第一章《勾股定理》专题复习(含答案)

专题一勾股定理【知识网络】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF＝45°，求证：222AE BF EF +=.解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴△ECF≌△ECF′(SAS)，∴EF＝EF′．在Rt△AEF′中，222AE F A F E ''+=，∴222AE BF EF +=．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：222BD AB BC =+.解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A 转至点C．点B 转至点E，连结BE．∵BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE 为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB 中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴222BC AB BD +=2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+PB 2=BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、(1)已知：如图1，，，求证：①(2)运用(1)的结论可以证明下列命题：已知：如图2，设M 是△ABC 内部任意一点，于G ，于K ，于，BD=BE ，CE=CF ，求证：AD=AF ．图１图２(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠AOC=∠BOD=90°∴(2)证明：连结AM ，BM ，CM∵AB ⊥DM ∴○1∵∴○2∵∴○3把○1○2○3三式相加，得222222DB AM CE BM AF CM +++++222222AD BM BE CM CF AM =+++++又∵，，∴4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴△GAB ≌△HCG∴∠GAB=∠H ，AB=CH又∵AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴△ABG ≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴又544a HF CH CF a a =+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE举一反三：【变式】如图，已知等腰△ABC 的底边BC=20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD=16cm ，BD=12cm ，求△ABC 的周长.解：∵BC=20cm ，CD=16cm ，BD=12cm ，∴BD 2+DC 2=122+162=202=BC 2，∴∠BDC=90°，又∵AC=AB=BD+AD=12+AD ，在Rt △ADC 中，AC 2=AD 2+DC 2，即(12+AD)2=AD 2+162，解得AD=143，故△ABC 的周长为：2AB+BC=1533cm类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A、B 到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？解：作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB 交CD 于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A 关于直线CD 对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H，在直角三角形GHB 中，∵GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，∴由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴GB＝1000，即最短路程为1000米．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC 上有一点P，使EP＋BP 最短．求EP＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC 于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，即最短距离EP＋BP 也就是ED．∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，∴AD＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+=．∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离EP＋BP＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）．由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【巩固练习】一.选择题1.在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=，222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】C；【解析】连接AC，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC 中，∠C＝∠A 一∠B，则△ABC 为直角三角形．B．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形．C．在△ABC 中，若35a c =，45b c =，则△ABC 为直角三角形．D．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形．【答案】D；【解析】D 选项222224+≠，故不是直角三角形.4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A ．2900mB ．1200mC ．1300mD ．1700m 【答案】C；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5.直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（）A．ab =h 2B．a 2+b 2=h 2C．111a b h+=D．222111a b h +=【答案】D；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：abc h=．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2=222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于()A.25B.325C.2197D.405【答案】B；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325.7.已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+ B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+ D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+【答案】B；【解析】()()22141m m m -+=+.8.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）A.90B.100C.110D.121【答案】C；【解析】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为10×11=110．故选C ．二.填空题9.如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．【答案】6；【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为直角三角形．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．【答案】3；【解析】设点B落在AC上的E点处，设BD＝x，则DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－x，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．【答案】14或4；【解析】当△ABC是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC是钝角三角形时，BC＝9－5＝4. 12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP 的最小值是cm．【答案】5【解析】作E点关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP的最小值5.13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC，∴AC=4cm，PC=34BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5.14．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1米，∠B=90°，BC=4米，AC=8米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE=米时，有DC 2=AE 2+BC 2．【解析】连接CD ，假设AE=x ，可得EC=8﹣x ．∵DE=1，∴DC 2=DE 2+EC 2=1+（8﹣x ）2，AE 2+BC 2=x 2+16，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴1+（8﹣x ）2=x 2+16，x =4916.15.已知长方形OABC，点A、C 的坐标分别为OA=10，OC=4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，CP 的长为________．【答案】3，2，8；【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.16.如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.【答案】90°；【解析】延长AD 到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴CM＝AB＝5AM＝2AD＝12在△ACM 中22251213+=即222CM AM AC +=∴∠AMC＝∠BAD=90°三.解答题17.如图所示，已知D、E、F 分别是△ABC 中BC、AB、AC 边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BD CD =，求：△ABC 的面积．【解析】解：∵32BD CD =，设BD＝3x ，则CD＝2x ，由AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，即AF＝3－2x ，AE＝4－3x ，∴3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴BC＝3x ＋2x ＝5又∵222345+=，即222AC AB BC +=∴△ABC 是直角三角形，∠A＝90°．∴1143622ABC S AB AC ==⨯⨯= △18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵BC=8cm ，∴BD=CD=BC=4cm ，∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时，∵AP 2=PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t ，∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t ，∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．19.有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ,①如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，且与AB 重合,则CD ＝_________.图1图2②如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，使点C 落在AB 中点H 上，点M、N 分别在AC、BC 上，则2AM 、2BN 与2MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.解：①3；②2AM ＋2BN ＝2MN证明：过点B 作BP∥AC 交MH 延长线于点P，连接NP，∴∠A＝∠PBH 在△AMH 和△BPH 中∠A＝∠PBHAH＝BH ∠AHM＝∠BHP ∴△AMH≌△BPH ∴AM＝BP，MH＝PH 又∵NH⊥MP ∴MN＝NP∵BP∥AC，∠C＝90︒∴∠NBP＝90︒∴222NP BNBP =+∴2AM ＋2BN ＝2MN20.如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6cm ，CD＝15cm ，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D 四点处是可以活动的）.