北师大版选修2-2高中数学4.1.1《定积分的背景——面积和路程问题》同步训练

§1定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念．2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P75～P78“练习2”以上部分，完成下列问题．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图4-1-1所示)．图4-1-12．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】 每个小区间长度为1－（－1）n＝2n . 【答案】 2n教材整理2 定积分阅读教材P 78“练习2”以下至P 80“练习”以上部分，完成下列问题．1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们就称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )dx ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝A ．其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，x 轴和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)⎠⎛ab 1dx ＝b －a ； (2)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛a b f (x )dx (k 为常数)； (3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ±⎠⎛a b g (x )dx ； (4)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛c b f (x )dx (其中a <c <b )．。

曲边梯形的面积S的不足估计值为 S2＝(0＋0.03＋0.06＋…＋0.27)＝1.35. 过剩估计值与不足估计值之差为S1－S2＝0.3. 故不管用S1还是S2来表示曲边梯形的面积误差都不会超过0.3.
6．汽车以10 m/s的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车 以－2 m/s2的加速度刹车，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离 的过剩估计值为(把对应区间5等分)( D )
A．80 m B．60 m C．40 m D．30 m 解析：由题意，知汽车刹车过程中的速度v(t)＝10－2t.令v(t) ＝0，得t＝5，所以刹车时间为5 s．将区间[0,5]5等分，用每个小 区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得 汽车刹车距离的过剩估计值S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－ 2×3＋10－2×4)×1＝30(m)．
4．将函数f(x)＝x2的定义域分成几个小区间，在区间 i－n 1，ni 上有( D )
A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析：由定积分的定义知，当n很大时，区间 i－n 1，ni 趋向于 0，f(x)的值变化很小．
5．在求曲线y＝ex与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图 形的面积S时，把区间[0,1]5等分，则S的不足估计值为( A )
则v(1＋i－n 1)＝3(1＋i－n 1)＋2＝3n(i－1)＋5，
所以sn＝i＝n1[3n(i－1)＋5]·1n
＝{3n[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5n}·1n ＝n32·nn－ 2 1＋5＝32(1－1n)＋5， 所以汽车在第1 s到第2 s间行驶的路程 s＝lni→m∞sn＝32＋5＝123(m)．
解析：n个小曲边梯形是所给曲边梯形等面积分割得到的， 因此其面积和为S，∴①正确，②③④错误．

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解
将区间[0,1] 5等分，如图
如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计
值，
S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，
如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计 值， s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16， 因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．
2 2 2 2
(2)1 ＋2 ＋3 ＋„＋n
3
3
3
3
nn＋1 2 ＝ 2
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题型一 估计曲边梯形的面积
【例1】 估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲
边梯形的面积． [思路探索] 可先将 [0,1] 等分，分别计算其过剩估计值与 不足估计值即可．
§1 定积分的概念
1．1 定积分的背景——面积和路程问题
【课标要求】 1．了解定积分的实际背景．
2．了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．
3．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
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【核心扫描】
1．“以直代曲”，“以不变代变”的思想的运用．(难点)
2．正确求出曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．(重点)
积，只要判断准函数v(t)的单调性，就不难得出不足估计值
和过剩估计值．
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【解题流程】 分割 → 以直代曲 → 求和 → 近似估计 → 估计误差
[规范解答] 将行驶时间1 h平均分成10份．
分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.

