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高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点高中数学必修的《点直线平面之间的位置关系》是一个重要的几何知识点，主要涉及直线与平面、点与直线、点与平面之间的位置关系。
这个知识点对于理解几何图形的形状和性质具有重要作用，也为后续的三角函数、向量等知识打下基础。
下面将详细介绍该知识点的内容。
一、直线与平面的位置关系1.平面方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为不能同时为0的实数，A、B、C为平面的法向量，D为常数项。
2.直线与平面的位置关系：(1)直线与平面相交：直线与平面相交可以有一个交点，也可以有无穷多个交点。
(2)直线含于平面：如果直线的所有点都在平面上，则直线被称为含于平面。
(3)直线与平面平行：如果直线与平面的交点集为空集，则直线与平面平行。
(4)直线与平面垂直：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
二、点与直线的位置关系1.点与直线的距离：点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
2.点到线段的距离：点P到线段AB的距离：(1)如果P在AB的延长线上，则距离为AP或BP的长度。
(2)如果P在线段AB的两边，则距离为点P到线段AB所在直线的距离。
(3)如果P在线段AB上，则距离为0。
三、点与平面的位置关系1.点在平面上：点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的充要条件是Ax0+By0+Cz0+D=0。
2.点到平面的距离：点P到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)。
3.点关于平面的对称点：点P(x0,y0,z0)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点的坐标为：(x',y',z')=(x0-2*Ax0/（A^2+B^2+C^2）,y0-2*By0/（A^2+B^2+C^2）,z0-2*Cz0/（A^2+B^2+C^2）)。
2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3-2.1.4 平面与平面之间的位置关系优化练习新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3-2.1.4 平面与平面之间的位置关系优化练习新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3-2.1.4 平面与平面之间的位置关系优化练习新人教A版必修2的全部内容。
2.1。
3—2。
1。
4 平面与平面之间的位置关系［课时作业]［A组基础巩固］1．如果直线l在平面α外，那么直线l与平面α（）A．没有公共点B．至多有一个公共点C．至少有一个公共点D．有且只有一个公共点解析：当直线l与平面α平行时，没有公共点；当直线l与平面α相交时，有且只有一个公共点．答案：B2．下列说法中，正确的是( )①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行；②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行;③过平面外两点不能作平面与已知平面平行；④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行．A．①③ B．②④C．①②D．②③④解析：①②正确；③中，两点所在直线与平面平行时可以；④中，经过这条直线的平面与已知平面可能相交．答案：C3．如果两条直线a∥b,且a∥平面α，那么b和平面α的位置关系是( ）A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α解析：当直线b⊄α时，b∥α；b⊂α也有可能成立．答案:D4．若直线a⊄α，则下列结论中成立的个数是( )(1）α内的所有直线与a异面；(2）α内的直线与a都相交；（3）α内存在唯一的直线与a平行;(4)α内不存在与a平行的直线．A．0 B．1 C．2 D．3解析：∵直线a⊄α，∴a∥α或a∩α＝A。
（浙江专用）2018版高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系学案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用）2018版高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系学案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1。
3 空间中直线与平面之间的位置关系2。
1。
4 平面与平面之间的位置关系目标定位1。
掌握直线与平面之间的三种位置关系,会用图形语言和符号语言表示.2。
掌握平面与平面之间的两种位置关系，会用图形语言和符号语言表示。
自主预习1.直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线与平面平行没有公共点a∥α2。
两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l有一条公共直线1。
判断题（1）若直线a在平面α外，则直线a∥α。
(×)(2)若平面α内存在直线与平面β无交点,则α∥β.(×）（3）若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β.（√)(4)与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面。
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二，平面确定的判定定理：定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
定里3. 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。
定里5. 经过两条平行直线有且只有一个个平面。
三，两面相交的性质：定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。
四，直线平行的判定定理：定里7. 平行于同一直线的两直线平行。
五，等角定理：定里8. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。
六，异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角）七，直线和平面平行的判定定理：定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：八，平面与平面平行判定定理：定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号表示：推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
九，平面与平面平行的性质：定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：十，线与面垂直的判定定理：定理1. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线垂直这个平面。
a /ab§2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系一、自学导读：1、 什么叫做异面直线？ 2. 总结空间中直线与直线的位置关系。
3.两异面直线的画法。
4、在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，在空间这个结论成立吗？5、什么是空间等角定理？6、什么叫做两异面直线所成的角？7、什么叫做两直线互相垂直？ <预习自测>带着上述问题，阅读课本第44至47页完成下列内容1、 在平面中，两直线的位置关系有 、 、______________.2、 我们把 叫做异面直线。