现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC、AD 边的长．解：（1）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝x ，∴在图2中，AC＝BC－AB＝x －6，AD＝AC＋CD＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，∴在图3中，BC＝x ，AC＝AB＋BC＝6＋x ，AD＝x ＋9．在△ACD 中，∠C＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得x ＝30．即BC＝30．∴AD＝39．【课后练习】一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高()A.5mB.7mC.8mD.10m【答案】C；2．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为()A.15B.16C.17D.18【答案】C；【解析】距离为222815289AB =+=,AB=173.放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min ，小红用15min到家，小颖用20min 到家，则小红和小颖家的距离为（）A.600mB.800mC.1000mD.不能确定【答案】C；【解析】OA=40×20=800m ，OB=40×15=600m ，在直角△OAB 中，AB=1000m .4.如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6B．12C．24D．30【答案】A；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影．5．下列三角形中，是直角三角形的是()A.三角形的三边满足关系a b c +=B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，41【答案】D；6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要()A.450a 元B.225a 元C.150a 元D.300a 元【答案】C；【解析】作高，求得高为15m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对【答案】A；【解析】AC 2＝13，AB 2＝52，BC 2＝65，满足勾股定理.8.已知，如图长方形ABCD 中，AB＝3cm ，AD＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cmB.42cmC.62cmD.122cm【答案】C；【解析】设AE＝x ，则DE＝BE＝9－x ，在Rt△ABE 中，.二.填空题9.根据下图中的数据，确定A=，B=，x=．【答案】225；144；40；【解析】根据勾股定理直接求解即可．10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．【答案】8；11．如图，B，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．【答案】30；12．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132.13.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是162cm ，则其中最大的正方形的边长为______cm ．【答案】4；【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.14．如图，平面上A、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C 处有食物，已知点C 在A 的东南方向，在B 的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B 两地出发爬向C 处，速度都是30cm ／min.结果甲蚂蚁用了2min，乙蚂蚁2分40秒到达C 处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm .【解析】依题知AC＝60cm ，BC＝80cm ，∴AB 2＝602+802＝1002，AB=100cm ．15.小明要把一根长为70cm 的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm 的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．16．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．【答案】81；三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得：()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为：21346962x x x ⨯⨯==.18．如图，两个村庄A、B 在河CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．解：作A 点关于CD 的对称点A′，连结A′B，与CD 交点为O．222223(13)255A B A E BE A B ''=+=++='=所以铺设水管的总费用W 为20000×5＝100000＝10万元.19．如图，△ABC 中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB 到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD 的长．解：设BD＝x ，则CD＝30－x ．在Rt△ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++，解得x ＝5．所以BD＝5.20.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B '为CD 边上的点，C B '＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD，BC 边交于点M，N．求BN 的长.解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=．设BN B N x '==，则9CN x =-．∵正方形ABCD ，∴o 90C ∠=．∴222CN B C B N ''+=．∵C B '＝3∴222(9)3x x -+=．解得5x =．∴5BN =.21.综合与实践21。

第一章：勾股定理【知识点归纳】：1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的 等于斜边c 的 ，即 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是 三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个 ，称为勾股数。

注意：a.勾股定理仅适用于直角三角形；b.常见的勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17。

c.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数。

1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）A.26B.18C.20D.21 2．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m 3.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）4.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A.6B.7C.8D.9 5.若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ）A 、14B 、4C 、14或4D 、以上都不对 6. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm 7. 小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开6 m 后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（ ）. A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 m 8．以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)6，7，8 (D)8，9，109.三角形的三边 a 、b 、c 满足关系：（a 十b ）2=c 2＋2ab ，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B 、锐角三角形C ．钝角三角形D 条件不足，不能确定10．如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ）A.2nB.n+1C.n 2－1D.n 2+1ED CBA11．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一 个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ． 12.如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A ＝ ，B ＝ ，C ＝ .13.如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c 若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为 .14、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBACA B E D练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例 2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cmCABD练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62 ，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．C F60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。

八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点+易错题精选1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

勾股定理 易错题精选一．选择题1．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．6，8，10C ．5，8，13D ．12，13，142．用四个边长均为a 、b 、c 的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（ ）A ．c 2=a 2+b 2B ．c 2=a 2+2ab+b 2C ．c 2=a 2﹣2ab+b 2D ．c 2=（a+b ）2．3．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都是矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）A．360 B．400 C．440 D．4844．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）A．3 B．4 C．5 D．65．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c26．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点A到边BC的距离为（）A． B．C． D．37．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠C=∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C=9：12：158．某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．长方形门框ABCD中，AB=2m，AD=1.5m．现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：①长1.4m，宽1.2m；②长2.1m，宽1.7m；③长2.7m，宽2.1m；④长3m，宽2.6m．其中不能从门框内通过的木板有（）A．0块 B．1块 C．2块 D．3块10．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A 和B，DA=24千米，CB=16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定二．填空题11．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x= ．12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为．14．观察下列式子：当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= ．15．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．