x 恒成立，∵2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴2x 2－8x ＋6在x ∈R 上的最小值为－2，∴m <－2.1．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______． 【解析】 ∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 【答案】 {x |－1＜x ＜2}()或(－1，2)2．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.【答案】 323．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．【解析】 因为x y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y x ＝4y 2－x 22xy .又x >0.y >0，故x y ＋(2y x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．【答案】24．(2016·浙江高考改编)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.【解析】 作出可行域，如图所示．由⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y ＝0 得A ′(2，－2)． 由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －3y ＋4＝0 得B ′(－1,1)．由于直线x ＋y ＝0与直线x ＋y －2＝0平行，所以可行域中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影AB 的长度|AB |＝|A ′B ′|＝32＋(－3)2＝3 2.【答案】 3 25．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．【解析】 根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，那么a ＋b ＝________.【解析】 因为x 2－2x －3<0的解集为A ＝{x |－1<x <3}，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ＝{x |－3<x <2}，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ＝{x |－1<x <2}，所以x 2＋ax ＋b ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝2.由根与系数的关系，得a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.【答案】 －32．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．【答案】 216 0003．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是________． ①y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0；②y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4(x 为锐角)；③已知ab ≠0，a b ＋ba ≥2ab ·b a ＝2；④y ＝3x ＋43x ≥23x ·43x ＝4.【解析】 ①错，右侧不为定值；②错，sin x ＝4sin x ，则sin x ＝2>1；③错，a b 与ba 为负时不成立．【答案】 ④4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b .这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b2的大小关系为________.【导学号：91730075】【解析】 由题意可知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )≤A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a ＋b 22，∴x ≤a ＋b 2. 【答案】 x ≤a ＋b25．(2016·南京高二检测)若0≤x ≤1,0≤y ≤2，且2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为________．【解析】由已知作出可行域(如图)， 由z ＝2y －2x ＋4，得y ＝x －2＋z 2， 当x ＝1，y ＝1时，z min ＝4. 【答案】 46．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋116，x ∈R ，则M ，N 的大小关系为________．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4， 此时a －2＝1，a ＝3， 而2<a <3，则M >4，N ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋116≤log 12116＝4，∴M >N . 【答案】 M >N7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是________．图1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3.【答案】 －38．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．(1)6.5 m ；(2)6.8 m ；(3)7 m ；(4)7.2 m.【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．【答案】 (3)9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是________．【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，解得⎩⎨⎧m 2≥16，m >－5，⇒－5<m ≤－4，m <－2故答案为(－5，－4]． 【答案】 (－5，－4]10．已知等比数列{a n }各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 2＋a 92，Q ＝a 4a 7，则P 与Q 的大小关系是________．【解析】 ∵{a n }是等比数列， ∴a 2·a 9＝a 4·a 7， ∴a 2＋a 92≥a 2a 9＝a 4a 7. 又q ≠1，∴a 2≠a 9， ∴a 2＋a 92>a 4a 7， ∴P >Q . 【答案】 P >Q11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．【解析】 f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.【答案】 (－1,3)12．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．【解析】 由题意知y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz＋32＝32＋32＝3，当且仅当x 2＝9z 2时等号成立， 所以y 2xz 的最小值为3.【答案】 313．(2016·苏州高二检测)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是________.【导学号：91730076】【解析】 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)， 则f (x ＋2)<5可化为f (|x ＋2|)<5，即|x ＋2|2－4|x ＋2|<5， (|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)<0，所以|x ＋2|<5，解得－7<x <3，所以不等式f (x ＋2)<5的解集是(－7,3)． 【答案】 (－7,3)14．设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y ＝－15x ＋z 5，显然当y ＝－15x ＋z5过点A 时取到最大值．此时z ＝4，即y ＝－15x ＋45. 由⎩⎨⎧x ＋5y ＝4，y ＝x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23代入y ＝mx 得，23m ＝23，∴m ＝1. 【答案】 1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)解关于x 的不等式：x －ax －a 2<0(a ∈R )． 【解】 原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0. (1)当a ＝0时，原不等式为x 2<0， ∴x ∈∅.(2)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2<0， ∴x ∈∅.(3)当0<a <1时，a >a 2，∴原不等式的解集为{x |a 2<x <a }． (4)当a <0或a >1时，a 2>a ， ∴原不等式的解集为{x |a <x <a 2}．综上，当a ＝0或a ＝1时，不等式解集为∅； 当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }； 当a <0或a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}．16．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．【解】 (1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎨⎧k <0，k >66或k <－66，所以k <－66.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66.17．(本小题满分14分)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求z ＝x －2y 的最大值．【解】 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集点，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)平移直线y ＝12x －z2，所以当直线过点()3，－3时z 值最大．所以z max ＝3－2×(－3)＝9.18．(本小题满分16分)(2016·江苏高考改编)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，求tan A tan B tan C 的最小值．【解】 在锐角三角形ABC 中， ∵sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .∴tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①∵A ，B ，C 均为锐角，∴tan B tan C －1>0，∴tan B tan C >1. 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C >1得tan Atan A －2>1，∴tan A >2.