线性代数自考第三章历年试题

习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。

自测题（三）参考答案与提示一、(1) ；2−n (2) 方程组的未知量个数为3，由基础解系所含向量个数与系数矩阵的秩的关系，可知1，不妨设所求方程组为()R =A 1230ax bx cx ++=，并将代入，得，故方程组的系数矩阵为． 12,ηη1,1a b c =−==(1,1,1)=−A 二、（1）（D ）；（2）（D ）．三、123412341311~014537570000−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A ⎞⎟−⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 得基础解系 ． 1234111445,1001x x x x −⎛⎞⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜−⎜⎟⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎝⎠四、1111011011211131~00121211231200000−−−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−−⎝⎠⎝A ⎞⎟⎟⎟⎠可见()()R R =A A ，方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩ 取，则 240x x ==1312x x ==，即得原方程组的一个特解T*(12,0,12,0)=η． 对应齐次线性方程组的基础解系 ， T 1(1,1,0,0)=ηT 2(1,0,2,1)=η原方程组的通解为 ．112212*,(k k k k R =++∈ηηηη、)五、考虑向量方程1122330k k k ααα++=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+−=+030422032132131ak k k k k k k k 013422101=−a，即 02)3(2=−−−a ，即2=a ．六、当()R n =A 时，12,,,n αα"α0线性无关，设1122231()()()n n k k k αααααα++++++="，于是有 ，12310,0,,0n n k k k k k k −+=+=+="n 可见当为偶数时，有非零解，当n 为奇数时，n =Bx 0=Bx 0无非零解．七、由的每一列均为的解，那么矩阵中列向量组的秩必小于等于的解向量组的秩，即有R () = R (B =A x 0B =A x 0B s βββ,,,"21)()n R ≤−A所以 ()()R R n +≤A B ．八、（1）由已知，得矩阵的秩小于3，又()1223123123101(,,),,11011a a αααααααααα−⎛⎞⎜⎟−+−++=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠123,,ααα线性无关，所以矩阵10111011a −⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠⎟4一定不可逆，推出．2a =（2）方程组1223123(,,)a αααααααα−+−++=x 可化为()()1231231011,,11,,10112a αααααα−⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 因为123,,ααα线性无关，所以原方程组与方程组同解．10111110112a −⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠由此求出通解 ．111210k ⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝η九、方程组的系数行列式3[3]()a b b b ba b ba b a b b b a b bb ba==+A −b（1）当且时，方程组仅有零解．a b ≠3a ≠−（2）当时，对系数矩阵作行初等变换得原方程组的同解方程组，其基础解系为a b =A 12340x x x x +++=T 1(1,1,0,0),=−ηT 2(1,0,1,0),=−ηT 3(1,0,0,1)=−η于是方程组的通解为112233k k k =++x ηηηb 4 其中为任意常数．123,,k k k （3）当时，对系数矩阵作初等行变换，得原方程组的同解方程组为3a =−A 14234x x x x x x=⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得基础解系为 ， T(1,1,1,1)=η于是方程组的通解为，其中k 为任意常数．k =x η十、2113112112~0113(111200(1)(2)3(1)a a a a a a a a a −−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−+⎝⎠⎝A )a a ⎞⎟−⎟⎟−⎠ 于是可知当a 1且a =－2时，方程组有唯一解． ≠≠ 当a =－2时，方程组无解． 当a =1时，方程组有无穷多解．通解为x = （k 1 ，k 2为任意常数）．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛11010120021321k k x x x 十一、必要性 由及知，=AB O ≠B O =A x 0有非零解，所以0=A ．充分性 若0=A ，则=A x 0有非零解，记为．令0x ()0,,,,=≠B x O 000"，满足．=AB O 十二、因为方程组的增广矩阵A 的行向量组是的行向量组的部分组，所以C A 的行向量组可由的行向量组线性表示，于是C A 的行向量组的秩小于或等于的行向量组的秩，因此有C ()()()R R R ≤=A C A ，又的列向量组可由A A 的列向量组线性表示，有()()R R ≤A A ， 所以()()R R =A A ，故方程组有解．。

线性代数第三章练习册答案线性代数第三章综合自测题一、单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。

