[K12学习]2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.7 函数的图象课后作业 文

－2
所以
1－ f(x)＝2 |x|＝2|x|.
f(x)是偶函数，结合图象知选 A.
答案：A
第二章
函数、导数及其应用
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微课时
4． 若函数 y＝(a2－1)x 在(－∞， ＋∞)上为减函数， 则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意知 0＜a2－1＜1，即 1＜a2＜2， 得－ 2＜a＜－1 或 1＜a＜ 2.
－
⑥若 am＜an(a＞0 且 aห้องสมุดไป่ตู้1)，则 m＜n.
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解析：①错误，应该是 －44＝|－4|＝4. 2 4 4 2 ②错误，应该是(－1)4＝ －1 ＝ 1＝1. ③正确，两个函数均不符合指数函数的定义． ④正确，当 x－2＝0 即 x＝2 时，f(2)＝2，因此图象恒过定点 P(2,2)． ⑤错误，当 0＜a＜1 时，函数 y＝a－x 是 R 上的增函数；当 a＞1 时，函数 y＝a－x 是 R 上的减函数． ⑥错误，当 a＞1 时，m＜n；而当 0＜a＜1 时，m＞n.
aa≥0 n a ＝|a|＝ －aa＜0
n
n
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2.有理数指数幂
n m m a 正分数指数幂：a n ＝_________
m 1 1 概念 负分数指数幂：a－ n ＝ m＝ n m an a 0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 运算 性质 ar· as＝ar＋s (ar)＝ars (ab)r＝arbr a＞0，b＞0，r，s∈Q (a＞0，m，n∈N*，且 n ＞1)

(3)翻折变换 〈1〉y＝|f(x)|的图象可将 y＝f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴 为对称轴⑪____________ ，其余部分不变。 翻折到 x 轴上方 〈2〉y＝f(|x|)的图象可将 y＝f(x)，x≥0 的部分作出，再利用偶函 y 轴 对称，作 数的图象关于⑫______ 出 x＜0 的图象。 (4)伸缩变换 〈1〉y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将 y＝f(x)图象上所有点的纵坐标 A倍 横坐标 不变而得到。 变为⑬原来的 ________ ，⑭________ 〈2〉 y＝f(ax)(a＞0)的图象， 可将 y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为⑮ 1 纵坐标 不变而得到。 ________ 原来的a 倍，⑯________
考点一 作函数的图象 【典例 1】作出下列函数的图象。 1|x| (1)y＝2 ；(2)y＝|log2(x＋1)|； 2x－1 (3)y＝ 。 x－1
上
1x 1x 解析：(1)作出 y＝ 2 的图象，保留 y＝2 图象中 x≥0 部分，加 1x 1|x| y＝2 的图象中 x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝2 的图
解析：(1)错误，前者是函数 y＝f(x)图象本身的对称，而后者是两 个图象间的对称。 (2)错误，例如，函数 y＝|log2x|与 y＝log2|x|，当 x＞0 时，它们的 图象不相同。 (3)错误， 函数 y＝af(x)与 y＝f(ax)分别是对函数 y＝f(x)作了上下伸 缩和左右伸缩变换，故函数图象不同。 (4)错误， 将函数 y＝f(－x)的图象向右平移一个单位可得 y＝f(－(x －1))＝f(－x＋1)的图象。
[知识重温] 一、必记 2●个知识点 1．列表描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化 简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)； 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值、最小值、与坐标轴的交 点)，描点，连线。

2. 7函数的图象E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. 为了得到函数尸3x （#的图象，可以把函数尸的图象（） A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度答案D解析 尸3乂份=（护・0=（护，故它的图象是把函数y=（才的图象向右平移1 个单位长度得到的.故选D.1 n | x — 12. （2017 •山西太原二模）函数f\x ） = } _ v|的图象大致为（ ）CD答案D1 n x — 1 I解析 函数f3=门_日 的定义域为（一叫Dud, +-）,且图象关于x=i 对称, 排除B 、C ；取特殊值，当心*时，f{x ） =2In |<0,故选D.■ 2 1212 12^—一X3.函数/V）=ln （2+1）的图象大致是（）A/( IT )=4,故选 A.故函数/(%) =sin (2/+-^-答案A解析 依题意，得A-%)=ln (,+ l)=f(x),所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x) 的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数代劝过定点(0, 0),排除B, D,故选A.A ( j[ \4・(2017 •乐山模拟)函数f3= ------------------ ^>0, | ^\<~的部分图彖如图所sin 厶)示，则f(皿)=()A. 4B. 2念C. 2 Dp答案A解析 由函数的图象可得A=2f 根据半个周期牛=%+令，解得3 = 2. 由图象可得当*=—誇时，函数无意义,即函数的分母等于零，即sin 2(—令)+ 2 =再由丨创与，可得解析 作出函数y= f{x ）与7=&的图彖，如图所示: 由图可知 圧（0,1],故选D.6. （2018 •山东日照一模）现有四个函数①y=xsinx f ②y=xcosx f ③y=x\ cos^l,④y =立'的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的 一组是（）1 厂L A_-A 2r■ AX0 x /A.①④②③B.①④③②5. （2017 •北京模拟）已知函数=&有两个不等的实数根，则实数斤的取值范围是（A. （0, +8）B.C. （1, +◎答案D若关于x 的方程/tv ）D. )(一8, 1) (0,1]C.④①②③D.③④②①答案A解析①尸xsinx在定义域上是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y=”cosx|在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称, 且当x>0时，其函数值y20；④尸垃'在定义域上为非奇非偶函数，且当Q0时，其函数值y〉0,且当*0时，其函数值X0.故选A.7.（2015・浙江高考）函数f{x） =1 x—+）cosx（— Ji WxW叽且xHO）的图象可能为（）答案D解析 解法一：（性质+特值排除法）该函数的定义域为[—兀，0） U （0, IT ],显然定义 域关于原点对称.函数尸/一-是奇函数，y=cosx 为偶函数，所以= X 除B ；取x=兀,则/'（兀）=（兀一Jcos JT =—（兀一J<0,故排除C.故选D.解法二：（特值排除法）f （ Ji ）=（兀一+）cos 兀=一（兀一彳〈0,故可排除A 、C ；而f （— 兀）=（—兀一二・cos （―兀）=（“ 一£>0,故排除B.故选D.8. （2017 -达州期末）已知函数f （x ） =xcosx 9 f （0是f （0的导数，同一坐标系中，f （x ）和f （劝的大致图彖是（）答案C解析由于f(x) =xcosx f所以排COSX 为奇函数,:.f (劝=cosx—xsinx,当r（%）>o时，/'（劝是增函数，曲线是上升的，r axo时，/•（/）是减函数，曲线是下降的，判断出c是正确的，排除A.故选C.9.（2018・郑州模拟）函数尸宀的图象与函数y=2sin兀*一Y~ X2W/W4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4 C・ 6 D・ 8答案D解析图象法求解.