∴tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝(tan A －2)2＋4(tan A －2)＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8.19．(本小题满分16分)规定：max(a ，b ，c )与min(a ，b ，c )分别表示a ，b ，c 中的最大数与最小数，若正系数二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，试证：(1)max(a ，b ，c )≥49f (1)； (2)min(a ，b ，c )≤14f (1)．【证明】 由题意知a ，b ，c >0，f (1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac ≥0. (1)若b ≥49f (1)，结论显然成立； 下面证明当b <49f (1)时，结论也成立．记f (1)＝a ＋b ＋c ＝d .，由b 2－4ac ≥0，可知ac ≤b 24<481d 2，而a ＋c ＝d －b >59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a (a ＋c )>59ad ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －19d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －49d >0，解得a <19d 或 a >49d .若a <19d ，则a ＋c >59d ，c >49d . 因此，必有a >49f (1)或b >49f (1)或c >49f (1)，于是max(a ，b ，c )≥49f (1)． (2)若a ≤14f (1)，结论显然成立； 下面证明当a >14f (1)时，结论也成立． 因为b ＋c ＝d －a <34d 且b 2≥4ac >cd ， 所以c ＋cd <c ＋b <34d ， 整理为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －12d <0，解得c <14d .因此，必有a ≤14f (1)或c <14f (1)，于是min(a ，b ，c )≤14f (1)．20．(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由． (2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元，(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？【解】 (1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13，由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝12(a 1＋a 13)，b 7＝b 1·b 13，因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，从而a 7＝12(a 1＋a 13)>a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P (n )＝32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n＝32 000＋49n 10＋n (n ＋1)20n＝32 000n ＋n 20＋9920≥232 000n ×n 20＋9920＝1 69920(元)，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2.【答案】22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26， ∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q >0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12. 【答案】 123．设x >0，y >0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy ≥4；②(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2. 【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立． 【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________． 【解析】 由a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，可知a 4＋a 7＝±3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 4＋a 7)2＝±15.【答案】 ±155．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知， (3a －3)(－a ＋3)>0， 即(a －1)(a －3)<0， ∴1<a <3. 【答案】 (1,3)6．已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 【解析】 x 2－4ax －5a 2>0，即(x －5a )(x ＋a )>0， 而方程(x －5a )(x ＋a )＝0的根为x 1＝－a ，x 2＝5a .∵2a ＋1<0，则a <－12，∴－a >5a ，∴原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }． 【答案】 {x |x <5a 或x >－a }7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 由已知可知b 2＝ac . 又c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 348．(2016·南通高二检测)已知数列1，a 1，a 2,4等差数列，且实数列1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________.【导学号：91730077】【解析】 ∵a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4，但b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52.【答案】 529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1. 【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．【解析】 观察数列{a n }可知，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝4n n ＋1. 【答案】4nn ＋112．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________.【导学号：91730078】【解析】 ∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域[0，＋∞)，∴a >0， 且4ac －14a ＝0， ∴ac ＝14，∴c >0，∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c ≥2c a ·ac ＋24ac ＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c时取等号．【答案】 1013．(2016·南京高二检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取得“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【答案】314．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.【解析】 根据等比数列的通项公式 S n ＝a 1(1－q n )1－q，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q ⎝⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17，令q n＝(2)n＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2017.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝－n ，∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，∴1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. ∴T 2 017＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝－2 0171 009.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)，∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)． ∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800， 即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分16分)设不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f (n )(n ∈N *)．(1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)设b n ＝2n f (n )，S n 为{b n }的前n 项和，求S n . 【解】 (1)f (1)＝3，f (2)＝6.当x ＝1时，y ＝2n ，可取格点2n 个； 当x ＝2时，y ＝n ，可取格点n 个， ∴f (n )＝3n .(2)由题意得：b n ＝3n ·2n ，S n ＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ， ∴2S n ＝3·22＋6·23＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －3n ·2n ＋1＝3(2＋22＋…＋2n )－3n ·2n ＋1 ＝3·2－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝3(2n ＋1－2)－3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝(3－3n )2n ＋1－6， ∴S n ＝6＋(3n －3)2n ＋1.20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x (x －1)2×2－50(0<x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N )， 由－x 2＋20x －50>0， 解得10－52<x <10＋52， 而2<10－52<3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x [y ＋(25－x )] ＝1x (－x 2＋19x －25) ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，.当且仅当x＝5时取得等号，即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．。