3、 空间两直线位置关系 ⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩————————— 4、例1：如右图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与A 1B 异面的棱有 条，哪几条？。
5、公理4： 。
6、定理： 。
7、两异面直线a 与b 所成角的范围 。
8、两直线垂直可分为 和 。
<教学过程> 一、 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线。
判断正误：①若l 1α⊂，l 2β⊂，则l 1、l 2为异面直线。
( )②若l 1与l 2相交，l 2与l 3相交，则l 1与l 3相交。
( )明确： 。
异面直线的直观表示：二、 平行线公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
问：拿一本书张开封面，要证明书面的两边边缘AB ∥CD ，该怎么办？（加深巩固）例2 如右图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
变式一：若再加条件AC=BD ，则四边形EFGH 是 形三、异面直线所成的角 1、 观察：111ADC A D C ∠∠与 ，111ADC B C D ∠∠与发现： ，定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
(练习“巩固训练”的第3题)２、异面直线a 与b 所成角的定义：已知两直线a 、b ① θ的求法：② θ的取值范围 。
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结1.内容归纳总结 （1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,,////a b a baααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系知识梳理1.我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.2.空间两条直线的位置关系有且仅有三种:相交、平行、异面.根据两条直线是否共面,将它们分成共面直线和异面直线,其中共面直线包括相交、平行.根据两条直线有无公共元素,也可将它们分为两类:有且仅有一个公共点的是相交,没有公共点的是平行、异面.3.平行于同一条直线的两条直线平行,公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性.4.空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.5.已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O,作直线a′、b′,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角.特别地,若两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线互相垂直.知识导学空间直线的三种位置关系在现实中大量存在,异面直线概念是本小节的重点和难点.对于异面直线的学习,应遵循由具体例子到抽象概念的原则,除了正例外,还可借助于反例来进行剖析.公理4表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,它是公理4的直接应用.通过画平行线的方式可把两条异面直线所成的角移到同一平面上,这是求异面直线所成的角的基本方法.疑难突破1.理解异面直线要注意什么问题?剖析:异面直线是不同在任何一个平面内的直线.要注意异面直线定义中的“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解为:在空间中找不到一个平面,使其同时经过a、b两条直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,分别在两个平面内的直线可以平行,可以相交,也可以异面.2.异面直线的判定？剖析:要判定两直线是异面直线,只凭空间想象、空间观察是不够的,它有两种判定方法:一是反证法,二是判定定理.判定定理:经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线.所谓两条直线异面,是指这两条直线只能构成空间图形,而不能构成平面图形.如图2-1-10所示,直线l经过平面外一点A和平面内一点B,它与α内不经过B点的直线a是异面直线.图2-1-10对异面直线的概念,除了紧扣定义从正面进行理解外,还可借助于公理2的三个推论从反面去认识.由于经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面;经过两条相交直线或平行直线都可以确定一个平面,即能够在同一平面内的两条直线有且只有平行和相交两种情况,所以,两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交也不平行.3.异面直线所成的角剖析:对于两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).异面直线所成角的定义向我们展示了两点:一是如何作出所成的角,作两异面直线的平行线,当然尽管定义中是过空间任意一点O作了两条平行线a′、b′,但在实际应用中,为了简便,点O通常取在两条异面直线中的某一条上,然后只需作另一条的平行线即可.二是两异面直线所成的角是锐角或直角而绝不能是钝角,这一点应值得注意,如果作平行线后算出的角是钝角,这时应取其补角作为两异面直线所成的角.寻找两条异面直线a、b所成的角时,要经过空间任意一点O作a′∥a、b′∥b.这里涉及经过空间任意一点如何引平行线的问题.由公理2可知:经过一条直线(在直线上取两点)及直线外一点有且仅有一个平面,因此,经过直线a及空间不在直线a上一点O,可确定一个平面α,在平面α内,经过点O作a′∥a,这样的直线a′就是过直线a外一点,平行于直线a的直线.。
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l //α；②若直线a 在平面α外，则a//α;③若直线a//b ，直线α⊂b ，则a//α;④若直线a//b ，直线α⊂b ，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线。
变式2、下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a平行(4)α内不存在与a平行的直线A.0B.1C.2D.3分析：∵直线a⊄α,∴a∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 注意: 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的二、空间直线与直线的位置关系1、位置关系: ①共面与否 ②公共点个数2、公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.3、公理5:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4、异面直线的夹角:①定义:已知两条异面直线a 、b 经过空间任意一点O 作直线a ′∥a,b ′∥b,我们把两相交直线a ′,b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).②范围:θ∈ 特别地:如果两异面直线所成的角是90°,我们就称这两条直线互相垂直,记作a⊥b.三、空间中的直线与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系有两种【例1】下列命题中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内解析:A 、B 、C 均不满足公理2及其推论,故D 正确. 【例2】若A 表示点,a 表示直线,α、β表示平面,则下列表述中,错误的是( ) A.a ?α,A ∈a ?A ∈α B.a ?α,A ∈a ?A ?α(1)(2)⎫⎪⎬过一条直线和直线外一点经过两条相交直线均有且只有一个平面⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩平行共面相交异面:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩一个公共点相交平行无公共点异面0,.2π⎛⎤ ⎥⎝⎦----⎧⎨⎩平行无公共点相交有一条公共直线C.A∈α,A∈β,α∩β=a?A∈aD.A∈a,A?