论文函数的极值问题在实际中的应用.

极值原理在生活中的实际应用1. 引言极值原理是数学中的一个重要概念，它在生活中也有很多实际应用。

极值原理可以帮助我们找到问题的最优解或最佳方案。

本文将介绍极值原理在生活中的实际应用，并以列点的方式进行展示。

2. 金融领域•投资组合优化：使用极值原理可以通过对不同投资组合进行分析，找到最佳投资组合，实现最大收益。

•资产定价：通过极值原理可以确定金融资产的合理定价，避免市场出现明显的高估或低估现象。

•风险控制：极值原理可以帮助金融机构评估风险并制定相应的风险控制策略，保护投资者的利益。

3. 运输与物流•最优路径规划：使用极值原理可以确定两地之间的最短路径或最低成本路径，提高物流效率。

•车辆调度优化：通过极值原理可以优化车辆的调度安排，最大程度地满足客户需求，减少等待时间和成本。

•资源配置优化：极值原理可以帮助物流公司合理分配各种资源，例如货物、人力、仓储等，提高资源利用效率。

4. 生产与制造•生产计划优化：使用极值原理可以帮助企业制定最佳的生产计划，平衡生产线上各个环节的生产速度，最大程度地提高产能。

•设备维护优化：通过极值原理可以确定设备的最佳维护周期和维护策略，提高设备的可靠性和使用寿命。

•质量控制：极值原理可以帮助企业制定最佳的质量控制策略，保证产品质量达到最优水平。

5. 市场营销•定价策略：通过极值原理可以确定产品的最佳定价策略，平衡成本和市场需求，最大程度地提高盈利能力。

•促销策略优化：使用极值原理可以帮助企业制定最佳的促销策略，提高销售量和市场份额。

•渠道选择优化：极值原理可以帮助企业选择最佳的销售渠道，提高产品的市场覆盖率和销售效果。

6. 决策支持•项目选择：通过极值原理可以帮助企业选择最具潜力和回报的项目，降低投资风险。

•人事管理：使用极值原理可以辅助企业进行员工薪酬、晋升和激励制度的设计，提高员工绩效和满意度。

•资源配置：极值原理可以帮助企业合理分配各种资源，例如资金、人力、设备等，提高资源利用效率。

极值原理在生活中的实际应用极值原理是数学中的一个重要概念，主要用于描述函数在局部范围内的最大值或最小值。

然而，极值原理并不仅仅在数学领域中适用，它还可以在生活中的各个方面找到实际应用。

下面，我将从几个不同的角度来介绍极值原理在生活中的实际应用。

首先，极值原理可以应用于经济学中。

在市场经济中，企业的目标通常是在有限的资源条件下实现最大利润。

利润的最大化与成本的最小化密切相关，因此企业需要使用极值原理来找到最佳的生产或经营决策。

通过比较不同生产方案的边际成本和边际收益，企业可以确定最佳产量和销售价格，从而最大化利润。

另一个领域是交通规划。

在城市交通规划中，要考虑到交通流量的最大化和拥堵问题，以提高整体交通效率和减少环境污染。

极值原理可以用于决策者确定最佳交通信号配时方案，以最大限度地减少交通拥堵。

此外，极值原理还可以用于公共汽车或地铁等公共交通线路的设计，以便旅行者能够以最短的时间和最低的成本到达目的地。

在生态学中，极值原理也有广泛的应用。

生态学研究的一个重要问题是如何最佳地管理自然资源，以实现可持续发展。

通过应用极值原理，可以确定最佳的捕捞量以保持渔业资源的平衡，最佳的森林砍伐量以保护生态系统的完整性，以及最佳的水资源利用方案以满足社会需求并保护水源。

此外，极值原理还可以应用于医学和健康领域。

在临床医学中，医生经常需要确定最佳的治疗方案，以提供最好的治疗效果。

通过评估不同治疗方案的风险和效益，医生可以使用极值原理来确定最佳的治疗方法。

此外，在健康管理中，个人也可以使用极值原理来制定最佳的饮食和运动计划，以维持良好的身体健康。

最后，极值原理还可以在社会科学研究中找到应用。

例如，在教育领域，教育者需要确定最佳的教学方法和学科设置，以提供最好的教育效果。

通过应用极值原理，教育者可以评估不同教学策略的效果，并选择最佳的教学方法。

类似地，在管理学中，企业管理者可以使用极值原理来确定最佳的人力资源分配方案和组织结构，以提高组织效能和员工工作满意度。

第三部分主要介绍了极值问题在实际生活中的应用,具体介绍经济管理这一领域,并且通过典型的例题分析来展示极值问题对于我们日常生活的帮助.
2.极值问题求法
极值问题在基础数学中属于一项重点内容并且在我们实际生活中的应用也越来越常见,然而极值问题的求法受到许多条件的影响,例如定义域、值域等.本文主要研究极值问题与求法,下面就具体介绍不同函数极值问题的具体内容和求法.
假设函数 在点 处有意义且在相同的区间范围内任取一点 ,如果对于任意 都满足 ,那么我们称 是函数的极大值,如果对于任意 都满足 ,那么就称 是函数的极小值.
1.2
本文研究方法主要有两种,分别是文献分析法和例题分析法.对国内外研究内容进行梳理和整合从而为本文研究提供理论指导,同时结合具体例题,深入探究极值问题的求法和应用.本文主要从以下三部分进行相应的论述：
第一部分是引言,主要从文章的研究背景、意义、研究方法和内容等方面进行介绍并且总结了相关文献来进一步明确极值的定义,为下文研究夯实基础.
