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第九章力学量本征值问题的代数解法

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曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案

曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案


+a
= 2mω a 2 ⋅
得 a2 = （3）
π = mωπ a 2 = n h 2
代入（2） ，解出
E n = nℏω ,
积分公式：
n = 1, 2 , 3 , ⋯ a 2 − u 2 du = u a2 u a2 − u2 + arcsin + c 2 2 a
（4）
∫
2π
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用
)
[ (
) (
)
]
其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
ℏ2 T= d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ ∫ 2m
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
（3）
w=
且能量平均值
ℏ2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ψ *Vψ , 2m
（1）
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0 a x （2）
a = 2 E / mω 2 ，
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
+a
∫ p ⋅ dx = 2 ∫
nh 2ℏn = mωπ mω
−a
1 2m( E − mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 ∫ a 2 − x 2 dx 2 −a
∫= 1, 2 , ⋯ , pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为 ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量） ， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
∫
∴
因而平面转子的能量
力学量本征值问题的代数解法

力学量本征值问题的代数解法


2
加上自然单位：归一化的基态波函数
激发态波函数： n(x) 位
xn
1 x (a)n 0 n!
0
(
x)
(
)1/
4
e
2
，加上长度自然单
x
2
a 1 (x 1 d ) 2 dx
n(x)
1 ( 2 )1/ 4 (x 1 d ) en 2x2 / 2
n!
dx
二、角动量的本征值与本征态 （1）
j jm ( j m 1)( j m) jm 1
角动量的共同本征函数―球谐函数
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
Lˆ2Ylm l(l 1)2Ylm LˆzYlm mYlm
[Lˆz , Lˆx ] iLˆy [Lˆz , Lˆy ] iLˆx
一维谐振子的哈密顿量用 a 和 a 表示为：
H 1 p2 1 x2 1 { i (a a)}2 1 { 1 (a a)}2 (aa 1 )
2 2 22
22
2
注意： (a a)2 (a a)(a a) a2 aa aa a2
定义： Nˆ aa 因此 H (Nˆ 1) ，Nˆ 称为粒子数算符。
[Nˆ , a] n (Nˆa aNˆ ) n Nˆa n aNˆ n a n
Nˆa n aNˆ n a n an n a n (n 1)a n 即：Nˆ (a n ) (n 1)(a n ) 若令 n a n 则有：Nˆ n (n 1) n ，对比 Nˆ n n n ，可 以看出 a n n 就是算符 Nˆ 属于本征值 (n 1)
可以证明
[ j , j ] i j , α,β,γ x, y, z
因此这三个算符 jx ，jy 和 jz 可组成一个角动量算符：j
《曾谨言 量子力学教程 第3版 笔记和课后习题 含考研真题 》读书笔记思维导图

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02
第2章 一维势场中的 粒子
03
第3章 力学量用算符 表达
04
第4章 力学量随时间 的演化与对称性
05 第5章 中心力场
06
第6章 电磁场中粒子 的运动
目录
07 第7章 量子力学的矩 阵形式与表象变换
08 第8章 自 旋
09
第9章 力学量本征值 问题的代数解法
010 第10章 微扰论
011 第11章 量子跃迁
7.2 课后习题详 解
7.1 复习笔记
7.3 名校考研真 题详解
第8章 自 旋
8.2 课后习题详 解
8.1 复习笔记
8.3 名校考研真 题详解
第9章 力学习题详 解
9.1 复习笔记
9.3 名校考研真 题详解
第10章 微扰论
10.2 课后习题 详解
10.1 复习笔记
第1章 波函数与Schrödinger 方...
1.2 课后习题详 解
1.1 复习笔记
1.3 名校考研真 题详解
第2章 一维势场中的粒子
2.2 课后习题详 解
2.1 复习笔记
2.3 名校考研真 题详解
第3章 力学量用算符表达
3.2 课后习题详 解
3.1 复习笔记
3.3 名校考研真 题详解
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量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲

量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲


薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程， 不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是 微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔 方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基 础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、 消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子 从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没 有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而 绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子） 在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身 不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像 一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本 假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性， 要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列 的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )
力学量本征值问题的代数解法

力学量本征值问题的代数解法

第九章 力学量本征值问题的代数解法本征值问题的解法: 分析解法，代数解法§9.1 一维谐振子的Schrödinger 因式分解法 升、降算符一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为2222121x p H μωμ+=采用自然单位（1===ωμ ），（此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位） 则222121x p H +=而基本对易式是[]i p x =,。

令)(21ip x a +=，)(21ip x a -=+其逆为)(21a a x +=+，)(2a a i p -=+。

利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1],[=+a a将两类算符的关系式)(21a a x +=+，)(2a a i p -=+代入一维谐振子的Hamilton 量222121x p H +=，有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21ˆ21N a a H上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N +=ˆ。

由于N Nˆˆ=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N所以Nˆ为正定厄米算符 二、Hamilton 量的本征值下面证明，若N ˆ的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值nE 为（自然单位，ω ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ， ,2,1,0=n证明：设|n >为Nˆ的本征态( n 为正实数)，即 n n n N=ˆ 利用1],[=+a a 及a a N+=ˆ容易算出 ++=a a N],ˆ[，a a N -=],ˆ[ 因此n a n a N-=],ˆ[。

但上式 左边n na n a N n N a n a N-=-=ˆˆˆ 由此可得n a n n a N)1(ˆ-=。

这说明，>n a |也是Nˆ的本征态，相应本征值为)1(-n 。

如此类推，从Nˆ的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ˆ的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，…相应的本征值为n ，1-n ，2-n ，…因为Nˆ为正定厄米算子，其本征值为非负实数。

第9章 力学量本征值问题的代数解法

第9章 力学量本征值问题的代数解法

对应的能量本征值为
。 /2

利用式(8)的前一式，可证明与式(11)类似的式子
ˆ ˆ n (n 1)a ˆ n Na

(14)
ˆ ˆ 的本征态，本征值为(n+1)。 这说明 a n 也是N
7

联合式(13)与(14)，从 0 出发，逐次用 a ˆ 运算， ˆ 的全部本征态 可得出 N
0, 1, 2, j m j,, j 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2, ˆ J ˆ iJ ˆ a ˆ (J ˆ ) a ˆ ˆ ˆ ˆ J a , J x y 1 2 2 a1 (14)

2 ˆ J jm j ( j 1) jm ˆ J z jm m jm
( 6)
14

利用声子对易关系可证 ˆ ,J ˆ ] i J ˆ ( , , 1,2,3 1) [J
这正是角动量的基本对易式，进一步可证 ˆ ˆ N N ˆ2 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ 2 ( 1) J (7) x y z 2 2 ˆ N ˆ N ˆ a 其中 N ˆ a ˆ a ˆ a ˆ

ˆ 0 0 a
( x ip) 0 0
在坐标表象中基态波函数 0 ( x) x 0 满足 d x2 / 2 ( x ) 0 ( x) 0 0 ( x) e dx
10

将自然单位换为SI单位，并归一化则得 2 1 / 4 2 x 0 ( x) ( ) e
ˆ n n n N
(10)
5

利用
ˆ, a ˆ ] a ˆ 有 [N
ˆ,a ˆ ] n a ˆn [N
数学物理方法-第9章-本征值问题

数学物理方法-第9章-本征值问题


d
dx
dt x dt
(
1dy

y
2

y
2
dt
2
x y

dy dt
20
dt

记D
d dt
,D
k

d
k k
( k 2, 3, ) , 则由上述计算可知:
dt x y D y
2
x y D y D y D(D 1) y
2
用归纳法可证
于是欧拉方程
x y
n ( n)
球坐标系和柱坐标系中分离变量法
圆球形和圆柱形是两种常见的边界，本章考察拉
普拉斯方程在球坐标系和柱坐标系中分离变量法所导
致的常微分方程以及相应的本征值问题。
9.1 特殊函数的常微分方程 （一）直角坐标系内的拉普拉斯方程
u (
2 2
x