16．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为度．17．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，AD=13cm．求四边形ABCD的面积= cm2．18．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为米（精确到0.1m）．19．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里．20．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯米．二．解答题21．如图，你能用它验证勾股定理吗？（提示：以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积）22．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．试判断△ACD的形状，并说明理由．23．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为．解决问题：（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．24．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．25．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O 的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？26．如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？参考答案一．选择题1．【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【解答】解：A、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；C、52+82=89≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、122+132=313≠142，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：B．2．【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式．【解答】解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，则有c2=ab×4+（b﹣a）2，整理得：c2=a2+b2．故选：A．3．【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=6+8=14，所以，KL=6+14=20，LM=8+14=22，因此，矩形KLMJ的面积为20×22=440．故选：C．4．【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．【解答】解：找到OA n=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，……，故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．故选：C．5．【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．6．【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长，然后得到三角形是等腰三角形，进而利用勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：根据勾股定理可知：AB==，AC==，BC==，则△ABC是等腰三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，即BD=CD=BC=，AD===，即点A到BC的距离为．故选：C．7．【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：b2﹣c2=a2则b2=a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c=3：4：5，设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形；∠C=∠A﹣∠B，则∠B=∠A+∠C，∠B=90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C=9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180°，解得，x=5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．8．【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可．【解答】解：∵三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，∴三边的长分别为13米、47米、49米，假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x，则：x2=132+472=2378，∵492=2401＞2378，∴该三角形为钝角三角形．故选：B．9．【分析】求出长方形门框的对角线长，宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过．【解答】解：门框的对角线长是： =2.5m．宽小于或等于2.5m的有：①②③．故选：B．10．【分析】根据题意利用勾股定理得出AD2+AE2=BE2+BC2，进而求出即可．【解答】解：设AE=xkm，则BE=（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴AD2+AE2=BE2+BC2，故242+x2=（40﹣x）2+162，解得：x=16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．二．填空题11．【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．【解答】解：分两种情况进行讨论：①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x==10，②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x==2；故答案为：10或2．12．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故答案为：10．13．【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1．故答案为： +1．14．【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．【解答】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．15．【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．【解答】解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．16．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，进而可得答案．【解答】解：∵（）2+（）2=（）2，∴三角形为直角三角形，∴这个三角形的最大内角度数为90°，故答案为：9017．【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△CBD是直角三角形，分别求出△ABD和△CBD的面积，即可得出答案．【解答】解：连结BD，在△ABD中，∵∠A=90°，BC=3cm，DC=4cm，∴BD==5（cm），S△BCD=BC•DC=×3×4=6（cm2），在△ABD中，∵AD=13cm，AB=12cm，BD=5cm∴BD2+AB2=AD2，∴△ABD是直角三角形，∴S△ABD=AB•BD=×12×5=30（cm2），∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36（cm2）．故答案为：36．18．【分析】根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论．【解答】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，在Rt△ABC中，BC=≈192.2米，故答案为：192.219．【分析】根据方位角可知船与海岛、灯塔的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，再根据勾股定理，即可求得海岛B与灯塔C之间的距离．【解答】解：因为∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，所以△ABC是直角三角形，∵AB=15×2=30海里，∠BAC=60°，∴AC=60海里，∴BC==30（海里）故答案为：3020．【分析】利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，再根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，斜边AC是4米，∴BC=AC=2米，∴AB===2（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=（2）米．故答案为：2+2三．解答题（共6小题）21．【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积；化简得a2+b2=c2，即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．22．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．【解答】解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=9+16=25，∴AC=5，又∵AC2+CD2=25+144=169，AD2=169，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．23．【分析】根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．【解答】解：（1）AB==5，BC==，AC==，△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1=，故答案为：5；；；；（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1=5．24．【分析】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB 的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得AB=500米，∵AB•CD=BC•AC，∴CD=240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．25．【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求得AO的长即可；（2）在梯子长度不变的情况下，求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=，=，=12m，∴梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，∵AC=4m，∴OC=AO﹣AC=8m，∴OD=，=，∴BD=OD﹣OB=，∴滑动不等于4m．（3）AB上的中点到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．26．【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB===12（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12cm；（2）∵AD=12cm，∴蚂蚁所走的路程==20，∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（cm/s）．。

