小学奥数1-3-6 公式运用.专项练习

找规律（一）一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。

如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。

按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。

寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。

善于发现数列的规律是填数的关键。

二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数。

（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）练习1：在括号内填上合适的数。

（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）练习2：按规律填数。

（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（ ）（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）练习3：按规律填数。

（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ）（2）2，4，10，28，82，（ ），（ ）（3）94，46，22，10，（ ），（ ）（4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

（1）（3） 练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即， 和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

一、青蛙爬井问题12公式解法3爬到井口天数=（总距离－变前距离）÷变后距离+14（注意：结果为小数：去小数后再加1）5若为复合形式：6变前距离=每一次上爬距离7变后距离=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬和下滑的天数和8特别注意：（若休息时间单独占天数，保持既不上爬也不下滑的状态）9变后距离=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬、休息和下滑的天数和101112二、店主损失问题13店主损失＝商品进价+找给顾客钱数其他都是扰乱题的因素！14思维发散：如果问题问的是，买商品的人得到多少钱？15就应该是85加售价15元的汽水，100元。

顾客收益＝商品售价+找给顾客钱数161718三、鸡兔同笼问题1920鸡数＝(兔脚数×总头数－总脚数) ÷(兔脚数－鸡脚数)兔数＝(总脚数－鸡脚数×总头数) ÷(兔脚数－鸡脚数)2122史上最简单最牛的鸡兔同笼的新解法23题目：鸡兔同笼，头15、脚40，问几鸡几兔？我们家的鸡和兔都是经过严格训练的，当我吹哨，所有的鸡兔都抬起两只脚。

2425鸡只有2脚，只能一屁股坐在地上。

现在站在地上的只有兔子了，每只兔子是用2条腿站着的。

现在还剩10条腿，可以算出兔子有5只了！！！！！26272840 — 15=25 25 — 15 =10 10÷ 2 = 52930兔数=（总脚数— 2倍总头数）÷ 231鸡数=总头数—兔数3233四、行程问题34基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间35关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

36相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程37相遇路程÷速度和＝相遇时间38相遇路程÷相遇时间＝速度和39追及问题：追及时间＝追及路程÷速度差追及路程＝速度差×追及时间4041速度差＝追及路程÷追及时间（时钟问题属于行程问题中的追及问题。

一、常用公式1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=； 3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；5. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q --=++⋅⋅⋅+=-(1q ≠)；6. 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；7.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．二、常用技巧1. 1001abcabc abc =⨯；2. 10101ababab ab =⨯；3.··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=， ··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427=；4. 1111111111123321n n n ⨯=个个，其中9n ≤．一、前n 项和【例 1】 222213519++++【巩固】 222222222221245781011131416++++++++++公式法计算例题精讲知识点拨【例 2】 计算：36496481400+++++【例 3】 计算：3333333313579111315+++++++【巩固】 计算：333313599++++=___________．【例 4】 计算：33312320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+【例 5】 计算：2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯= 。