导数第三节教学案(陈学俊整理)案

§3.3.1导数与函数的单调性
学习目标： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
学习重点：利用导数判断函数单调性。

学习难点：利用导数判断函数单调性。

学习过程：
一、问题情境
复习：1.判断函数的单调性.
对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，当 时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 ，那么函数f(x)就是区间I 上的减函数. 二、建构数学
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函
数y=f(x)的导数.
那么从函数342+-=x x y 的图像 可以看到：
结论：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，
那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数
y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2.用导数求函数单调区间的步骤：
①
② ③
三、例题讲解
例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数.
例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数.
例3证明函数f (x )=x
1
在(0，+∞)上是减函数.
例4确定函数[]()sin (0,2)f x x x π=∈的单调减区间
四、课堂练习：
1．确定下列函数的单调区间
(1) 2y x x =- (2)3y x x =-
2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.
3.用导数证明:
(1)()x
f x e =在区间 (,-∞+∞）内是增函数
(2) ()x
f x e x =-在区间(,0)-∞内是增函数.
五．布置作业：课本P 87 2（2），4
§3.3.2导数与函数的极值1
学习目标：1.理解极大值、极小值的概念.
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
3.掌握求可导函数的极值的步骤
学习重点：极大、极小值的概念和判别方法以及求可导函数的极值的步骤. 学习难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤
学习过程：
一、复习回顾
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
2.用导数求函数单调区间的步骤：
①
②
③
3.问题创设：（结合下图，思考下面问题）
问题1：极大值的定义？
问题2：极小值的定义？
问题3：极值的定义？
问题4：判别f(x0)是极大、极小值的方法？
问题5：求可导函数f(x)的极值的步骤?
二、建构数学
例1求y =x 2－5x +6的极值 例2求y =
31x 3－4x +3
1
的极值
三．课堂练习 1.课本
P 89 2,3
2.求函数的极值（1）2
4
2y x x =- （2）y =x 3－27x
四．课堂小结 五．布置作业：
课本
P 89 1,4
§3.3.2导数与函数的极值2
学习目标：1.理解函数的极大值、极小值和极值的概念；
2.掌握用导数的方法求已知函数的极值求参数的值和函数极值的应用。

学习重点：利用导数求已知函数的极值，求参数的值和函数极值的应用。

学习难点：求参数的值和函数极值的应用 学习过程：
一、已知函数的极值求参数：
例1()()2
f x x x c =-在x = 2处有极大值，则常数c 的值为_________
例2．已知函数32y ax bx =+，当1x =时，y 有极大值3；
（1）求,a b 的值 （2）求函数y 的极小值
二、函数极值的应用：
例3.已知函数2)(23+++=cx bx x x f （1）若f(x)在x=1时有极值-1，求b 、c 的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与函数y=k 的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围。

三、课堂练习
1.若223)(a bx ax x x f +++=在x=1时有极值10，求a 、b 的值。

2.设函数，cx bx ax x f ++=2
3
)(在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1,求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值.
四、布置作业 课本P 91 2,3
§3.3.3导数与函数的最值
学习目标：⒈理解函数的最大值和最小值的概念；
2.掌握用导数的方法求闭区间[]b a ,上可导函数的最大值和最小值的方法和步骤
学习重点：利用导数求函数的最大值和最小值
学习难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 学习过程： 一、问题情境
问题1.观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象． （1）你能找出它的极大值和极小值吗？
（2）你能找出函数y=)(x f 在区间[]b a ,上的最大值、最小值吗？
问题2.观察)(x f y =在它们的定义区间上的图像，它们在给出的区间上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
二、建构数学 1.最大值、最小值：
如果在函数定义域内存在0x ，使得对 ，总有 ,则 称为函数f(x)在定义域I 上的最大值，若总有 ，则称 为函数f(x)在定义域I 上的最小值。

2.连续函数在闭区间上是否一定有最值？
一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有 与 ．并且函数的最值必在 或 处取得。

例1 求函数243y x x =-+在区间[]1,4-上的最大值与最小值
例2 求1
()sin 2
f x x x =+在区间[]0,2π上的最大值与最小值
三．课堂练习
1．求下列函数在所给区间上的最大值和最小值 （1）()32f x x =+ ,[]1,3x ∈-（2）1()f x x x =+,1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（3）3
y x x =-,[]0,2x ∈
2.已知
c x bx ax x f +-+=2)(2
3在2-=x 时有极大值6，在1=x 时有极小值，求c b a ,,的值；并求)(x f 在区间[－3，3]上的最大值和最小值.
四．课堂小结 五．布置作业：课本
P 91 3,4,5
§3.4导数在实际生活中的应用
学习目标：进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；能利用导数解决与面积、体积有关的
优化问题
学习重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题 学习难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题 学习过程： 一、问题情境
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，而要求最值，首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

二、建构数学
例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
例2某种圆柱形饮料罐的容积为V ，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？
_ 60
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐容积最大？
例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝10005003.0102
3
6
++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C ' 最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？
三．课堂练习 课本
P 96 1,2,3
四．课堂小结
五．布置作业：
课本P 98 2,3,5。