专题01第一章 勾股定理【专题过关】类型一、用勾股定理解三角形【解惑】如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，12BC =，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交线段AC 于点D C CD BC E 12BE CD =ABA ．5B ．6【答案】A 【分析】设AB AD x ==，根据12BE CD =方程即可求解．【融会贯通】B．A．8013【答案】45【分析】如图，作22,AE l CF l ^^，垂足分别为勾股定理求出2BC 即可．【详解】解：如图，作2,AE l CF ^^则90AEB BFC Ð=Ð=°，ABE BAE Ð+Ð∵点A 到直线2l 的距离是3，点C 到直线2l 的距离是6，∴3,6BF AE CF ===，∴222223645BC BF CF =+=+=，∴正方形ABCD 的面积为45；故答案为：45【点睛】本题考查了点到直线的距离、勾股定理和全等三角形的判定和性质等知识，正确理解题意、证明ABE BCF △△≌是解题的关键．4．（2023春·黑龙江黑河·八年级校考期中）如图，四边形ABCD 中，90A B Ð=Ð=°，25AB =，15AD =，10BC =，点E 是AB 上一点，且DE CE =，求AE 的长．【答案】10【分析】设AE x =，则25BE x =-，分别在Rt AED △和Rt BCE V 中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设AE x =，则25BE x =-，∵90A B Ð=Ð=°∴AED △、BCE V 都为直角三角形，在Rt AED △中，由勾股定理可得：2222215DE AE AD x =+=+在Rt BCE V 中，由勾股定理可得：()222222510CE BE BC x =+=-+∵DE CE=∴()2222152510x x +=-+解得10x =(1)求证：ABD △△≌(2)若3AD =，DE =【答案】(1)见解析(2)10类型二、勾股树（数）问题【解惑】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、5、7，则最大正方形E 的面积是（ ）A ．14B ．108C ．58D ．72【答案】B 【分析】由勾股定理可得，直角三角形中，以斜边为边的正方形的面积等于分别以两个直角边为边的正方形的面积的和，据此求解即可．【详解】解：如图所示，由勾股定理，得22223557108E M N A B C D S S S S S S S =+=+++=+++=，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股树，掌握勾股树的特征是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是（ ）A ．249cm B ．225cm C ．236cm D ．211cm 【答案】A 【分析】如图，设正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 的边长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f ，根据勾股定理可得222e a b =+，222f c d =+，2227e f +=，即可得出正方形A 、B 、C 、D 的面积之和等于最大正方形G 的面积，根据正方形面积公式即可得答案．【详解】如图，设正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 的边长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f ，∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，∴222e a b =+，222f c d =+，∴正方形E 、F 的面积和为正方形A 、B 、C 、D 面积的和，∵最大的正方形的边长为7，∴222497e f =+=，【答案】25【答案】26【分析】标记正方形F 210y =，222z x y =+，代入计算出【详解】解：如下图，标记正方形则由勾股定理得：26x =即最大正方形E 的面积为：则最大正方形E 的边长为故答案为：26．【答案】22【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形面积．【详解】设正方形A，B，C，DQ正方形A，B，C，D的面积分别为【答案】2024【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为2，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a 和b ，斜边长为c ，根据勾股定理可得：222+=a b c ，∵21c =,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为222222a b c c c =++=+=；同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为22222233a b c c =++==；第三代勾股树中所有正方形的面积为244c ==；第n 代勾股树中所有正方形的面积为()211n c n =+=+；∴第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024．故答案为：2024．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律．类型三、以直角三角形向外作正方形【解惑】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC Ð=Ð=°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为1S ，2S ，3S ，4S ，下列结论正确的是（ ）A ．()34124S S S S +=+B ．1234S S S S =--C ．4231S S S S -=-D ．241333S S S S -=-【答案】B 【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是2AC ，即可得到答案．【详解】解：如图，连接AC ，根据勾股定理，得222222AC AB BC AC AD CD =+=+，，∴221423AC S S AC S S ++＝，＝，\1423S S S S +=+，\1234S S S S =--故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边．【融会贯通】1.（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）如图，以Rt ABC △的三边向外作正方形，其面积分别为123S S S ，，，且13615S S ==，，则2S = ( )A．21B【答案】C【分析】根据勾股定理求出【详解】解：由勾股定理得，A．22023B【答案】C【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是【点睛】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．3．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，其面积分别为2S 、3S ，且17S =，2S =A ．3B 【答案】B 【分析】利用勾股定理易得【详解】解：Q 直角三角形的三边为边向外作正方形，其面积分别为【答案】14【分析】根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：由图可知：26,AB AC =∴x 所在的正方形的面积为【答案】284cm 【分析】根据勾股定理得出空白正方形的面积，进而得出其边长，再根据勾股定理求出度，最后根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：∵②为直角三角形，阴影部分是两个正方形，【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．类型四、勾股定理与折叠问题【解惑】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，则BD 等于（ ）A ．2cmB ．【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出后利用勾股定理解Rt DEB △Q由折叠的性质，可得()8cm DE CD x ==-，90AED ACD Ð=Ð=°，在Rt DEB △中，222DE BE BD +=，\()22284x x -+=，解得5x =，\BD 等于5cm ．故选D ．【点睛】本题考查勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．【融会贯通】【答案】2或5/5或2【分析】当90B ED Т=°时，先求出时，作AH BC ^，证明出ADH V 【详解】解：当90B ED Т=°时，如图，AB AC =Q ，AE BC ^，8BE CE \==，10AB =Q ，90Q，Т=°B DEADB ADB\Ð=Т=°，135ADH\Ð=°，45\==，6DH AHCD AB \^，=90ACB аQ ，AC =223AB AC BC \=+=1122AB CD AC BC ××=Q 1153422CD \´´´=，12作DG BC ^于点G ，1122AC DH BC DG ×+×Q【答案】25cm 4【分析】根据折叠的性质，则【详解】由题意得，DB=DE=【答案】5【分析】由四边形用勾股定理求出BDx类型五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【解惑】在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，则AB 2+BC 2+AC 2的值为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．18【答案】D【分析】根据90C Ð=°，利用勾股定理可得222AB BC AC =+，据此求解即可．【详解】解：如图示，90C Ð=°∴在Rt ABC V 中，222AB BC AC =+∴222222222318AB BC AC AB AB AB =+==+=+´，【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长a ，b ，c 满足222+=a b c 是解题的关键．【融会贯通】【答案】8【分析】根据常见的“手拉手全等模型【详解】解：连接BD因为ABC V 和ECD V 都是等腰直角三角形，,ACB ECD E \Ð=ÐÐ=90Ð=Ð=°Q ACB ECD【答案】69【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出(1)求证：22AF BE +=(2)若7AC =，5BC =【答案】(1)见解析(2)177AF =【分析】（1）延长EDAG AC ^Q ，90CAG °\Ð=，9090180CAG ACB °°°\Ð+Ð=+=，AG BE \P ，AGD DEB \Ð=Ð，在AGD △和BED V 中，AGD DEB ADG BDE AD BD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AGD BED AAS \△≌△，AG BE \=，DG DE =，DF EG ^Q ，FG EF \=，90FAG °Ð=Q ，222AF AG FG \+=，222AF BE EF \+=，（2）解：设AF x =，7AC =Q ，5BC =，1CE =，则7CF AC AF x =-=-，4BE BC CE =-=，90C Ð=°Q ，222CF CE EF \+=，即：22(7)1EF x =-+，由（1）知：MF EF =，90BAF Ð=°，AM BE =，类型六、赵爽弦图【解惑】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a ，b 表示直角三角形的两直角边（a b >），c 表示斜边，则下列说法中错误的是（ ）A ．5c =B ．1a b -=C ．6ab =D ．7a b +=【答案】C 【分析】根据正方形的面积得出5c =，1a b -=，根据勾股定理得出22525a b c +==，进而根据完全平方公式变形求得,ab a b +的值，即可求解．【详解】解：∵大正方形面积为25，∴5c =，故A 选项正确，不合题意；∴22525a b c +==∵小正方形面积为1，∴1a b -=，故B 选项正确，不合题意；∴()22222521a b a ab b ab -=-+=-=∴12ab =，故C 选项错误，符合题意；∴()2222252449a b a b ab +=++=+=∴7a b +=（负值舍去），故D 选项正确，不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的变形求值，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若168ab =，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（ ）A ．7B ．24C ．17D ．25【答案】C 【分析】勾股定理得：22625a b +=，又222()26252168289a b a b ab -=+-=-´=，由此即可求出17()a b a b -=>，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是a b -，由勾股定理得：22625a b +=，222()26252168289a b a b ab -=+-=-´=Q ，17()a b a b \-=>，\小正方形的边长为17．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023春·北京·八年级统考期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾3a =，弦5c =，则小正方形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】2【分析】根据含【详解】在Rt△∴2=，AB AE【答案】4【分析】由图1可知，图2中正方形ABCD的边长为直角三角形长和宽的差，即可求解．-=，【详解】解：由图1可知，图2中正方形ABCD的边长为642´=，∴图2中小正方形ABCD的面积为224故答案为：4．【点睛】本题考查勾股定理，正方形的面积．正确识图是解题的关键．【答案】2【分析】根据边长求出中间小正方形的边长，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，根据题意可得，AD BC AC ==∵四边形CDEF 是正方形，∴43CD DE EF FC ====-=∴在Rt CDE △中，2CE CD =故答案为：2．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．