高中数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：马长琴 审稿人：张林§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一．教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．二．教学重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用三．教学过程：（一）．创设情景复习五种常见函数y c =、y x =、应用 1（1 （2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x =与2x y =（2）3x y =与3log y x =2.（1推论：['()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导,前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）sin y x x =⋅；（3）2(251)x y x x e =-+⋅；（4）4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．四．典例精讲例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。

解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：当05p =时，()5(15%)t p t =+，根据基本初等函数导数公式和求导法则，有'()5 1.05ln1.05t p t =⨯所以'10(10)5 1.05ln1.050.4p =⨯≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨． 例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1） 因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．点评 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．五．课堂练习做导学案的当堂检测六．课堂小结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则七．布置作业八．教学后记。

人教A版选修2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案及教学反思一、教学目标通过本节课的学习，让学生： 1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2. 掌握导数的常数因子、和差、积、商的运算法则； 3. 能够应用所学知识求出初等函数的导数； 4. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力。

二、教学内容2.1 基本初等函数的导数公式（1）常数函数的导数公式：[C]′=0（2）幂函数的导数公式：[x n]′=nx n−1（3）指数函数的导数公式：[e x]′=e x（4）对数函数的导数公式：$[\\ln{x}]'=\\dfrac{1}{x}(x>0)$ （5）三角函数的导数公式：$$\\begin{aligned} [\\sin{x}]'&=\\cos{x}\\\\[\\cos{x}]'&=-\\sin{x}\\\\ [\\tan{x}]'&=\\sec^2{x} (x\ eq n\\pi+\\frac{\\pi}{2})\\\\ [\\cot{x}]'&=-\\csc^2{x} (x\ eq n\\pi) \\end{aligned}$$2.2 导数的运算法则（1）常数因子法则：设C为常数，则[Cf(x)]′=Cf′(x)（2）和差法则：$[f(x)\\pm g(x)]'=f'(x)\\pm g'(x)$ （3）积法则：[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)（4）商法则：$[\\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} (g(x)\ eq0)$三、教学过程3.1 导入教师通过数字游戏，引导学生探讨“导数”的概念，并由此引出本节课的教学内容。

3.2 讲授教师对基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则进行一一讲解，强调注意事项和易错点。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案编写者：马长琴教学目标：1. 理解基本初等函数的导数公式。

2. 掌握导数的运算法则。

3. 能够运用导数公式和运算法则解决问题。

教学重点：1. 基本初等函数的导数公式。

2. 导数的运算法则。

教学难点：1. 导数公式的记忆和应用。

2. 导数运算法则的推导和应用。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 教案手册。

3. 黑板和粉笔。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾导数的定义和性质。

2. 提问：导数在实际应用中的作用是什么？二、基本初等函数的导数公式（15分钟）1. 讲解常数的导数公式：\( (c)' = 0 \)2. 讲解幂函数的导数公式：\( (x^n)' = nx^{n-1} \)3. 讲解指数函数的导数公式：\( (a^x)' = a^x \ln(a) \)4. 讲解对数函数的导数公式：\( (\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln(a)} \)5. 讲解三角函数的导数公式：\( (\sin(x))' = \cos(x) \)\( (\cos(x))' = -\sin(x) \)\( (\tan(x))' = \sec^2(x) \)6. 讲解反三角函数的导数公式：\( (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( (\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( (\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2} \)三、导数的运算法则（15分钟）1. 讲解导数的四则运算法则：加法法则：\( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \)减法法则：\( (f(x) g(x))' = f'(x) g'(x) \)乘法法则：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)除法法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)2. 讲解导数的复合运算法则：-链式法则：\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)-反函数法则：\( (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)-乘积法则：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)-商法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)四、巩固练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀教学设计【导学目标】1.理解基本初等函数的定义及导数的定义；2.掌握常见基本初等函数的导数公式；3.了解导数的运算法则及其应用。

【教学准备】教师准备：电子白板，投影仪，计算工具。

【教学过程】【导入】（10分钟）1.引导学生回顾基本初等函数的定义及导数的定义。

询问学生他们对基本初等函数及导数的理解和应用。

2.引发学生思考：我们在什么情况下需要计算导数？导数有什么作用？【具体内容】（110分钟）1.基本初等函数导数的公式及其证明（20分钟）-告诉学生，常见的基本初等函数有常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

-分别给出这些函数的导数公式，并请学生一起推导公式的证明。

- 例如：幂函数 $f(x) = x^n$ 的导数为 $f'(x)= nx^{n-1}$ ；指数函数 $f(x) = a^x$ 的导数为 $f'(x) = a^x \ln a$。

