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3.1空间向量及其运算第1课时完美版

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3.1空间向量及其运算 第1课时

3.1空间向量及其运算 第1课时

教学案3．1 空间向量及其运算（第 1课时）（向量的加法、减法、数乘运算）【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。

【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算【本课难点】空间向量的理解和运算【教学过程】一、知识要点：1．空间向量的概念在空间，具有大小和方向的量叫；向量的大小叫做向量的或，记为；长度为零的向量叫做，记为；模为1的向量称为；方向相且模相等的向量称为相等向量；方向相且模相等的向量称为相反向量；2．空间向量与平面向量空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。

空间任意三个向量呢？3．向量的加、减运算法则及数乘运算法则4．向量的加法及数乘运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律： 数乘结合律：二、应用举例：例1．化简下列各式：（1）AB +BA ； （2）AB ++；（3）AB +BC +CD +DE +EA归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例2．已知平行六面体ABCD -D C B A '''',化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）AB +； （2）AB +AD +A A ；（3） ++21C C '； （4）31(A A '++)n 1n 1n 433221A A A A A A A A A A =++++- A A A A A A A A 1n 433221=++++例3．已知正方体ABCD -D C B A ''''，点E 是上底面D C B A ''''的中心，求下列各式中x,y,z 的值。

（1）D B '=x +y +z A A '；（2）（2）=x +y +z A A '.【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。

高中数学课件 空间向量及其运算(第一课时)

高中数学课件 空间向量及其运算(第一课时)
解： 方法二： 利用AB AC CB, DC DB BC ( AB CD) ( AC BD) AB CD AC BD ( AB AC ) ( DC DB ) CB BC 0
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简 下列向量表达式，并标出化简结果的向量。 1 .BC +AB
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
一：空间向量的基本概念
阅读教材P84-85填写下表 平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．
0 A1 A2 A2 A3 An 1 An An A1 ______
(4） 1 A2 A2 A3 A3 A1 0 A
A1 A
2
An－1
An A
3
…
A
4
首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量．
加法结合律： (a + b)+c = a +(b + c)
练一练 化简( AB CD) ( AC BD)
解： 方法一： 将减法转化为加法进行化简 AB CD AB DC ( AB CD) ( AC BD) AB DC AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修

表 示
字母表 法
示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
特殊向量
理解特殊向量应注意的几个问题 (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0| ＝0，单位向量e的模|e|＝1. (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式． (4)两个向量不能比较大小．
第 三 章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
自主学习 新知突破
1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空 间向量的概念．
2．掌握空间向量的加法、减法运算法则及其表示． 3．理解并掌握空间向量的加、减法的运算律．
李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住 处，在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总 位移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是不在同一平面 内的位移，如何刻画这样的位移呢？
D．4个
解析： 共四个：AB，A1B1，CD，C1D1. 答案： D
3．两向量共线是两向量相等的________条件． 解析： 两向量共线就是两向量同向或反向，包含相等的 情况． 答案： 必要不充分
4．已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，化简下列 表达式：
(1)A→B＋BB→′－D→A′＋D′ →D－B→C； (2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′. 解析： 根据平行六面体的性质． (1)原式＝A→B＋A′→D′＋D′ →D＋C→B＝A→B＋A′→D＋C→B ＝D→C＋D→A＋A′→D＝D→B＋A′→D＝A→′B； (2)原式＝CC→′＋A′→D＝AA→′＋A′→D＝A→D.

课件2：3.1.1 空间向量及其加减运算

课件2：3.1.1 空间向量及其加减运算

叫做空间向量，向量的 大小 叫做向量的长度或模．
(2)与平面向量一样，空间向量也用 有向线段 表示．起点是
A，终点是 B 的向量 a 也可以记作
→ AB
.其模记作 |a|或|A→B|
.
(3) 长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0；模为 1 的向量 叫做单位向量． (4) 方向相同且模相等 的 向 量 称 为 相 等 向 量 ． 与 向 量 a___长__度__相__等__方__向_相__反___的向量称为 a 的相反向量，记为 －a .
2．向量加减运算时，特别注意相反向量的应用，三角形 法则的应用．
3．将一个向量用其他向量线性表示是重点，要特别注意 加法“首尾相接”，减法必须同一起点，指向被减．
巩固训练
一、选择题
1．化简下列各式：(1)A→B＋B→C＋C→A；(2)A→B－A→C＋B→D－C→D；
(3)O→A－O→D＋A→D；(4)N→Q＋Q→P＋M→N－M→P.结果为零向量的个数
跟踪练习 3 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 BC，
A1B1 的中点，设D→A＝a，D→C＝b，D→D1＝c，用 a、b、c 表 示向量B→1E，C→F.
[解析] B→1E＝B→1B＋B→E＝B→1B＋12B→C ＝－D→D1－12D→A＝－c－12a； C→F＝C→C1＋C→1F＝C→C1＋C→1B1＋12B→1A1 ＝D→D1＋D→A－12D→C＝c＋a－12b.
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上， 这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B，则 A→B＝b－a，B→A＝a－b.