类型七、勾股定理构造图形【解惑】为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 2.4AB =米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD 正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即0.8BC =米），测温仪自动显示体温（ ）A ．1.0米B ．1.2米C ．1.25米D ．1.5米【答案】A 【分析】过点D 作DE AB ^于点E ，构造Rt ADE △，利用勾股定理求得AD 的长度即可．【详解】解：如图，过点D 作DE AB ^于点E ，AB=米，∵ 2.4=-∴AE AB BE△中，由勾股定理得到：在Rt ADE2=AD AE DE+故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线【融会贯通】A．2m B．3m【答案】D【分析】根据勾股定理求得AB【答案】101【分析】过D 作DE AB ^于E ，构建直角三角形，根据勾股定理计算求解即可．【详解】解：过D 作DE AB ^于E ，设OA OB AD BC r ====，则10DE =，112OE CD ==，1AE r =-，在Rt ADE △中，可有222AE DE AD +=，即【详解】解：如图，两人同时从A 地出发，甲向南行走10步后到达C 地后，偏离原方向．设x 秒两人在B 处相遇，这时乙行驶3AB x =，甲共行驶7AC BC x +=，∵10AC =，∴710BC x =-，∵90A Ð=°，由勾股定理得：()()222710103x x -=+，故答案为：()()222710103x x -=+．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅1km 就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？【答案】登陆点到宝藏处的距离为10千米【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．【详解】解：过点B 作BD AC ^于点D ，根据题意可知，8316AD =-+=千米，268BD =+=千米，【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．2022秋·七年级单元测试）如图，小丽荡秋千，秋千架高时，坐位离地0.8米．此时小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的最高点之间的距离）【答案】2.4米【分析】画出秋千的侧面图，根据勾股定理即可求出【详解】解：如图为秋千侧面图，座位最低点为则 2.40.42OA OB ==-=，过B 点作OA 的垂线，垂足为则0.80.40.4AC =-=，OC 由勾股定理得：22BC =【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题，关键是正确理解题意．类型八、小鸟飞行问题【解惑】如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（BD）为8m的一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果2.5m/sA．1s B．3s C．4s【答案】C【分析】过A作AE MD^于E，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．【详解】解：过A作AE MD^于E，如图所示：=由题意可知，AB DE根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为222=+=AC AE CE6\它要飞回巢中所需的时间至少是【融会贯通】1．（2023春·重庆云阳·八年级校考阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（）【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短定理可将两点之间的距离求出．，为树，且【详解】如图所示，AB CD【点睛】本题主要考查了勾股定理的的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，有两棵树，一棵高鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行【答案】10【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行【分析】根据题意画出对应的几何图形，的长度，在Rt BDE △中利用勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意画出图形如下：其中6AB =米，3CD =米，过点D 作DE AB ^，则四边形∴3AE CD ==米，DE =∴3=-=BE AB AE 米，在Rt BDE △中，BD BE =答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行类型九、勾股定理的证明方法【解惑】意大利著名画家达·芬奇用如图所示（四边形ABCD ，四边形CEFG ，四边形PQMN 都为正方形，设图①中空白部分的面积为1S ，图③中空白部分的面积为2S ）的方法验证了勾股定理，步骤如下所示，则下列判断不正确的是（ ）A ．★表示2b ab+B ．●表示22c ab +C ．◆表示=D ．▲表示22a b +【答案】B 【分析】根据图形表示出12S S 、，即可求解．【详解】解：由图①可得22221122S a a b b a ab b =+´´´+=++，【融会贯通】1．（2023春·河南周口·八年级校考期中）数学兴趣小组的同学用火柴盒研究证明勾股定理的新方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到CEFG 的位置，连接AF ，此时90ABC Ð=°，BC a =，AB b =，AC c =．Q BC a =，AB b =，AC =()12ABEF S EF AB BE \=+×梯形()()12a b a b =´++(2)以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以你利用图乙验证勾股定理．【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(2)验证见解析【分析】（1）根据题意分别用文字和符号描述出勾股定理即可；（2）根据题意可知()Rt Rt SAS ABE ECD V V ≌，可得Rt Rt Rt ABE DEC AED ABCD S S S S =++V V V 梯形整理可得验证出勾股定理．【详解】（1）文字语言叙述：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，(1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式____________；(2)如图2所示，90B D Ð=Ð=°，且B ，C ，D 在同一直线上，试说明，90ACE Ð=°；(3)伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．【答案】(1)()2222a b a ab b +=++；(2)见解析；(3)见解析．【分析】（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式；（2）先证明ABC CDE △≌△，利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE 的面积=三角形ABC 的面积+三角形CDE 的面积+三角形ACE 的面积．【详解】（1）解：这个公式是完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；理由如下：∵大正方形的边长为a b +，∴大正方形的面积()2a b =+，又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积＋两个矩形的面积，22222a b ab ab a ab b =+++=++，∴222()2a b a ab b ×+=++．故答案为：()2222a b a ab b +=++．（2）证明：∵在ABC V 和CDE V 中，∴222=+．c a b【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，掌握数形结合思想是解答本题的关键．类型十、台阶地毯长度问题【解惑】如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【融会贯通】1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．13m B．17m C．18m D．26m【答案】BA．5米B．6【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出【答案】1020【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即即可求得AB的长，地毯的长与宽和积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．【详解】解：由勾股定理得：AB【答案】13AC=´【分析】先根据图形求得51可．。

八年级数学第一章《勾股定理》复习练习一、选择题：1、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A．3，5，6 B．2，4，5 C．6，7，8 D．1.5，2，2.52、如梯子的底端离建筑物5米，那么13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是( ) A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米3、我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米4、若△A B C的三边长 a ，b ，c满足(a－b )2＋|a 2＋b2－c2|＝0，则△ABC是( ) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形5、如图，有一个圆锥，高为8cm，底面直径为12cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是( )A.8cmB.9cmC. 10cmD. 11cm6、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3二、填空题：7、测得一块三角形稻田的三边长分别是30m，40m，50m，则这块稻田的面积为______.8、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．9、在一棵树的10米高B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米.10、如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是 .11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为 .12、如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为 .三、解答题：13、设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边上的高为h，斜边长为c，试判断以c+h，a+b，h为边的三角形的形状14、已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，求BC的长15、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，求离开港口2小时后，两船相距多少海里？16、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求四边形ABCD的面积.17、如图，小丽荡秋千，秋千架高2.4m，秋千座位离地0.4m，小红荡到最高时，座位离地0.8m.此时小红荡出的水平距离是多少？(荡到秋千架两边的最高点之间的距离)参考答案一、选择题：1、D2、 A3、A4、C5、 C6、 D二、填空题：7、600m28、x2+32=（10﹣x）29、1510、10 cm11、1.512、40m三、解答题：13、直角三角形14、2或215、40海里16、1817、2.4m。

