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康托尔与他创立的集合论康托尔（G.Cantor，1845－1918）是19世纪末20世纪初德国的数学家。
康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。
作为集合论的创立者，康托尔是数学史上最富有想象力，也最有争议的人物之一。
19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。
然而数学的发展最终证明康托是正确的。
康托创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
康托尔就对数学的特殊敏感1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。
1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。
康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。
1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。
这篇文章的创造性引起人们的注意。
在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。
这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。
1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
集合论的背景为了比较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
数学无穷思想的发展历程数学无穷思想指的是数学中关于无限的概念和理解。
无穷思想在数学史上有着悠久的历史，其发展过程也比较复杂。
下面是数学无穷思想的发展历程的简要介绍：1．古希腊时期：古希腊数学家就已经有了对无穷的概念，但是他们并不把无穷作为数的概念。
例如，柏拉图认为无穷是一种抽象的、不可触及的概念，并不是真正的数。
2．古罗马时期：数学家斐波那契在公元前 300 年左右，提出了现在称为斐波那契数列的数列。
这个数列的每一项都是前两项的和，且每一项都是无穷的。
这是无穷思想发展的一个重要里程碑。
3．古埃及时期：埃及数学家埃及数学家莫比乌斯在公元前 250 年左右，提出了莫比乌斯反演的思想，这是无穷思想的又一重要里程碑。
4．中世纪：中世纪的数学家开始研究无穷数列和无穷级数的收敛性问题。
例如，费马在 1670 年提出了费马大定理，证明了数论中的许多结论。
5．17 世纪：17 世纪的数学家继续研究无穷数列和无穷级数的收敛性问题。
例如，卢卡斯在 1644 年提出了泰勒公式，证明了无穷级数可以展开为无限多项式。
这为数学中的无穷级数研究提供了基础。
6．19 世纪：19 世纪的数学家继续探究无穷的概念。
例如，卡塔尔在 1823 年提出了无穷不收敛的概念，并且证明了著名的卡塔尔不收敛定理。
此外，卡普尔也在 1874 年提出了无限连乘的概念。
7．20 世纪：20 世纪的数学家继续对无穷的概念进行研究。
例如，康托尔在 1899 年提出了康托尔不完备定理，证明了一些无限集合是不可数的。
此外，波尔在 1940 年提出了波尔不完备定理，证明了另一些无限集合是不可数的。
这些结论对无穷的理解和研究都有重要意义。
总的来说，数学无穷思想在古代就已经有了初步的概念，但是真正意义上的无穷概念是在中世纪以后才逐渐形成的。
这一过程中有许多杰出的数学家做出了重要贡献。
毕业论文题目极限思想的产生与发展专业数学教育院系数学系学号 131002145姓名指导教师二○一三年五月定西师范高等专科学校2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：目录内容摘要：................................................................................................................................... (4)关键词： (4)引言： (5)一、极限思想的产生 (6)二、极限思想发展的分期 (6)（一）极限思想的萌芽时期 (6)（二）极限思想的发展时期 (8)（三）极限思想的完善时期 (8)三、极限思想与微积分 (9)（一）微积分的孕育 (10)（二）牛顿与微积分 (11)（三）莱布尼茨与微积分 (12)（四）微积分的进一步发展 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。
极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
关键词极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。
极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。
纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。
而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。