第二部分是对极值问题求法的阐述.主要由三部分展开分别为一元函数的极值、二元函数的极值以及条件极值,不仅阐释了主要的定理概念,同时结合例题来深入探究极值问题求法的应用.
关键词极值问题数学求法
Extremevalueproblemanditssolution
AbstractExtreme value problem is the key content of mathematics learning. It is widely existed in production practice and scientific research, many practical problems can be built up mathematical model, abstract as function extreme value problem, and can be solved by mathematical methods. Therefore, it is of great significance and function to study the extreme value problem and its solution.

二次函数的极值在实际生活中的应用
二次函数的极值在实际生活中有很多应用：
1. 在投资理财中，投资者可以利用二次函数的极值来分析投资收益的最佳时机，从而获得最大收益。

2. 在建筑设计中，二次函数的极值可以用来设计出最优的建筑结构，使其能够承受最大的重量。

3. 在机械设计中，二次函数的极值可以用来设计出最优的机械结构，使其能够实现最大的功率。

4. 在电子设计中，二次函数的极值可以用来设计出最优的电子结构，使其能够实现最大的效率。

XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级、班级： 08数本姓名： XXX学号： XXXXXXX指导教师(职称)： XXXXX2012 年3 月15 日浅析函数极值的求法及应用摘要函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。

本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。

关键词函数极值求法应用Analysis of the function extreme value solution and its applicationAbstractThe extreme value of function is one of the important contents of mathematics study,so the function extreme problems of the function extreme value has important significance.This paper discusses the use of the Lagrange multiplier method,the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extremum,and the use of directional derivative method,MATLAB software and function unconditional extremum,summarized some applications about the extreme value of function in the proof of inequality, physics, production and sales and bee house problems.Keywords function；extreme value；solution；application目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)第一章引言 (1)第二章函数极值的定义及其存在的条件 (1)2.1多元函数极值的定义 (2)2.2多元函数极值存在的条件 (2)第三章函数极值的若干求法 (3)3.1拉格朗日乘数法求极值 (3)3.2柯西不等式法求极值 (4)3.3梯度法求极值 (5)3.4利用方向导数判别多元函数的极值 (7)3.5 Matlab求函数极值 (9)第四章函数极值理论的应用 (12)4.1函数极值在不等式证明中的应用 (12)4.2函数极值在物理学中的应用 (13)4.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用 (14)4.4运用函数极值分析蜂房的最优化问题 (15)第五章结束语 (18)致谢语 (18)引用文献 (18)第一章 引言函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。

