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算法的概念及表示
算法是指一个明确规定的、用于解决特定问题的有限序列指令。
算法包含了一系列的步骤，这些步骤需要被按照特定顺序执行，来完成一个特定的任务。
算法是计算机程序开发的核心，它能够帮助我们解决复杂的问题，提高程序的效率和准确性。
一、算法的概念和定义
算法是一组可适用于某类问题求解的有限指令序列，它是一个解决问题的精确步骤描述，算法必须具有良好的可读性和易于理解性，同时也要具有较高的效率和可行性。
二、算法的特点
1. 确定性
算法必须以明确、清晰的方式描述每一个操作的具体实现过程，只要输入参数相同，算法就应该产生相同结果。
2. 有限性
算法必须在有限步骤内完成求解，也就是说，算法不能出现无限循环或无限递归的情况。
3. 可行性
算法实现的步骤必须是可以实际执行的。
4. 输入输出明确
算法必须明确输入和输出的格式和含义。
三、算法的表示方法
1. 伪代码表示法
伪代码是一种结构化的、类似于某种程序语言的自然语言描述，可以表示出算法的基本流程和各个步骤的实现方法，但不关注具体的编程语言。
2. 流程图表示法
流程图可以清晰地展现算法的执行过程和各个步骤的关系，方便程序员阅读和理解。
3. 程序语言表示法
在具体的编程语言中编写代码，以实现算法。
四、算法的应用范围
算法广泛应用于计算机科学领域，包括数据处理、人工智能、机器学习、计算机图形学、计算机网络等众多领域。
在实际应用中，算法可以帮助我们提高问题求解的速度和精度，并且为我们带来更多的创新思路和方法。
算法的概念——知能阐释一、知识精讲1．算法的含义算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题。
说明：（1）算法一般是机械的，有时要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果。
通常把算法过程称为“数学机械化”，数学机械化的最大优点，是它可以让计算机来完成。
（2）实际上，处理任何问题都需要算法，中国象棋有中国象棋的棋谱，国际象棋有国际象棋的棋谱。
再比如，邮寄物品有其相应的手续，购买飞机票也有一系列的手续等等。
（3）求解某个问题的算法不唯一。
2．算法的特征（1）确定性：算法的每一步必须是确切定义的，且无二意性，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。
（2）有容性：一个算法必须在执行有穷次运算后结束，在所规定的时间和空间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的。
（3）可行性：算法中的每一个步骤都必须能用实现算法的工具——可执行指令精确表达，并在有限步骤内完成，否则这种算法也是不会被采纳的。
（4）算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤。
（5）有输出，算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解问题的目的，没有输出结果的算法是没有意义的。
3．算法的描述（1）自然语言：自然语言就是人们日常使用的语言，可以是汉语、英语或数学语言等。
用自然语言描述算法的优点是通俗易懂，当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解。
缺点是如果算法中包含判断或转向，并且操作步骤较多时，就不那么直观清晰了。
（2）框图（流程图）：所谓框图，就是指用规定的图形符号来描述算法，用框图描述算法，具有直观、结构清晰、条理分明、通俗易懂、便于检查修改及交流等优点。
（3）程序设计语言：算法最终可通过程序的形式编写出来，并在计算机上执行。
程序设计语言可分为低级语言和高级语言，低级语言包括机器语言和汇编语言。
算法基本知识点总结一、算法的基本概念1. 算法的定义算法是用来解决特定问题的有限步骤的有序集合。
算法是一种计算方法，可以描述为一系列清晰的步骤，用来解决特定问题或执行特定任务。
2. 算法的特性（1）有穷性：算法必须在有限的步骤内结束。
（2）确定性：对于相同输入，算法应该产生相同的输出。
（3）可行性：算法必须可行，即算法中的每一步都可以通过已知的计算机能力来执行。
3. 算法的设计目标（1）正确性：算法应该能够解决给定的问题。
（2）可读性：算法应该易于理解和解释。
（3）高效性：算法应该能在合理的时间内完成任务。
二、算法的复杂度分析1. 时间复杂度算法的时间复杂度表示算法执行所需的时间长度，通常用“大O记法”表示。
时间复杂度反映了算法的运行时间与输入规模之间的关系。
