三角形的五心

1 三角形的重心：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

有关性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

三角形的垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

有关性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler

line））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

三角形的内心：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

有关性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

三角形的外心：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

有关性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等。

三角形的旁心：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

三角形的五心

内心（三角形三条内角平分线交点）

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。

性质

设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。

1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3、r=S/p。

证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。

4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：

(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。

9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。

10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC

证明：由正弦定理得

b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，

∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.

第 1 页 共 3 页 三角形的五心定理

三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

二、三角形外心定理

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等

第 2 页 共 3 页 三、三角形垂心定理

第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.

(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP

=NC，故点M是△P′BP的外心，点

N是△P′PC的外心.有

∠BP′P=21∠BMP=21∠BAC，

∠PP′C=21∠PNC=21∠BAC.

∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.

从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.

由于P′P平分∠BP′C，显然还有

P′B:P′C=BP:PC.

例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，

△CSQ的外心，作出六边形

O1PO2QO3S后再由外

心性质可知

∠PO1S=2∠A，

∠QO2P=2∠B，

∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+

∠O2QO3+∠O3SO1=360°

将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.

∴∠O2O1O3=∠KO1O3=21∠O2O1K

=21(∠O2O1S+∠SO1K)

=21(∠O2O1S+∠PO1O2)