数学的发展历史数学是一门伟大的科学;数学作为一门科学具有悠久的历史;与自然科学相比;数学更是积累性科学;它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来..同时数学也反映着每个时代的特征;美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关..这种关系在我们这个时代尤为明显".."数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言;数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系;其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用;同时影响着政治家和神学家的学说"..数学已经广泛地影响着人类的生活和思想;是形成现代文化的主要力量..而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展..但有一点值得注意的是;人是这一方面的创造者;因此人本身的作用起着举足轻重的作用;首先表现为是否爱数学;是否愿为数学贡献毕生的精力..正是这主导着数学..数学史是研究数学发展历史的学科;是数学的一个分支;和所有的自然科学史一样;数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科..数学史和数学研究的各个分支;和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系;这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质..数学出现于包含着数量、结构、空间及变化等困难问题内..一开始;出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日;所有的科学都存在着值得数学家研究的问题;且数学本身亦存在了许多的问题..而这一切都源于数学的历史..数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展;或是题材的延展..从历史时代的一开始;数学内的主要原理是为了做测量等相关计算;为了了解数字间的关系;为了测量土地;以及为了预测天文事件而形成的..这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究..数学从古至今便一直不断地延展;且与科学有丰富的相互作用;并使两者都得到好处..数学在历史上有着许多的发现;并且直至今日都还不断地发现中..数学发展具有阶段性;因此根据一定的原则把数学史分成若干时期..目前通常将数学发展划分为以下五个时期：1．数学萌芽期公元前600年以前；2．初等数学时期公元前600年至17世纪中叶；3．变量数学时期17世纪中叶至19世纪20年代；4．近代数学时期19世纪20年代至第二次世界大战；5．现代数学时期20世纪40年代以来在数学萌芽期这一时期;数学经过漫长时间的萌芽阶段;在生产的基础上积累了丰富的有关数和形的感性知识..到了公元前六世纪;希腊几何学的出现成为第一个转折点;数学从此由具体的、实验的阶段;过渡到抽象的、理论的阶段;开始创立初等数学..此后又经过不断的发展和交流;最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科..世界上最古老的几个国家都位于大河流域：黄河流域的中国；尼罗河下游的埃及；幼发拉底河与底格里斯河的巴比伦国；印度河与恒河的印度..这些国家都是在农业的基础上发展起来的;因此他们就必须掌握四季气候变迁的规律..现在对于古巴比伦数学的了解主要是根据巴比伦泥版;这些数学泥版表明;巴比伦自公元前2000年左右即开始使用60进位制的记数法进行较复杂的计算了;并出现了60进位的分数;用与整数同样的法则进行计算；已经有了关于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表；借助于倒数表;除法常转化为乘法进行计算..巴比伦数学具有算术和代数的特征;几何只是表达代数问题的一种方法..这时还没有产生数学的理论..对埃及古代数学的了解;主要是根据两卷纸草书..从这两卷文献中可以看到;古埃及是采用10进位制的记数法..埃及人的数学兴趣是测量土地;几何问题多是讲度量法的;涉及到田地的面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法..但是由于这些计算法是为了解决尼罗河泛滥后土地测量和谷物分配、容量计算等日常生活中必须解决的课题而设想出来的;因此并没有出现对公式、定理、证明加以理论推导的倾向..埃及数学的一个主要用途是天文研究;也在研究天文中得到了发展..由于地理位置和自然条件;古希腊受到埃及、巴比伦这些文明古国的许多影响;成为欧洲最先创造文明的地区..希腊的数学是辉煌的数学;第一个时期开始于公元前6世纪;结束于公元前4世纪..泰勒斯开始了命题的逻辑证明;开始了希腊伟大的数学发展..进入公元前5世纪;爱利亚学派的芝诺提出了四个关于运动的悖论;柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用;亚里士多德建立了形式逻辑;并且把它作为证明的工具；德谟克利特把几何量看成是由许多不可再分的原子所构成..第二个时期自公元前4世纪末至公元1世纪;这时的学术中心从雅典转移到了亚历山大里亚;因此被称为亚历山大里亚时期..