2 2
y


2 2
z
)u 0
正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
y x
1 2 u 1 u 1 u r s in 0, 2 2 2 2 2 r r r r s in r s in u f ( , ) ra u r0 有 限 值 , 隐含着的周期边值条 u ( r , , ) u ( r , , 2 ), 件和球内约束条件 u 有限值, 0 ,
x co s
2
s in

s in
x x
第九章第四节 施图姆刘维尔本征值问题

第九章第四节 施图姆刘维尔本征值问题


b a
ym
xyn
x x dx
N m2 mn......9.4.18
其中
mn
1,n m 0,n m......9.4.19
是克罗内克符号。对于正交归一化的本征函数族，
(9.4.18)简化为
b
a
ym
xyn
x
xdx
mn
......
9.4.20
(四) 复数的本征函数族
对于本征值问题
0,
自然周期条件
或满足自然边界条件 kb 0
都有 kyn ym kym yn xb 0
2、如果在端点 x b满足第三类齐次边界条件
ym hym xb 0, yn hyn xb 0
则， kyn ym
kym yn xb
1 h
k
yn
y
m
hym
kym yn hyn xb 0
总之右边第一项为零。同理在端点x=a若满足上面的边
0a
x
b9.4.1
d
d
dy
d
m2
y y
0,
P230式(9.1.22)
y0有限，y0
0.......9.4.5
贝塞尔方程本征 值问题
⑤ a ,b ;kx ex2 , qx 0, x ex2.
代入施图姆-刘维尔方程
d dx
k x
dy dx
qxy
xy
0a
x
b9.4.1
d dx
e
如果在端点 x a 满足第三类齐次边界条件
则，
yn hyn xa 0
kyn yn xa k yn hyn yn hkyn 2 xa h kyn 2 xa 0
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(3)

最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(3)

第九章 力学量本征值问题的代数解法9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（21）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于21,21===s j l j 的耦合。

试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数jm m m j 21121解：8.2节式（21a ）（21b ）:()21),0( 21+=≠-=m ml l j jjljm φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ）()21-=j ljljm φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）()21++j l此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而212==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。

因此，（21a ）式可重写为jm ∑=222112211m jm m j m jm j m j212121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m时 ，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=＋j m j jm m j 而212-=m 时，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-＋j m j m j m j21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--＋j m j m j m j9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，JMj2ψ()()21212121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=（1）利用CG 系数的对称性，证明()JMjJj JM j p 22212ψψ--=由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数证：由式（1），JM j p 212ψ()()12212121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=把21m m ↔, ()()12122112jm jm m m JM jm jm ψψ∑=利用CG 系数的对称性 ()()()21212112212jm jm m m Jj JM m j m j ψψ∑--=()JMjJj 22ψ--= (2)对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()12-=--Jj ，所以J 必须为偶数。

量子力学 09力学量本征问题的代数解法

量子力学 09力学量本征问题的代数解法


[N ， ] a a

（18）
可得到：

N a | n n +1)a | n （

（19）
即有：

N | n 1 n +1)| n 1 （

a | n c1 | n 1
由于

n | a a | n n 1| c1c1 | n 1 | c1 |
0 ( x) x | 0 (x
x
2
x
) 0 ( x) 0
由此可得
0 ( x) ce
2