在同一坐标系中，分别作出函数y= 宀与y=2sinn*—2W/W4）的图象，y=—的对称中心是（1,0）,也是y=2sin兀x（—2W/W4）的中心，当一2W/W4 X— 1它们的图象在X=l的左侧有4个交点，则/=1右侧必有4个交点.不妨把它们的横坐标由小到大设为Xl, X2, %3,无1,疋，矗，X1,朋，则*1 +於=/2+脸=用+矗=禺+朋=2,所以选D.10.（2017 •杭州五校联盟诊断）若直角坐标平面内两点只0满足条件：①P, Q都在函数尸fd）的图象上;②只Q关于原点对称，则称（只G是函数f\x）的一个“伙伴点组”（点kx—] x> Q组（只Q）与（@ Q看作同一个“伙伴点组”）.已知函数〃有两—In — x , K0个“伙伴点组”，则实数斤的取值范围是（）A. （一8, 0）B. （0, 1）C. （o,D. （0, +°°）答案B解析依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y=f^的图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y=-ln ( — 0(*0)关于原点对称的函数y=ln丸(Q0)的图彖，使它与直线y=kx~\ (Q0)的交点个数为2即可.当直线尸上r—1与y=ln x的图象相切时，设切点为(//A In ni), 又尸In x的导数为/ =丄，A则伽一l = ln m,斤=丄，解得zz?=l, k=\,m可得函数y=ln%(^>0)的图象过(0, —1)点的切线的斜率为1,结合图象可知(0, 1) 时两函数图象有两个交点.故选B.二、填空题[I lg x\, x>0,11.(2018 •咸阳模拟)已知|.rl则函数尸2^(0—3/W+1的零点个数是________ ・答案5解析由2产(0 —3/(^) +1 = 0 得f\x) =*或/V) =1，作岀两数y= f\x)的图象.由图象知尸*与y=t\x)的图象有2个交点，y=l与y=t\x)的图象有3个交点.因此函数-3 4-1的零点有5个.12.设函数f(x), gd)的定义域分别为尺G,且尸6：若对任意的xWF,都有g3 =fg 则称g (力为/U)在G 上的一个“延拓函数” •已知函数f3 =为fd)在R 上的一个延拓函数，且gd)是偶函数，则函数gd)的解析式为 ______________答案g3=2”解析 画出函数的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数 g(0的图象，由图可知：函数g(0的解析式为g(0=2 一13. (2018 •南昌大联考)已知/V)是定义在R 上且周期为3的函数，当 圧［0,3)时， f3= /-2x+| •若函数y=f\x)-a 在区间［一3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数已 的収值范围是_答案A ，解析 先画出y =,—2%+*在区间［0, 3)±的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上 方，利用周期为3,将图象平移至区间［ — 3,4］内，即得在区间［ — 3, 4］上的图象如图所 示，其中 /(—3) =f(0) =f(3) =0. 5, f( —2) = Al) =f(4) =0. 5.函数y=f^~a 在区间［ — 3, 4］上有10个零点(互不相同)等价于y=g 的图象与直线14. (2017 •湖北百所重点学校联考)设函数fd)对任意实数廿满足fU)=-fa+l), 且当0W/W1时，f(x)=*l —方，若关于无的方程f{x)=kx 有3个不同的实数根，则斤的 取值范围是 .答案(5 — 2托，l)U{ — 3 + 2^}解析 因fd)= — fd+l),故fd+2)=f(0,即函数f(x)是周期为2的周期函数， 画出函数f\x),［0,1］的图象，再借助函数满足的条件f(x)= —f(x+l)及周期性，画出函数y=f{x)的图象如图，易知仅当直线尸=滋位于Z 与厶之间(不包括71,厶)或与厶重 合时满足题意，对y=x(l-%)求导得=1-2%, / |x=o=l, ：.li 的斜率为1.以下求A 的斜率：当 1W^W2 时，易得 f{x) = — f{x —\) =— (^― 1) ［1— (%—1)］ =# —3/+2,令 x —3x+2 — kx=0,得#—(3 +W)x+2 = 0,令 A — (3 + A)2—8=0,解得斤=—3±2寸由此 易知厶的斜率为一3 + 2迈.同理，由2W/W3时，％劝=一/+5才一6,可得厶的斜率为5 —(£|go),2托•综上，5 — 2托〈处1或斤=一3+2边，故应填(5-2^6, 1) U {-3 + 2^2}.(2) 由图象可知,函数代劝的单调递增区间为[一1, 0], [2,5]. (3) 由图象知当X=2时,f(0・in=f (2)= —1,当 x=0 时，f(x)^=f(0)=3.三.解答题15.3—y, 已知函数心L-3,i4 O' 3 - 2 ■1-11P1 2 3 4 5⑴在如图所示给定的直角坐标系内画出代力的图象;(2) 写出 他)的单调递增区间;(3) 由图象指出当x 取什么值时f(x)有最值.解(1)函数fd)的图象如图所示.圧 2, 5].16.已知f\x) = | /—4A Z+3 I.(1)作出函数f(x)的图象;(2)求函数代力的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合片｛引使方程f3=m有四个不相等的实根｝・解⑴当4x+3$0 时，xWl 或x23,fg =%—4x+3, xWl或x$3,—#+4x—3, 1〈人＜3,:・fg的图象如图所示.(2)由函数的图象可知/U)的单调区间是(一8, 1], (2, 3), (1,2], [3, +8),其中(一8，1], (2, 3)是减区间；(1,2], [3, +8)是增区间.(3)由代方的图象知，当0〈水1时，f3=m有四个不相等的实根，所以#=U|O</^1｝.。

第七节 函数的图象————————————————————————————————[考纲传真] 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变y＝af(x)的图象．―――――――――――――――――――――→0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a，横坐标不变(4)翻转变换x轴下方部分翻折到上方y＝|f(x)|的图象；①y＝f(x)的图象―――――――――――→x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧y＝f(|x|)的图象．②y＝f(x)的图象―――――――――――――→原y轴左侧部分去掉，右侧不变1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( )(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )①②③④图2­7­1A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④B [设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B.]跑，依题意3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e－x －1.] 4．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )D [∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，故选D.]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：31222055】(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．](1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.3分①②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.6分(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.9分③④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.12分[规律方法] 画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．