本科毕业论文论文题目：浅谈函数极值的求法及应用目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、对一元函数极值问题的简单回顾 (2)（一）一元函数极值的定义 (2)（二）一元函数极值的必要条件 (2)（三）一元函数极值的充分条件 (2)（四）一元函数求极值的现实应用 (3)二、多元函数极值的求法 (4)（一）多元函数的简单介绍 (4)1.多元函数极值的定义 (4)2.多元函数极值的必要条件 (4)3.多元函数极值的充分条件 (4)4.多元函数极值的应用——“牧童”经济模型 (5)（二）多元函数条件极值 (7)grange数乘法 (7)grange数乘法的步骤 (8)3.多元函数条件极值的必要条件 (9)4.多元函数条件极值的充分条件 (9)grange法求多元函数极值的应用——一个价格决策模型 (10)参考文献 (15)附录 (16)浅谈函数极值的求法及应用于淼摘要：在日常的生产生活、经济管理以及经济核算中，我们往往要考虑到在前提条件一定的情况下，怎样才能保证以最小的投入获得最高回报的问题。

这些问题都可以转化为函数中求最大（小）的问题。

在求最值的问题中，我们就用到了函数极值的概念，所以函数极值的讨论具有非常重要的现实意义。

本文首先对一元函数极值做了简单回顾，然而现实生活中的问题往往是复杂的，所以本文进一步研究了多元函数极值的求法Lagrange数乘法，并相应地给出了具体的现实模型以及matlab程序对应用加以说明。

关键词：极值;多元函数;条件极值;极值应用中图分类号：O1Introduction to the calculational methods and application of absoluteextremes of functionYu MiaoAbstract: In daily production and life, economic management and accounting, we often have to think about how to get a maximum return at the minimum investment on issues such as profit maximization under certain circumstances. These problems can be converted to a function for the largest (smallest) problem. In seeking the absolute extremes of function, we used the concept of function extreme. So the discussions on function extreme hold a very important practical significance.At first, this passage made a simple review on calculational methods of extreme value of the function of one variable; the problem is often complicated in real life, however. So in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for application. Keywords:absolute extremes; multivariate function; extremes with a condition;application一、对一元函数极值问题的简单回顾（一）一元函数极值的定义定义1 设)(x f 是定义在),(b a 上的函数，),(0b a x ∈,若存在一点0x 的某个邻域),(),(0b a x O ⊂δ,使得,),(),()(00δx O x x f x f ∈≤,那么，称0x 是)(x f 的一个极大值点，)(0x f 就是其相应的极大值。

数学极值的意义与日常生活运用-应用数学论文-数学论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——数学与生活论文第八篇：数学极值的意义与日常生活运用摘要：现代生活发展越来越快, 就如计算机的运行速度从最开始的300-500次到现如今的红杉持续运算测试达到每秒16324万亿次, 仅用了短短不到一个世纪的时间, 经济的发展速度一如其迅猛, 在竞争愈加激烈的今天, 如何在生活中取得最优化、最佳的解决方式, 即讨论实际问题的极值问题。

怎样才能达到投入小、产出多、成本低、效益高、利润大的效果, 是经济发展的重要问题。

本文注重对数学结果做定性的分析, 明确提出极值在经济中的实际意义。

本文从日常经济中常遇到的利润最大化问题、库存管理问题、需求分析问题、成本最小化问题着手, 通过具体定义解释对极值在经济中的应用进行了阐述和说明。

关键词：极值; 利润最大化; 库存管理;极值是一个函数的极大值或极小值。

函数极值一直是数学研究问题的重要内容之一, 在科学和生产实践中存在着许多和极值有关的问题。

函数极值不仅仅是函数性态的一个重要特征, 并且在实际问题中占有重要的地位。

特别是在当今日益发展的社会生活中, 工农业生产、自然科学、工程技术和经济发展等带来了大量的问题, 其实质都是函数极值问题。

由于函数极值应用非常广泛, 极值函数本身亦变化纷繁, 所以人们对求函数极值的方法研究比较多, 这些和许多数学家的努力是分不开的。

他们将理论与实际有机地结合起来, 不仅为科研打下了良好的基础, 也为诸多领域的实际工作提供了便捷, 如在物理、经济、现实生活等方面提供了便捷的方法, 使得许多问题很便利地得以解决。

经济学中有很多求最优量的问题。

比如, 最大产量、最大收益、最小成本、最大利润等一系列问题, 这些可以很好地运用数学中的有关求极值的方法加以解决。

具体可以运用到一元函数极值, 多元函数极值等一些求极值方法。

国外的萨缪尔森《经济分析基础》是运用数学工具全面提高现代经济学分析水平的经典之作。

函数极值知识在生活中的应用作者：张严心来源：《新教育时代·学生版》2017年第12期摘要：文章主要针对函数极值知识在生活中的应用进行分析，结合当下函数极值知识在生活中应用发展现状为根据，从资金投入、经济利润最大化方面进行深入研究探索，主要目的在于更好的推动函数极值知识在生活中应用的发展与进步。