本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示，则（ D ）。

（A ）存在一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 （B ）对β的线性表示惟一（C ）向量组m αααβ,,,,21 线性无关（D ）存在一组数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 2. 向量组t ααα,,,21 线性无关的充分条件是（C ）（A ）t ααα,,,21 均为非零向量；（B ）t ααα,,,21 的任意两个向量的分量不成比例；（C ）t ααα,,,21 中任意部分向量组线性无关；（D ）t ααα,,,21 中有一个部分向量组线性无关。

3. 若m ααα,,,21 线性相关，且0=+++m m k k k ααα 2211，则（ D ）。

（A ）021====m k k k （B ）m k k k ,,,21 全不为零（C ）m k k k ,,,21 不全为零（D ）上述情况都有可能4. 一个n m ?阶矩阵A 的秩为m ，则下列说法正确的是（ A ）（A ）矩阵A 的行向量组一定线性无关；（B ）矩阵A 的列向量组一定线性无关；（C ）矩阵A 的行向量组一定线性相关；（D ）矩阵A 的列向量组一定线性相关。

5. 两个n 维向量组A ：s ααα,,,21 ，B ：t βββ,,,21 ，且r B R A R ==)()(，于是有（ C ）（A ）两向量组等价，也即可以相互线性表出；（B ）s R ααα,,,(21 ，r t =),,,21βββ ；（C ）当向量组A 能由B 线性表出时，两向量组等价；（D ）当t s =时，两向量组等价。

浙江省2019年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题【正确答案】 A【答案解析】 因为由方阵性质可知，若方阵的行列式等于零，则它的行向量组和列向量组都线性相关。

所以可得100110100,,111(1)2022212212202x xαβγx x x x x x x ==-=-=-=-g解得2x =。

【知 识 点】 第三章 线性相关性的若干基本定理。

4. 1231323220,20,0.ax x x x x a x x +-=⎧⎪-+==⎨⎪-+=⎩若方程组有无穷多解，则（ ）。

A. 0 B. 3 C. -1 D. -3【正确答案】 A【答案解析】 由题可得2200201201011011a a A -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为若方程组有无穷多解，可知()r A n <。

若0a =时，()23r A n =<=。

故选A 。

【知 识 点】 第四章 齐次线性方程组的解。

5. 若110011101t A t t t 为正交矩阵，则-⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（ ）。

A. -1B. 01【正确答案】 C【答案解析】 因为若A 为正交矩阵，则有1A =±。

3110011(1)11101t A t t t -⎡⎤⎢⎥=-=-+=±⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解得1t =或1t =-。

故选C 。

【知 识 点】 第五章 正交矩阵。

6. 222231123(),,25f x x x x x x =--二次型的负惯性指数是（ ）。

A. -5 B. -7 C. 1 D. 2【正确答案】 D【答案解析】 因为负惯性指数即为二次型中系数为负数的项的个数。

题干中的二次型负数项有两个，所以负惯性指数为2，故选D 。

【知 识 点】 第六章 二次型的规范形。

二、填空题（本大题共9小题，每小题2 分，共 18分）7. 行列式___0______0_0__x y x y yx=。

线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。

A. 可逆B. 不可逆C. 可逆且不可逆D. 以上都不对答案：B2. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由它们构成的矩阵的行列式不为0B. 由它们构成的矩阵的行列式为0C. 由它们构成的矩阵的秩等于向量的个数D. 由它们构成的矩阵的秩小于向量的个数答案：C3. 矩阵A和B等价的充分必要条件是（）。

A. |A| = |B|B. r(A) = r(B)C. A和B的秩相等D. A和B的行列式相等答案：B4. 对于n阶方阵A，下列命题不正确的是（）。

A. A^2 = 0，A≠0B. |A| = 0，A不可逆C. A可逆，|A|≠0D. A可逆，|A| = 0答案：D5. 向量组α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是（）。

A. 由它们构成的矩阵的行列式不为0B. 由它们构成的矩阵的行列式为0C. 由它们构成的矩阵的秩小于向量的个数D. 由它们构成的矩阵的秩等于向量的个数答案：C6. 矩阵A和B相似的充分必要条件是（）。

A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. A和B的特征值相同D. A和B的迹相等答案：C7. 对于n阶方阵A，下列命题不正确的是（）。