第一章勾股定理1．1探索勾股定理第1课时探索勾股定理基础题知识点1认识勾股定理1．(郑州月考)直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则斜边长是( D )A．2 B．3 C．4 D．52．下列说法正确的是( D )A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a23．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为( A )A．18 B．9 C．6 D．无法计算4．(淮安中考)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( A )A．5B．6C．7D．255．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若a＝6，c＝10，则b＝8；(2)若a＝5，b＝12，则c＝13；(3)若c＝25，b＝15，则a＝20.知识点2勾股定理的简单应用6．如图，做一个宽80 cm，高60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长为( B ) A．90 cm B．100 cmC．105 cm D．110 cm7．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( D )8．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．9．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．解：如图，因为AD 是BC 的中线， 所以BD ＝12BC ＝3，AD ⊥BC.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝42＋32＝25. 所以AB ＝5，即腰长为5.易错点 考虑不全而漏解10．若一个直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，已知a 2＝25，b 2＝144，则c 2＝( D )A ．169B ．119C ．13或25D ．169或119中档题11．(资阳中考)如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( C ) A ．48 B ．60 C ．76 D ．8012．如图，若∠BAD ＝∠DBC ＝90°，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，则CD ＝( B ) A ．5 B ．13 C ．17 D ．1813．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ∶b ＝3∶4，c ＝100，其中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则b 的长为( C )A ．30B ．60C ．80D ．12014．(西安莲湖区期中)如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( B )A ．2B ．4C ．8D ．1615．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1 800 cm 2，则斜边长为( A ) A ．30 cm B ．80 cmC ．90 cmD ．120 cm16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，且BD ＝4，则BC ＝8．17．在△ABC 中，AB ＝41，AC ＝15，高AH ＝9，则△ABC 的面积是234或126. 18．如图所示，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．解：因为△ABC 是直角三角形，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， 由勾股定理，得 AC 2＝AB 2－BC 2， 所以AC ＝4 cm.又因为S △ABC ＝12AB·CD ＝12BC·AC ，所以CD ＝AC·BC AB ＝125 .所以CD 的长是125cm.综合题19．如图，已知AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ，AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，点E 是CD 的中点，求AE 的长．解：延长AE 交BC 于点F. 因为AB ⊥BC ，AB ⊥AD ， 所以AD ∥BC.所以∠D ＝∠C ，∠DAE ＝∠CFE. 又因为点E 是CD 的中点， 所以DE ＝CE.在△AED 和△FEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠C ，∠DAE ＝∠CFE DE ＝CE ，， 所以△AED ≌△FEC(AAS)． 所以AE ＝FE ，AD ＝FC. 因为AD ＝5，BC ＝10. 所以BF ＝5.在Rt △ABF 中，由勾股定理有AF 2＝AB 2＋BF 2. 所以AF ＝13.1所以AE＝2AF＝6.5.第2课时 验证勾股定理及其计算基础题知识点1 验证勾股定理1．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE 、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( D )A ．S △EDA ＝S △CEBB ．S △EDA ＋S △CEB ＝S △CDEC ．S 四边形CDAE ＝S 四边形CDEBD ．S △EDA ＋S △CDE ＋S △CEB ＝S 四边形ABCD2．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，你能利用这个图形验证勾股定理吗？解：观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a ＋b)，里面小的正方形的边长为 c.大正方形面积可以表示为(a ＋b)2，也可以表示为12ab ×4＋c 2.对比这两种表示方法，可得出(a ＋b)2＝12ab ×4＋c 2.整理得c 2＝a 2＋b 2.因此利用这个图形可以验证勾股定理．知识点2 勾股定理的实际应用 3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m 的木梯，准备把梯子架到2.4 m 高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( A )A ．0.7 mB ．0.8 mC ．0.9 mD ．1.0 m4．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m 远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m 处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m ．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( A )A ．一定不会B ．可能会C ．一定会D ．以上答案都不对5．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距50海里．6．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为100mm.7．如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为200 m 2的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积．解：AD 的长为20020＝10(m)．由勾股定理可得DE ＝6 m.所以半圆形餐饮区的面积S ＝12π×(6÷2)2＝92π(m 2)．答：半圆形餐饮区的面积为92π m 2.中档题8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为( D )A ．x 2－6＝(10－x)2B ．x 2－62＝(10－x)2C ．x 2＋6＝(10－x)2D ．x 2＋62＝(10－x)29．(襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( C )A ．3B ．4C ．5D ．610．一辆装满货物，宽为2.4 m 的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( A ) A ．4.1 m B ．4.0 m C ．3.9 m D ．3.8 m11．如图，将一根20 cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 和12 cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是7cm.12．(西安雁塔区月考)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方50 m 处，过了4 s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130 m ．这辆小汽车超速了吗？解：这辆小汽车超速了． 依题意，得AB ＝130 m ， AC ＝50 m ，由勾股定理得AB 2＝BC 2＋AC 2，也就是1302＝BC 2＋502，所以BC ＝120(m)． 小汽车速度为120÷4＝30(m/s)＝108(km/h)．因为小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h ， 所以这辆小汽车超速了．13．4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为： c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为：a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，所以c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2＋b 2＝c 2.综合题14．十一国庆节快到了，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的长方形纸片ABCD ； ②如图，将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处． 请你根据①②步骤计算EC ，FC 的长．解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm. 所以FC＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得x＝6.所以EC＝6 cm.1.2 一定是直角三角形吗基础题知识点1 直角三角形的判定1．(西安莲湖区期中)以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( C ) A ．3，5，3 B ．4，6，8 C ．7，24，25 D ．6，12，132．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c 且a 2－b 2＝c 2，则下列说法正确的是( C ) A ．∠C 是直角 B ．∠B 是直角 C ．∠A 是直角 D ．∠A 是锐角3．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 的形状为( A )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对4．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm ，宽为32 cm ，对角线长为68 cm ，则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”)．5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c 2＝58，则S △ABC ＝212. 6．如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝10，BC 边上的中线AD ＝12.求： (1)AC 的长度； (2)△ABC 的面积．解：(1)因为AD 是BC 的中线，BC ＝10， 所以BD ＝CD ＝5. 因为52＋122＝132， 所以BD 2＋AD 2＝AB 2. 所以∠ADB ＝90°. 所以∠ADC ＝90°.所以AC 2＝AD 2＋CD 2，即AC 2＝122＋52， 所以AC ＝13.(2)S △ABC ＝12CB·AD ＝12×10×12＝60.知识点2 勾股数7．下列一组数是勾股数的是( B )A ．6，7，8B ．5，12，13C ．0.3，0.4，0.5D ．10，15，188．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是15．9．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如5，12，13；7，24，25等．10．(西安雁塔区期中)如图，在四边形ABDC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，CD ＝13，BD ＝12，求这个四边形的面积．解：连接BC.在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，由勾股定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2＝32＋42＝25，则BC ＝5. 在△BDC 中，CD ＝13，BD ＝12，BC ＝5， BD 2＋BC 2＝122＋52＝169，CD 2＝132＝169， 所以BD 2＋BC 2＝CD 2.所以△BDC 为直角三角形，且∠CBD ＝90°.所以四边形ABDC 的面积为12AB·AC ＋12BC·BD ＝12×4×3＋12×5×12＝36.中档题11．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( D ) A ．b 2＝c 2－a 2B ．a ∶b ∶c ＝3∶4∶5C ．∠C ＝∠A －∠BD ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶512．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( C )A. B.C. D.13．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形14．如图，方格中的点A ，B 称为格点(横竖线的交点)，以AB 为一边画△ABC ，其中是直角三角形的格点C 的个数为( B )A ．3B ．4C ．5D ．615．观察下列一组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；…；a ，b ，c.根据你的发现，写出当a ＝20时，b ＝99，c ＝101.16．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，则△ABC 是什么特殊三角形？解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，所以(c ＋a)(c －a)＝2b·12b.