[变式训练1] 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.[解] (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.6分(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.12分( )(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图2­7­2，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2­7­2A B C D(1)D (2)B [(1)∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时， 在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.] [规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．[变式训练2] (1)已知函数f (x )的图象如图2­7­3所示，则f (x )的解析式可以是( )图2­7­3A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1 D ．f (x )＝x －1x(2)(2016·河南平顶山二模)函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图2­7­4所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )图2­7­4(1)A (2)C [(1)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A. (2)由题图可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.]☞角度1已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]☞角度2 确定函数零点的个数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．5 [方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.]☞角度3 求参数的值或取值范围(2016·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ kx －1，x ＞0，－－x ，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)B [根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x， 即km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1， 可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.]☞角度4 求不等式的解集函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图2­7­5所示，那么不等式f xcos x ＜0的解集为________．图2­7­5⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f x cos x 为偶函数， 所以f x cos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.] [规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[思想与方法]1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．[易错与防范]1．图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错． 2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．课时分层训练(十) 函数的图象A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度B [因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象，故B正确．]2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【导学号：31222056】A B C DC [出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.]3．(2016·广西桂林高考一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )A B C DB [由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x>1时，y>0，故选B.]4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(0,1]D [作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：由图可知k∈(0,1]，故选D.]5．(2017·洛阳模拟)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图象(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图象如图2­7­6所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________. 【导学号：31222057】图2­7­6(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．如图2­7­7，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图2­7­7f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0.]8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5].(1)在如图2­7­8所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图2­7­8(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图象如图所示．4分(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5].8分 (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12分 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：4分(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.8分(3)由f (x )的图象知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．已知函数f (x )＝若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________．【导学号：31222058】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ [对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.]3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，3分∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.5分(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2].7分 ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.9分令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞).12分。