α?a?α解析:a?α的含义是a上所有点都在平面α上,故A正确;反之直线a上有一点不在α上,就说明a?α,故D正确,但是a?α并不代表所有点都不在α上,故B 错误.C就是公理3,故C正确. 答案:B【例3】给出下面四个命题:①如果直线a∥c,b∥c,那么a,b可以确定一个平面;②如果直线a和b都与直线c相交,那么a,b可以确定一个平面;③如果a⊥c,b⊥c,那么a,b可以确定一个平面;④直线a过平面α内一点与平面α外一点,直线b在平面α内不过该点,那么a和b是异面直线.上述命题中,真命题的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①中,由公理4知,a∥b,故①正确;②中,a,b可能异面,故②错误;③中,a,b 可能异面,故③错误;④正确. 答案:B【例4】在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E?F分别为棱AA′?CC′的中点,则在空间中与三条直线A′D′?EF?CD都相交的直线( )A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条【例5】三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有( )①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直线不可能共面;④其中必有两条在同一平面内A.4个B.3个C.2个D.1个解析:(1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱),也可能不共点(如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故结论①不正确,也说明必有结论②不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能在同一个平面内,结论③正确;三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任意两条都异面(如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故结论④不正确.故选D.类型一点共线问题解题准备:证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.【例1】已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E?F分别为D1C1?C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D?B?F?E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P?Q?R三点共线.[解] (1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D?B?F?E四点共面.(2)在正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,则R∈PQ,故P?Q?R三点共线.类型二线共点问题解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为证明三点共线.【例2】如图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E?F分别为棱AB,AA1的中点.求证:三条直线DA,CE,D1F交于一点.证明：直线DA?平面AD1,直线D1F?平面AD1,显然直线DA与直线D1F不平行,设直线DA与直线D1F交于点M.同样,直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行,设直线AD与直线CE相交于点M′.又E?F为棱AB?AA1的中点,∴易知MA=AD,M′A=AD,所以M?M′为直线AD上的同一点,因此,三条直线DA?CE?D1F交于一点.类型三线共面问题证明共面问题的常用方法：证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合. 类型四异面直线所成的角解题准备:1.求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:①直线平移,②中位线平移,③补形平移.2.求异面直线所成的角的一般步骤:一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值.【例3】在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=且AD⊥BC,对角线==BD AC求AC 和BD 所成的角.解：作平行线,找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间问题转化为平面问 题.如图,分别取AD ?CD ?AB ?BD 的中点E ?F ?G ?H,连接EF ?FH ?HG ?GE ?GF.由三的中位线定,EF ∥AC,且∥BD,且和EF 所成的锐角(AC 和BD 所成的角.同理, GH ∥AD,HF ∥BC.又AD ⊥BC,∴∠GHF=90°,∴GF2=GH2+HF2=1.实战演练一、选择题：.1．以下命题正确的是 （ ） A ．两个平面可以只有一个交点B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合 2．下面四个说法中，正确的个数为 （ ） （1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 （2）两条直线可以确定一个平面（3）若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是 （ ） A ．A 、M 、O 三点共线 B ．M 、O 、A 1、A 四点共面 C ．A 、O 、C 、M 四点共面 D ．B 、B 1、O 、M 四点共面 4．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 （ ） A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β相交 5．两等角的一组对应边平行，则 （ ） A ．另一组对应边平行 B ．另一组对应边不平行C ．另一组对应边也不可能垂直D ．以上都不对 6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（ ） A ．1 B ．2C ．22D ．21 7．平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α和β间的两条线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 则EF 与α的关系是 （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．不能确定1,2GH HF ==8．经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ） A ．只有一个 B ．至少有一个 C ．可能没有 D ．有无数个9．已知ABCD 是空间四边形形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对角线AC ＝4，BD ＝2，那么EG 2＋HF 2的值等于（ ）A ．10B ．15C ．20D ．2510．若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是 （ ） A ．三个平面共线；B ．有两个平面平行且都与第三个平面相交；C ．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；D ．三个平面两两相交。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系目标定位 1.理解异面直线的定义，并能正确画出两条异面直线.2.会用反证法证明两条直线是异面直线，会求两异面直线所成的角.3.理解公理4和等角定理.自 主 预 习1.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种. (1)若从公共点的数目分，可以分为 ①只有一个公共点——相交.