3.1.1空间向量及其加减运算第一课时.ppt

3.1.1空间向量及其加减运算第一课时.ppt
有 p x yb
反果过p来 ，x对空y间b，任那意么两向个量不p共与线向的量向a量,
a
，b
，如
b 有什么位
置关系？
rC
ur p
P
br
A aB
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
解(3)
uuur
AC
uuur
uAuuBr1
uuAurD1
uuur
uuur
D1
C1
(
AD uuur
AB) uuur
(
AuAu1ur
AB)
(
AA1
AD)A1
B1
2(AD AB AA1)
uuuur
2AC1
D
C
x 2.
A
B
4.例题2
在 若正uAuEur方 体uAuAuuAur' C x1中uAuBur,点 yEuAu是Dur 面，A求C实’ 的数中x,y心. ,
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC )
D
2
G
B
M
C
练习参考答案
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
D
＝AB BM
MG
1 ( AB 2
AC )
＝BM MG 1 ( AB AC )
G
2
BM MG MB
B
M
C MG
———共线向量与共面向量
空间向量 及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．

3.1.1空间向量及其加减运算课件人教新课标

3.1.1空间向量及其加减运算课件人教新课标
(4) D 'C '或 AB
D' A'
D A
C' B'
C B
例3、在如图所示的平行六面体中，
求证： AC AB AD 2AC. D'
A' 证明：AC AB' AD'
AB BC AB BB' AD DD'
2( AB BC CC' )
D
2 AC' A
C' B'
C B
变式：
量相加．
4.推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An1
A2
An
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.
记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
高中数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．

高中数学选择性必修一课件：空间向量及其线性运算(第1课时)


探究 1 根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要平移向量；化简向 量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到 减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间 可相互转化．另外，要按照题目要求，将化简的结果在图中标注好．
思考题 3 (1)在长方体 AC1 中，化简式子： D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B＝___B_→D_1___．
点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心 O，Q 是 CD 的中点，求下列 各题中 x，y 的值．
(1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
【解析】 (1)∵O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→A－12P→C， ∴x＝y＝－12. (2)∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C. ∵P→C＋P→D＝2P→Q，∴P→C＝2P→Q－P→D， ∴P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D)＝2P→O－2P→Q＋P→D. ∴x＝2，y＝－2.
题型二 空间向量的加减运算
例 3 (1)化简(A→B＋C→D)－(A→C＋B→D)． 【解析】 (A→B＋C→D)－(A→C＋B→D) ＝A→B＋C→D－A→C－B→D ＝A→B＋C→D＋C→A＋D→B ＝(C→A＋A→B)＋(C→D＋D→B) ＝C→B＋C→B＝2C→B.
(2)如图，已知长方体 ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在 图中标出化简结果的向量．
(2)由于这个长方体的对角线长为 p2＋q2＋1＝ 2，故模为 2的向量有A→C1， C→1A，A→1C，C→A1，B→D1，D→1B，B→1D，D→B1.
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身以外)有A→1B1，D→C，D→1C1. (4)向量A→A1的相反向量为A→1A，B→1B，C→1C，D→1D.

高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1

对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，A→C＝A→1C1，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．] (2)根据相等向量的定义知，与向量 A→A′ 相等的向量有 B→B′ ， C→C′，D→D′.与向量A→′B′相反的向量有B→′A′，B→A，C→D，C→′D′.]
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式

空间向量的数乘运算


O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
即，P、A、B、C四点共面。
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
17
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC (1 z)OA 可变形为 OP y yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
空间向量的加减法
C a
+
b
B
b
O
A
a
OB OA AB CA OA OC
A
D
F
B
E
C
10
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A

高中数学《空间向量及其运算》公开课优秀课件


独立思考，形成结论
结论1： 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为两个共面向量； 结论2： 三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线 所表示的向量；
题组巩固，深化理解
例题 1：如右图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，M 为 BB1 的中点，化简下列各式，并 在图中标出化简得到的向量：
合作交流，运算类比 运算律的类比
转化
平面向量 加法交换律 空间向量
ab ba
加法结合律

ab c a bc



数乘分配律和 结合律
a b a b
运算律 a a基本概念、运算法则
3、 点 F 为 D1B1 的 n 等分点（靠近 B1 ） ，表示 OF ？
小结反思，梳理提升
一个概念拓展 三个类比推广
二种数学思想
布置作业，独立探究
书面作业： 课本第89页 第1、2题；（必做）
研究性学习：
类比平面向量基本定理，你能得到空间向量平面定理吗？ （从研究方法、研究过程和结论进行类比）
③ 空间中任意两个单位向量必相等； ④ 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。 其中正确命题的个数是_______.
合作交流，运算类比 运算法则的类比
平面向量 加法运算 减法运算 数乘运算 三角形法则或平行四边形法则 三角形法则
空间向量
ka （k 为正数，负数，零）
题组巩固，深化理解
OA 3 ， OB 4 ， OC 2 ， 例题 2 ：如图，在长方体 OADB CA 1D 1B 1 中，
OI OJ OK 1 ，点 E ， F 分别是 DB ， D1B1 的中点。设 OI i ， OJ j ，
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§3.1.1空间向量及加减其运算
【学情分析】：
向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。

在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。

【教学目标】：
（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法
（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

【教学重点】：
空间向量的概念和加减运算
【教学难点】：
空间向量的应用
四．练习巩
固 1．课本P86练习1-3
2．如图，在三棱柱1
11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1
解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--
巩固知识，注意区别加
减法的不同处.
五．小结
1．空间向量的概念：
2．空间向量的加减运算
反思归纳
六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2）
练习与测试：
（基础题）
1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。

2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。

答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。

3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。

4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;
（2）12
1
AA CB AC +
+; （3）CB AC AA --1
解：（1）11CA BA CB =+ （2）AM AA CB AC =+
+12
1
（3）11BA CB AC AA =--
（中等题）
5．如图，在长方体///B D CA OADB -中，3,4,2,OA i OB j OC k ===，点E,F 分别是/
/,B D DB 的中点，试用向量k j i ,,表示OE 和OF
解：j i OE 423
+=
k j i OF 242
3
++=。

6．在上题图中，试用向量k j i ,,表示EF 和FE 解：EF =OE OF -=k 2， FE =--EF =--k 2。