下载文档原格式
第三节集合的基本运算知识清单1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集．记作：B A ，读作：“A 并B ”，即}{B x A x x B A ∈∈=，或 ．2.交集一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集．记作：B A ，读作：“A 交B ”，即}{B x A x x B A ∈∈=，且 ．3.补集一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及到的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．对于一个集合A ，由全集U 中所有不属于A 的元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作A C U ，即}{A x U x x A C U ∉∈=，且．4.图示表达交集并集补集AC U }{B x A x x B A ∈∈=，且 }{B x A x x B A ∈∈=，或 }{A x U x x A C U ∉∈=，且5.一些常见结论（1）A B A = 或B B A = B A ⊆⇒（2）B B A = 或A B A = A B ⊆⇒（3）BA B A =BA =⇒（4）BC A C B A C U U U =)(BC A C B A C U U U =)(题型训练题型一集合的并集、交集运算1．已知集合}0)2({}11{≤-=<<-=x x x B x x A ，，则B A 等于（）A ．}21{≤<-x x B ．}10{<≤x x C ．}10{<<x x D ．}20{≤≤x x 2．已知集合}311{，，-=A ，}23{N x x x B ∈≤<-=，，则集合B A 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知集合}2){(=+=y x y x M ，，}2){(=-=y x y x N ，，则集合=N M （）A ．}02{，B ．)02(，C ．)}02{(，D ．}02{==y x ，4．已知集合}32012{，，，，--=A ，}1{2A x x y y B ∈-==，，则B A 中元素的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知}054{}42{}621{2≤--===x x x C B A ，，，，，，则=C B A )(6．已知集合}1{-==x y x A ，}1{-==x y y B ，则=B A 题型二集合的补集、综合运算7．已知全集}32{<-∈=x z x U ，}32{2<-∈=*x x N x A ，则=A C U （）A ．}21{，B ．}43{，C ．}210{，，D ．}430{，，8．已知全集}10{R x x x U ∈≤=，，}33{≤≤-=a a M ，}5{-≤=b b N ，则=)(N M C U （）A ．}10335{<<-<<-x x x 或B ．}335{>-<<-x x x 或C ．}10335{≤<-<<-x x x 或D ．}10335{<<-≤≤-x x x 或9．已知全集}43210{，，，，=U ，集合}3210{，，，=A ，}432{，，=B ，则=B C A C U U 10．已知全集R U =，集合}04{2≤-=x x M ，则=M C U 11．设全集}42{}54321{，，，，，，===N C M N M U U ，则=N 12．已知全集R U =，集合}032{}43{2>--=≤≤-=x x x B x x A ，．（1）求B A ，B A ；（2）求B A C U )(，)(B A C U ．题型三Venn 图的运用13．设全集I 是实数集R ．}22{-<>=x x x M 或与}31{<<=x x N 都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A ．}2{<x xB ．}12{<≤-x xC ．}21{≤<x xD ．}22{≤≤-x x 14．如图，U 是全集，S P M 、、是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．S P M )(B ．SP M )(C ．S C P M U )(D ．SC P M U )(15．如图，I 为全集，S P M 、、是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．SP M )(B ．S C P M I )(C ．S C P M I )(D ．SC P M I )(16．设P M ，是两个非空集合，定义M 与P 的差集为}{P x M x x P M ∉∈=-，且，则)(P M M --等于（）A ．PB ．PM C ．PM D ．M17．经调查，我班70名学生中，有37名喜欢语文，49名喜欢数学，两门都喜欢的有20名，则两门都不喜欢的学生有名．18．某班50人在一次考试中对C B A ，，三道题的作答情况如下：答错A 者17人，答错B 者15人，答错C 者11人，答错B A ，者5人，答错C A ，者3人，答错C B ，者4人，C B A ，，都答错的有1人，则C B A ，，都答对的有人．题型四由集合运算求参数19．已知集合}1{}20{2a B a A ，，，，==，若}164210{，，，，=B A ，则=a 20．已知集合}91{}412{2，，，，，+=+=x x B x x A ，若}9{=B A ，则=B A 21．已知集合}42{≤≤-=x x A ，}{a x x B ≤=，若A B A = ，则a 的取值范围是，若A B A ≠ ，则a 的取值范围是22．已知集合}11{+<<-=a x a x A ，}045{2≥+-=x x x B ，若∅=B A ，则a 的取值范围是，若∅≠B A ，则a 的取值范围是23．已知集合}02{}31{2=+-==b ax x x B A ，，，若∅)(B A 且A B A = ，求b a ，．24．已知集合}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}082|{2=-+=x x x C ，若∅≠B A 且∅=C A ，求a 的值．25．已知集合}05)1(2{}023{222=-+++==+-=a x a x x B x x x A ，．（1）若}2{=B A ，求a 的值；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.26．已知集合}121{},43{+≤≤-=≤≤-=m x m x B x x A .（1）若B B A = ，求m 的取值范围；（2）若∅=B A ，求m 的取值范围.综合训练1．