第二十二章 二次函数
第5讲 二次函数的图象和性质
【板块一】二次函数的图象和性质
题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置
【例1】(1)抛物线y＝2x²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数y＝－12(x＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2).
(2)抛物线y＝2x²＋1在x轴的 上 方；当x＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y＝－12(x＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x轴的 下方 ，顶点是 最高点 。
【解析】当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，y＝a(x﹣h)²＋k的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h；当a＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a＜0时，抛物线的顶点为最高点。
题型二 抛物线的开口大小
【例2】如图，若抛物线y＝ax²与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是( )
A.14≤a≤1 B．12≤a≤2 C.12≤a≤1 D.14≤a≤2
【解析】确定a的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D时，开口最小；抛物线经过点B时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a值分别2，14，∴14≤a≤2.
故选Ｄ．
【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x²；②y＝－12x²，③y＝－2x²的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③①
.
【解析】当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；当|a|越大，开口越小，当|a|越小，开口越大。故xy12O1 2D CA BxyⅢⅡⅠO抛物线I的解析式为y＝－12x²，抛物线Ⅱ的解析式为y＝﹣2x²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y＝x².故填②③①
§6.2二次函数的图象和性质 （2）---( 教案)
备课时间: 主备人:
教学目标:
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
教学重点:
二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在教学时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．
教学难点:
由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．
教学方法:
类比教学法。
教学过程:
一、复习：
二次函数y=x2 与y=-x2的性质：
抛物线 y=x2 y=-x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
二、问题引入：
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？
刹车距离与什么因素有关？
有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
晴天时：21001vs；雨天时：2501vs，请分别画出这两个函数的图像：
三、动手操作、探究：
1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。
2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。 比较它们的性质，你可以得到什么结论？
四、例题：
【例1】 已知抛物线y=（m＋1）xmm2开口向下，求m的值．
【例2】k为何值时，y=（k＋2）x622kk是关于x的二次函数？
【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=21x2，④y=－21x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x2比y=－3x2大（或小）多少？
九年级上册数学《二次函数的图像与性质》教学设计
九年级上册数学《二次函数的图像与性质》教学设计
一、考纲分析
二次函数是一个重要的函数模型，每年高考必考，通常以选择填空形式为主，难度适中，主要考查二次函数的图像与性质，以及二次函数，一元二次不等式及一元二次方程之间的关系及应用，重点考查分类讨论、数形结合，函数与方程，转化与划归等数学思想。本节课分为两课时进行，第一课时主要复习二次函数的图像与性质，以及图像性质在研究函数最值和单调性方面的应用，进一步使学生体会数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想解决问题的过程。第二课时主要复习一元二次不等式恒成立问题及二次方程根的分布问题，再次尝试用数形结合、函数与方程、转化与划归等数学思想分析与解决问题。
二、学习目标：
1、掌握二次函数的定义、图像和性质
2、会用二次函数的图像性质在研究函数最值和单调性
3、进一步体会数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想在解题中的作用
重点：二次函数最值和单调性 难点：二次函数在闭区间上的最值和单调性的应用
三、学情分析
高三五班是理科重点班，学生基础知识相对较好，有一定分析问题的能力，所以将基础知识的复习知识应用探究交给学生，放手让学生讨论并展示。但是通过前段时间的教学发现学生运用数学语言表述问题的能力较差，所以我将例题书写过程进行板书，以规范学生会书写。
四、教法学法分析
1、教法
结合本节课的学习目标和学生情况，我采用讲授法和自主探究相结合的教学方法。讲授法的选取在于引导学生分析问题，使学生理清思路，帮助学生总结提高，领悟问题的本质，自主探究法的目的调动学生学习的积极性，使学生参与课堂，积极思维，动手操作，亲自体验知识应用过程，从而获取知识。
2、学法
在教师的引导下梳理基础知识，通过自主探究小组合作交流、讨论、展示、解决问题，体会知识的应用过程。在这个过程中充分锻炼学生动手操作、动脑思考、动手表达的能力，掌握学习的主动权，学会分析问题和解决问题。
二次函数的图象和性质（第2课时）
教学目标
1．能够利用描点法画形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象．
2．通过观察图象能够说出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征和性质．
3．在由具体的二次函数图象归纳总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的过程中，进一步体会由特殊到一般和数形结合的思想．
教学重点
会用描点法画具体的形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象，并由具体图象归纳总结出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．
教学难点
通过对a的取值分类讨论，总结出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质，特别是|a|的大小对抛物线开口大小的影响．
教学过程
知识回顾
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 的函数，叫做二次函数．
2．画出一次函数y＝x＋1的图象．
【答案】（1）列表：
x 0 2
y＝x＋1 1 3
（2）描点、连线．
3．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
【设计意图】通过复习已经学过的有关函数的知识，为引出“二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质”作铺垫．
新知探究
一、探究学习
【思考】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象又是什么样的呢？
【师生活动】教师提示：结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．我们将从最简单的二次函数y＝x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．
【问题】仿照前面的画法，画出二次函数y＝x2的图象．
【师生活动】教师提示：可以用描点法画出二次函数y＝x2的图象．
学生根据提示独立思考，并作图．
解：（1）在y＝x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