关键词：函数极值实际生活应用我们在高中数学函数极值知识学习期间，主要是对生活中的空间形式与数量关系进行深入研究与探索，虽然其有着较强的逻辑性与抽象性，但在实际生活中可对其原型较好的发现，同时并给予各种生活原型较为深刻的含义[1]。

在社会经济发展的基础上，经济现象复杂性逐渐提升，在根据自身经验已不能较好对其进行认知，只有认清各工作参数联系，才可较好对其进行了解与掌握。

一、资金投入数学知识的起源主要来自于实际生活，因此可在实际生活中进行充分运用。

我们学习高中数学知识的主要目的是对实际生活中的数量关系与空间形式进行深入研究与掌握，同时各种数学知识主要在各种生活问题中逐渐形成，虽具有较强的抽象性但与生活之之间的关联则先对较强，在各种数学知识的影响下，相应问题自身的意义也在一定程度上得到相应的升华与丰富[2]。

例如：在新市场环境逐渐形成的影响下，人们在进行投资以及企业想要提高自身流动资金使用效率，并获得最大的经济收益，在进行投资前都应对相应的投资项目进行研究与分析，这期间则应根据相应的体系对投资项目参数进行科学分析，对资金投入后可产生的收益情况进行充分了解与掌握，在以此为实际资金投入基础，提升资金收益情况，更好的促进自身经济收益快速发展。

以实际生活为例：A同学父母为了可以更好的支付起其上大学的学费，在A同学同学5岁开始对就存储相应的资金，其中若大学每年的学费为四万元时，A同学四年大学应使用16万元，在这期间若银行利率不发生任何变化，在A同学升入大学期间其父母正好存足16万元，那么其父母在银行最初的存款为多少？架设父母一年、三年、五年都属于整存整取，银行定期存款的利率为5.22%、6.21%以及6.66%。