②没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行.异面.(2)若从平面的基本性质分，可以分为①在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧相交.平行.②不同在任何一个平面内——异面. 2.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法3.平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性. 符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .4.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 5.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]. (3)当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .即时自测1.判断题(1)若两条直线无公共点，则这两条直线平行.(×)(2)若两直线不是异面直线，则必相交或平行.(√)(3)过平面外一点与平面内一点的直线：与平面内的任意一条直线均构成异面直线.(×)(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(×)提示(1)空间两直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面.(3)过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线也有可能是异面直线.2.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )A.共面B.平行C.异面D.平行或异面解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.答案 D3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故应选D.答案 D4.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________.解析取A1B1的中点M，连接GM、HM，因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、H、G为A1B1、B1C1、B1B的中点，所以△GMH为正三角形，∠MGH为EF与GH所成的角，所以∠MGH＝60°.答案60°类型一空间两条直线位置关系的判断【例1】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.解析直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C 在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，且B1∉A1B，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.答案①平行②异面③相交④异面规律方法 1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.【训练1】 (1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )A.a∥cB.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.答案(1)D (2)C类型二公理4、等角定理的应用【例2】在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，求证：(1)EF綉E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明 (1)连接BD ，B 1D 1，在△ABD 中，因为E 、F 分别为AB 、AD 的中点，所以EF 綉12BD .同理，E 1F 1綉12B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1綉DD 1， 所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 因此，BD 綉B 1D 1， 又EF 綉12BD ，E 1F 1綉12B 1D 1，所以EF 綉E 1F 1. (2)取A 1B 1的中点M ， 连接F 1M ，BM ，则MF 1綉B 1C 1， 又B 1C 1綉BC ， 所以MF 1綉BC .所以四边形BMF 1C 为平行四边形， 因此，BM ∥CF 1.因为A 1M ＝12A 1B 1，BE ＝12AB ，且A 1B 1綉AB ， 所以A 1M 綉BE ，所以四边形BMA 1E 为平行四边形，则BM ∥A 1E .因此，CF 1∥A 1E ，同理可证A 1F ∥CE 1.因为∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行，且方向都相反， 所以∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.【训练2】 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 证明 (1)在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD . 同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面. (2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . 又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .类型三 求异面直线所成的角(互动探究)【例3】 如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD 、BC 所成角的大小.[思路探究]探究点一 异面直线所成的角的范围是多少？ 提示 (0°，90°]探究点二 求异面直线所成的角分哪三步？三角形的中位线有什么作用？提示 求异面直线所成的角分三步：作，证，求.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础.解 如图，取BD 的中点M ，连接EM 、FM .因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点， 所以EM 綉12AD ，FM 綉12BC ，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角. AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝32，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.规律方法 1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.2.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线.(2)证明：用定义证明前一步的角为所求.(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围. 【训练3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________；(4)AC和A1B所成的角是________.解析(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.答案(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°[课堂小结]1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面D.相交解析 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BC 是异面直线，又AA 1∥BB 1，AA 1∥DD 1，显然BB 1∩BC ＝B ，DD 1与BC 是异面直线，故选B.答案 B2.