高二数学 第四章 定积分 §1 定积分的概念1．1 定积分的背景——面积和路程问题1．2 定积分课时目标 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念建立的背景，借助于几何直观体体会定积分的基本思想．1．解决面积、路程和变力做功问题，都是通过分割自变量的区间得到______________和________________，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．2．定积分的意义：当f (x )≥0时 ʃb a f (x )d x 表示__________________________围成的曲边梯形的面积；当f (x )表示速度关于时间x 的函数时，ʃba f (x )d x 表示__________________________所走过的路程．3．定积分的性质(1)ʃba 1d x ＝________；(2)ʃba kf (x )d x ＝____________；(3)ʃba [f (x )±g (x )]d x ＝________________；(4)ʃba f (x )d x ＝________________.一、选择题1．定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x2xx，则ʃ1－1f (x )d x 可化为( )A ．ʃ1－1x 2d xB ．ʃ1－12xd xC ．ʃ0－1x 2d x ＋ʃ102x d xD ．ʃ0－12x d x ＋ʃ10x 2d x3．定积分ʃ10x d x 的值是( )A ．1B.12C.13 D ．0 4．定积分ʃ1－1x 3d x 的值为( ) A.14 B.12 C.13D ．0 5．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( ) A ．f (x )的值变化很小 B ．f (x )的值变化很大 C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小6．设a ＝ʃ113x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >b B ．a >b >c C ．a ＝b >c D ．a >c >b 二、填空题7．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．8．如图，阴影部分的面积分别以A 1，A 2，A 3表示，则定积分ʃba f (x )d x ＝________.9．ʃ1－14－x 2d x ＝____________. 三、解答题10．利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)ʃ101－x 2d x ；(2)ʃ2π0cos x d x .11.已知函数f (x )为偶函数，且ʃ60f (x )d x ＝8，求ʃ6－6f (x )d x .能力提升12．如图，阴影部分面积为( )A ．ʃba [F (x )－g (x )]d xB ．ʃc a [g (x )－F (x )]d x ＋ʃbc [F (x )－g (x )]d xC ．ʃc a [F (x )－g (x )]d x ＋ʃbc [g (x )－F (x )]d xD ．ʃba [g (x )－F (x )]d x13．利用定积分的几何意义求ʃ2－2f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x ·cos x d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x3x －x.1．利用定积分的定义求定积分，分四步：分割、近似代替、求和、取极限． 2．求一些较复杂的定积分可以结合函数的性质和定积分的性质． 答 案知识梳理1．过剩估计值 不足估计值2．y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 和x 轴 运动物体从x ＝a 到x ＝b 时3．(1)b －a (2)k ʃba f (x )d x(3)ʃb a f (x )d x ±ʃba g (x )d x(4)ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x 作业设计 1．A2．D [ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－12x d x ＋ʃ10x 2d x .故选D.] 3．B [即计算由直线y ＝x ，x ＝1及x 轴所围成的三角形的面积．]4．D [画草图，f (x )＝x 3的图像关于原点对称，在区间[－1,1]上，x 轴上方f (x )所围面积与x 轴下方f (x )所围面积相等，故由几何意义知ʃ1－1x 3d x ＝0.]5．D 6.B 7．1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110×⎝⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.8．A 1＋A 3－A 2解析 利用定积分的几何意义，在区间[a ，b ]上，用x 轴上方f (x )所围面积减去x 轴下方f (x )所围面积．9.2π3＋ 3解析 由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图． ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝|AB |·|BC |＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. 10．解 (1)由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图像是以原点为圆心，半径为1的圆的4部分． ∴ʃ101－x 2d x ＝14π·12＝14π.(2)由函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像的对称性(如图)知， ʃ2π0cos x d x ＝0.11．解 原式＝ʃ0－6f (x )d x ＋ʃ60f (x )d x∵f (x )为偶函数，∴f (x )在y 轴两侧的图像对称，面积相等．∴ʃ6－6f (x )d x ＝8×2＝16. 12．B [根据定积分的几何意义．]13．解 ʃ2－2f (x )d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝ʃ0－2(3x －1)d x ＋ʃ20(2x －1)d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ，∵y ＝sin x cos x 为奇函数， ∴ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝0. 利用定积分的几何意义，如图，∴ʃ0－2(3x －1)d x ＝－7＋12×2＝－8. ʃ20(2x －1)d x ＝3＋12×1＝2. ∴ʃ2－2f (x )d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝2－8＋0＝－6.。