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matlab矩形薄板小挠度弯曲

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薄板的小挠度弯曲问题

薄板的小挠度弯曲问题
表2.圆形薄板弯曲的边界条件
名称
圆形薄板的小挠度弯曲问题
轴对称弯曲问题
说明
固定边界
位移边界条件
简支边界
混合边界条件
自由边界
静力边界条件
圆形薄板的轴对称弯曲问题，其挠度函数的通解即内力表达式如表2所示。其中， 为特解，
由板面荷载来确定。
表3.圆形薄板的轴对称弯曲问题的解答
名称
表 达 式
挠 度
内 力
对于有孔板，则可由内外各两个边界条件确定挠度表达式的 ；对于无孔边，则可由板中心处的挠度和内力为有限值得条件，得出 ，再由边界条件确定 和 。但需指出的是，在某些特殊情况下（例如，板面上作用有集中力或者板面上有约束），为了求得问题的解答，可以对内力进行放松，即 。
所示。根据板的厚度，可以将板分为：
（1）厚板：板厚 与板面内的最小特征尺寸
之比大于 ，即 ,且厚板
三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。这类
班一般须按弹性力学空间问题来处理。
（2）薄板：板厚 与板面内的最小特征尺
寸 之比在 和 之间，即
。这类板的抗弯刚度较大，
当受到一定大小的横向荷载作用时，薄板图1
将会产生弯曲变形，其挠度 比板厚 要小，最大挠度 ,可认为属于小挠度问题，否则属于大挠度问题。
或者有角点条件
式中： 为支座上端的沉陷。
如图4所示为以正方向标示于矩形薄板中面上的
总剪力、角点反力以及弯矩（以矩矢表示，右手
螺旋，双箭头为大拇指方向，其余四指的绕向即
为弯矩作用的方向），但表明其增量。
圆形薄板的小挠度弯曲问题
对于圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用
极坐标求解往往比较方便。圆形薄板弯曲问题的基
正，如图2中所示。图2

薄板的小挠度弯曲问题及经典解法

薄板的小挠度弯曲问题及经典解法

(z2

d2
4
)
y
2 w

（9-5）
（4）用w表示应力分量z
由平衡方程（7-1）式的第三式有（取 fz=0）：
z zx yz
z
x y
（c）
若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的
面力，并用 q表示。
d
q ( f )z zd
FRB

2D(1
)
2w xy
B
（9-18）
集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号， 而不能另行规定。据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正， 而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。
如果点B是自由边AB和自由边BC的交点，而点B并没有任何支 柱对薄板施以此向集中力，则应有FRB=0 ，亦即：
z
w
w(x, y)即在垂直于中面的任一法线
上，薄板全厚度内各点的挠度相同。
2）由几何方程， zy

w v y z
0
， zx

u z
w x
0
，得
v w ， u w z y z x （2） z 引起的形变可以不计。
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响 也可不考虑。
§9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x ( w )
x
0 x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边 （y = 0）
x y

