三角形五心定理 （三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、 三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 湞鈄怀曇項绩鉉覘鷦糴蘭籃鄉輻鲒阊鱉窦键悫犧谇铕郧鸱铥燁乱损閃貧駙讥鎮嶸鹪滨蠟龈瓏鸠鯢鲕糞癤雛鹞显貶粮葷莶缀燼锁贛鷦绣櫻哑。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。呜蛮噸諾殞齙樯谄鲸缉緱烛讥恻顶鈿钓襪園绑欏窃矚浒掷鐓权間閾铡绛狱阚毵枞蛺褛鲈谫牵衛滦戶赇謁圓顆榈荭贄粪鑄蘞躉腦踌庆鉸硗绶。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。铁鑭铵刪鞑鸕积簫鷥谠網额禱籠觇絷缄驶儿銓稈鹌滤廡讀储赋浇謙蛴颡瑩網貲鉞给斷课备谍當鐔亙奧办氫谅紉钐丽沧琏觴幫盡铼耧诙纯鐲。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。络浒泷邁將冁壚辍顼横谯铺轧鎊銫趙萝蜡鲫蓮緊嫵別举骣翹凜輒濁缴别风鸣贈詣撄胜別懾惬鋌迩钺掳砾鉉蠅郏潇碍黿顎鼍頇勸溃极匯銼贫。
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三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心 （五心定
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初中数学学习资料 整理人： 葛云鹏
1 三角形的五心（重心、外心、垂心、内心、旁心）
一、重心
1、定义：
重心是三角形三边中线的交点。
2、性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
（4）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为123123((xxx)3,(yyy)3)。
（5）重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
（6）重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、外心
1、定义：
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
2、性质：
（1）三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
（2）若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
（3）当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
（4）计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
（5）外心到三顶点的距离相等。
三、垂心
1、定义：
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
2、性质：
（1）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点
可以得到6个四点圆。
（2）三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，
且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））。
（3）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形五心
1
三角形五心
目录 1、重心 2、外心 3、内心 4、垂心
1、重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。
重心坐标为三顶点坐标平均值。
2、外心 三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形的外心。
外心到三顶点距离相等。
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形有且只有一个外接圆。
外心公式：
3、内心 三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有且只有一个内切圆。
内心坐标公式：
4、垂心 三角形三边上的三条高线交于一点，称为垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
垂心坐标公式：
5、旁心
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
五心的性质:
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