这一时期有许多水平很高的数学书稿问世;并一直流传到了现在..公元前3世纪;欧几里得写出了平面几何、比例论、数论、无理量论、立体几何的集大成的着作几何原本;第一次把几何学建立在演绎体系上;成为数学史乃至思想史上一部划时代的名着..之后的阿基米德把抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来;根据力学原理去探求几何图形的面积和体积;奠定了微积分的基础..阿波罗尼写出了圆锥曲线一书;成为后来研究这一问题的基础..公元一世纪的赫伦写出了使用具体数解释求积法的测量术等着作..二世纪的托勒密完成了到那时为止的数理天文学的集大成着作数学汇编;结合天文学研究三角学..三世纪丢番图着算术;使用简略号求解不定方程式等问题;它对数学发展的影响仅次于几何原本..希腊数学中最突出的三大成就--欧几里得的几何学;阿基米德的穷竭法和阿波罗尼的圆锥曲线论;标志着当时数学的主体部分--算术、代数、几何基本上已经建立起来了..罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化..公元前47年;罗马人焚毁了亚历山大里亚图书馆;两个半世纪以来收集的藏书和50万份手稿竞付之一炬..从5世纪到15世纪;数学发展的中心转移到了东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国..在这1000多年时间里;数学主要是由于计算的需要;特别是由于天文学的需要而得到迅速发展..古希腊的数学看重抽象、逻辑和理论;强调数学是认识自然的工具;重点是几何；而古代中国和印度的数学看重具体、经验和应用;强调数学是支配自然的工具;重点是算术和代数..印度的数学也是世界数学的重要组成部分..数学作为一门学科确立和发展起来..印度数学受婆罗门教的影响很大;此外还受希腊、中国和近东数学的影响;特别是受中国的影响..此外;阿拉伯数学也有着举足轻重的作用;阿拉伯人改进了印度的计数系统;"代数"的研究对象规定为方程论；让几何从属于代数;不重视证明；引入正切、余切、正割、余割等三角函数;制作精密的三角函数表;发现平面三角与球面三角若干重要的公式;使三角学脱离天文学独立出来..在我国;春秋战国之际;筹算已得到普遍的应用;筹算记数法已使用十进位值制;这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的..这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用;在数学上亦有相应的提高..战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展;秦汉是封建社会的上升时期;经济和文化均得到迅速发展..中国古代数学体系正是形成于这个时期;它的主要标志是算术已成为一个专门的学科;以及以九章算术为代表的数学着作的出现..九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结;就其数学成就来说;堪称是世界数学名着..魏、晋时期赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础..刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1;解决了一般立体体积的关键问题..在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时;刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径..这之后;我国数学经过像秦九邵、祖冲之、郭守敬、程大位这样的数学家进一步发展了我国的数学事业..在西欧的历史上;中世纪的黑暗在一定程度上阻碍了数学的发展;15世纪开始了欧洲的文艺复兴;使欧洲的数学得以进一步发展;15世纪的数学活动集中在算术、代数和三角方面..缪勒的名着三角全书是欧洲人对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述..16世纪塔塔利亚发现三次方程的代数解法;接受了负数并使用了虚数..16世纪最伟大的数学家是伟达;他写了许多关于三角学、代数学和几何学的着作;其中最着名的分析方法入门改进了符号;使代数学大为改观；斯蒂文创设了小数..17世纪初;对数的发明是初等数学的一大成就..1614年;耐普尔首创了对对数;1624年布里格斯引入了相当于现在的常用对数;计算方法因而向前推进了一大步..至此;初等数学的主体部分--算术、代数与几何已经全部形成;并且发展成熟..变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年代;这一时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换..这一时期的主要成果是解析几何、微积分、高等代数等学科..17世纪是一个开创性的世纪..这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件大事.. 首先是伽里略实验数学方法的出现;它表明了数学与自然科学的一种崭新的结合..其特点是在所研究的现象中;找出一些可以度量的因素;并把数学方法应用到这些量的变化规律中去..第二件大事是笛卡儿的重要着作方法谈及其附录几何学于1637年发表..它引入了运动着的一点的坐标的概念;引入了变量和函数的概念..