所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形．综合题17．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ，AD ＝24 cm ，BC 与CD 的长度之和为34 cm ，其中点C 是直线l 上的一个动点，请你探究当点C 离点B 有多远时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．解：因为BC 与CD 的长度之和为34 cm ， 所以设BC ＝x cm ，则CD ＝(34－x)cm. 因为在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ， 所以AC 2＝AB 2＋BC 2＝62＋x 2.因为△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形，AD ＝24 cm ， 所以AC 2＝CD 2－AD 2＝(34－x)2－242. 所以62＋x 2＝(34－x)2－242. 解得x ＝8， 即BC ＝8 cm.答：当点C 离点B 8 cm 时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．1.3勾股定理的应用基础题知识点1勾股定理在生活中的应用1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB＝120 m，则AB为( C )A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( D )A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( D )A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．5．一渔船从A点出发，向正北方向航行5公里到B点，然后从B点向正东方向航行12公里至C点，则AC 长为13公里．6．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，求滑道AC的长．解：设AC的长为x m.因为AC＝AB，所以AB＝AC＝x m.因为EB＝CD＝1 m，所以AE＝(x－1)m.在Rt△AEC中，AC2＝CE2＋AE2，即x2＝32＋(x－1)2.解得x＝5.所以滑道AC的长为5 m.7．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m 时，求滑竿顶端A下滑多少米？解：因为AB＝DE＝2.5，BC＝1.5，∠C＝90°，所以AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝4.所以AC＝2.因为BD＝0.5，所以在Rt△ECD中，CD＝CB＋BD＝2 m，CE2＝DE2－CD2＝2.52－22＝2.25.所以CE＝1.5.所以AE＝AC－EC＝0.5.答：滑竿顶端A下滑了0.5 m.知识点2立体图形中两点之间的最短距离8．如图，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是( D )A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm9．如图所示，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现使一绳子从点A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是5cm.中档题10．如图，已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走________m后，他与神仙百货的距离为340 m( C )A．100 B．180 C．220 D．26011．(绍兴中考)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m12．如图，在高3 m 、坡面线段距离AB 为5 m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7m.13．如图是延安某地一个农家的窑洞的洞门示意图，其上方为半圆形．若长方形的对角线AC ＝2.5 m ，AD ＝1.5 m ，则洞口的面积为4.5m 2(π取3)．14．(本课时T9变式)如图，长方体的底面边长分别为1 cm 和3 cm ，高为6 cm.如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要10cm.15．如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是BC 上一点，且PC ＝23BC.一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是多少？解：画侧面展开图，如图， 因为圆柱的底面周长为6 cm ， 所以展开图中AC ＝3 cm. 又因为PC ＝23BC ，所以PC ＝23×6＝4(cm)．在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，得AP ＝5 cm. 所以蚂蚁爬行的最短距离是5 cm.综合题16．(运城盐湖区期末)(教材P15习题T5变式)阅读下列问题情景，回答问题：于公元1世纪成书的我国数学经典著作《九章算术》第一章第6题是：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”该题被称为“引葭赴岸”问题．公元12世纪，印度的数学家婆什迦罗在他的著作《丽罗娃提》中将该题编成一首诗歌，在中东和西欧国家广泛流传，成为著名的“莲花问题”(如图)，该诗为：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一遍；渔人观看忙向前，花离原位两尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？(1)这个问题可以用勾股定理来解答； (2)列方程求出“莲花问题”中湖水深度．解：设湖水深x 尺，则 x 2＋22＝(x ＋0.5)2， 解得x ＝154.答：湖水深度为154尺．小专题(一) 利用勾股定理解决最短路径问题——教材P19复习题T12的变式与应用几何体中最短路径基本模型如下：――→展开则AB 2＝B′A 2＋B′B 2将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线角三角形→利用勾股定理求解【教材母题】 (教材P19复习题T12)如图，长方体的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为20 cm ，点B 离点C 的距离是5 cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少？【解答】 ①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1， 所以BD ＝CD ＋BC ＝10＋5＝15，AD ＝20. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝202＋152＝625. 所以AB ＝25.②把长方体的上侧表面剪开与右面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2， 所以BD ＝CD ＋BC ＝20＋5＝25，AD ＝10. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝102＋252＝725.③把长方体的上侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3， 所以AC ＝CD ＋AD ＝10＋20＝30. 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝302＋52＝925.因为625<725<925，即路程最短的是第①种情况，所以最短路程是25 cm.1．如图所示，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是( A )A．10 cm B．14 cm C．20 cm D．无法确定2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是25dm.3．(西安雁塔区月考)有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE ＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．解：(1)作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，连接AQ，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．(2)因为在Rt△A′EG中，A′E＝80 cm，EG＝60 cm，由勾股定理有A′E2＋EG2＝A′G2，所以A′G＝100 cm.且AQ＋QG＝A′G，所以最短路线长为100 cm.小专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( A )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( B )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( D )A.252 cmB.152 cmC.254 cmD.154cm4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F.若AF ＝254cm ，则AD 的长为( C )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( B )A ．3 B.154C ．5 D.1526．(郑州月考)如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB为4，则折痕EF叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是6__cm2.对应点为点A′，且B′C＝3，求AM的长．解：连接BM，B′M.因为四边形ABCD为正方形，所以∠A＝∠D＝90°.由题意，得DB′＝9－3＝6，BM＝B′M.设AM＝x，则DM＝9－x.由勾股定理，得x2＋92＝BM2，(9－x)2＋62＝B′M2，所以x2＋92＝(9－x)2＋62，解得x＝2，即AM的长为2.章末复习(一) 勾股定理分点突破知识点1 勾股定理及其验证1．(西安雁塔区月考)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( B )A.125B.245C.45D.352．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为( B )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．10 cm3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( D )知识点2 直角三角形的判别4．在△ABC 中，AB ＝12 cm ，AC ＝9 cm ，BC ＝15 cm ，则S △ABC 等于( A ) A ．54 cm 2 B ．108 cm 2 C ．180 cm 2 D ．90 cm 2 5．下列说法中，错误的是( D )A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A －∠B ，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a ＝35c ，b ＝45c ，则△ABC 为直角三角形D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，则△ABC 为直角三角形6．如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝14，BC 边上的中线AD ＝24，试说明△ABC 是等腰三角形．解：因为AB ＝25，AD ＝24，BD ＝12BC ＝12×14＝7， AD 2＋BD 2＝242＋72＝625＝252＝AB 2，所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝242＋72＝625，所以AC ＝25.所以AB ＝AC.故△ABC 是等腰三角形．知识点3 勾股定理的应用7．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200 m ，他在水中实际游了520 m ，那么该河的宽度为( C )A ．440 mB ．460 mC ．480 mD ．500 m8．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇．公路PQ 上A 处距离O 点240 m ，与MN 这条铁路的距离是120 m ．如果火车行驶时，周围200 m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72 km/h 的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间是多少？解：作AD ⊥MN ，并作AB ＝AC ＝200 m 交MN 于点B ，C.因为AD ＝120 m ，所以BD 2＝AB 2－AD 2＝2002－1202.所以BD ＝160.BC ＝160×2＝320(m)＝0.32(km)，t ＝0.32÷72×3 600＝16(s)．答：A 处受噪音影响的时间是16 s.常考题型演练9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E.若AC ＝3，AB ＝5，则DE 等于( C )A ．2 B.103 C.158 D.15210．