函数中的极值及其应用函数是数学中的重要概念之一，它描述了变量之间的关系。

在函数中，我们可以找到很多有趣的现象和规律，例如函数的极值。

函数的极值是函数的最大值和最小值，它可以帮助我们理解函数的性质和应用。

在本文中，我们将讨论函数中的极值及其应用。

一、函数中的极值函数的极值是指函数的最大值和最小值，它们出现在函数的拐点处。

拐点可以是函数从上凸变成下凸，也可以是函数从下凸变成上凸。

在拐点处，函数的导数为0。

因此，要求函数的极值，我们需要先求出函数的导数，并令导数为0。

例如，对于函数y = x³ - 3x² + 2x + 1，我们可以求出它的导数dy/dx = 3x² - 6x + 2。

将导数等于0，解出x的值，可以得到x ≈1.171 和x ≈ 0.828。

将这两个值带入原函数，可以得到y ≈ 0.192和y ≈ -0.43。

因此，函数在点(x ≈ 1.171，y ≈ 0.192)处取得最大值，在点(x ≈ 0.828，y ≈ -0.43)处取得最小值。

二、函数中极值的应用函数的极值在实际生活和工作中有很多应用，例如在优化问题中，求出函数的最大值或最小值，可以帮助我们找到最优的解决方案。

以下是几个具体的例子。

1. 生产成本最小化假设一家化工公司要生产一种化学品，它的生产成本为C(q) = 100 + 10q + q²/10，其中q表示生产的数量。

现在，公司要求你帮助他们确定生产数量，使得生产成本最小。

我们可以将生产成本C(q)看做一个函数，即C(q) = f(q)。

对函数求导，可以得到导数f'(q) = 10 + q/5。

将导数等于0，解出q的值，可以得到q ≈ -50。

这个结果显然是不合理的，因为生产数量不能是负数。

因此，我们需要检查一下函数的拐点。

对函数再求一次导，可以得到导数的导数f''(q) = 1/5，这说明函数是从下凸变成上凸的，它的最小值出现在拐点处。

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,原点是极大值并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则.2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00i x f P = (1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,i x f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =, ()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论. 现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a a a P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nnA a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时, ()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况.2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值与最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P 三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x y l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20u d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例.2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00fx <时,0x 是函数()f x 的极大值点.引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y =确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证 由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xxxx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-. 由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()00012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,i x n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nn H p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y n f x x x y h i j n f x x x y =-=证 由()12,,,0n f x x x y =,得0iix y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以 在i ix x yf y f =-中对j x求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y n p f x x x y xf x x x y iy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nn H p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解 令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫⎪⎝⎭处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值. 解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,与()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p = 处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果(),f x y 在有界闭区域D 上连续,则(),f x y 在D 上必定能取得最大值和最小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部,也可能在D 的边界上. 我们假定, 函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数(),f x y 在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得,而函数在D 内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数(),f x y 在D 上的最大值(最小值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?” 我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说 明 尺 寸上底厚 0.28mm下底厚 0.29mm 侧面厚 0.15mm 上盖半径 29mm正圆柱体部分半径 33.02mm 正圆柱部分的高102mm 圆台高 10mm整个易拉罐高 122.22mm 易拉罐的实际容积 365mm 可乐的净含量355mm说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2 分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b .3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()22,4g r h r V b ac π=-- (),0min ,r o h S r h >>()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解✧ 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为()31Vr a π=+因此()()()3321111a VVh a a V a πππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+⎢⎥ ⎪⎢⎥==+=+ ⎪+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).111nnni ii i a an ==≥∑∏, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r r a a a π====+ ,于是有()()32222161V ba b a V rr ππ++≥+当且仅当()21Va r rπ=+时等号成立,即()31Vr a π=+,结果相同.Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题) 求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数. b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法. 引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200Lb b r h r h r Lb rr r b r h L r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得 2V h r π=，2br λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()()()33,111VVr h a a a ππ==+++和前面的结果相同.3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,V V r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9][冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益与外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400fx y xf x y y ∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==.所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3]要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>，由题设知86(22)216xy xy yz ++= 即32()36xy z x Y ++= 解出z ，得 3633122()2xy xyz x y x y--==⋅++…………………………….①将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..②求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之， 得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)与电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略； （2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********Lx x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用与报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50Fx x x Fx x x Fx x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结 语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20x x y yx yf ff∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论与一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004.[14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.[15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990.[16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995.[17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999.致谢首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。

函数极值的求解毕业论文函数极值的求解极值问题在数学中是一个重要的研究方向，也是应用最为广泛的数学概念之一。

在数学建模、优化问题等领域中，极值问题的求解具有重要的实际意义。

本文将介绍函数极大值和极小值的定义及求解方法，并应用实例进行论述。

一、函数极值的定义1. 极大值和极小值在数学中，给定一个定义在某个区间上的函数f(x)，如果在该区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≤f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极大值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极大值。

同样地，如果在给定的区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≥f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极小值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极小值。

二、函数极值的求解方法求解函数极值的方法主要有导数法和二阶导数判别法两种方法。

1. 导数法导数法通过求取函数的导数，来寻找极值点。

具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数，并令一阶导数等于零。

得到一个或多个代数方程。

（2）解出这些代数方程，得到所有的极值点。

（3）代入原函数，求出这些极值点对应的函数值，并比较它们的大小，得到函数的极大值和极小值。

2. 二阶导数判别法二阶导数判别法通过二阶导数的值来判断函数的极值情况。

具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数和二阶导数。

（2）令一阶导数等于零，解出所有的极值点。

（3）将这些极值点代入二阶导数的表达式中，判断二阶导数的正负情况：- 若二阶导数大于零，则所代表的极值点为函数的极小值点。

- 若二阶导数小于零，则所代表的极值点为函数的极大值点。

- 若二阶导数等于零，则无法判断该点是否为极值点，需要进一步分析。

三、函数极值求解的实例分析下面以一个简单的实例来说明函数极值的求解过程。

例：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的极值点和极值。

解：首先求函数的一阶导数：f'(x) = 2x - 2令导数等于零，得到极值点的横坐标x：2x - 2 = 0x = 1将x = 1代入原函数f(x)中，得到极值点的纵坐标：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0所以函数f(x)在x = 1处存在一个极小值点，极小值为0。

