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(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2017届南京、盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x28＋y2b2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求|AT|·|BT||MN|2的值；(3)记直线l 与y 轴的交点为P .若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .解 (1)因为椭圆x28＋y2b2＝1经过点(b,2e )，所以b28＋4e2b2＝1.因为e 2＝c2a2＝c28，所以b28＋c22b2＝1.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b28＋8－b22b2＝1.整理得b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) .所以椭圆C 的标准方程为x28＋y24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程错误!消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－82k2＋1.因为MN ∥l ，所以直线MN 的方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧ y＝kx ，x28＋y24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k2＋1. 因为MN ∥l ，所以|AT|·|BT||MN|2＝错误!. 因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k2＋1， (x M －x N )2＝4x 2＝322k2＋1， 所以|AT|·|BT||MN|2＝错误! ＝72k2＋1·2k2＋132＝732. (3)在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而AP →＝(－x 1，－k －y 1)，TB →＝(x 2－1，y 2)．因为AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)， 即x 1＋25x 2＝25. 由(2)知，⎩⎪⎨⎪⎧ x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－82k2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x1＋x2＝4k22k2＋1，x1＋25x2＝25，解得x 1＝错误!，x 2＝错误!.因为x 1x 2＝2k2－82k2＋1， 所以错误!×错误!＝错误!，整理得50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍)． 又因为k >0，所以k ＝ 2.2．(2017·福建省福州第一中学质检)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝16，F (－1,0)，M 是圆C 上的一个动点，线段MF 的垂直平分线与线段MC 相交于点P .。
压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一)1． 已知椭圆G ：x 2a ＋y 2b ＝1 (a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63. 解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4； 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE⊥AB.所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB|＝3 2.此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322， 所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d＝92. 2． 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N.当|AM|＝|AN|时，求m 的取值范围．解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1， 则右焦点F(a 2－1，0)， 由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3. 故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设P(x P ，y P )，M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， ∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk)2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1.①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1， ∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk， 又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1.② 把②代入①得m 2<2m ，解得0<m<2；由②得k 2＝2m －13>0，解得m>12. 综上求得m 的取值范围是12<m<2. 3． 已知过点A(－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p>0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p)y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1， ③ 由①②③及p>0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y.(2)设l ：y ＝k(x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝＋得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k(x 0＋4)＝2k 2＋4k. ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k)， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k>0得：k>0或k<－4.∴b∈(2，＋∞)．4． 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. (1)解 由已知，可得b ＝2，a 2＝(2b)2＝8，所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 若直线AB 的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2. 由k 1＋k 2＝8，得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8， 所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8， 即2k ＋(m －2)·x 1＋x 2x 1x 2＝8. 所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝12k －2. 故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2， 即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－2. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 若直线AB 的斜率不存在，设AB 的方程为x ＝x 0，设A(x 0，y 0)，B(x 0，－y 0)，由已知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8， 得x 0＝－12. 此时AB 的方程为x ＝－12，显然过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 综上，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.。