由于有了坐标;平面曲线与二元方程之间建立起了联系;由此产生了一门用代数方法研究几何学的新学科--解析几何学..这是数学的一个转折点;也是变量数学发展的第一个决定性步骤..第三件大事是微积分学的建立;最重要的工作是由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的..他们认识到微分和积分实际上是一对逆运算;从而给出了微积分学基本定理;即牛顿-莱布尼兹公式..17世纪的数学;发生了许多深刻的、明显的变革..在数学的活动范围方面;数学教育扩大了;从事数学工作的人迅速增加;数学着作在较广的范围内得到传播;而且建立了各种学会..在数学的传统方面;从形的研究转向了数的研究;代数占据了主导地位..在数学发展的趋势方面;开始了科学数学化的过程..最早出现的是力学的数学化;它以1687年牛顿写的自然哲学的数学原理为代表;从三大定律出发;用数学的逻辑推理将力学定律逐个地、必然地引申出来..18世纪数学的各个学科;如三角学、解析几何学、微积分学、数论、方程论;得到快速发展..19世纪20年代出现了一个伟大的数学成就;它就是把微积分的理论基础牢固地建立在极限的概念上..柯西于1821年在分析教程一书中;发展了可接受的极限理论;然后极其严格地定义了函数的连续性、导数和积分;强调了研究级数收敛性的必要;给出了正项级数的根式判别法和积分判别法..而在这一时期;非欧几何的出现;成为数学史上的一件大事;非欧几何的出现;改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点..它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路;而且是20世纪相对论产生的前奏和准备..这时人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何--非欧几何..非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义;因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质..非欧几何的发现;黎曼和罗巴切夫斯基功不可灭;黎曼推广了空间的概念;开创了几何学一片更广阔的领域--黎曼几何学..后来;哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数--四元数代数..不可交换代数的出现;改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点..它的革命思想打开了近代代数的大门..另一方面;由于一元方程根式求解条件的探究;引进了群的概念..19世纪20～30年代;阿贝尔和伽罗瓦开创了近世代数学的研究..这时;代数学的研究对象扩大为向量、矩阵;等等;并渐渐转向代数系统结构本身的研究..19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化..1874年威尔斯特拉斯提出了被称为"分析的算术化"的着名设想;实数系本身最先应该严格化;然后分析的所有概念应该由此数系导出..19世纪后期;由于狄德金、康托和皮亚诺的工作;这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上..20世纪40～50年代;世界科学史上发生了三件惊天动地的大事;即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起..此外还出现了许多新的情况;促使数学发生急剧的变化..1945年;第一台电子计算机诞生以后;由于电子计算机应用广泛、影响巨大;围绕它很自然要形成一门庞大的科学..计算机的出现更是促进了数学的发展;使数学分为了三个领域;纯粹数学;计算机数学;应用数学.. 现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面;但是它的主要特点可以概括如下：1数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的发展;分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了惊人的变化;数学的不断分化;不断综合的趋势都在加强..2电子计算机进入数学领域;产生巨大而深远的影响..3数学渗透到几乎所有的科学领域;并且起着越来越大的作用;纯粹数学不断向纵深发展;数理逻辑和数学基础已经成为整个数学大厦基础..数学出现于包含着数量、结构、空间及变化等困难问题内..一开始;出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日;所有的科学都存在着值得数学家研究的问题;且数学本身亦存在了许多的问题..牛顿和莱布尼兹是微积分的发明者;费曼发明了费曼路径积分;来用于推理及物理的洞察;而今日的弦理论亦生成为新的数学..一些数学只和生成它的领域有关;且应用于此领域的更多问题解答..每一门科学都有自己的特点;数学亦然..数学问题的解决往往不能立刻转化或不能转化为生产力;只有一小部分可以实现这个转化..一个明显的例子便是哥德巴赫猜想的证明与哈伯的合成氨法;经过几百年的不懈努力;只剩下1+1的证明;但之前命题的证明并没有促进生产力的发展;而哈伯的合成氨法就不一样了;它极大促进了生产力的发展;特别是化工业的发展..但这并不能说明数学问题的解决与数学作用不大;数学起决定性作用的例子最明显的便是物理学;当物理学中有关数学的问题得以解决时;物理学特别是理论物理学会有很大的发展..其实不仅仅是物理学;社会中的各个方面都会牵涉到数学;数学的作用范围如此之广;这是其他的学科所无法比拟的..数学经过上千年的发展与演化;得以发展到今天的繁荣;虽然当年诺贝尔没有为数学设奖;但一代代的数学家们前仆后继;为数学事业倾注了一生的心血;他们为世人呈现出了数学的美丽..历史的车轮终将还会向前;数学终将还会继续发展..。