函数极值知识在生活中的应用
极值理论是数学上非常重要的概念，可以用于解决复杂的现实生活中的问题。

将函数极值理论应用于生活中，可以帮助人们优化购买或出租某种财产的决策，决定生产某种产品的最佳数量，求解物流优化等等。

比如说，当我们打算购买或出租某种财产时，我们可以通过函数极值理论，从
不同的方面来看待价格的变化，看看价格最低时的情况，可以帮助我们做出最明智的投资决定。

比如你想购买一个房子，但该地区有着不断变化的房价，考虑结合极值理论，找出最适合你购买的价格，是不是明智的。

另一个例子是生产某种产品时，企业要考虑销量、投入报酬率等多方面的因素，如果想要看出最优的决策，就可以使用函数极值理论。

通过函数最值来推断，从而决定生产某款产品的最佳数量，同时把控完全的生产费用，才能达到最佳的利润效果。

此外，在物流管理中，也可以利用函数极值理论求解最优的路径。

它可以帮助
企业有效地分配流量，优先选择最快到达目的地的路径，同时节省运输成本，提高此次运输的效率。

总之，函数极值理论在生活中有着重要的作用，通过函数极值理论，我们可以
优化购买或出租某种资产和决定生产某种产品的最佳数量，还可以求解物流优化等问题。

函数极值的运用可以帮助我们节省资源，在财务、时间等方面取得更好的收益。

函数的极值问题及其实际应用随着科技和社会发展的进步，如何将数学知识应用至实际生活中成为一项重要的任务。

其中函数的极值问题便是一个常见而又实用的数学问题。

一、极值的定义首先，我们需要明确极值的定义。

极值是指函数在某一特定区间内的最大值或最小值。

函数的极值可以被用来确定实际问题中的最优解或最劣解。

举个例子，我们可以使用函数的极值来确定某种产品最佳的生产量。

二、求解极值的方法为了确定函数的极值，我们需要求出函数的导数并找到导数为零的点。

这些点称为函数的临界点。

当然，临界点并不一定是函数的极值。

接着，我们需要利用二阶导数来判断这些临界点是否为极值点。

如果二阶导数是正数，那么该点为函数的最小值点。

如果二阶导数是负数，那么该点为函数的最大值点。

三、极值问题的实际应用在实际生活中，函数的极值往往可用于我们解决一些重大的问题。

下面将以两个具体例子来说明函数的极值问题的实际应用。

1、最优化问题最优化问题是指在一定的限制条件下来寻找函数的最大值或最小值。

其中的限制条件例如品质要求、成本限制、时间限制、资源限制等等。

这些限制条件反映在求解过程中，往往被成为约束条件。

在各种工程、科学和经济决策问题中，最优化问题都是比较普遍和重要的。

例如，在生产过程中，如何使总生产成本最小，如何使总过程时间最短，在维护成本、抵御风险等问题中，都是需要考虑最优化问题的。

2、田地划分问题田地划分问题是一个古老而又实用的数学问题。

假设一个农民手中有一块矩形形状的田地，他想利用这个田地来种不同的作物。

为了最大化收益，这位农民需要将这块田地划分成若干个相等的小块，并在每个小块中种植最优作物。

利用函数的极值，我们可以确定最优的划分方式，从而达到最大化收益的目的。

四、总结函数的极值问题及其实际应用是数学学科中的一个重要部分。

通过求解极值问题，我们可以找到最优解或最劣解，从而在实际问题中取得最佳效果。

应用函数的极值问题，在工程、科学和经济等领域都有着广泛的应用。

函数的极值和最值不仅是函数重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题,我们应有一个系统而简便的方法,巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法.而恰恰这些方法的终极解决,都归结于对函数极值和最值的求解.下面,就让我们系统的归纳和展示,函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用!
编号:
及其在生活当中的应用
系部名称:数学系
专业名称:数学与应用数学
年 级:2009级本科2班
学生姓名:
学 号:2009403161
指导教师:职称/学历:副教授
成
绩
评
定
评价方式
及比例
指导教师
评价（60％）
评阅人
评价（20％）
答辩小组
评价（20％）
最终
数学大师陈省身认为:一个数学家的目的,是要了解数学.历史上数学的进展不外两途:增加对于已知材料的了解和推广范围.即以下两种发展规律:
从已知概念、定理出发,把已知的数学知识作为特殊情况,并以此来建立更广泛的数学概念和定理的方法.从函数概念的形成和发展来看:由于罗马时代的丢番图对代数学中的不定方程对已有相当的研究,函数概念至少在那是已经萌芽.自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,函数概念有了力学来源.然后由莱布尼茨、达朗贝尔、欧拉、柯西,一直到黎曼,经过一步一步地扩充,才发展为以集合论为基础的一般性概念,成为应用广泛的一般理论.
第一章
1.1
数学方法和数学思想的起源与发展,及其与社会,经济和一般文化的联系.对于深刻认识作为科学的数学本身,即全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义.数学由早期公元前6世纪的起源到公元前6世纪——16世纪的初等数学时期,经历一个世纪到17世纪——18世纪的近代数学时期,直到1820年——现在的现在数学时期.从历史上看,数学中的原始概念——物品数和量及几何图形的概念——只是人在现实世界中,通过实际运用而后抽象的结果,而决不是在人脑里从纯粹思维中产生出来的.几何学主要是起源于计算物体的面积与体积、测量高度与距离.几何图形也主要产生于人类生活中的仿造物体的形状而制造工具的实践活动,即模仿自然界物题的形状来制造人们发展和生存所必然的生活器具和生产用具.在十七世纪,欧洲航海业与工业的迅速发展,以前创建的几何方法已不能满足实际需要,笛卡尔等将代数法与几何法进行了一系列有机地结合,从中发现了可以将代数方法应用到几何问题的研究,从而一种新的数学学说就——”解析几何”地产生了.在十八、十九世纪,由于大地测量、力学和工程等方面的需要;随之产生了几何画法、微分几何和射影几何.在十九世纪二十年代产生的非洲和欧洲的几何学,虽然是从纯理论中产生的,但进一步发展是在找到实际应用之后的.从几何学的起源和发展来看:数学是以完全确定的现实的基本量的代表物和自然物形状的代表物作为研究的对象,在研究时又完全舍其具体内容和质的特点,仅保留其纯粹形态量的关系和空间形式的特点.由此可见:数学的起源和发展是建立在实际需要基础之上的,是在实践中逐步被发现,并随着实践的深入而发展、完善的.

毕业论文开题报告与指导记录系(部) 数学学院专业名称数学教育年级学生姓名学号指导教师姓名填表时间：2014 年月日拟选题目极值的讨论及其应用选题依据及研究意义在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。

既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限。

无论是在中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限。

我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。

因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。

首先，本篇论文总结了求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。

其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学中相关的理论知识，达到巩固、复习的目的，培养学生一题多解的思维能力。

第三，运用极限的思想能够解一些我们不能精确计算的结果。

第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。

文献综述（对已有相关代表性研究成果的综合介绍与评价）作研究函数最基本的方法——极限思想，早在古代就有比较清楚的描述。

我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”，是使用了极限的思想。

在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。

因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，19世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。

