空间向量加减法运算

谈空间向量的加、减运算空间向量的加、减运算是空间向量运算中的最为根底的内容，它也是今后学习空间向量的起点；因此，必需认真、慎重地对待，下面对空间向量的加、减运算谈以下两点，望对你的学习能有所帮助。

一、加、减运算的法那么1、平行四边形法那么这是我们很熟悉的一个法那么，在平面向量中、在物理中，我们都曾学习过。

对空间向量我们必需注意空间的平行线与平行面的平行线之间的区别。

必需认真的观察图形，方可求解问题。

例1、如图，在平行六面体EFGH ABCD -中，用 AE AB AD ,,表示向量AG 分析：由于EFGH ABCD -是平行六面体，因此， 四边形AEGC 是平行四边形，所以AE AC AG +=。

又四边形ABCD 也是平行四边形，得AB AD AC +=于是，AE AB AD AG ++=；2、三角形法那么可以说它是简化的平行四边形法那么。

进行加法运算时，一定要注意，首尾相接；进行减法运算时，一定要抓住起点与终点；对于三角形法那么，可以从位移的角度来加以理解。

例2、如图，在平行六面体EFGH ABCD -中，用AE AB AD ,,表示向量BH分析：在三角形ABH 中，对于向量BH ，由于起点为B ，终点为H ，所以AB AH BH -=又在三角形AHD 中，向量AH 的起点为A ，终点为H ，因此DH AD AH += 由于AE DH //且AE DH =，得AE DH =故AB AE AD BH -+=二、加、减法的几何意义1、不平行时的作图两个向量不平行时，用图象作出两个向量的和或差；直接用平行四边形法那么或用三角形法那么即可。

例3、如图向量→a 与向量→b 不平行，标出它们的和向量法一：平移CD，将起点C与点AAB,为邻边，作平行重合，分别以AD四边形ABED，那么对角线AE即为所求的和向量。

A,，那么向量AD即为所求的和向量。

法二：平移CD，将起点C与点B重合，连结D2、平行时的作图例4、AB与CD平行标出它们的和、差向量解：〔1〕方向相同时，平移CD，将起点C移至与点B重合，此时，AD即为所求的和向量〔也可以平移AB〕。

高考向量题型和解题方法高考向量题型主要涉及向量的基本运算、向量的数量积和向量的叉乘。

以下是几种经典的向量题型及其解题方法：1. 向量加减法题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$。

解题思路：直接将向量的对应元素相加或相减即可，即：$$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$$$$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$$2. 向量数量积题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的数量积 $\vec{a}\cdot\vec{b}$。

解题思路：数量积的公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，将向量的对应元素相乘后相加即可。

3. 向量叉乘题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的叉乘 $\vec{a}\times\vec{b}$。

解题思路：叉乘的公式为：$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$$其中 $\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴的单位向量。

求解时将行列式按第一行展开即可。

4. 空间向量共面题型给定空间向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$，若它们共面，求 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面上的投影向量。

向量的各种运算及其应用随着科技的发展，向量成为了许多学科中不可或缺的重要概念，如物理、计算机科学、数学等。

向量是具有大小和方向的量，可以用于描述空间中的物理量或者图形的位置等信息。

然而，向量不仅仅是一个抽象的概念，还可以进行各种运算并应用于实际问题中。

本文将介绍向量的各种运算及其应用。

一、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法、乘法。

其中，向量的加法和减法可以用直角坐标系表示，向量乘法分为数量积和叉积。

1. 向量加法和减法向量加法指的是将两个向量相加得到一个新的向量，向量加法可以表示为： A + B = C，其中 A、B、C 为向量。

向量加法可以用平行四边形法则表示，即将两个向量首尾相接，作出第三个向量，第三个向量的起点即为第一个向量的起点，终点即为第二个向量的终点。

向量减法指的是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，向量减法可以表示为： A - B = C，其中 A、B、C 为向量。

向量减法可以用三角形法则表示，即将第二个向量取反，再将两个向量相加即可得到第三个向量。

2. 向量乘法向量乘法分为数量积和叉积。

数量积是指两个向量点乘而得到的一个标量，数量积可以表示为：A • B = |A| |B| cos∠(A,B)，其中 A、B 为向量，|A| 和 |B| 分别为对应向量长度，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。

数量积可以用以下公式快速计算：A • B = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。

叉积是指两个向量叉乘而得到的一个新的向量，叉积可以表示为：A × B = |A| |B| sin∠(A,B) n，其中 n 为符合右手定则的向量，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。

叉积可以用以下公式快速计算：A× B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)。

二、向量的应用向量在物理、计算机科学和数学等学科中都有着广泛的应用。

空间向量的应用随着科技的发展，空间向量的应用越来越广泛。

从物理学到计算机科学，从工程技术到地理测量，空间向量在各个领域都发挥着重要作用。

本文将讨论空间向量的基本概念和其在不同领域中的应用。

一、空间向量的基本概念在三维几何学中，我们将三维空间中的点表示为向量。

一个空间向量由其起点和终点决定，可以表示为一个有向线段。

空间向量具有长度和方向两个重要属性，可以进行加减法运算，也可以与数乘相乘。

空间向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

例如，设有两个空间向量a和b，a = (a1, a2, a3)，b = (b1, b2, b3)，则它们的加法运算为：a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。

空间向量的数乘运算是指将一个向量的每个分量与一个常数相乘，得到一个新的向量。

例如，设有一个空间向量a = (a1, a2, a3)和一个常数k，则它们的数乘运算为：k * a = (ka1, ka2, ka3)。

二、空间向量在物理学中的应用在物理学中，空间向量被广泛应用于描述物体的运动和力学问题。

利用空间向量的概念，我们可以方便地描述物体在三维空间中的位置和速度。

例如，在力学中，我们可以使用位移向量来表示物体从起点到终点的移动情况。

同时，利用速度向量和加速度向量，我们可以描述物体在空间中的运动状态。

另外，在电磁学中，空间向量也有重要应用。

电场和磁场可以用向量来表示，通过分析场向量的大小和方向，我们可以推导出电磁场的性质和相互作用规律。

三、空间向量在计算机科学中的应用在计算机科学中，空间向量被广泛应用于图形学和计算机视觉领域。

通过使用向量表示空间中的点、线和面，我们可以高效地进行图形渲染和图像处理。

例如，在三维图形学中，我们可以使用向量来描述三维物体的形状和位置。

利用空间向量的加法和数乘运算，我们可以实现物体的平移、旋转和缩放等操作。

另外，在计算机视觉中，空间向量的应用也非常广泛。

3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。