A. A可逆，|A|≠0B. A可逆，|A| = 0C. |A| = 0，A不可逆D. |A|≠0，A可逆答案：B8. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由它们构成的矩阵的行列式不为0B. 由它们构成的矩阵的行列式为0C. 由它们构成的矩阵的秩等于向量的个数D. 由它们构成的矩阵的秩小于向量的个数答案：C9. 矩阵A和B等价的充分必要条件是（）。

A. |A| = |B|B. r(A) = r(B)C. A和B的秩相等D. A和B的行列式相等答案：B10. 对于n阶方阵A，下列命题不正确的是（）。

A. A^2 = 0，A≠0B. |A| = 0，A不可逆C. A可逆，|A|≠0D. A可逆，|A| = 0答案：D二、填空题（每题2分，共20分）11. 矩阵A的秩为3，矩阵B的秩为2，则矩阵AB的秩最大为_________。

第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。

α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。

如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。

4 D.327。

设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。

α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。

线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个不是方阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 2]C. [1, 2; 3, 4; 5, 6]D. [1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8]答案：B2. 对于向量空间中的向量组，线性相关的定义是什么？A. 向量组中的任意向量都可以用其他向量表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为零向量C. 向量组中的向量线性组合为零向量D. 向量组中所有向量都是零向量答案：A3. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵对角线上的元素B. 使得方程Ax = λx 成立的标量λC. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 对于矩阵 A，下列哪个矩阵是 A 的伴随矩阵？A. A^TB. A^(-1)C. adj(A)D. det(A)答案：C5. 如果一个向量是另一个向量的标量倍，这两个向量是什么关系？A. 线性无关B. 线性相关C. 正交D. 单位向量答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指_________。

答案：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目7. 向量空间的基是指一组_________的向量，它们能生成整个向量空间。

答案：线性无关8. 对于任意矩阵 A，|A| 表示_________。

答案：矩阵 A 的行列式9. 如果矩阵 A 可逆，那么 A 的逆矩阵记作_________。

答案：A^(-1)10. 线性变换 T: R^n → R^m 的标准矩阵是指_________。

答案：线性变换 T 对标准基的坐标表示矩阵三、解答题（共75分）11. （15分）设 A 是一个3×3 的实对称矩阵，证明其特征值都是实数。

答案：略12. （20分）给定两个向量 v1 = [1, 2, 3]^T 和 v2 = [4, 5, 6]^T，求它们的叉积v3 = v1 × v2，并证明 v3 与 v1, v2 都正交。

线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是（）。

A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 如果矩阵A的秩等于其列数，则矩阵A（）。

A. 可逆B. 不可逆C. 有零行D. 有零列答案：A3. 对于齐次线性方程组，下列说法正确的是（）。

A. 只有零解B. 有无穷多解C. 无解D. 有唯一解答案：B4. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A - λI| = 0的λ值答案：D5. 向量α和β线性相关，则（）。

A. α和β共线B. α和β不共线C. α和β垂直D. α和β平行答案：A6. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则（）。

A. A和B中至少有一个是零矩阵B. A和B中至少有一个是不可逆的C. A和B中至少有一个是奇异矩阵D. A和B中至少有一个是单位矩阵答案：C7. 矩阵A的转置矩阵记作（）。

A. A'B. A^TC. A^HD. A^*答案：B8. 矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A'B. A^TC. A^-1D. A^H答案：C9. 向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则（）。

A. 向量组中至少有一个向量为零向量B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示C. 向量组中任意向量可以由其他向量线性表示D. 向量组中任意两个向量共线答案：B10. 矩阵A的迹是（）。

A. 矩阵A的行列式B. 矩阵A的秩C. 矩阵A对角线元素的和D. 矩阵A的列数答案：C二、填空题（每题3分，共5题，共15分）11. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|等于________。

答案：412. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-3λ+2，则矩阵A的特征值是________。

答案：1, 213. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(4, 5, 6)，则向量α和β的内积α·β等于________。