2.导数的运算法则（30分钟）-告诉学生：导数的运算法则可以简化导数计算。

具体包括：常数的导数、和差函数的导数、积函数的导数、商函数的导数和复合函数的导数。

- 分别解释并给出具体运算规则。

例如：常数函数的导数为0，即$f'(x) = 0$ ；和差函数的导数为两个函数的导数的和，即 $(f+g)'(x)= f'(x) + g'(x)$ ；积函数的导数为两个函数其中一个的导数乘以另一个函数，即 $(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdotg'(x)$ ；商函数的导数为两个函数其中一个的导数乘以另一个函数减去另一个函数的导数乘以第一个函数，即 $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$ ；复合函数的导数为外函数的导数乘以内函数的导数，即 $(f \circ g)'(x) =f'(g(x)) \cdot g'(x)$。

例1．求下列函数的导数：
（1） ；（2） ； （3） ；
（4） ；（5） .
■自主探究
1．求下列函数的导数：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） 。
四、总结提升
本节课你主要学习了。
五、问题过关
1 .已知 函数 ，且 ，求 。
2.求曲线 在点 处的切线方程。
3．已知曲线C：y＝ 经过点P(2，－1)，求
_____年级______学科导学案编号______编制______
授课人_____授课时间_____班级_____姓名_____小组_____
课题：基本初等函数的导 数公式及导数的运算法则（2）
课型：新课课时：1课时
一、学习要求
1．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；
2.能利导数的四则运算法则 求函数的导数；
二、预习内容
1.导数运算法则
若 ， 存在，则
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） 。
【要点 说明】ห้องสมุดไป่ตู้
（1）应用函数的和、差 、积、商的 求导 法则求复杂函数的导数时，为简化运算，经常先 化简再求导；
（2）对含参数的 函数求导时，要先明确变量与常量，再根据求导法则求导，避免求导时出现错误。
三、学习过程
■合作探究
(1)曲线在点P处的切线的斜率．
(2)曲线在点P处的切线的方程．
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．
知识盘点：
心得感悟：
备注
（教师复备栏及学生笔记）

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。

在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。

六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。

4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。

2、再观察有哪些运算法则。

3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。

在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。

六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。

4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。

2、再观察有哪些运算法则。

3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。

5、若 f ( x) a ,则 f ( x) _______________
'
a ln a(a 0) x x ' e 6、若 f ( x) e ,则 f ( x) _______
x
1 7、若 f ( x) loga x ,则 f ( x) ________________ (a 0, 且a 1) x ln a 1 ' 8、若 f ( x) ln x ,则 f ( x) _____ x
2、求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx) －f(x0)
y （2）求平均变化率 x
（3）求极限 f ' ( x ) lim
y x 0 x
新课讲解
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
几个常用函数的导数 1、 函数 y f ( x) c 的导数 y ' 0

'
1
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
4
【例1】已知 y x （1）求y’; （2）求曲线在点(1，1)处的切线方程。
1 y x 4
'

3 4
1 3 y x 4 4
2
【练习】若抛物线y 4 x 上的点P到直线y 4 x 5 的距离最短，求点P的坐标。
1 4 s t 4t 3 16t 2 4
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
【例 5】偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图象过点 P(0,1)，且在 x＝1 处的切线方程 为 y＝x－2，求 y＝f(x)的解析式．