第一次数学危机起源毕达哥拉斯的数是指，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。
他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。
这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发现引起第一次数学危机。
有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。
不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。
不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。
解决无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。
“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。
但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。
泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。
随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
极限理论在高等数学中的重要性及发展趋势分析引言高等数学是一门重要的学科，对于各个领域的科学研究和工程技术应用都具有重要的支撑作用。
而极限理论作为高等数学的核心概念之一，对于数学的发展和应用具有举足轻重的地位。
本文将探讨极限理论在高等数学中的重要性以及其发展趋势。
一、极限理论的重要性1. 极限理论是高等数学的基石极限理论是高等数学的基础理论之一，它为微积分、函数分析等学科奠定了坚实的基础。
在微积分中，极限理论是导数和积分等概念的基础，使得我们能够对曲线、曲面和函数等进行严密的分析和推导。
2. 极限理论推动了数学的发展极限理论的提出和发展推动了数学的发展，提供了一种关于无限和无穷小的精确描述方法。
它不仅丰富了数学领域的概念和方法，还为其他学科的研究提供了数学分析的工具，如物理学、经济学等。
同时，极限理论也催生了众多新的数学分支和理论，如实变函数、泛函分析等。
3. 极限理论在工程和科学研究中的应用极限理论的应用远不止于数学的领域，它在工程技术和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在工程设计中，通过极限理论可以对结构的稳定性和安全性进行分析，帮助工程师设计出更可靠的结构。
在物理学、生物学和化学等科学研究中，极限理论也被广泛应用于模型建立和数据处理等方面。
二、极限理论的发展趋势1. 深入研究极限理论的数学基础随着数学研究的深入，人们对极限理论的数学基础进行了更深入的研究。
数学家们提出了各种各样的极限理论、收敛理论和测度论等，不仅为高等数学提供了更精确的基础，也为数学的发展提供了新的思路和方法。
2. 推广极限理论在无穷维空间的应用随着数学领域的不断发展，无穷维空间的研究成为了一个热点领域。
在无穷维空间中，极限理论的应用具有特殊的意义，它能够描述函数序列和泛函序列的收敛性质。
因此，进一步推广和应用极限理论在无穷维空间中将成为未来的发展趋势之一。
3. 结合计算机技术的应用和发展如今，计算机技术的飞速发展为数学的研究和应用带来了巨大的便利。
集合论的诞生与发展三次数学危机1无理数的发现2什么是无穷集合论的诞生与发展:三次数学危机:1:无理数的发现2:什么是无穷-----关于微积分基础的问题解决过程产生了集合论(朴素集合论)3:罗素悖论:解决结果产生了公理集合论第二次数学危机及集合论的诞生:对无穷小量的争论:经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算??微积分这门学科。
由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决问题的重要工具。
同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。
求速度为例，瞬时速度是，当趋近于零时的值。
是零，是很小的量，还是什么东西,无穷小量究竟是不是零,无穷小及其分析是否合理,由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次动摇数学理论基础的危机。
康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时，开始着手创立集合论的。
从19世纪开始，柯西(A.L.Cauchy，1789,1857)、魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815,1897)等人进行了微积分理论严格化的工作。
他们建立了极限理论，并把极限理论的基础归结为实数理论。