常见的时间复杂度包括：（1）O(1)：常数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模无关。
（2）O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的对数成正比。
（3）O(n)：线性时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模成正比。
（4）O(nlogn)：线性对数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模和对数成正比。
（5）O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的平方成正比。
（6）O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的指数成正比。
2. 空间复杂度算法的空间复杂度表示算法执行所需的内存空间大小。
常见的空间复杂度包括：（1）O(1)：常数空间复杂度，表示算法的内存空间与输入规模无关。
（2）O(n)：线性空间复杂度，表示算法的内存空间与输入规模成正比。
三、常见的算法设计思想1. 贪心算法贪心算法是一种选取当前最优解来解决问题的算法。
贪心算法的核心思想是从问题的某一初始解出发，通过一系列的局部最优选择，找到全局最优解。
2. 动态规划动态规划是一种将原问题分解成子问题来求解的方法。
动态规划通常适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
什么是算法？算法是一种用于解决问题或执行特定任务的有序步骤的描述。
它是计算机科学和数学领域中的一个重要概念。
算法提供了一种精确而清晰的方法来描述如何执行计算和处理数据。
它可以被看作是一种计算过程的抽象表示，用于解决各种问题，从简单的数学运算到复杂的数据处理和优化。
算法由一系列的步骤或操作组成，每个步骤都定义了如何执行特定的计算或操作。
这些步骤按照特定的顺序执行，以解决给定的问题或实现特定的目标。
算法可以接受输入，执行一系列操作，并生成输出。
它应该是可行的、确定性的和有限的。
算法的设计和分析是计算机科学的核心内容之一。
好的算法应该具有正确性、效率和可读性。
正确性是指算法能够按照预期的方式解决问题。
效率是指算法在给定的时间和空间限制下能够高效地执行。
可读性是指算法应该易于理解和实现。
算法可以用自然语言、伪代码或特定的编程语言来描述。
自然语言的描述通常用来解释算法的思想和执行过程。
伪代码是一种类似于编程语言的描述语言，它提供了一种中间层次的抽象，介于自然语言和具体编程语言之间。
特定的编程语言可以用来实现和执行算法。
算法的性能可以通过时间复杂度和空间复杂度来评估。
时间复杂度是指算法执行所需的时间量级，通常用大O符号表示。
空间复杂度是指算法执行所需的额外空间的量级。
通过分析算法的复杂度，可以评估其效率，并作出适当的选择和优化。
算法的应用非常广泛，涵盖了各个领域。
在计算机科学中，算法在数据结构、图论、排序、搜索、动态规划、机器学习等方面起着重要作用。
在实际应用中，算法被用于解决诸如路径规划、图像处理、网络优化、自然语言处理、数据分析等各种问题。
算法的发展是一个不断演化的过程。
随着技术的进步和需求的变化，新的算法不断涌现，旧的算法也在不断改进和优化。
算法的研究和创新是计算机科学的重要方向之一，它有助于提高计算效率、解决复杂问题、优化资源利用等。
总而言之，算法是一种用于解决问题或执行特定任务的有序步骤的描述。
它提供了一种精确而清晰的方法来描述计算和处理数据。
什么是算法的概念及其表示方法？
算法指的是一组明确定义的有限步骤，用于解决特定问题或完
成特定任务的过程或方法。
它是计算机科学和数学中的重要概念。
算法的表示方法有以下几种：
1. 自然语言描述法：使用自然语言，如中文或英文，来描述算
法的步骤和操作过程。
2. 伪代码表示法：使用类似编程语言的伪代码来表示算法的步骤，以简洁清晰的方式描述算法的逻辑结构。
3. 流程图表示法：使用图形符号和箭头来表示算法的步骤和流程，以便更直观地展示算法的执行顺序和控制流程。
4. 程序代码表示法：使用具体的编程语言，如Java、Python等，编写算法的实际代码，以便计算机能够直接执行算法。
选择合适的表示方法取决于具体的应用场景和需求。
对于简单的算法，使用自然语言或伪代码表示法可能足够清晰易懂；对于复杂的算法，使用流程图或程序代码表示法可能更具表达能力和实际可执行性。
总之，算法是解决问题的方法或步骤，而表示方法是将算法转化为人类和计算机能够理解和执行的形式。
了解算法的概念和各种表示方法对于计算机科学和算法设计非常重要。
算法基础的知识点总结算法是计算机科学的核心概念之一，它是指解决问题的一系列清晰而有条理的步骤。