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、学习目标 掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法．二、重点难点本节的重点是：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即 (u ±v )′＝u ′±v ′ (uv )′＝uv ′＋u ′v (vu )′＝2v v u v u '-'． 本节的难点是：积的导数和商的导数的正确求法． 三、典型例题例1求下列导数（1）y ＝xx --+1111； （2）y ＝x · sin x · ln x ；（3）y ＝x x 4； （4）y ＝x x ln 1ln 1+-． 【点评】如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．例2求函数的导数① y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x② y ＝xx x x x x sin cos cos sin +- 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？【解】（1）把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4．∴ 切点为（1，－4）．y ′＝12 x 3－6 x 2－18 x ，∴ 切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．∴ 切线方程为y ＋4＝－12（x －1），即y ＝－12 x ＋8．由⎩⎨⎧+-=+--=8124923234x y x x x y 得 3 x 4－2 x 3 －9 x 2＋12 x －4＝0(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0x ＝1，－2，32． 代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（32，0）． 除切点外，还有两个交点（－2，32）、（32，0）． 【点评】直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．例4曲线S ：y ＝x 3－6 x 2－x ＋6哪一点切线的斜率最小？设此点为P （x 0，y 0）．证明：曲线S 关于P 中心对称．【解】y ′＝3 x 2－12 x －1当x ＝3212 ＝2时，y ′有最小值，故x 0＝2， 由P ∈S 知：y 0＝23－6 · 22－2＋6＝－12即在P （2，－12）处切线斜率最小．设Q （x ，y ）∈S ，即y ＝x 3－6 x 2－x ＋6则与Q 关与P 对称的点为R （4－x ，－24－y ），只需证R 的坐标满足S 的方程即可． (4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6＝64－48 x ＋12 x 2 －x 3－6（16－8 x ＋x 2）＋x ＋2＝－x 3 ＋6 x 2 ＋x －30＝－x 3 ＋6 x 2 ＋x －6－24＝－y －24故R ∈S ，由Q 点的任意性，S 关于点P 中心对称．。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一． 复习引入1. 导函数定义当x =x 0时, f ´(x 0) 是一个确定的数.这样,当x 变化时, f ´(x )便是x 的一个函数,我们称它为f (x )的导函数.即:2. 由定义求导数（三步法）二． 课堂探究探究点1 试求几种常见函数的导数（1） f (x)=c （c 为常数）（2） f (x)=x（3） f (x)=x 2思考：从（2）（3）（4）你能发现（x n ）'=?结论：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 函数 导数 y c ='0y = y x = '1y =00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x ∆→∆→∆+∆-''===∆∆xx f 14=)()(三．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表小试牛刀：1、 求下列函数的导数（1）f(x)=a 2.（2）f(x)=x 12.（3）f(x)=x -4.（4）f(x)=lgx.设计意图：让同学熟悉公式，能够用简单的公式求简单函数的导数 导数运算法则 2y x = '2y x = 1y x = '21y x =- *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= 函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e =()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）四．典例分析例1．求下列函数的导数:735(1)1;2(2).y x x x y x x=+-+=-（3）y =x 2sin x（4）y ＝x x 4； 【点评】○1 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例2．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．例 3.日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1） 因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2） 因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．五．课堂练习2.函数 y =sin x (cos x ＋1)的导数为______________.3.曲线y=x 3＋x 2＋l 在点P(－1，1)处的切线方程为 .六．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则七．布置作业 活页作业NO.13基本初等函数求导公式及运算法则学情分析在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们在处理这部分内容时不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教材分析本节内容是数学选修1-1 第三章 导数及其应用的第二节，是导数的关键部分，对后面更深地研究导数起着至关重要的作用，在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法.但是如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂的，甚至是不可能的.因此，我们希望找到一些简单的函数的导数（作为基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程.因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥的淋漓尽致，教材层层深入，由易到难，要求通过讲解使得本节简单易懂.课时分配本节内容用2课时的时间完成，主要讲解几个常用函数的导数推导、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.教学目标重点: 根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数． 难点：如何利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 知识点：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.能力点：如何利用定义求几个常用函数的导数，及利用运算法则求函数导数.教育点：经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用导数定义求解常用函数的导数.考试点：利用导数公式及运算法则求解函数导数以解决简单的函数求导问题.易错易混点：运用导数公式时， 学生一般在求导公式上容易出错，尤其是以a 为底的指数函数和对数函数的导数公式，学生公式易混淆.拓展点：利用极限概念求解常用函数导数，及由基本初等函数通过加、减、乘、除组合而成的复杂函数的求导问题.教具准备 多媒体课件和黑板. 课堂模式 学案导学 一、引入新课【师生活动】提问：1、导数的几何意义： .2、导数的物理意义： .3、导函数的求解公式是什么？生答：导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率； 导数的物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度；导函数的求解公式是：()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ .【设计意图】 通过复习导数意义及导函数的求解公式，使学生在理解的基础上加以记忆，为下一步求导做准备．根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0时，yx∆∆所趋近于的那个定值. 下面我们求几个常用函数的导数.（1）函数()y f x c ==的导数因为()()0f x x f x y c c x x x+∆-∆-===∆∆∆， 所以00limlim 00x x yy x ∆→∆→∆'===∆.若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释 为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.（2）函数()y f x x ==的导数因为()()1f x x f x y x x x x x x+∆-∆+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆.若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释 为某物体的瞬时速度为1的匀速运动.3. 函数()2y f x x ==的导数()()22222()2()2,f x x f x y x x x x x xx x x x x xx x +∆-∆+∆-==∆∆∆+∆+∆-=∆=+∆ 因为所以()00limlim 22x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆.2y x '=表示函数2y x =图象上点(),x y 处切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看2y x '=表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x=减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x . 变式训练：求函数()1y f x x==的导数()()()()2111,f x x f x y x x xx x x x x x x x x x x x x-+∆-∆+∆==∆∆∆-+∆==-+∆∆+∆ 解：因为 所以220011limlim x x y y x x x x x ∆→∆→∆⎛⎫'==-=- ⎪∆+∆⎝⎭. 【设计说明】在分析1、2、3的求解思路以后，板书其求解过程，让学生明白求解过程，再通过变式训练巩固导数求解步骤.二、探究新知为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表.基本初等函数的导数公式[设计意图] 在求解了几个常用函数的导数基础上直接给出一组公式显得有点突兀，但限于学生知识所限，有几个基本初等函数的导数不能一一求解，因此要给学生讲清只要牢牢记住公式并会用即可，在此不要追根求源，把精力耽误在公式是怎么来的上面.三、理解新知（1）幂函数的导数是次方前提当系数，x 的次数降1 ；（2）正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负正弦函数；（3）以e 为底的指数函数的导数是其本身，以e 的对数函数的导数是反比例函数（这有点特殊）； （4）以a 为底的指数函数或对数函数的导数较为难记，要格外注意它们都有ln a 这个部分，只是对数函数的导数中ln a 在分母上；（5）要特别注意指数函数、对数函数的求导中，以e 为底的是以a 为底的特例.[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫、解释，要使学生把枯燥的公式记忆变成一些有规律的东西加以巩固理解.四、运用新知例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如()*11.(),'()02.(),'()3.()sin ,'()cos 4.()cos ,'()sin 5.(),'()ln (0)6.(),'()17.()log ,'()(0,1)ln 8.()ln ,'x x x x a f x c f x f x x Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x af x x f αααα-===∈=====-==>====>≠=若则；若则；若则；若则；若则；若则；若则且；若则1().x x=下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数的导数公式表，有() 1.05ln1.05.tp t '=所以，()()1010 1.05ln1.050.08.p '=≈元/年因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.变式训练：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？[设计意图]通过一个应用题，使学生看到导数求解的意义所在.五、新知拓展从法则2可以得出[]()()+[()]()c f x c f x c f x cf x ''''==， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即 []()()c f x cf x ''= 例2求函数323y x x =-+的导数.解：因为33(23)()(2)(3)y x x x x '''''=-+=-+232x =-，所以，函数323y x x =-+的导数是232y x '=-[设计意图]通过步步展开， 使学生进一步熟悉导数运算法则及基本初等函数的导数公式.变式训练：1.求下列函数的导数：（1）2log y x = （2）2xy e = （3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =- 2.求下列函数的导数（1）ln y x x =+ （2）2ln x x y x-=（3）2(1)y x =+ （4）sin (cos 1)y x x =+[设计意图]通过一组练习题，使学生进一步熟悉哪些是直接利用基本初等函数的导数公式，哪些还要利用导数运算法则求解，使学生看清结构.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%； （2）98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数：5284()100c x x '⎛⎫'= ⎪-⎝⎭2(5284)(100)5284(100)(100)x x x ''⨯--⨯-=- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-.(1) 因为25284(90)52.84(10090)c '==-，所以，纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是 52.84元/吨.(2) 因为25284(98)1321(10098)c '==-，所以，纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是 1321元/吨.【教师分析】函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，(98)25(90)c c ''=.它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.六、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则；2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想. 教师总结:1．由常数函数，幂函数，正、余弦函数，指、对数函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则；但有些题目求导时，表面上不满足求导法则，要根据题目特点整理出满足运算法则的样子再求导.[设计意图] 加强对学生学习方法的指导，做到求导过程清晰、明白．七、布置作业1. 阅读教材P81—85；2. 书面作业必做题：P85 习题3.2 A 组 1,3,4,6 B 组 2 选做题：1. 函数1y x x=+的导数是 2. cos xy x=的导数是 3．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =3．课外思考1.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式.2. 已知函数ln y x x =.（1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点1x =处的切线方程.[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用基本初等函数的导数公式及导数运算法则，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解导数求解与导数几何意义的联系，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本节容量较大，学生在公式记忆上有点困难,要求学生要多写几遍,做到尽快熟悉.2.不同情形的函数式所用的公式不同，要使学生分清结构，多做练习，尽快适应.3.本节是后面函数求导的基础课，要讲透彻，为后面研究函数的单调性及极值、最值问题，打好基础，可以出一张跟踪练习，以加以巩固.八、板书设计。

