3.1空间向量及其运算第1课时完美版

教学案3．1 空间向量及其运算（第 1课时）（向量的加法、减法、数乘运算）【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。

【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算【本课难点】空间向量的理解和运算【教学过程】一、知识要点：1．空间向量的概念在空间，具有大小和方向的量叫；向量的大小叫做向量的或，记为；长度为零的向量叫做，记为；模为1的向量称为；方向相且模相等的向量称为相等向量；方向相且模相等的向量称为相反向量；2．空间向量与平面向量空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。

空间任意三个向量呢？3．向量的加、减运算法则及数乘运算法则4．向量的加法及数乘运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律： 数乘结合律：二、应用举例：例1．化简下列各式：（1）AB +BA ； （2）AB ++；（3）AB +BC +CD +DE +EA归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例2．已知平行六面体ABCD -D C B A '''',化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）AB +； （2）AB +AD +A A ；（3） ++21C C '； （4）31(A A '++)n 1n 1n 433221A A A A A A A A A A =++++- A A A A A A A A 1n 433221=++++例3．已知正方体ABCD -D C B A ''''，点E 是上底面D C B A ''''的中心，求下列各式中x,y,z 的值。

（1）D B '=x +y +z A A '；（2）（2）=x +y +z A A '.【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。

空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习 ：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。

§3.1 空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。

在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。

【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：babD BAOC三．类比推广、探求新知（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量b a ,都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：如图，可以从空间任意一点O 出发作b OB a OA ==,，并且从A 出发作b AC =，则BA b a OC b a =-=+,.babD B ACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？ 探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？ （1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。

例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

(如图)让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。

空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。