设P 是直线l 外一定点，过点P 且与l 成30°角的异面直线( ) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条D.有一条解析 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角.答案 A3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与A 1B 1所成的角的余弦值为________.解析 设棱长为1，因为A 1B 1∥C 1D 1， 所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角. 在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.答案 134.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点.求证：BF ∥ED 1. 证明 如图，取棱BB 1的中点G ，连接GC 1，GE .∵F为棱CC1的中点，∴BG∥C1F，且BG＝C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF∥GC1，且BF＝GC1.同理，可得EG∥A1B1，且EG＝A1B1，又A1B1∥C1D1，且A1B1＝C1D1，∴EG∥C1D1，且EG＝C1D1，∴四边形EGC1D1为平行四边形.∴ED1∥GC1.∴BF∥ED1.基础过关1.a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立.( )A.①②③B.①③④C.②③D.①④解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义.答案 D2.下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是( )解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线.答案 C3.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( ) 1与B 1E 是异面直线B.C 1C 与AE 共面C.AE ，B 1C 1是异面直线D.AE 与B 1C 1所成的角为60°解析 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误.综上所述，故选C.答案 C4.若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 一定成立的是________(填序号). 解析 ∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 答案 ③5.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形.解析 由图易证：EF 綊12AC 綊HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，故当EF ＝FG ，即AC ＝BD时，四边形EFGH 为菱形；EF ⊥FG 且EF ＝FG ，即AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形.答案 AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 与B 1D 1所成的角. 解 如图，连接BD 、A 1D ，∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴DD 1綉BB 1，∴四边形DBB 1D 1为平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1.∵A 1B 、BD 、A 1D 是全等的正方形的对角线， ∴A 1B ＝BD ＝A 1D ，△A 1BD 是正三角形， ∴∠A 1BD ＝60°.∵∠A 1BD 是锐角， ∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角， ∴A 1B 与B 1D 1所成的角为60°.7.如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且OAOA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值.(1)证明 ∵AA ′∩BB ′＝O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝23， ∴AB ∥A ′B ′，同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′. (2)解 ∵A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC 且AB 和A ′B ′、AC 和A ′C ′方向相反，∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23， ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49. 能 力 提 升8.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别是边BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成的角等于( )A.15°B.30°C.75°D.15°或75°解析 如图，设G 是AC 中点，分别连接EG 、GF ，由已知得EG 綉12AB ，FG 綉12CD ，∴∠EGF是AB 和CD 所成角或是其补角，∠GEF 是EF 与AB 所成的角. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF .当∠EGF ＝30°时，AB 和EF 所成角∠GEF ＝75°， 当∠EGF ＝150°时，AB 和EF 所成角∠GEF ＝15°. 答案 D9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A.MN ≥12(AC ＋BD )B.MN ≤12(AC ＋BD )C.MN ＝12(AC ＋BD )D.MN ＜12(AC ＋BD )解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋EN ＝12(AC ＋BD ).在△MNE 中，有ME ＋NE ＞MN ，所以MN ＜12(AC ＋BD ).答案 D10.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD . 以上结论中正确的是________(填序号).解析 把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确.答案 ①③11.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.解 取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD ， ∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角).在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝1， 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 探 究 创 新12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，画出过D 1，C ，E 的平面与平面ABB 1A 1的交线，并说明理由.解 如图，取AB 的中点F ，连接EF ，A 1B ，CF .又∵E 是AA 1的中点，∴EF ∥A 1B . 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形. ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1. ∴E ，F ，C ，D 1四点共面. ∵E ∈平面ABB 1A 1，E ∈平面D 1CE ，F ∈平面ABB 1A 1，F ∈平面D 1CE ，∴平面ABB 1A 1∩平面D 1CE ＝EF .∴过D 1，C ，E 的平面与平面ABB 1A 1的交线为EF .。