如果把 y 与u的关系记作y f u,u 和 x的关系记作 u gx, 那么这个"复合"过程可表示为 y f u f gx lnx 2.
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4、新课讲授（复合函数的导数）
（1）．复合函数的概念：对于两个函数y＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x 的函数 ，那 么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记
2 令u＝2x＋3，则y＝10u，
yx＝yu·ux＝10u·ln 10?(2x＋3) ＝2ln 10·102 x＋3.
3 y＝sin4 x＋cos4 x＝(sin2 x＋cos2 x)2－2sin2 x·cos2 x
＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x. 所以y＝＝－sin 4x.
(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1，
则
y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝ul1n02＝2x＋110ln
. 2
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复合函数的求导步骤
1、分层：确定中间变量，写出内层 函数u g（x)，外层函数y （ u x）
2、求导：分别求出各层函数的导数 （弄清哪个是自变时），即先求y对u
的导数：yu ，再求u对x的导数：u x
6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
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2、复习引入(二）（导数的四则运算）
由导数的定义易知：x＝1,(x2 )＝2x, (x2 x) 2x 1 即 (x2 x) (x2 ) x 2x 1

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、三维目标：1.知识与技能:（1）熟记基本初等函数的导数公式;（2）熟记导数的运算法则; （3）能够熟练应用导数公式及运算法则去求导数.2.过程与方法:通过举例讲解如何应用导数公式求导数.3.情感态度与价值观:让学生体会导数的几何意义,物理意义在生活中的应用,从而激发学生学习的积极性. 二、教学重难点:1.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则2.教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 三、教学过程：1.创设情景,引入新课:五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =2.新课讲解:（1）基本初等函数的导数公式表（2推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 典例分析:例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）4x x y =； （3）1ln 1ln xy x-=+ （4）2(251)x y x x e =-+⋅； 解：（1）'3'3'''2(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-，'232y x =-。

（2）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4x x x x x x x x x x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====，'1ln 44xx y -=。

§根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么课前预习教案一．预习目标1．娴熟掌握根本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二．预习内容1．根本初等函数的导数公式表导数的运算法那么导数运算法那么函数导数1．2．3．〔2〕推论：〔常数与函数的积的导数，等于：〕三．提出迷惑同学们，经过你的自主学习，你还有哪些迷惑，请把它填在下边的表格中迷惑点迷惑内容课内研究教案一．学习目标1．娴熟掌握根本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二．学习过程〔一〕。