(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·烟台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点⎝⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A (－2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点(点P 在点Q 的上方)，l 2与椭圆交于M ，N 两点(点M 在点N 的上方)，若直线l 1的斜率为－17，S △MAP ＝2534S △NAQ ，求直线l 2的斜率．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2＋34b 2＝1，2b 2a ＝13，解得a ＝6，b ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 236＋y 2＝1. (2)由题设可知：直线l 1的方程为x ＝－7y －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 236＋y 2＝1，x ＝－7y －2，整理得85y 2＋28y －32＝0.y P ＝817，y Q ＝－45.∴|AQ ||AP |＝|y Q ||y P |＝45817＝1710. 设∠MAP ＝∠QAN ＝θ，∵S △MAP ＝2534S △NAQ ， ∴12|AM ||AP |sin θ＝2534×12|AN ||AQ |sin θ， 即|AM ||AN |＝2534×|AQ ||AP |＝2534×1710＝54. 设直线l 2的方程为x ＝my －2(m ≠0)，将x ＝my －2代入x 236＋y 2＝1， 得(m 2＋36)y 2－4my －32＝0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋36，y 1y 2＝－32m 2＋36. 又∵y 1＝－54y 2， ∴－54y 2＋y 2＝4m m 2＋36，－54y 22＝－32m 2＋36， ∴y 2＝－16m m 2＋36，y 22＝1285()m 2＋36， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－16m m 2＋362＝1285(m 2＋36)， 解得m 2＝4，∴m ＝±2，此时①式的判别式大于零．故直线l 2的斜率为±12. 2．(2018·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0， 由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6， 综上23≤t 2<6， 又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t 24， 所以S 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，2π. 3．(2018·湘潭模拟)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0是抛物线C ：x 2＝2py ⎝ ⎛⎭⎪⎫p >12上一点，且A 到C 的焦点的距离为58. (1)求抛物线C 的方程；(2)若P 是C 上一动点，且P 不在直线l ：y ＝2x ＋9y 0上，l 交C 于E ，F 两点，过P 作直线垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N .证明：|AM |2|AN |＝|EF |. (1)解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2py 0＝14，y 0＋p 2＝58，∴18p ＋p 2＝58， ∵p >12，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明 由(1)知，y 0＝18，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2y ，y ＝2x ＋98，得4x 2－16x －9＝0，解得x 1＝－12，x 2＝92， ∴|EF |＝1＋22⎪⎪⎪⎪⎪⎪92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5 5. 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22⎝⎛⎭⎪⎫m ≠－12且m ≠92， 则M 的横坐标为m ，易知A 在l 上， 则|AM |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋12. 由题意可知直线PN 的方程为y －m 22＝－12(x －m )， 与y ＝2x ＋98联立可得x N ＝15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94， 所以|AN |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94＋12 ＝55⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122， 则|AM |2|AN |＝55，故|AM |2|AN |＝|EF |. 4．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a ,0)，B (a ,0)，k 1＝ba ，k 2＝－b a，k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33. (2)由(1)知e ＝c a ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线l 的方程为x ＝my －3， 由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0， 因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c 22m 2＋3. 又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2，代入上述两式得6－6c 2＝－36m 22m 2＋3， 所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3 ＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52， 代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为2x 215＋y 25＝1. 5．(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝k (x －1)(k >0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点．(ⅰ)若MB →＝AN →，求k 的值；(ⅱ)若点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，0，求证：QA →·QB →为定值．(1)解 因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2， 又离心率为22，所以ca ＝22，即a 2＝2c 2，代入a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝c 2.又椭圆C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2， 即12×b ×2c ＝2，即bc ＝2，b 2c 2＝4，以上各式联立解得a 2＝4，b 2＝2，则椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(ⅰ)解 直线y ＝k (x －1)与x 轴交点为M (1,0)，与y 轴交点为N (0，－k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝4消去y 得， (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－4)＝24k 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，又MB →＝(x 2－1，y 2)，AN →＝(－x 1，－k －y 1)，由MB →＝AN →，得x 1＋x 2＝4k21＋2k 2＝1，解得k ＝±22，由k >0，得k ＝22.(ⅱ)证明 由(ⅰ)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以QA →·QB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋k 2(x 1－1)(x 2－1)，＝(1＋k 2)2k 2－41＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－74－k 24k 21＋2k 2＋k 2＋4916，＝2k 2－4＋2k 4－4k 2－7k 2－4k 4＋k 2＋2k 41＋2k 2＋4916，＝－8k 2－41＋2k 2＋4916＝－4＋4916＝－1516，为定值， 所以QA →·QB →为定值．。