已知全集Z U =，集合}102{Z x x x A ∈≤≤-=，，}82{N x x x B ∈≤≤-=，，则集合B C A U 中的元素个数为（）A ．7B ．6C ．5D ．42．已知全集}4321{，，，=U ，集合}034|{2=+-=x x x M ，集合}065|{2=+-=x x x N ，则集合=)(N M C U （）A ．}4{B ．}21{，C ．}421{，，D ．}431{，，3．定义差集}{B x A x x B A ∉∈=-，且，现有三个集合C B A 、、分别用圆表示，则集合)(B A C --可表示下列图中阴影部分的为（）A ．B ．C ．D ．4．设集合}20{}31{}24{≥≤=<≤-=<≤-=x x C x B x x A 或，，，则=B C A )(5．定义}2{B y A x y x z z B A ∈∈+==*，，，若}21{}321{，，，，==B A ，则=*B A 6．已知}15{的正奇数不大于=U ，集合}155{，=N M ，J 集合}133{)()(，=N C M C U U ，集合}71{)(，=N C M U ，则集合=M ，=N 7．设B A ，是非空集合，定义)}()({B A x B A x x B A ∉∈=⊗且．已知集合}20{<<=x x A ，}0{≥=y y B ，则=⊗B A 8．设集合}87654{}654321{，，，，，，，，，，==B A ，集合S 满足A S ⊆且∅≠B S ，则这样的集合S 的个数是9．已知集合}61{≤≤-=x x A ，集合}121{+≤≤-=m x m x B ．（1）当2=m 时，求)(B C A B A R ，；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围，10．已知集合}52)({2++==x x y y x M ，，}1)({+==ax y y x N ，．（1）若N M 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若N M 中仅有一个元素，求实数a 的取值范围．11．已知集合}034|{2=+-=x x x A ，}01|{2=-+-=m mx x x B ，}0122|{2=+-=ax x x C ，且A C A B B A == ，，求实数m 的值及实数a 的取值范围．12．对于正整数集合)3(}{21≥∈⋅⋅⋅=n N n a a a A n ，，，，，如果去掉其中任意一个元素i a （=i 1，2，…，n ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合}54321{，，，，是否是“和谐集”（不必写过程）；（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；（3）当n ＝5时，集合}{54321a a a a a A ，，，，=，求证：集合A 不是“和谐集”．第三节集合的基本运算参考答案题型一集合的并集、交集运算1-4B ，C ，C ，B5．}421{，，6．}0{≥x x 题型二集合的补集、综合运算7-8D ，A9．}410{，，10．}22{><x x x ，或11．}531{，，12．（1）}4313{≤<-<≤-=x x x B A ，或 ，RB A = （2）}43{)(>-<=x x x B AC U ，或 ，}4313{)(>≤≤--<=x x x x B A C U ，或，或 题型三Venn 图的运用13-18C ，C ，C ，B17．418．18题型四由集合运算求参数19．4=a 20．}94235{，，，，---21．44<≥a a 、22．3232><≤≤a a a 或、23．11==b a ，或93==b a ，或32==b a ，24．2-=a 25．（1）31-=-=a a 或（2）3-≤a 26．（1）23≤m （2）52>-<m m 或综合训练1-3D ，C ，A4．}34{<≤-x x 5．}76543{，，，，6．}151195{}15751{，，，、，，，==N M 7．}20{≥=x x x 或8．569．（1）}51{≤≤=x x B A ，}6511{)(≤<<≤-=x x x B C A R ，或 （2）2502≤≤-<m m 或10．（1）62>-<a a 或（2）26-==a a 或11．42==m m 或，22<<-a 12．（1）不是（2）}131197531{，，，，，，（3）证明略。
集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。
高一交集并集补集知识点高中数学是学生在学习数学的过程中，重要的一环。
其中，集合论是高中数学中必不可少的一部分。
在集合论的学习过程中，交集、并集以及补集是我们需要特别关注的核心知识点。
本文将会详细讨论交集、并集和补集的定义、性质以及应用。
一、交集的概念和性质既然要讨论交集，我们首先需要明确交集的概念。
在集合论中，交集指的是两个或多个集合中共同存在的元素组成的集合。
简单来说，就是将多个集合中相同的元素提取出来，形成一个新的集合。
交集的符号通常用符号“∩”表示。
例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
交集的性质有以下几点：1. 交换律：即A∩B=B∩A。
也就是说，交集操作满足元素的顺序无关紧要。
2. 结合律：即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
交集操作满足结合律，可以任意改变括号的位置。
3. 分配律：即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
交集和并集之间满足分配律，可以用来简化运算。
二、并集的概念和性质除了交集，我们还需要了解并集的概念和性质。
在集合论中，如果将多个集合的所有元素合并在一起，就形成了并集。
并集的符号通常用符号“∪”表示。
例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
并集的性质如下：1. 交换律：即A∪B=B∪A。
并集操作满足元素的顺序无关紧要。
2. 结合律：即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
并集操作满足结合律，可以任意改变括号的位置。
3. 分配律：即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
并集和交集之间也满足分配律，可以用来简化运算。
三、补集的概念和性质除了交集和并集，我们还需要了解补集的概念和性质。
在集合论中，补集是相对于某个全集而言，指的是一个集合中不属于另一个集合的元素所组成的集合。
补集的符号通常用符号“c”或“-”表示。
例如，若全集为U={1, 2, 3, 4, 5}，A={2, 3}，则A的补集为c A={1, 4, 5}或-U={1, 4, 5}。