matlab矩形薄板小挠度弯曲

matlab矩形薄板小挠度弯曲

文章标题：深度探讨MATLAB矩形薄板小挠度弯曲1. 引言MATLAB矩形薄板小挠度弯曲是结构力学中一个重要的概念，它在工程实践中具有广泛的应用。

本文将从简到繁地介绍矩形薄板弯曲的基本原理，然后结合MATLAB编程进行深入探讨。

2. 概念解释矩形薄板小挠度弯曲是指在外载荷作用下，矩形薄板按弯曲方向产生微小挠曲，而在弯曲过程中，板材内部产生的应力和应变在纵横两个方向上是不均匀的。

这是一个复杂而又具有挑战性的问题，需要结合结构力学和数值分析方法来进行深入研究。

3. 原理分析在MATLAB中，我们可以通过有限元方法对矩形薄板的弯曲问题进行模拟和计算。

我们需要建立起矩形薄板的数学模型，包括边界条件、荷载情况等。

利用MATLAB中的有限元分析工具对模型进行离散化处理，得到数值解。

4. MATLAB编程在MATLAB中，我们可以使用PDE Toolbox来实现矩形薄板小挠度弯曲的数值模拟。

通过定义边界条件、加载情况和材料参数，利用PDE Toolbox提供的有限元方法可以得到矩形薄板在弯曲过程中的应力分布、挠度情况等关键信息。

5. 实例分析以具体的实例来说明，在MATLAB环境下我们如何进行矩形薄板小挠度弯曲的数值模拟。

通过编写MATLAB程序，我们可以得到矩形薄板在弯曲载荷下的挠曲情况，并分析不同参数对挠度的影响。

6. 个人观点对于矩形薄板小挠度弯曲问题的研究，MATLAB作为一款强大的数值计算软件，为工程师和科研人员提供了便利。

通过MATLAB的有限元分析工具，我们可以更加深入地理解矩形薄板的弯曲行为，并在工程实践中提供更科学的设计依据。

7. 总结本文从简到繁地介绍了MATLAB矩形薄板小挠度弯曲的相关原理，结合MATLAB编程进行了深入探讨，并通过实例分析展示了在MATLAB环境下进行矩形薄板弯曲问题的数值模拟。

通过本文的阅读，希望读者能更加深入地理解矩形薄板弯曲问题，并在工程实践中有所裨益。

在格式上，我将根据文章内容适当分段，并在适当位置多次提及指定的主题文字“矩形薄板小挠度弯曲”，使得文章内容更加连贯和有条理。

第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总

第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总

第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。

荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。

横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。

中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。

薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。

放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。

只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。

（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。

弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。

第九章_薄板小挠度弯曲(更新)

第九章_薄板小挠度弯曲(更新)

本书的讨论范围内。
图 9-1 作用在薄板上的力总可以分解为二个： （A）作用在板平面内的力，这一问题可归结为平面应力问 题，可根据第三~五章的内容进行求解； （B）垂直于板面的力，这类力会使板产生垂直于板面（z 轴方向）的位移，属于板的弯曲问题，也是本章要讨论的问题。 当薄板弯曲时，中面所形成的曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在横向的(即垂直于中 面方向的)位移 w ，称为挠度。 根据板挠度的大小，可分下列两个问题： （A）挠度 w ≤
t − 2
t 2
（d）
而 τ xz ,τ yz 为坐标 z 的二次函数，其作用效果为剪力，单位板宽内的剪力为：
t 2
Qx = ∫ τ xz dz
t − 2 t 2
（e）
Qy =
t − 2
∫τ
yz
dz
（f）
将 σ x , σ y ,τ xy ,τ xz 的位移表达式(9.4)—（9.7）代入上面(b)—（f）各式有：
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
的截面上， σ x 的作用效果仅有弯矩，轴力为零，弯矩为：
t 2
M x × dy =
所以：
t − 2
∫σ
t 2
x
zdz × dy
（a）
Mx =
同理有：
t − 2
∫σLeabharlann xzdz（b）
My =
t − 2
∫σ
t 2
y
zdz
（c）
M xy = M yx = ∫ τ xy zdz
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
第九章 薄板小挠度弯曲
薄板是土木工程中常用的一种构件，例如房屋结构中大量采用的混凝土楼盖结构，设计中须分析 板内的弯矩分布，为板的配筋设计提供依据，根据薄板形状以及受力的特点，它在弯曲变形时，属于 空间问题，要获得其精确解是很困难的, 因此，在分析薄板弯曲问题时，除了弹性力学的基本假设以 外，需引用一些关于应变和应力分布规律的附加假设，使问题得到简化。在这些计算假设的基础上建 立一套完整的薄板弯曲理论，可以用来计算工程中的薄板问题，计算精度满足工程要求。本章就对这 种薄板弯曲的小挠度理论作一介绍。 §9-1 基本概念及计算假定 （1）基本概念 如图 9-1 的板，板厚度为 t，板的最小宽度为 b，平分板厚的平面称为中面，坐标平面 xoy 与中 面重合，对于不同厚度的板，作如下的分类： （A） t <