利用归一化条件可得 再将参数带上，
mw 0 (x)
1/ 4 mw 1 2 x
2
0 ( x)
p
2
1

x
2

n | a a | n | c |

2
n | N | n | c |
2
2
|c| n 即 c
所以,有

n
a | n
n | n 1
（14）

由此我们定义
a 为降算符，或湮灭算符。

另，由前面（10）式可知，在任意态中，N
的平均值为
正定的，
那么在 | n 中的取值也应该式正定的，即
n

故
n x
1 n!
2
d 2 x 2 / 2 x e dx
（23）

n | N | n 0
n0
（15）
而由（14）式以及（15）式，可得出

a | 0 0
数学物理方法课件：9-二阶常微分方程级数解法_本征值问题

数学物理方法课件：9-二阶常微分方程级数解法_本征值问题

2R' 'R'm2R 0
Z C Dz
E F ln , (m 0) R E m F m, (m 0) P11819表
（二）波动方程 (边条均齐次化)
utt a22u 0 (9.1.26 )
u(r,t) T (t)v(r ),
T" a 2T
Dv v
k 2
2v k 2v 0, ——称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 T ' 'k2a2T 0,
0
Z''Z 0
z
(ii) 方向齐次边界条件, z 方向非齐次边界条件，
a
令： x, ( 0)
d 2R dx 2
1 x
dR dx
1
m2 x2
R
0
即 x2R' 'xR' x2 m2 R 0
(9.1.22)
x
——称为 m 阶 Bessel
方程。
y
Z''Z 0
(iii) 0
Z'' 0
Z Ce z De z
T" a 2T
D2v v
k 2
(3)
分解为两个 方程：
T"k 2a2T 0 (4)
D2v k 2v 0 (5)
(5)式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示 式为:
2v 1 v 1 2v k 2v 0 (5’)
2 2 2
26
设 v(,) R()() (6)
19ii19p189表条件圆柱侧面上的齐次边界分离变量结果方程球坐标柱坐标helmhotz方程laplace方程sincossincossincossincos21本节小结拉普拉斯方程drdrsinsincrdrcossinsinsin22拉普拉斯方程cossindxdxcossindxdx23亥姆霍兹方程uklklmsinsindrdrdxdx24亥姆霍兹方程cossincossindxdx25本节小结特殊函数方程dxdxdxdxdrdrdxdx阶勒让德方程921021149311526第190页tt解

量子力学作业习题

第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

Chapter 9 力学量本征值问题的代数解法


∑
n =0
α
n
n!
| n〉 = e
−α /2 α a
2
+
e
0
(46)
由于 a 并非厄米算符,本征值 α 可取复数值, 不 受限制。上式称为谐振子的相干态(Coherent－ States)。 其中 | n〉 态的成分为：
| α | −|α |2 | 〈 n | α 〉 | =| Cn (α ) | = e (47) n! 呈泊松分布,当 α = 0 时,(46)式变为基态 | 0〉 。
+
+
+
(11)
而 H 可以表示成
H = (a a + 1 2) ω
(9)式可以写为
+
(12) ( 9′ ) (13)
H a = a( H − ω )
上式作用于| n〉 态，得到
H a | n〉 = ( En − ω )a | n〉
这表明，如果 a | n〉 ≠ 0，它就是 H 的另一个本 征态矢量，本征值为 ( En − ω ) 。重复这个推导
ψ 0 (x)=A e
−
α 2 x2
2
2
代入上式即有：
⎞ ⎟, ⎠
14
ψ 0 ( x ) = (α π ) e
2 14
−
α 2 x2
2
(38)
激发态 | n〉 的波函数可由(34)式求得。用 〈 x | 左 乘(34)式两边，得： + 1 ψ n ( x ) = 〈 x | n〉 〈 x | (a ) n | 0〉
由(46)式
∫ dα
2
α α =∫ dα
0
∞
∑α ∫
α

数学物理方法-第9章-本征值问题


有限值,
u(r, ,) u(r, , 2 ),
隐含着的周期边值条 件和球内约束条件
u 有限值, 0,
拉普拉斯算子：
直角坐标：
2 2 2 x2 y2 z2
柱坐标： 1 ( ) 1 2 ( )
2 2 z z
球坐标：
1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
s2 v
Jv ( x)
(1)k
k 0
1 k!(v k
1)
( x )v2k 2
Jv ( x)
(1)k
k 0
1 k!(v k
1)
( x )v2k 2
( z) e t t z1dt, 0
( z 1) z( z) (n 1) n! (1) 1,
(1/ 2)
25
26
27
28
z
u x2 y2 z2 a2 f (x, y, z)
坐标变换
y
x r sin cos , 0 r a y r sin sin , 0 2
x
z r cos ,
0
1
r
2
r
r
2
u r
r2
1
sin
sin
u
r2
1
sin2
2u
2
0,
u f ( ,)
u
ra r0
d
d
自然的周期边界条件： ( 2 ) ()
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,
l-阶缔合(连带）勒让德(Legendre)方程
x cos
sin sin x sin2 (1 x2 )
x
x
x
(1 x2 ) d [(1 x2 ) d][l(l 1)(1 x2 ) m2 ] 0