算法可以用于各种不同的情境，包括数学、工程、计算机科学等领域。
一个好的算法应该是高效的、清晰的和可靠的。
在本文中，我们将总结一些算法基础知识点，包括算法的定义、算法分析、算法设计、算法复杂度和常见的算法类型。
一、算法的定义算法是指解决问题的有序而清晰的步骤，它可以被用来处理输入并产生输出。
一个好的算法应该是可理解的、可重复的和可验证的。
算法可以用来解决各种不同的问题，包括数值计算、图形处理、数据搜索等。
二、算法的分析算法的分析是指评估算法的效率和性能。
常见的算法分析方法包括时间复杂度分析和空间复杂度分析。
时间复杂度是指算法执行所需的时间，它可以用来评估算法的执行效率。
空间复杂度是指算法执行所需的内存空间，它可以用来评估算法的内存使用情况。
通过对算法的分析，我们可以评估算法的性能并选择最合适的算法来解决问题。
三、算法的设计算法的设计是指如何选择和设计合适的算法来解决问题。
常见的算法设计方法包括分治法、动态规划、贪心算法、回溯法等。
分治法是指将问题拆分成更小的子问题，并递归地求解这些子问题。
动态规划是指将问题分解成更小的子问题，并使用子问题的解来求解原问题。
贪心算法是一种逐步选择最优解的算法。
回溯法是一种逐步搜索解空间的算法。
通过选择合适的算法设计方法，我们可以设计出高效的算法来解决问题。
四、算法的复杂度算法的复杂度是指算法执行所需的时间和空间资源。
常见的算法复杂度包括时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是指算法执行所需的时间资源，它可以用来评估算法的执行效率。
空间复杂度是指算法执行所需的内存资源，它可以用来评估算法的内存使用情况。
通过对算法的复杂度进行评估，我们可以选择最合适的算法来解决问题。
五、常见的算法类型1.排序算法：排序算法是指将一组数据按特定顺序排列的算法。
常见的排序算法包括插入排序、选择排序、冒泡排序、快速排序、归并排序等。
什么是算法常见的算法有哪些算法是计算机科学中的重要概念，它指的是一系列解决问题的步骤或规则。
它可以被视为一种解决特定问题的方法或策略。
算法的设计与分析是计算机科学中的核心内容之一。
算法可以分为多种类型，下面将介绍一些常见的算法及其应用领域。
1. 搜索算法：搜索算法用于在给定集合中查找特定的元素或条件。
常见的搜索算法包括线性搜索、二分搜索和哈希表。
线性搜索逐个比较集合中的元素，直到找到目标元素；二分搜索适用于有序集合，根据目标元素与中间元素的关系，逐步缩小搜索范围；哈希表通过构建哈希函数，将元素映射到数组中的特定位置。
2. 排序算法：排序算法用于将一组元素按照特定顺序重新排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序和归并排序。
这些算法的实现方式不同，但目标都是将元素按照递增或递减顺序排列。
3. 图算法：图算法用于解决与图相关的问题，例如最短路径、网络流、最小生成树等。
常见的图算法有深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、迪杰斯特拉算法、克鲁斯卡尔算法和普林斯顿算法等。
4. 动态规划算法：动态规划算法是一种解决多阶段决策问题的策略。
它通过将问题分解为若干子问题，并记忆子问题的解，以便有效地解决原始问题。
常见的动态规划算法包括背包问题、最长公共子序列、矩阵链乘法等。
5. 贪心算法：贪心算法是一种通过每个阶段所做的局部最优选择来达到全局最优解的方法。
它通常在问题的求解过程中做出一系列选择，并且每个选择都不可改变。
常见的贪心算法包括霍夫曼编码、最小生成树等。
6. 分治算法：分治算法是一种将问题分解为多个相似子问题并独立解决的策略。
然后，将子问题的解组合起来，得到原始问题的解。
常见的分治算法包括归并排序、快速排序等。
除了上述提到的算法，还有许多其他类型的算法，例如回溯算法、模拟退火算法、遗传算法等。
不同类型的算法适用于不同的问题领域。
在实际应用中，工程师们需要根据具体问题的特点选择合适的算法。
算法分析知识点总结一、算法的基本概念1.1 算法的定义：算法是一个有限指令序列，用于解决特定问题或执行特定任务的描述。
1.2 算法的特性：有穷性、确定性、可行性、输入输出和有效性。
1.3 算法的表示：伪代码和流程图是常见的算法表示方式。
1.4 算法的复杂度：算法的时间复杂度和空间复杂度是衡量算法性能的重要指标。
二、算法分析的基本方法2.1 时间复杂度：描述算法所需的运行时间与输入规模之间的关系。
2.2 空间复杂度：描述算法所需的内存空间与输入规模之间的关系。
2.3 最好情况、平均情况和最坏情况：算法复杂度分析通常考虑这三种情况的复杂度。
2.4 渐进复杂度分析：通过增长数量级的方式描述算法的复杂度。