【复习回想】复习五种常有函数、、、、的导数公式填写下表〔二〕。

【提出问题，展现目标】函数导数我们知道,函数的导数为，此后看见这类函数就能够直接按公式去做，而不用用导数的定义了。

那么其余根本初等函数的导数怎么呢又怎样解决两个函数加。

减。

乘。

除的导数呢这一节我们就来解决这个问题。

〔三〕、【合作研究】1．〔1〕分四组对比记忆根本初等函数的导数公式表函数导数〔2〕依据根本初等函数的导数公式，求以下函数的导数．（1〕与（2〕与〔1〕记忆导数的运算法那么，比较积法那么与商法那么的同样点与不一样点导数运算法那么1．2．3．推论：〔常数与函数的积的导数，等于：〕提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导,但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.2〕依据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么，求以下函数的导数．1〕2〕；3〕；4〕；【评论】①求导数是在定义域内推行的．②求较复杂的函数积、商的导数，一定仔细、耐心．〔四〕．典例精讲例1：假定某国家在20年时期的年均通货膨胀率为，物价〔单位：元〕与时间〔单位：年〕有以下函数关系，此中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这类商品的价钱上升的速度大概是多少〔精准到〕剖析：商品的价钱上升的速度就是：解：变式训练1：假如上式中某种商品的，那么在第10个年头，这类商品的价钱上升的速度大概是多少〔精准到〕例2平时生活中的饮水往常是经过净化的．跟着水贞洁度的提升，所需净化花费不停增添．将1吨水净化到贞洁度为时所需花费〔单位：元〕为求净化到以下贞洁度时，所需净化花费的刹时变化率：〔1〕〔2〕剖析：净化花费的刹时变化率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发现（三．反省总结：（1〕分四组写出根本初等函数的导数公式表：（2〕导数的运算法那么：四．当堂检测求以下函数的导数〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕4.求以下函数的导数5.〔1〕〔2〕6.课后练习与提升7.1．函数在处的导数为 3，那么的分析式可能为：8. B9.CD10.2．函数的图像与直线相切，那么11. A B C D 112.设函数在点〔1,1〕处的切线与轴的交点横坐标为，那么13. A B C D 114.曲线在点〔0,1〕处的切线方程为-------------------15.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线在点P处的切线的斜率为2，那么P点的坐标为------------6.函数的图像过点P〔0,2〕，且在点处的切线方程为，求函数的分析式。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则整体设计教材分析本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作用．在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法．但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的．因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容．教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数．教材层层深入，由易到难，给我们展示了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生．因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂．课时分配2课时．第1课时(基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)；第2课时(复合函数的求导法则)．第1课时教学目标1．知识与技能目标(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法目标能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用．在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．教具准备：多媒体教学过程引入新课首先回顾一下上一节的内容，从导数的定义出发，按求导数的三个步骤推导了五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x的导数公式：是不是所有的函数求导都必须按那三个步骤来求呢？回答是否定的．为了方便，我们有一个基本初等函数的导数公式表，今后我们直接可以使用基本初等函数的导数公式表来求函数的导数．这一节我们就看一下基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．(板书课题) 探究新知(一)基本初等函数的导数公式表(板书)这八个常用的基本初等函数的导数，包括常函数、幂函数(指数为非0有理数)、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数，其中每一个公式都可以根据导数的定义推导出来，但这里不做要求．给学生时间先记忆这八个基本初等函数的导数公式．(二)导数的运算法则(1)导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．提问1：若法则2中的f(x)＝k(常数)，其结果是什么？活动成果：根据[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，[kg(x)]′＝0·g(x)＋kg′(x)．所以有以下推论(板书)：(2)推论：[cf(x)]′＝cf′(x)．(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)运用新知例1求(1)y＝x9；(2)y＝5x；(3)y＝3x.答案：(1)y′＝9x8；(2)y′＝5x ln5；(3)y′＝3x ln3.例2假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解：根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)＝1.05t ln1.05.所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．变式应用如果上述某种商品的p0＝5，那么第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)＝5×1.05t ln1.05.所以p′(10)＝5×1.0510ln1.05≈0.40(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨．从这里看出，当p0＝5时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)＝5与g(t)＝1.05t乘积的导数．上面的导数运算法则可以帮我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题．(板书) 例3求下面函数的导数(1)y＝x4－x3＋sinx＋e x；(2)y＝x7＋x3－x＋10.思路启迪：这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成的，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案．规范解法解：(1)y′＝(x4)′－(x3)′＋(sinx)′＋(e x)′＝4x3－3x2＋cosx＋e x.(2)y′＝(x7)′＋(x3)′－(x)′＋(10)′＝7x6＋3x2－1.设计意图熟悉基本初等函数的导数公式，也熟悉一下导数的加减法运算法则．在应用中熟记基本初等函数的导数公式．例4根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝11＋x－11－x；(3)y＝x·sinx·lnx；(4)y＝x 4x.