弹性薄板的小挠度弯曲课件

弹性薄板的小挠度弯曲课件
践指导。
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。

第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法ppt课件


（9-1）
由物理方程（7-12），有：
x y
xy
1 E 1 E
(
( 2 (1
x
y
E
)
y x xy
) )
（9-2）
即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。
， （3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移
(u)z0 0 (v)z0 0
（9-3）
x
u x
、y
v y
D4w q
D Ed 3 12(1 2 )
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原 理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。
1. 夹支椭圆板
设有椭圆形薄板，图9-6，其边界 方程是
x2 a2
y2 b2
1 0
试取挠度的表达式为
（a）
wmax22
y2 b2
2
1
（b）
图9-6
由式（b）及式（a）可见，在薄板的边界上有w = 0 ，同时也有
w x4am2 xax22
y2 b2
10
w y4am2 yax22
y2
b2
10
为了式（b）能满足边界条件，薄板的边界必须是夹支边。 将式（b）代入弹性曲面微分方程（9-8），得
d M x 1 E 2 x 2 w 2 y 2 w 2 d 2 d 2 z 2 d z 1 ( 1 E 2 32 ) x 2 w 2 y 2 w 2

矩形薄板简支弯曲经验公式

矩形薄板简支弯曲经验公式【实用版】目录1.矩形薄板简支弯曲经验公式的概述2.矩形薄板简支弯曲的经验公式推导3.矩形薄板简支弯曲的经验公式应用实例4.矩形薄板简支弯曲的经验公式的优缺点分析正文一、矩形薄板简支弯曲经验公式的概述矩形薄板简支弯曲经验公式，是一种描述矩形薄板在简支条件下弯曲变形的数学公式。

矩形薄板在工程中有着广泛的应用，如建筑物的梁、板等结构件，了解和掌握这种经验公式对于工程设计和计算具有重要意义。

二、矩形薄板简支弯曲的经验公式推导设矩形薄板的长为 a，宽为 b，厚度为 t，材料弹性模量为 E，泊松比为μ，简支在 x、y 两个方向上，且在 x 方向上的长度为 l。

假设在y 方向上有一个集中力 F 作用在距离 x 边缘的距离为 c 处，那么根据力学原理，可以推导出矩形薄板简支弯曲的经验公式如下：δ=F*l/(2*E*I)其中，δ表示弯曲变形，I 为面积惯性矩，根据矩形薄板的几何参数，可得：I=ab*t^3/12将 I 代入上述公式，得到：δ=F*l/(2*E*ab*t^3/12)三、矩形薄板简支弯曲的经验公式应用实例假设有一矩形薄板，长 a=2m，宽 b=1m，厚 t=0.1m，材料弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3，简支在 x、y 两个方向上，且在 x 方向上的长度为 l=1m。

现在在 y 方向上有一个集中力 F=10kN 作用在距离 x 边缘的距离为 c=0.5m 处，求弯曲变形δ。

根据上述公式，代入已知参数，可得：δ=10kN*1m/(2*200GPa*2m*0.1m^3/12)=318.18mm所以，在给定条件下，矩形薄板的弯曲变形δ约为 318.18mm。

四、矩形薄板简支弯曲的经验公式的优缺点分析优点：1.该经验公式简单易懂，便于工程技术人员应用和计算；2.可以描述矩形薄板在简支条件下的弯曲变形，适用于多种工程场景。

缺点：1.经验公式的推导过程中做了一些简化和假设，可能导致计算结果与实际有一定误差；2.适用范围有限，对于非简支条件或者其他特殊情况下的矩形薄板，该公式可能不再适用。

平板弯曲问题的有限元法MATLAB

论。当板足够薄时，用 Kirchhoff 板理论能得到符合实际的结果。
图 2 板横截面内的应力分布和内力
在截面上的应力分别如图 2 所示。在板理论中经常用内力，即弯矩和剪力来表示，它们 与应力之间的关系为
������������ = ∫−−22//ℎℎ ������������ ������������������，������������ = ∫−−22//ℎℎ ������������ ������������������，������������������ = ∫−−22//ℎℎ ������������������ ������������������ ������������ = ∫−−22//ℎℎ ������������������ ������������，������������ = ∫−−22//ℎℎ ������������������ ������������
图 3 板理论的转角位移与有限元转角位移分量的关系
1.3 基于 Mindlin 板理论的四边形单元
由于 Kirchhoff 板理论要求挠度的导数连续，给构造协调单元带来了不少麻烦。为此，采 用考虑剪切变形的 Mindlin 板理论来克服。这种方法比较简单，精度较好，并且能利用等参 变换，得到任意四边形甚至曲边四边形单元，因而实用价值较高。
������������������
0 0 (1 − ������)/2 ������������,������ + ������������,������
另外为了修正横向剪应力沿板厚均匀分布导致的误差，引入了所谓剪切修正因子
（8）
������ 来修正剪力，即
������������ = ������������ℎ(������,������ − ������������)， ������������ = ������������ℎ(������,������ − ������������)