但是前人在对求函数极限的方法都是单一的，而没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。

本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对某些题目还能够不痛的方法解答。

近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。

“数学极值法”在物理问题中的妙用应用数学知识处理物理问题的能力，是物理教学培养学生五个方面能力中的重要一个.其中，数学求极值的方法在解决物理问题时被广泛应用.现就高中物理解题过程中常遇到的几种数学求极值的方法归纳如下，以期同广大同仁进行交流. 1.关于 θθcos sin b a Y += 的应用 )sin(cos sin 22ϕθθθ++=+=b a b a Y 且ϕtg =ab.要使Y 有最大值， 需1)sin(=+ϕθ, 即︒=+90ϕθ.例1.如图1所示，质量为m 的物块放置在水平地面上，物块与地面的动摩擦因数为μ，要使小物块沿水平面匀速运动，θ为何值时，F 有最小值？是多少？解：以m 为研究对象， 受力分析如右图： m 匀速运动时：mgF F F F N N =+=θμθsin cos)sin(1mgsin cos mg 2ϕθμμθμθμ++=+=F ,μϕ1=tg . 当 2min 1mg F 1arctan 22μμμπϕπθ+=-=-=时，. 2.关于c bx axY ++=2的应用根据二次函数的特点：0>a 时， 图象开口向上，Y 有最小值; 0<a 时，图象开口向下，Y 有最大值.且当abx 2-=时，Y 有最值. 例2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车汽车以2/3s m 的速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以s m /6的速度匀速驶来，从后面赶过汽车.试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此距离是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t 秒两车相距最远，则有：6)2(2323621222+--=-=-=∆t t t at t v s 自由二次函数的极值条件知：s t 2=时，s ∆最大，最大值为m 6图 1F NF3．关于判别式0≥∆的应用要使方程02=++c bx ax 有解，须满足0≥∆.例3 质点从A 点由静止出发沿直线运动到B 点停止，在这段时间内，物体可以做匀速运动，也可以做加速度为a 的匀变速运动，要使质点从A 到B 运动的时间最短，质点应如何运动已知？最短时间是多少？已知A 、B 间的距离为s .解析：质点从A 到B 最简单的运动形式为：先做匀加速，再做匀速，最后做匀减速. 设质点从A 到B 运动的总时间为t ，做匀加速的时间为1t ，做匀减速运动的时间为3t ，则做匀速直线运动的时间为31t t t --根据题意有：31t t = ①)(21213112321t t t at at at s --++=② 由①②两式得： 0121=+-s att at ③ 要使③式有解，须满足0≥∆ 即 04)(2≥-as at 得ast 2≥ 即t 的最小值为：a st 2= 带入③得ast t ==31 即物体先做匀加速直线运动后做匀 减速直线运动.4．关于定和求积原理的应用两数和为常数，当两数相等时其乘积最大.由)0,0(,2)(2>>+≤y x y x xy ，若P y x =+（定值），则当y x =时：x 、y 的乘积有极大值.例5．已知Ω=21R ，Ω=32R ，Ω=53R 电源电动势V 6=ε，电源内阻 Ω=5.0γ.问：变阻器滑动片在何处时，电源发热功率最小？解析：设电源发热功率为P ，干路电流为I 据γ⋅=2I P ， 可知：I 最小时，P 最小.外R I +=γε ①32132x 1)()R R R R R R R R R x ++-+⋅+=（外 ② 根据定和求积原理可知：当x x R R R R R -+=+321时，I 有最小值. 即Ω=-+=32132R R R R x 时，I 的最小值为A I 2min =得：W P 2min = 5．关于定积求和原理的应用两数乘积为常数时，两数相等时，其和值最小. 由xy y x 2≥+， 若常数）(k xy =， 则x y =时，x 与y 的和最小.例6：一个连同装备总质量为M 的宇航员，在距离飞船S 处与飞船处于相对静止状态，他准备对太空中的哈勃望远镜进行维修.宇航员背着装有质量为0m 的2O 贮气筒，筒内有一个可以使2O 以速度v 喷出的喷嘴，宇航员维修完毕后，必须向反方向释放2O ，才能回到飞船，同时又必须保留一部分2O 供途中呼吸之用，宇航员的耗氧率为Q (kg/s).若不考虑喷出2O 对质量的影响，求：为了使总耗氧量最低，应该一次喷出多少氧气？解析：以飞船为参照物，设喷出质量m 的氧气时，宇航员获得'v 的速度，则由动量守 恒可知：0)('=--mv v m M因不考虑喷出2O 对质量的影响，所以有：Mmvv ='宇航员返回时间： mv Ms vs t =='宇航员返回过程中呼吸用氧mvQMsQt m =='故总耗氧量为mvQMsm m m +=+'因： 定值）(v QMs mv QMs m=，故当mvQMsm =时耗氧量最少 则总耗氧量最少为vQMs26.关于求导法求函数极限的应用一般地，当函数)(x f y =在0x 连续时，判别)(0x f 是极大（小）值的方法是：（1）如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么，)(0x f 是极大值. （2）如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么，)(0x f 是极小值. 例7 如图所示．一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a 和b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m 的a 球置于地面上，质量为m 的b 球从水平位置静止释放．当a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度为θ．下列结论正确的是 ( ) A ．θ＝90° B ．θ＝45°C ．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小D ．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大解析：由机械能守恒以及圆周运动的相关知识可求得：当a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度θ为090.设b 球的摆动半径为R ，当摆过角度θ时的速度为v ，对b 球由动能定理：221mv sin mgR =θ① 此时重力的瞬时功率为： θcos mgv p = ② 由① ②得： θθ2322cossin 2R g m p = ③对于函数θθ2cos sin =y 其一阶导数为： )sin 31(cos cos sin 3cos 22'θθθθθ-=-=y 33arcsin0<<θ 0'>y 原函数单调递增 233arcsinπθ<< 0'<y 原函数单调递减 故当33arcsin =θ y 取极大值.即b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小.。