九年级数学二次函数的图像和性质
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二次函数的图像和性质（2）
一、 教材说明：
1．本节内容的地位和作用
本章的主要内容是由实际问题建立二次函数模型、研究二次函数的三种表示方法和二次函数的性质以及二次函数的简单应用.本课时之前，学生已经建立二次函数的概念、研究了二次函数的三种表示方法并且经历了最简单的二次函数y=ax2（a≠0）的图像和性质.本课时，引导学生画一般的二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像，让学生借助图像发现二次函数的性质以及特征.
2．学情分析
（1） 学生的年龄特点和认知特点
初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归
纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.
（2） 学生已具备的基本知识与技能
学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.
3．教学目标
（1） 知识性目标
a） 能够作出函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像
b）能够正确说出y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
c） 能够理解y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的单调性
（2） 能力与技能目标
a) 通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
b) 经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
（3） 情感与价值观目标
a） 经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
b）让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
4．教学重点
（1） 经历探索二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程.
（2） 能够作出y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像.
（3） 能够正确说出y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
（4） 能够理解y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的单调性 6．教学难点
能够作出y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像；能够正确说出y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
二、 教学方法和教学手段
1、教法分析
基于本节课内容的特点和九年级学生的心理特点，在本节课的教学中选择“情景教学法”、“引导探索法”和“研究性教学法”，通过创设问题情景，引导学生进行实际操作、观察探索、合作交流，亲身感受具体的二次函数，加深对二次函数的图像和性质的认识.
2．学法分析
学生是学习的主体，应在学习中充分发挥自己的主体能动作用，所以本节课学生采用亲手实践、自主探究、合作交流、总结升华为主要形式的“探究性学习法”，目的是让学生经历探索二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程，从而更好的理解.
3.教学手段
本节课以画图稿纸和多媒体课件为辅，通过亲自操作以及动感的画面，提高学生的学习兴趣，让学生积极而自主地获取知识，从而感受数学带来的快乐.
三、教学过程设计
教学环节 教学过程 设计意图
复
习 1．让学生联系生活中的抛物线，从而体会数学来源与生活，数学和生活密切相关.
2．老师展示“NBA篮球比赛”视频，抽象出篮球的轨迹—抛物线，并“数学化”，
提问：
（1）这条抛物线的表达式是怎么样的？
（2）抛物线 y=ax2 (a≠0)具有什么性质? 数学和生活息息相关，引发学习兴趣；温故知新，复习前面知识.
设计情景，引入新知 1．老师呈现“用一个平面切割圆锥”的视频动画，截面的边缘曲线是抛物线吗？
2．设计：“老师对这个问题研究后，得到如下结果，但是被墨水…！你能帮我还原这个函数的图像吗？”情景，引入今天的新课----对“比较一般的二次函数函数y=(x－1)2+1 ”的研究.
激发学习兴趣，数学无处不在；
到该课的主题中来. 师
生
互
动，
探
索
新
知（一） 活动一
1．画出二次函数 y=(x－1)2+1的图像．
学生对x取值可能仍是关于y轴对称地选取，以致不能完整地画出函数图像.
展示一个完整的图像，从而引导学生带着疑问学习.
2． 观察二次函数 y=(x－1)2+1的图像,回答下面问题．
（1）它是轴对称图形吗？若是，请说出它的对称轴．
（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？
（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？
（4）这个图像有怎样的开口方向？
对于（2），让学生充分思考，讨论，从而体会在x=1两侧对称取点的必要性.其他问题，学生都能从图像上，容易的解决.
活动二
1．画出二次函数y=－(x+1)2+2 的图像．
学生对x取值可能仍是关于y轴对称地选取，以致不能完整地画出函数图像.
展示一个完整的图像，从而引导学生带着疑问学习.
2． 观察二次函数y=－(x+1)2+2的图像,回答下面问题．
（1）它是轴对称图形吗？若是，请说出它的对称轴．
（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？
（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？
（4）这个图像有怎样的开口方向？
对于（2），让学生充分思考，讨论，从而体会在x=1两侧对称取点的必要性.其他问题，学生都能从图像上，容易的解决.
总结活动一、活动二的性质：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y=(x－1)2+1 x=1 (1，1) 向上
y=－(x+1)2+2 x=－1 (－1，2) 向下
给学生提出：对称轴、顶点坐标和开口方向怎么由表达式确定？
猜测：下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.
y=(x－3)2+16；y=3(x－3)2+18；y=－(x+3)2+1；y=－5(x+1)2－13.
总结二次函数y=a（x－h）2＋k（a≠0）的性质：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y= a (x－h)2+k (a>0) x=h (h，k) 向上
y= a ( x－h)2+k (a<0) x=h (h，k) 向下
安排应用上面结论的练习：
不画图像，指出下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.
y=0.5(x－4)2+23；y=－3(x－3.6)2+18；
y=(x+6)2+14；y=－27(x+11)2－13. 活动一动学生，探求知识的愿望，让学生经历画函数图像—疑问—探究—解决的学习过程，初步感受二次函数的特征.
活动二 改变二次函数，重复活动一的探究过程，再次感受二次函数的特征.
观察上面活动结果，引导学生发现抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向和表达式的关系.
让学生自己总结性质.
安排适当的练习，巩固知识. 师
生
互
动，
探
索
新
知（二） 用“几何画板”动画呈现，二次函数的单调性.
1．观察y=a (x-h)2+k (a≠0)的动画，回答下面问题：
当a>0时，
（1）在对称轴的左侧（即x
当x增大时，y的变化情况？
（2）在对称轴的右侧（即x>h），
当x增大时，y的变化情况？
当a<0时，
（1）在对称轴的左侧（即x
当x增大时，y的变化情况？
（2）在对称轴的右侧（即x>h），
当x增大时，y的变化情况？
2．总结
用看图，填表的形式，让学生自己总结
当a>0时，
在对称轴的 侧（即
x< 时），y随x的增大而 ;
在对称轴的 侧（即
x> 时），y随x的增大而 .
当a<0时，
在对称轴的 侧（即
x< 时），y随x的增大而 ;
在对称轴的 侧（即
x> 时），y随x的增大而 .
对于函数的增减性，学生有前面函数做铺垫，比较容易得到结果；通过观察几何画板课件，自主总结性质.
例题演示，巩固知识，规范格式 例1. 画出二次函数 y=－(x+1)2+1 的图像．
先让学生根据性质，得到它的对称轴，然后在对称轴的两侧对称着取点；
学生画图完成后；
老师呈现规范的步骤，结果：
⑴ 列表
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=－（x+1）2+1 -8 -3 0 1 0 -3 -8
⑵ 描点
⑶ 连线（图在课件上） 利用得到的性质，规范的画函数图像.
设置练习，巩固知识 课堂练习
1．指出抛物线y＝－2（x＋1）2－3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并把你的结果与同学交流．
2. 画出二次函数y＝（x－2）2＋1的图像，
并说明当x取哪些值时，y随x的增大而增大；
当x取哪些值时，y随x的增大而减小．
理论联系实际，应用得到的性质做些巩固练习.