【精品文档】量子力学第九章粒子数表象.大学本科.课堂教案


由于 [Nˆ , aˆ+ ] = aˆ+
（13）
则 Nˆ (aˆ+ n ) = (aˆ+ Nˆ + aˆ+ ) n = (n +1)(aˆ+ n ) （17）
aˆ +
说明
n 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值为 n +1
也可看到由于 [Hˆ , aˆ+ ] = ωaˆ+
则
Hˆ (aˆ+ n ) = (aˆ+ Hˆ + ωaˆ+ ) n = (En + ω)(aˆ+ n )
2
其中厄米算符 xˆ 和 pˆ 满足如下对易关系： [xˆ, pˆ ] = i
本节我们从新的角度讨论这一问题，给出谐振子能量本征值问题的一种 代数解法。（Schrödinger因式分解法）
一、用 aˆ, aˆ+ 重新改写谐振子的Hamilton量 1.定义新的算符 aˆ, aˆ+ , Nˆ
2.用算符 aˆ , aˆ + 表示谐振子Hamilton量
说明 aˆ n 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值为 n −1
也可看到由于 [Hˆ , aˆ] = − ωaˆ 则 Hˆ (aˆ n ) = (aˆHˆ − ωaˆ) n = (En − ω)(aˆ n )
而由（12）式 Nˆ n = n n
Nˆ n −1 = (n −1) n −1
（12’）
可知
即， n −1 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值也为 n −1
则有
aˆ n = c n −1
再利用归一化条件： 〈n | aˆ+aˆ | n〉 = 〈n −1| c*c | n −1〉
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(n 1) 。
利用上式及
Nˆ 0 0 0 ,
从 0 出发，逐次用 a 运算，可得出 Nˆ 的全 部本征态：
利用
[a, a ] 1
有
aa 1 aa 1 Nˆ
已知 0 是 Nˆ 的本征态，本征值是0
由
Nˆa n (n 1)a n 可知
Nˆa 0 1 a 0
即 a 0 也是 Nˆ 的本征态，本征值是1
Nˆ 本征值为 0,
1,
2,
H 本征值为 1/ 2, 3 / 2,
5 / 2,
所以，a 可以成为上升算符， a 可以称为
下降算符。
证毕。
这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。
利用归纳法可以证明（课下证）： Nˆ （即 H ）的归一化本征态可表为
为什么？
n 1 (a )n 0 , n!
且满足
H n n 1 n , 2
n n ',n1 )
2. 能量本征态在坐标表象中的表示
考虑基态 | 0 ，它满足
a | 0 0
即
(x ip) 0 0
在坐标表象中，上式可以写为
x'| x ip 0 0
插入完备性关系 dx''| x'' x''|1 得
下面看 a2 0 是否也是 Nˆ 的本征态，本征值 是多少？
显然
Nˆa2 0 aa a2 0 aa aa 0 a (1 Nˆ )a 0 a2 0 a Nˆa 0
a2 0 aa 0 2a2 0
故 a2 0 也是 Nˆ 的本征态，本征值是2 这样
对本征态 | 0 , a | 0 , a2 | 0 ,
22
而基本对易式是 x, p i,
令
a 1 ( x ip), a 1 ( x ip),
2
2
其逆为
x 1 (a a), 2
p i (a a). 2
利用上述对易式，容易证明(请课后证明) [a, a ] 1.
此时能量以 为单位 长度以 / 为单位 动量以 为单位
将两类算符的关系式
[Nˆ , a ] a , [Nˆ , a] a,
因此
[Nˆ ,a] n a n .
但上式左边 Nˆa n aNˆ n Nˆa n na n ,