解：(1)y′＝(x3－2x＋3)′＝(x3)′－(2x)′＋(3)′＝3x2－2，∴y′＝3x2－2.(2)y′＝(11＋x )′－(11－x)′＝－(1＋x)′(1＋x)2＋(1－x)′(1－x)2＝－12x(1＋x)2＋－12x(1－x)2＝12x [－1(1＋x )2－1(1－x )2]＝－12x·(1＋x )2＋(1－x )2(1－x )2＝－(1＋x )x x (1－x )2，∴y ′＝－(1＋x )xx (1－x )2.(3)y ′＝(x·sinx·lnx)′＝[(x·lnx)·sinx]′＝(x·lnx)′·sinx ＋(x·lnx)·(sinx)′ ＝(1·lnx ＋x·1x )·sinx ＋(x·lnx)·cosx ＝sinx ＋lnx·sinx ＋x·lnx·cosx ，∴y ′＝sinx ＋lnx·sinx ＋x·lnx·cosx.(4)y ′＝(x4x )′＝x ′·4x －x·(4x )′(4x )2＝1×4x －x·4x ln4(4x )2＝1－xln44x，∴y ′＝1－xln44x . 点评：①求导数是在定义域内进行的；②求较复杂的函数积、商的导数，必须要细心、耐心．设计意图(1)强化基本初等函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对学生在应用中存在的问题加以指导．例5日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝5 284100－x(80<x<100)．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． c ′(x)＝(5 284100－x )′＝5 284′×(100－x )－5 284×(100－x )′(100－x )2＝0×(100－x )－5 284×(－1)(100－x )2＝ 5 284(100－x )2.(1)因为c ′(90)＝ 5 284(100－90)2＝52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．(2)因为c ′(98)＝ 5 284(100－98)2＝1 321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1 321元/吨．函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c ′(98)＝25c ′(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．设计意图(1)强化对函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的熟练应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对现实生活中的问题如何运用所学进行解答．变练演编1．求函数y ＝x 3cosx 的导数y ′.思路分析：该函数是由两个基本初等函数y ＝x 3与y ＝cosx 的积所构成，而y ＝x 3与y ＝cosx 的导数我们知道，两个函数的积的求导法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与y ＝x 3和y ＝cosx 的求导公式，该题将迎刃而解．解：由两个函数积的求导法则得y ′＝(x 3cosx)′＝(x 3)′cosx ＋x 3(cosx)′＝3x 2cosx －x 3sinx. 2．求下列函数的导数． (1)y ＝1－lnx1＋lnx； (2)y ＝(2x 2－5x ＋1)e x ； (3)y ＝sinx －xcosx cosx ＋xsinx.解：(1)y ′＝(1－lnx 1＋lnx )′＝(－1＋21＋lnx )′＝2(11＋lnx )′＝2·－1x (1＋lnx )2＝－2x (1＋lnx )2，∴y ′＝－2x (1＋lnx )2.(2)y ′＝(2x 2－5x ＋1)′·e x ＋(2x 2－5x ＋1)·(e x )′＝(4x －5)·e x ＋(2x 2－5x ＋1)·e x ＝(2x 2－x －4)·e x ，∴y ′＝(2x 2－x －4)·e x .(3)y ′＝(sinx －xcosx cosx ＋xsinx )′＝(sinx －xcosx )′·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·(cosx ＋xsinx )′(cosx ＋xsinx )2＝(cosx －cosx ＋xsinx )·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·(－sinx ＋sinx ＋xcosx )(cosx ＋xsinx )2＝xsinx·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·xcosx (cosx ＋xsinx )2＝x 2(cosx ＋xsinx )2，∴y ′＝x 2(cosx ＋xsinx )2.达标检测 一、选择题1．函数y ＝lgx 的导数为( )A.1xB.1x ln10C.1xln10D.1xlge 2．函数y ＝(1a )x (a>0，且a ≠1)的导数为( )A ．(1a )x lnaB ．－a －x lnaC ．a －x lna D ．a x ln 1a3．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2 009(x)等于( )A ．sinxB ．－sinxC ．cosxD ．－cosx 二、填空题1．函数f(x)＝101的导数是__________． 2．函数y ＝3x 在x ＝1处的导数为__________．3．f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝__________.4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 5．物体的运动方程为s ＝t 5，则物体在t ＝2时的瞬时速度为__________． 6．给出下列命题，其中正确的命题是__________．(填序号)(1)任何常数的导数都为零；(2)直线y ＝2x 上任一点处的切线方程是这条直线本身； (3)双曲线y ＝1x上任意一点处的切线斜率都是负值；(4)函数y ＝2x 和函数y ＝x 2在(0，＋∞)上函数值增长的速度一样快． 7．函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线方程为____________________． 答案：一、1.C 2.B 3.C二、1.0 2.13 3.1034.4x －y －3＝05.806.(1)(2)(3)7.x －y －1＝0课堂小结前面，我们不仅知道了所有的基本初等函数的导数公式，而且还知道了函数的和、差、积、商的求导法则．因此，现在我们可以说，一切基本初等函数的求导问题基本上都得以解决．事实上，根据初等函数的定义，初等函数是可以用一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数(常函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数)经过有限次的四则运算构成的，所以任何初等函数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来．因此，前面给出的公式和求导法则，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用．为了便于查阅和记忆，现将这些公式和求导法则归纳如下：基本初等函数的导数公式表导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．第2课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程．(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则．2．过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键．在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题．重点难点重点：复合函数的求导方法．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确．教具准备多媒体课件．