(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·唐山模拟)已知点A (－2,0)，点B (－1,0)，点C (1,0)，动圆O ′与x 轴相切于点A ，过点B 的直线l 1与圆O ′相切于点D ，过点C 的直线l 2与圆O ′相切于点E (D ，E 均不同于点A )，且l 1与l 2交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ.(1)证明：|PB |＋|PC |为定值，并求Γ的方程；(2)设直线l 1与Γ的另一个交点为Q ，直线CD 与Γ交于M ，N 两点，当O ′，D ，C 三点共线时，求四边形MPNQ 的面积．解 (1)由已知可得|PD |＝|PE |，|BA |＝|BD |，|CE |＝|CA |，所以|PB |＋|PC |＝|PD |＋|DB |＋|PC |＝|PE |＋|PC |＋|AB |＝|CE |＋|AB |＝|AC |＋|AB |＝4>2＝|BC |，所以点P 的轨迹Γ是以B ，C 为焦点的椭圆(去掉与x 轴的交点)，可求得Γ的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)由O ′，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ，又由直线CE ，CA 为圆O ′的切线，可知|CE |＝|CA |，|O ′A |＝|O ′E |，所以△O ′AC ≌△O ′EC ，进而有∠ACO ′＝∠ECO ′，所以|PC |＝|BC |＝2，又由椭圆的定义，|PB |＋|PC |＝4，得|PB |＝2，所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3)．(ⅰ)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60°，∠BCD ＝30°，此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝3(x ＋1)，整理得5x 2＋8x ＝0， 得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－335，所以|PQ |＝165， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－33(x －1)，整理得13x 2－8x －32＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213， |MN |＝ 1＋13|x 1－x 2|＝4813， 所以四边形MPNQ 的面积S ＝12|PQ |·|MN |＝38465. (ⅱ)当点P 的坐标为(0，－3)时， 由椭圆的对称性，得四边形MPNQ 的面积为38465. 综上，四边形MPNQ 的面积为38465. 2．(2018·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >1)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，⊙F 2：(x －c )2＋y 2＝1与该椭圆有且只有一个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (4c,0)的直线与⊙F 2相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，求证：F 2A ⊥F 2B ；(3)过点P (4c,0)的直线l 与⊙F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >1)相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，试探究kF 2A ，kF 2B 的数量关系．(1)解 ∵⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，∴公共点为(a,0)或(－a,0)，若公共点为(－a,0)，则a ＋c ＝1， 又c a ＝12， 解得a ＝23<1，与a >1矛盾，故公共点为(a,0)． ∴a －c ＝1，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，c ＝1. 反之，当c ＝1时，联立⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0，满足条件．∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ∵P (4,0)，设过P (4,0)的直线l 的方程为x ＝my ＋4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋4，x 24＋y 23＝1， 得(4＋3m 2)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ＝576m 2－144(4＋3m 2)>0，得m 2>4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－24m 4＋3m 2，y 1y 2＝364＋3m 2， 又F 2(1,0)，∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(1＋m 2)y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＝36(1＋m 2)4＋3m 2－72m 24＋3m 2＋9＝72－9m 24＋3m 2. 由l ：x ＝my ＋4与⊙F 2：(x －1)2＋y 2＝1相切得m 2＝8，满足m 2>4，∴F 2A →·F 2B →＝0，即F 2A ⊥F 2B .(3)解 猜想：2F A k ＋2F B k ＝0.证明如下：由(2)得2F A k ＋2F B k ＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1 ＝2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9. ∵2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2m ×364＋3m 2－72m 4＋3m 2＝0， ∴2F A k ＋2F B k ＝0.3．(2018·成都模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b＝1的左、右焦点．若P 是该椭圆上的一个动点，PF 1→·PF 2→的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x ＝ky －1与椭圆E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解 (1)由题意得a ＝2，c ＝4－b ，b <4，∴F 1(－4－b ，0)，F 2(4－b ，0)．