《抽象函数》专题练习

1 专题 抽象函数

一、求抽象函数定义域

1.已知函数f（21x）定义域为1,3, 求f（x）的定义域

2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x＋1)的定义域是________．

3.已知函数f（1x）的定义域为[ 0，3 ]，求f（x）的定义域

二.求抽象函数解析式

求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法

（1）若f [ f（x）] = 4x+3，求一次函数f（x）的解析式

（2）已知f（x）= 22xx，求f（1x）的解析式

(3) 已知f（x）2 f（x）= x ，求函数f（x）的解析式

（4）设对任意数x，y均有222233fxyfyxxyyxy，

求f（x）的解析式.

2 练习：

1.已知f（x）是二次函数，且211244fxfxxx，求f（x）

2.已知2 f（x） f（x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式

3．已知2 f（x）f 1x = 3x ，求函数f（x）的解析式

4.已知对一切x，y∈R，21fxyfxxyy都成立，且f（0）=1， 求f（x）的解析式.

5.若xxfxf4)1()(3，则)(xf=_____________________

三、解抽象不等式

1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)

2.已知f(x)是定义在(0,)上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。

求：(1)证(8)3f ；（2）求不等式()(2)3fxfx的解集。

3 3.函数()fx对任意的,abR，都有()()()1fabfafb，并且当0x时

()1fx.（1）求证：()fx是R上的增函数；

（2）若(4)5f，解不等式2(32)3fmm

专题 函数的奇偶性

【知识梳理】

1. 偶函数定义：一般地，设函数)(xfy的定义域为A，如果对于任意的Ax，都有

，那么称函数)(xfy是偶函数。

其图象特征： ；定义域特征：

2.奇函数定义：

其图象特征： ；定义域特征：

如果奇函数()yfx的定义域中有0，则必有(0)0f；

如果奇函数()yfx的定义域中有0，则它的图象一定经过原点．

3.一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数

【考点分析】

1.函数奇偶性的判断与证明

例1. 判断下列函数的奇偶性：

（1）xxf2)( （2）||2)(xxf （3）21)(xxf

（4）1)(2xxf （5）2)1()(xxf （6）xxxxf11)1()(

（7）1)(2xxxxf （8）221)(2xxxf （9）0)(xf

（10）2211)(xxxf

4 例2.判断函数)0()0()(22xxxxxxxf的奇偶性

例3.已知函数f(x)对于一切x,y R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1）求证f(x)是奇函数.

（2）若f(-3)=a,用a表示f(12)

2.求参数取值

例4.已知2)1()1()(22nxmxmxf，则当m ，n 时，

)(xf为奇函数；当m ，n 时，)(xf既是奇函数，又是偶函数；

3.解不等式

例5.定义在]11[，上的函数)(xfy是减函数，且是奇函数，

若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。

4.抽象函数

例6.函数f (x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有

f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f (x)的奇偶性；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f (x)在(0，＋∞)上

是增函数，求x的取值范围．

5 例7. 已知函数y＝f (x)的定义域为R，且对任意a，b ∈R有()fabfafb＋＝＋

且当x＞0时，f (x)＜0恒成立.

(1)证明：函数y＝f (x)是R上的减函数；

(2)证明：函数y＝f (x)是奇函数；

【基础过关】

1．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式

|f(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ）

A．(－1，2) B．(1，4)

C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1］∪[2，＋∞）

2．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ）

A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)

C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)

3．函数)2()(||)(xxxgxxf和的递增区间依次是 （ ）A．]1,(],0,( B．),1[],0,(

C．]1,(),,0[ D),1[),,0[

4．已知函数2212fxxax在区间4,上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≤-3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3

5．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则 （ ）

A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3)

6．已知函数yfx()1定义域是[]23，，则yfx()21的定义域是 （ ）

A.[]052， B.[]14， C.[]55， D.[]37，

7．函数224yxx的值域是 （ ）

A.[2,2] B. [1,2] C.[0,2] D.[2,2]

8．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）

A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)

C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

9.已函数1()21xfxa，若()fx 为奇函数，= 6 10.设yfx是R上的减函数，则3yfx的单调递减区间为 .

11．若)(xfy在),0[x时的表达式)1(xxy且)(xf为奇函数,则

]0,(x时,)(xf=

12.设函数xaxxxf1为奇函数，则实数a 。

13．若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，则f(x－1)＜0的解集是_______________.

14.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=_____________，b=____________.

15.已知函数8)(35bxaxxxf，且10)2(f则)2(f=

16.已知奇函数()fx在0x时的图象如图所示，则不等式()0xfx

的解集 。

17.已知函数21()axfxbxc (a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，

f(2)＜3，求a、b、c的值.

18.设函数f(x)=12x－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在（0，＋∞)上为单调函数．

19．定义在)1,1(上的奇函数)(xf在整个定义域上是减函数，若0)1()1(2afaf，求实数a的取值范围。

20.已知函数()fx的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，

（1）求证：()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)上是增函数；（3）解不等式2(21)2fx．

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