教学过程导入新课上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式．活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y＝(3x－2)2的导数．基本初等函数的导数公式表导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)； 2．[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；3．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g(x)≠0)．默写完后，给予点评． 设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题． 提出问题问题1：求函数y ＝(3x －2)2的导数，除了把函数y ＝(3x －2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f(x)＝lnx 的导数是什么？函数f(x)＝ln(3x ＋2)的导数又是什么？ 学情预测：f(x)＝lnx 的导数是f ′(x)＝1x ，函数f(x)＝ln(3x ＋2)的导数是f ′(x)＝33x ＋2.回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则．探究新知(一)复合函数首先分析函数y ＝ln(3x ＋2)的结构特点．若设u ＝3x ＋2(x>－23)，则y ＝lnu.从而函数y ＝ln(3x ＋2)可以看成是由函数y ＝lnu 和函数u ＝3x ＋2(x>－23)经过“复合”得到的．即y 可以通过中间变量u 表示成自变量x 的函数．如果把y 与u 的关系记作y ＝f(u)，u 与x 的关系记作u ＝g(x)，那么这个“复合”过程可以表示为y ＝f(u)＝f(g(x))＝ln(3x ＋2)．我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数y ＝(3x －2)2是由y ＝u 2和u ＝3x －2“复合”而成等等．一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．理解新知例1指出下列函数是怎样复合而成的．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)；(4)y ＝sin 2(1－1x)． 解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sinu 和u ＝πx ＋φ的复合函数．(4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sinv 及v ＝1－1x的复合函数． 活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程．设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础．例2写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝lnu ，u ＝12x －3； (2)y ＝e u ，u ＝3x ＋5.解：(1)y ＝ln(12x －3)； (2)y ＝e 3x ＋5.设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果． 探究新知问题：对复合函数如何求导数呢？(二)复合函数的求导法则复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′(y x ′表示y 对x 的导数)，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．(板书)理解新知例3求下列函数的导数．(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(3x ＋2)．解：(1)因为函数y ＝(3x －2)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝3x －2的复合函数，所以y ＝(3x －2)2对x 的导数等于y ＝u 2对u 的导数与u ＝3x －2对x 的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝2u·3＝6u ＝6(3x －2)＝18x －12.(2)因为函数y ＝ln(3x ＋2)可以看作函数y ＝lnu 和u ＝3x ＋2的复合函数，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝(lnu)′·(3x ＋2)′＝1u ·3＝33x ＋2. 设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习． 运用新知例4(课本例4)求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋3)′＝4u ＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sinu 和u ＝πx ＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(sinu)′(πx ＋φ)′＝πcosu ＝πcos(πx ＋φ)．点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果．[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． 分解y u ′＝2u ，u x ′＝2. 求导y x ′＝y u ′·u x ′＝2u·2. 相乘函数y ＝(2x ＋3)2的导数是y x ′＝4u ＝4(2x ＋3)． 回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代．例5求下列函数的导数．(1)y ＝x －ax 2－2ax ；(2)y ＝sin 4x ＋cos 4x.解：(1)y ′＝1·x 2－2ax －(x －a )·2x －2a 2x 2－2ax x 2－2ax ＝－a 2(x 2－2ax )x 2－2ax＝－a 2x 2－2ax (x 2－2ax )2，y ′＝－a 2x 2－2ax (x 2－2ax )2. 点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理．(2)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x)2－2sin 2xcos 2x ＝1－12sin 2(2x) ＝1－14(1－cos4x)＝34＋14cos4x.y ′＝－sin4x. 解法二：y ′＝(sin 4x)′＋(cos 4x)′＝4sin 3x(sinx)′＋4cos 3x(cosx)′＝4sin 3xcosx ＋4cos 3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin 2x －cos 2x)＝－2sin2xcos2x ＝－sin4x.点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步．设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法．巩固练习求下列函数的导数．(1)y ＝(2x －3)3；(2)y ＝(1－3x)3；(3)y ＝sin(3x ＋π3)；(4)y ＝x 2＋1. 答案：(1)y x ′＝6(2x －3)2；(2)y x ′＝－9(1－3x)2；(3)y x ′＝3cos(3x ＋π3)；(4)y x ′＝x x 2＋1. 变练演编求下列函数的导数．(1)y ＝e 2x ＋5；(2)y ＝53x －1；(3)y ＝log 3(2x ＋4)；(4)y ＝sin2x －cos(3x －2)；(5)y ＝2xsin(2x ＋5)．答案：(1)y x ′＝2e 2x ＋5；(2)y x ′＝3(53x －1ln5)；(3)y x ′＝2(2x ＋4)ln3； (4)y x ′＝2cos2x ＋3sin(3x －2)；(5)y x ′＝2sin(2x ＋5)＋4xcos(2x ＋5)．设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算． 课堂小结。