那么，实数理论的基础又该是什么呢,康托尔试图用集合论来作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础，并最终取得成功。
第三次数学危机集合论的发展然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。
到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。
数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。
他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。
今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。
”然而这种自得的情绪并没能持续多久。
不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。
这就是1902年罗素得出的罗素悖论。
罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R。
现在问R 是否属于R,如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R;另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。
无穷数的概念无穷数是数学中一个重要而又神秘的概念。
它们在数学上有着丰富的内涵和深刻的意义。
无穷数的概念在数学中具有非常重要的地位，涉及到了数学的基本概念、定义和定理等方面。
尤其是在现代数学中，无穷数的概念更是成为了数学研究的核心内容之一。
首先，让我们来看一下无穷数的概念是如何被提出和发展起来的。
在古希腊时期，数学家们首次提出了“无穷”的概念。
其中，柏拉图对无穷的概念有过深入的探讨。
他首先提出了一些无穷数的概念，并在这方面做了一些探索工作。
而在笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等数学家们的探索下，无穷数的概念得到了更为深刻的理解和发展。
他们提出了更加系统和完善的无穷数的思想和方法，这使得无穷数的研究在数学中得到了更加深入的发展。
在现代数学中，无穷数是一个非常重要的概念。
它广泛地存在于数学的各个领域之中，如微积分、实分析、复分析、拓扑学、代数学等。
在微积分中，无穷数是极限的一个重要内容。
极限是描述无穷接近时数列、函数的性质，以及数列、函数的收敛性和极限值等概念的数学工具。
而在实分析领域，无穷数则是序列、级数、函数、积分等概念的重要组成部分。
在代数学中，无穷数则是集合论和群论的一个基本概念，有关无穷数的理论也是代数学研究的一个基础性内容。
此外，在复分析和拓扑学领域，无穷数的概念也有着非常广泛的应用，例如在复平面中的无穷远点和拓扑学中的无穷维空间等诸多内容。
无穷数的研究具有非常丰富的内涵和深刻的意义。
它不仅仅是一个抽象的概念，更是数学研究中的一个基础性内容。
无穷数的研究带给我们了许多深远的启示，这些启示不仅仅是在数学研究中有用，更是在生活中有着许多重要的应用。
例如，在现代科学和工程技术中，无穷数的概念被广泛地用于分析、计算和设计等方面。
在物理学中，无穷数的概念用于描述无限小的微观粒子和无限大的宇宙空间等现象，在工程技术中，无穷数的概念也用于解决曲线和曲面的分析和设计问题等。
无穷数的研究也为我们提供了新的思维方式和方法论。
三、超弦理论简介2006年7月世界著名数学家、哈佛大学教授丘成桐院士，在南开大学陈省身数学研究所演讲前后曾说：弦理论研究已经到了“重大革命性突破的前夜”。
2008年获得诺贝尔物理学奖的南部阳一郎，就是一位著名的弦理论先驱者之一。
2009年10月英国剑桥大学著名科学家霍金告别卢卡斯数学教授职位后，也是著名的弦理论先驱者之一的格林，获得了剑桥大学声望最高的卢卡斯数学教授席位。
卢卡斯数学教授职位于1664年设立，科学史上一些最伟大的人物都曾获得这一头衔，其中包括牛顿和狄拉克。
说明当代科学前沿的弦膜圈说已出现发展的势头。
现任我国《前沿科学》编委的美籍华人物理学家、美国杜邦中央研究院退休院士的沈致远先生说：“在美国超弦理论和圈量子引力论已成显学，占据一流大学物理系要津，几乎囊括了这方面的研究经费，年轻的粒子物理学家如不做弦论，求职非常困难，资深的也难成为终身教授”。
湖南科技出版社2008年4月出版了李泳先生翻译的斯莫林的《物理学的困惑》一书，在该书开头11页至15页有，即使斯莫林是站在反对弦论者的代表人物的立场上，他也不得不承认：“在美国，追求弦理论以外的基础物理学方法的理论家，几乎没有出路。
最近15年，美国的研究型大学为做量子引力而非弦理论的年轻人一共给了三个助理教授的职位，而且给了同一个研究小组”。
“因为弦理论的兴起，从事基础物理学研究的人们分裂为两个阵容。
许多科学家继续做弦论，每年大约有50个新博士从这个领域走出来”。
“在崇高的普林斯顿高等研究院享受有永久职位的每个粒子物理学家几乎都是弦理论家，唯一的例外是几十年前来这儿的一位。
在卡维里理论研究所也是如此。
自1981年麦克阿瑟学者计划开始以来，9个学者有8个成了弦理论家。
在顶尖的大学物理系（伯克利、加州理工、哈佛、麻省理工、普林斯顿和斯坦福）。
1981年后获博士学位的22个粒子物理学终身教授中，有20个享有弦理论或相关方法的声誉。
弦理论如今在学术机构里独领风骚，年轻的理论物理学家如果不走进这个领域，几乎就等于自断前程。