设P (x ，y )，则PF 1→＝(－4－b －x ，－y )，PF 2→＝(4－b －x ，－y )，即PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－(4－b )＝x 2＋b －bx 24－4＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 4x 2＋2b －4， ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时， PF 1→·PF 2→有最大值1，即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 4×4＋2b －4，解得b ＝1， 故所求的椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 2＝1消去x ， 整理得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0， 显然Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16k 2＋48>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，故y 1＋y 2＝2k k 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4. ∴经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1， 令y ＝0，则x ＝x 2－x 1y 1＋y 2y 1＋x 1 ＝(x 2－x 1)y 1＋(y 1＋y 2)x 1y 1＋y 2 ＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2，又x 1＝ky 1－1，x 2＝ky 2－1，∴x ＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2 ＝(ky 2－1)y 1＋(ky 1－1)y 2y 1＋y 2 ＝2ky 1y 2－(y 1＋y 2)2kk 2＋4 ＝－6k k 2＋4－2k k 2＋42kk 2＋4＝－4， 即当x ＝－4时，y ＝0.∴直线A ′B 与x 轴交于定点(－4,0)．4．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，斜率为k (k ≠0)的直线l 经过C 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，满足OA →·OB →＝－34.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于M ，N 两点，R 为线段MN 的中点，记点R 到直线AB 的距离为d ，若d |AB |＝22，求k 的值． 解 (1)由已知，得直线l 的方程为y ＝kx ＋p2， 设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2， 得x 2－2pkx －p 2＝0，(*) x 1x 2＝－p 2，y 1y 2＝x 212p ·x 222p ＝p 24， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝－p 2＋p 24＝－3p 24， 由已知得－3p 24＝－34，即p ＝1，∴抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)知，p ＝1，C ：x 2＝2y ，l ：y ＝kx ＋12， 方程(*)即：x 2－2kx －1＝0， x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－1.设AB 的中点为D (x 0，y 0)，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝k ， y 0＝kx 0＋12＝k 2＋12，∴AB 的垂直平分线MN 的方程为 y －⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋12＝－1k (x －k )， 即1k x ＋y －k 2－32＝0. 将直线MN 的方程与C ：x 2＝2y 联立，得x 2＋2kx －2k 2－3＝0，(**) 设M ()x 3，y 3，N ()x 4，y 4，则R ⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42，y 3＋y 42， ∴x 3＋x 42＝－1k， y 3＋y 42＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42＋k 2＋ 32＝1k 2＋k 2＋32， R 点到直线AB ：kx －y ＋12＝0的距离d ＝k 2＋1k 2＋2k 2＋1，|AB |＝k 2＋1||x 1－x 2 ＝k 2＋1()x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝k 2＋14k 2＋4＝2()1＋k 2，所以d |AB |＝k 2＋1k2＋2k 2＋12()1＋k 2＝k 2＋12k 2，由已知得k 2＋12k 2＝22，即得k ＝±1. 把k ＝±1代入验证知(*)与(**)式的判别式都大于零．5．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，O 为坐标原点．(1)求直线ON 的斜率k ON ；(2)求证：对于椭圆C 上的任意一点M ，都存在θ∈[0,2π)，使得OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．(1)解 设椭圆的焦距为2c ，因为ca ＝63， 所以a 2－b 2a 2＝23， 故有a 2＝3b 2.从而椭圆C 的方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2，①右焦点F 的坐标为(2b,0)， 据题意有AB 所在的直线方程为y ＝x －2b .②由①②得，4x 2－62bx ＋3b 2＝0， Δ＝72b 2－4×4×3b 2＝24b 2>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点为N (x 0，y 0)，由根与系数的关系得，x 0＝x 1＋x 22＝32b 4，y 0＝x 0－2b ＝－2b 4. 所以k ON ＝y 0x 0＝－13. (2)证明 显然OA →与OB →可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM →＝λOA →＋μOB →成立．设M (x ，y )，由(1)中各点的坐标有(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，故x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2.又因为点M 在椭圆C 上，所以有(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，整理可得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.③ 由(1)可知，x 1＋x 2＝32b 2，x 1·x 2＝3b 24， 所以x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－2b )(x 2－2b ) ＝4x 1x 2－32b (x 1＋x 2)＋6b 2＝3b 2－9b 2＋6b 2＝0.④又点A ，B 在椭圆C 上，故有(x 21＋3y 21)＝3b 2，(x 22＋3y 22)＝3b 2.⑤将④⑤代入③可得，λ2＋μ2＝1.所以对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式OM →＝λOA →＋μOB →成立，且λ2＋μ2＝1.所以存在θ∈[0,2π)，使得λ＝cos θ，μ＝sin θ. 即对于椭圆C 上任意一点M ，总存在θ∈[0,2π)，使得等式OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．。