由此可得 Nˆa n (n 1)a n .
这说明，a | n 也是 Nˆ 的本征态，相应本
征值为 (n 1) 。
如此类推，从 Nˆ 的本征态 | n 出发，逐次
m | a n 1 | n 1 m | n m | n | n
移项，得 m | a | n 1 m | n 1 | n 上式对任意m都成立，所以
a | n 1 n 1 | n
或 连同
a | n n | n 1 a | n n 1 | n 1
这就是下降和上升算符的定义,很有用处。
第九章 力学量本征值问题的代数解法
分析解法
本征值问题的解法
代数解法
§9.1 一维谐振子的Schrödinger因式分解法 升、降算符
一、Hamilton量的代数表示 一维谐振子的Hamilton量可表为
H 1 p2 1 2 x2. 2 2
采用自然单位 ( 1)
则
H 1 p2 1 x2,
用 a 运算，可得出 Nˆ 的一系列本征态
| n , a | n , a2 | n ,
相应的本征值为
n, n 1, (n 2), .
因为 Nˆ 为正定厄米算子，其本征值为非负 实数。
若设最小本征值为 n0，相应的本征态为 n0
则
a n0 0
此时 Nˆ n0 aa n0 0 0 n0 ,
即 n0 是 Nˆ 的本征值为0的本征态,或 n0 0.
此态记为 | 0 ，又称为真空态，亦即谐振子 的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加 上自然单位)为 / 2 .
利用
[ Nˆ , a ] a
同样可以证明
Nˆa n (n 1)a n
这说明 a n 也是 Nˆ 的本征态，本征值为
三、升降算符的应用 1. 坐标和动量算符的矩阵元计算
利用
a | n n 1 | n 1
a | n n | n 1
以及
x 1 (a a), 2
容易证明：
p i (a a) 2
Байду номын сангаас
xnn
pnn
1( 2 i( 2
n 1nn1 n 1nn1
n nn1 )
,
nnn1)
拿第一式的证明为例。
所以 Nˆ 为正定厄米算符
二、Hamilton量的本征值
下面证明，若Nˆ 的本征值为n , n 0,1,2,
则 H 的本征值 En为(自然单位， )
En
n
1 , 2
n 0, 1, 2, .
证明: 设|n>为 Nˆ 的本征态( n为正实数)，即
Nˆ n n n ,
利用 [a, a ] 1 及 Nˆ aa 容易算出
因为 所以
x 1 (a a) 2
xn'n n'| x | n
1 ( n'| a | n n'| a | n ) 2
1 ( n'| n 1 | n 1 n'| n | n 1 ) 2
1 ( n 1 n'| n 1 n n'| n 1 ) 2
1( 2
n 1n',n1
a | n 1 1 aa | n n
或
a a | n a n | n 1
上式作用任一左矢 m |，有 m | aa | n m | a n | n 1
利用 [a, a ] 1 有 aa aa 1 代入上式
即 m | aa 1| n m | a n | n 1
或 m | aa | n m | n m | a n | n 1 利用 a | n n 1 | n 1 上式变为
x 1 (a a), p i (a a)
2
2
代入一维谐振子的Hamilton量 H 1 p2 1 x2,
22
有
H aa 1 Nˆ 1
2 2
上式就是Hamilton量的因式分解法，其中
Nˆ aa.
由于 Nˆ Nˆ , 而且在任何量子态 下
N ( , aa ) (a , a ) 0
n n nn.
由n
1 (a )n 0 n!
得
n 1 1 (a )n1 0
(n 1)!
所以 a | n 1 (a )n1 | 0 n!
n 1 (a )n1 | 0 (n 1)!
从而有
n1| n1
a | n 1 n | n
而由 所以
Nˆ | n aa | n n n 得
1 aa | n n n n