(西安雁塔区月考)在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为( C )A ．84B ．24C ．24或84D ．42或8411．(泰州中考)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP, PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 的长为4.8.12．(西安碑林区月考)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 边上的中线AD ＝6，则△ABD 的面积是15.13．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a ，b ，c 为勾股数．请你说明理由．你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：因为a 2＝4m 2，b 2＝m 4－2m 2＋1，c 2＝m 4＋2m 2＋1，a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．又m 为大于1的整数，故2m ，m 2－1，m 2＋1都是正整数，因此，a ，b ，c 为勾股数．利用这个结论可以得出勾股数：如4，3，5；8，15，17等．14．如图，小明把一根长为160 cm 的细铁丝弯折成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC ，已知风筝的高AD ＝40 cm ，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？解：设腰长AB ＝AC ＝x ，则BC ＝160－2x ，BD ＝12BC ＝80－x. 在Rt △ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2，即x 2＝(80－x)2＋402.解得x ＝50.所以AB ＝AC ＝50 cm ，BC ＝160－2×50＝60(cm)．所以小明先量取铁丝50 cm 弯折一次，再量取50 cm 弯折一次，然后将铁丝的两端点对接即可得到等腰三角形风筝的边框ABC.15．如图，一根长度为50 cm 的木棒的两端系着一根长度为70 cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？解：分两种情况(设AB 为木棒)：①如图1，当∠B ＝90°时，设BC ＝x cm ，则AC ＝(70－x)cm.在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即(70－x)2＝502＋x 2，解得x ＝1207， 则AC ＝70－x ＝3707.②如图2，当∠C ＝90°时，根据勾3股4弦5可知这两段绳子的长度分别为30 cm 和40 cm.答：该点将绳子分成长度分别为1207 cm 和3707cm 的两段或30 cm 和40 cm 的两段．。

第一章勾股定理一、选择题(每题3分，共30分)1．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是()A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝62．如图1所示，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为()图1A．5 B．6C．7 D．83．下列结论中，错误的有()①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图2，将长为8 cm的橡皮筋放置在地面上，固定两端点A和B，然后把中点C向上拉升3 cm 至点D，则橡皮筋被拉长了()图2A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm5．将面积为8π的半圆与两个正方形按图3所示的方式摆放，则这两个正方形面积的和为()图3A ．16B ．32C ．8πD ．646．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足()a －b 2＋||b －2＋()c 2－82＝0，则下列对此三角形的形状描述最确切的是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形7．如图4所示，AC ⊥BD ，O 为垂足，设m ＝AB 2＋CD 2，n ＝AD 2＋BC 2，则m ，n 的大小关系为( )图4A ．m ＜nB ．m ＝nC ．m ＞nD ．不确定8．如图5，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合．若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为( )图5A ．1B ．2C ．3D ．49．如图6，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑甲壳虫从点A 出发，白甲壳虫从点C 1出发，它们以相同的速度分别沿棱向前爬行．黑甲壳虫爬行的路线是：AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA →AA 1→A 1D 1…，白甲壳虫爬行的路线是：C 1C →CB →BB 1→B 1C 1→C 1C →CB …，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的最短路程的平方是( )图6A ．2B ．3C ．4D ．510．如图7所示，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()图7A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题(每题3分，共18分)11．在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是________．12．古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________．13．木工师傅做了一个桌面，要求桌面为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线的长为68 cm，则这个桌面________．(填“合格”或“不合格”)14．一座垂直于两岸的桥长27米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头36米，则小船实际行驶了________米．15．如图8所示，把长方形纸片ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好都落在AD边上的点P处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则BC边的长为________．图816．我国数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图9，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝15，则S2的值是________．图9三、解答题(共52分)17．(6分)如图10，△ABC中，D是BC上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.(1)判断AD与BC的位置关系，并说明理由；(2)求△ABC的面积．图1018．(6分)如图11所示，在长方形ABCD中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E是AD上一点，且AE∶DE＝9∶16，判断△BEC的形状．图1119．(6分)如图12是某同学设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4 m，又往北走1.5 m，遇到障碍后又往西走2 m，再转向北走4.5 m处往东一拐，仅走0.5 m就到达了B处，则点A，B之间的距离是多少？图1220．(6分)如图13所示，有两根长杆隔河相对，一杆高3 m，另一杆高2 m，两杆相距5 m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．(假设小鱼在此过程中保持不动)图1321．(6分)如图14，河边有A，B两个村庄，A村距河边10 m，B村距河边30 m，两村平行于河边方向的水平距离为30 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到A村和B村．(1)求铺设管道的最短长度是多少，请画图说明；(2)若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？图1422.(6分)有一个如图15所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．图1523．(8分)如图16，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1.(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图，并说明理由)．图1624．(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是：①如图17，先裁下一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm 的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据步骤①②解答下列问题：(1)找出图中∠FEC的余角；(2)求EC的长．图17答案1．C 2．B 3．C 4．A5．D 6．C 7．B 8．D 9.D10．D 11．60°12．答案不唯一，如20，99，101 13．合格 14．45 15．24 16．517．解：(1)AD ⊥BC .理由如下： 因为BD 2＋AD 2＝62＋82＝102＝AB 2， 所以△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°， 所以AD ⊥BC .(2)在Rt △ACD 中，因为CD 2＝AC 2－AD 2＝172－82＝152，所以CD ＝15， 所以S △ABC ＝12BC ·AD ＝12(BD ＋CD )·AD ＝12×21×8＝84.18．解：因为AD ＝50，AE ∶DE ＝9∶16，所以AE ＝18，DE ＝32. 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2＝242＋182＝900. 在Rt △CDE 中，由勾股定理，得CE 2＝DE 2＋CD 2＝322＋242＝1600.在△BCE 中，因为BE 2＋CE 2＝900＋1600＝2500＝502＝BC 2，所以△BEC 是直角三角形．19．解：如图，过点B 作BC ⊥AD 于点C ，由图可知AC ＝4－2＋0.5＝2.5(m)，BC ＝4.5＋1.5＝6(m)．在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2＝2.52＋62＝42.25，所以AB ＝6.5(m)，即点A ，B 之间的距离是6.5 m.20．解：由题意可知AB ＝2 m ，CD ＝3 m ，BC ＝5 m ，AE ＝DE . 设BE ＝x m ，则EC ＝(5－x )m.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE 2＝AB 2＋BE 2. 在Rt △DCE 中，由勾股定理，得DE 2＝CD 2＋EC 2.所以AB2＋BE2＝CD2＋EC2，即22＋x2＝32＋(5－x)2，解得x＝3，则5－x＝2.所以杆AB底部距小鱼3 m，杆CD底部距小鱼2 m.21．解：(1)如图，过点A作AC⊥CE于点C，延长AC至点D，使CD＝AC，连接BD，交河边于点E，连接AE，则抽水站应建在点E处，可使铺设的管道最短，最短长度为AE＋BE，即BD的长．过点B作BF⊥AC于点F，由题意得：AC＝10 m，CF＝30 m，BF＝30 m，所以CD＝AC＝10 m，所以DF＝10＋30＝40(m)．在Rt△BDF中，BD2＝302＋402＝502，所以BD＝50(m)．即铺设管道的最短长度是50 m.(2)最低费用为50×500＝25000(元)．22．解：(1)如图所示，AQ→QG为最短路线．(2)因为AE＝40 cm，AA′＝120 cm，所以A′E＝120－40＝80(cm)．因为EG＝60 cm，所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000，所以A′G＝100 cm，所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100 cm，所以小虫爬行的最短路程为100 cm.23．解：(1)AB⊥BC.理由：如图①，连接AC.由勾股定理可得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°，所以AB⊥BC.(2)∠α＋∠β＝45°.理由：如图②，由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°.又因为AB＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC＝45°，即∠α＋∠γ＝45°.由图可知∠β＝∠γ，所以∠α＋∠β＝45°.24．解：(1)∠CFE，∠BAF.(2)由折叠的性质，得AF＝AD＝20 cm，EF＝DE.设EC＝x cm，则EF＝DE＝(16－x)cm.在Rt△ABF中，BF2＝AF2－AB2＝202－162＝144，所以BF＝12(cm)，所以FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)．在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2＝FC2＋EC2，即(16－x)2＝82＋x2，解得x＝6，所以EC的长为6 cm.。