2.5 复杂度函数的求解：基于递推关系和分析法求解算法的复杂度函数。
三、常见的时间复杂度分析方法3.1 常数阶O(1)：所有输入规模下，算法的运行时间是固定的。
3.2 线性阶O(n)：算法的运行时间与输入规模成线性关系。
3.3 对数阶O(log n)：算法的运行时间与输入规模的对数成关系。
3.4 平方阶O(n^2)及以上阶：算法的运行时间与输入规模呈指数或多项式关系。
3.5 指数阶O(2^n)：算法的运行时间与输入规模成指数关系。
四、常见的空间复杂度分析方法4.1 常数空间复杂度O(1)：算法所需的内存空间与输入规模无关。
4.2 线性空间复杂度O(n)：算法所需的内存空间与输入规模成线性关系。
4.3 对数空间复杂度O(log n)：算法所需的内存空间与输入规模的对数成关系。
4.4 平方空间复杂度O(n^2)及以上阶：算法所需的内存空间与输入规模呈指数或多项式关系。
4.5 指数空间复杂度O(2^n)：算法所需的内存空间与输入规模成指数关系。
五、常见的复杂度函数分析方法5.1 基于递推关系求解：通过递推关系式及其解的求解方法分析算法的复杂度。
5.2 基于分析法求解：通过数学分析和极限运算等方法求解算法的复杂度函数。
非紧上界非紧下界
和算法执行时间相关的因素：算法选用的策略，问题的规摸，输入的初始值。
算法的执行时间=∑(原操作(i)的执行次数×原操作(i)的执行时间)
分治法基本思想
将一个难以直接解决的大问题，分解成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
递归算法
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
递归函数
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
边界条件与递归方程是递归函数的2个要素
求解递归方程方法
代换法递归树法主方法
主方法只能应用于特定的递归式，这些递归式符合如下形式：
T(n) = aT(n/b)+f(n)
每个问题被划分为a个规模相同的子问题
每个子问题的规模为n/b
为非递归部分，表示划分子问题和组合子问题的总开销
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题；
3.该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
动态规划法的解题步骤
动态规划一般要求问题的最优解。
1.找出最优解的性质，并刻画其结构特征;
2.递归的定义最优值；
3.自底向上地计算子问题的最优值，并记录计算过程；
4.由最优值的计算过程构造原问题的最优解。
从一般意义上讲，问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是该问题可以用动态规划算法求解的基本要素。
问题的最优解包含着其子问题的最优解。
这种性质称为最优子结构性质。
•利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。
•最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
这种性质称为子问题的重叠性质。
动态规划vs. 备忘录方法
当问题的所有子问题都至少要解一次时，用动态规划法比较好，没有多余的计算。
当只有部分子问题需要求解时，用备忘录法比较好。
该方法只求解确实需要求解的子问题。
贪心算法的基本思想
1.贪心算法常用来求解最优化问题。
2.贪心算法总是做出在当前看来最好的选择。
贪心算法的基本要素
1.最优子结构性质：问题的最优解包含其子问题的最优解
2.贪心选择性质；问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择（贪心选择）来达到
回溯法
首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解（部分解）按某种顺序逐一枚举和检验。
● 当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。
● 如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题
的一个解。
● 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。
扩大当前候选解的规模，以继续向下试着走的过程称为试探
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
• 问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示