板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件


PPT课件
z2(E 1 4 w 2)t4 2(z2 t)1 3(z38 t3 6(1E t3 2)(1 2zt)21zt4w
在薄板的上边界代入外荷载q
z
q
zt 2
Et3
12(1 2
)
4w
q
D
Et3
12(1
2)
称为薄板的弯曲刚度，量纲为[力][长度]
D4w q
薄板的弹性曲面微分方程
24
PPT课件
z z 2 ( 1 E 2 )(z 2 t4 2 ) ( x 4 w 4 x 2 4 w y 2 ) ( y 2 4 w x 2 y 4 w 4 )
z E (z2 t2) (4 w 2 4 w 4 w ) z 2 (1 2) 4 x4 x2 y2 y4
u w v w 积分 z x z y
uwz x
f1(x,
y)
vwz y
f2(x,
y)
13
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
uwz x
f1(x,
y)
w
v y
z
f2(x,
y)
u 0, z0
u w z x
v 0 z0 v w z y
14
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
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matlab矩形薄板小挠度弯曲
（原创版）
目录
1.引言
2.MATLAB 矩形薄板小挠度弯曲的基本原理
3.MATLAB 在矩形薄板小挠度弯曲分析中的应用
4.矩形薄板小挠度弯曲的实例分析
5.结论
正文
1.引言
在工程领域，结构分析是重要的研究方向。

对于矩形薄板这样的结构，小挠度弯曲问题是一个关键的研究问题。

在这种情况下，MATLAB 这种强大的工程分析软件，就发挥了巨大的作用。

本文将从矩形薄板小挠度弯曲的基本原理入手，探讨 MATLAB 在此过程中的应用，并通过实例分析，深入理解这种应用。

2.MATLAB 矩形薄板小挠度弯曲的基本原理
矩形薄板小挠度弯曲问题的基本原理是，当一个矩形薄板在一定的外力作用下，会发生弯曲变形。

这种变形可以被视为小挠度，即板的几何形状发生的微小变化。

MATLAB 可以通过模拟这种过程，来分析矩形薄板的弯曲情况。

3.MATLAB 在矩形薄板小挠度弯曲分析中的应用
MATLAB 在矩形薄板小挠度弯曲分析中的应用，主要体现在以下几个方面：
首先，MATLAB 可以通过有限元分析，模拟矩形薄板的弯曲过程，得
到板的弯曲情况。

其次，MATLAB 可以利用其强大的数据处理能力，对模拟结果进行处理，提取出需要的信息。

最后，MATLAB 还可以通过可视化，将模拟结果以图形的形式展现出来，便于人们理解和分析。

4.矩形薄板小挠度弯曲的实例分析
假设我们有一个矩形薄板，长为 1m，宽为 0.5m，厚度为 0.01m。

在板的中央施加一个垂直于板的向下的力，大小为 100N。

我们可以通过MATLAB，模拟板在这个力的作用下的弯曲过程。

首先，我们需要建立有限元模型，将矩形薄板划分为许多个小的矩形单元。

然后，我们对每个单元应用力，并求解得到每个单元的应变和应力。

最后，我们将所有的应变和应力信息汇总，就可以得到整个矩形薄板的弯曲情况。

5.结论
总的来说，MATLAB 在矩形薄板小挠度弯曲分析中，发挥了重要的作用。

它不仅可以通过有限元分析，模拟板的弯曲过程，得到板的弯曲情况，而且还可以利用其强大的数据处理能力，对模拟结果进行处理，提取出需要的信息。