基本初等函数的导数公式教案一、教学目标1.理解基本初等函数的概念和性质。

2.掌握基本初等函数的导数公式。

3.能够运用导数公式计算基本初等函数的导数。

4.培养学生的推导能力和运算能力。

二、教学重点1.基本初等函数的导数公式的掌握与运用。

2.提高学生的运算能力和推导能力。

三、教学难点四、教学过程1.导入（5分钟）引出函数的导数的概念，简要介绍导数的定义和计算方法。

2.概念讲解（15分钟）介绍基本初等函数的概念，并列举常见的基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并讲解它们的定义和性质。

3.导数公式讲解（30分钟）根据基本初等函数的定义和性质，逐一讲解它们的导数公式，并进行推导过程，包括：（1）常数函数的导数：导数等于零。

（2）幂函数的导数：根据导数的定义和指数函数的性质，导数等于指数乘以底数的指数减一次幂函数。

（3）指数函数的导数：根据导数的定义和指数函数的性质，导数等于指数乘以底数的指数减一次指数函数。

（4）对数函数的导数：根据导数的定义和对数函数的性质，导数等于函数的导数除以函数的值次对数函数。

（5）三角函数的导数：根据导数的定义和三角函数的周期性和特性，导数等于函数的导数乘以函数的导数除以函数的值次三角函数。

（6）反三角函数的导数：根据导数的定义和反三角函数的性质，导数等于函数的导数除以根号一减去函数的值的平方。

4.例题讲解（30分钟）根据导数公式，讲解几个典型的例题，包括：（1）计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数。

（2）利用导数公式计算复合函数的导数。

5.练习与拓展（20分钟）让学生进行练习题的训练，加深对导数公式的理解与应用，并引导学生思考基本初等函数导数公式的推导和推广。

6.归纳总结（10分钟）总结基本初等函数的导数公式，回顾推导过程，并强调导数公式的重要性和运用价值。

五、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了基本初等函数的概念和性质，并掌握了基本初等函数的导数公式。

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案 新人教A 版选修1-11.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数;教学重点：会使用导数公式求函数的导数教学难点：会使用导数公式求函数的导数教学过程：一、讲解新课：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x -'=='=∈='=='==-'=='=='=='==函函函函函函函函函函函函函函函函2、讲解例题 P83 例1练习1、求下列函数的导数。

(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2(4)y= 2 x (5) y=log3x3、导数运算法则4、讲解例题例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数的导数.323y x x =-+解: 332(23)()(2)(3) 3 2.y x x x x x '''''=-+=-+=-Q [][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦32233 2.y x x y x '∴=-+=-函函函函函函练习： 求下列函数的导数（1） （2） （3）x x x y -+=23sin )23)(12(++=x x y x y tan =（4）（5）x e y x ln =1+=x xy 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为1%x ).10080(1005284)(<<-=x xx c 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）；（2）.%90%98例4 已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点处的切线方程.1=x 二、小结 ：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x -'=='=∈='=='==-'=='=='=='==函函函函函函函函函函函函函函函函2、导数运算法则教学反思 [][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。