成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。
• 显约束：对分量xi的取值限定。
• 隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的
约束。
• 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约
束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
►扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
►活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点
►死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
►解空间树的构造：从开始结点出发进行深度优先搜索。
如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点， R当做活结点在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）。
回溯法解决问题的基本步骤
(1) 分析问题，定义问题的解空间；
(2) 确定易于搜索的解空间结构；
(3) 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
剪枝函数：
用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树。
用限界函数剪去得不到最优解的子树。
分支限界法与回溯法的区别
◆ 求解目标：回溯法的求解目标通常是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
◆ 搜索方式不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
● 分支限界法的搜索策略是：在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展结点。
● 为了有效地选择下一扩展结点，以加速搜索的进程，在每一活结点处，计算一个函数值（限界），并根据这些已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支
推进，以便尽快地找出一个最优解
（ 1）队列式(FIFO) 分支限界法
按照队列先进先出（ FIFO）原则选取下一个结点为扩展结点。
（ 2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。
分支限界法的基本思想
在扩展结点上，预先分别估算沿着它的各儿子结点向下搜索的路径中，目标函数可能取得的极值（极大值或极小值）
把它的这些儿子结点和它们目标函数可能取得的极值，保存在一张表（优先队列或堆）中
从表中选取极值最大或最小的结点向下搜索，直到叶子结点
若叶子结点的目标函数的值是结点表中的最大值或最小值，则沿根结点到叶子结点的路径所确定的解，就是问题的最优解，由该叶子结点所确定的目标函数的值，就是解这个问题所得到的最大值或最小值
舍伍德算法
⏹ 舍伍德算法总能求得问题的一个解，且所求得的解总是正确的。
⏹ 当一个确定性算法在最坏情况下的计算复杂性与其在平均情况下的计算复杂性有较大差别时，可以在这个确定算法中引入随机性将它改造成一个舍伍德算法，消除或减少问题的好坏实例间的这种差别。
⏹ 舍伍德算法的精髓不是避免算法的最坏情况行为，而是设法消除这种最坏行为与特定实例之间的关联性。
拉斯维加斯算法
⏹ 舍伍德算法对所有实例有相对均匀的复杂性，但并不提高平均时间复杂性。
⏹ 拉斯维加斯算法可以显著的改善算法的性能。
⏹ 拉斯维加斯算法的另一个特征是它所做的随机性决策有可能导致算法找不到所需的解。
⏹ 拉斯维加斯算法得到正确解的概率随着它用的计算时间的增加而提高。
蒙特卡罗算法
● 蒙特卡罗算法在一般情况下可以保证对问题的所有实例都以高概率给出正确解，但是通常无法判定一个具体解是否正确。
⏹ 用蒙特卡罗算法能求得问题的一个解，但这个解未
必是正确的。
⏹ 求得正确解的概率依赖于算法所用的时间。
算法所用的时间越多，得到正确解的概率就越高。
⏹ 主要缺点：一般情况下，无法有效判断得到的解是否肯定正确。
第二章
棋盘覆盖合并排序快速排序循环赛日程表
第三章
矩阵连乘问题最长公共子序列 0-1背包问题
第四章
活动安排问题最优装载 0-1背包问题多机调度问题
第五章
装载问题批作业处理调度图的M着色旅行售货员问题
第六章
装载问题 0-1背包问题批处理作业调度。
