三角形的五心

三角形的五心

（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

（2）外心扫三顶点的距离相等；

（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；

（4）内心、旁心到三边距离相等；

（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

（6）外心是中点三角形的垂心；

（7）中心也是中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.

三角形的五心

一 定理

重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的

离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.

垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

三角形的五心

1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。

角平分线性质:到角两边距离相等.

内心性质：到三角形三边距离相等。

2.重心:三角形三条中线交点

中线性质:将三角形面积等分成两部分.

重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短)

3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。

垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。

外心性质：到三角形三个顶点距离相等。

4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。

旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，

但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。

三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．

1、三角形的外心

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．

三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径．

锐角三角形的外心在三角形内；

直角三角形的外心在斜边中点；

钝角三角形的外心在三角形外．

2、三角形的内心

三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．

三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．

内切圆半径r的计算：

设三角形面积为S，并记p=12(a+b+c)，则r=Sp．

特别的，在直角三角形中,有 r=12(a+b－c)．

3、三角形的重心

三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．

上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．

4、三角形的垂心

三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”． ABCOABCDEFGABCDEFIaIKHEFDABCM5、三角形的旁心

第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.

(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP

=NC，故点M是△P′BP的外心，点

N是△P′PC的外心.有

∠BP′P=21∠BMP=21∠BAC，

∠PP′C=21∠PNC=21∠BAC.

∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.

从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.

由于P′P平分∠BP′C，显然还有

P′B:P′C=BP:PC.

例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，

△CSQ的外心，作出六边形

O1PO2QO3S后再由外

心性质可知

∠PO1S=2∠A，

∠QO2P=2∠B，

∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+

∠O2QO3+∠O3SO1=360°

将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.

∴∠O2O1O3=∠KO1O3=21∠O2O1K

=21(∠O2O1S+∠SO1K)

=21(∠O2O1S+∠PO1O2)

三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心、中心

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。 三角形内切圆的圆心。

外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。三角形外接圆的圆心。

重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；

旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。 三角形有三个旁 心。

中心：等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点。