【解答题专题突破训练】圆锥曲线本练：共2页，10道题 训练用时： 120分钟1、设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点()()4,0,0,2A B ，且与椭圆C 相切于点P .（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()4,0A 的直线m 与椭圆C 相交于不同两点,M N ，使得23635AP AM AN =⋅成立？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．2、已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>： 离心率等于12，()()2233,,Q P -，是椭圆上的两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.3、已知椭圆()2210C a b a b +=>>：的离心率为3，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为2.（1）求椭圆C 的方程; （2）设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 于,A B 两点(O 为坐标原点)，3cos OA OAB ∠的最大值.4、已知点)3,0F是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点,点13,2M ⎫⎪⎭ 在椭圆 C 上.（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12OA OB k k +=- ( O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.5、已知椭圆()22:10C a b a b+=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于,M N 两点，OMN ∆（O 为坐标原点）的面积为22． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）12,F F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点(),0M m （m 为常数，且()0,2m ∈）的直线与椭圆C 交于,A B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q .（1）求椭圆C 的标准方程．（2）试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率32e =，左顶点M 到直线1x ya b+=的距离455d =，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 与椭圆C 相交于,A B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：O 到直线AB 的距离为定值.8、已知ABC ∆中，(1,0)B -，(1,0)C ，4AB =，点P 在AB 上，且BAC PCA ∠=∠. （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）若31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点C 的直线与E 交于,M N 两点，与直线4x =交于点K ，记,,QM QN QK 的斜率分别为123,,k k k ，求证：1323k k k k --为定值.9、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右焦点F 的坐标为()2,0，且点()2,2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点（直线不与x 轴垂直），已知点A 与点P 关于x 轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标．10、已知点()10F -，，直线4l x =-：，P 为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点1F 作直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于,A B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围.（O 为坐标原点）【解答题·巩固练】圆锥曲线（参考答案）1、【答案】：（1）22143x y +=；（2）)244y x =±-.【解析】：（1）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12c a =，所以2a c =，3b c =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=,由2222240,{1,43x y x y c c+-=+=消去x 得，224121230y y c -+-=. 又因为直线l 与椭圆C 相切，所以()22=12441230c∆-⨯-=，解得21c=．所以椭圆方程为22143x y +=.（2）已知直线m 的斜率存在，设直线m 的方程为()4y k x =-.由()224,{1,43y k x x y =-+=消去y ，整理得()2222343264120k xk x k +-+-=.由题意知()()()22223243464120k k k ∆=-+->，解得1122k -<<设()11,M x y ，()22,N x y ，，则21223234k x x k +=+2122641234k x x k -=+. 又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切，由22240,{1,43x y x y+-=+=解得31,2x y ==，所以3(1,)2P 则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=. 又22221122(4)(4)AM AN x y x y ⋅=-+-+2222221122(4)(4)(4)(4)x k x x k x =-+--+-212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k-=+-⨯+++ 2236(1).34k k =++所以223681(1)347k k +=+，解得24k =±.经检验成立. 所以直线m 的方程为2(4)4y x =±-. 2、【答案】：（1）2211612x y +=；（2）定点12. 【解析】：（1）由题意可得2222212491c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝4，b 23=，c ＝2．∴椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当∠APQ ＝∠BPQ ，则P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ， 则PB 的斜率为﹣k ，直线P A 的直线方程为y ﹣3＝k （x ﹣2），联立()222311612y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，得（3+4k 2）x 2+8k （3﹣2k ）x +4（3﹣2k ）2﹣48＝0．∴()12823234k k x k -+=+．同理直线PB 的直线方程为y ﹣3＝﹣k （x ﹣2），可得()()22282382323434k k k k x kk---++==++．∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k --=+， ()()()12121212121223234AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--===---2221612413448234k k k k k k-⋅-+==-+，∴AB 的斜率为定值12．3、【答案】：（1）2213x y +=；（2）2. 【解析】：（1）由题设：6c a =， 两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为22bc =，故，解得223,1a b ==∴椭圆C 的方程为2213x y +=（2）设()()1122,x ,A x y B y 、 1.当AB ⊥x 轴时，3AB =2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+由已知231m k =+，得()22314m k =+ 设三角形OAB 的高为h 即圆的半径,直线和圆的切点为M 点，根据几何关系得到：3cos OA OAB ∠+=||||tan h AM AM BM AB OBA +=+=， 把y kx m =+代入椭圆方程消去y ，整理得()222316330k x kmx m +++-=,有()2121222316,3131m km x x x x k k --+==++，得：当且仅当2219,k k =，即33k =±时等号成立. 当0k =时，3AB =综上所述max max3cos 2OA OAB AB ⎛∠== ⎝⎭. 4、【答案】：（1）2214x y +=（2）()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】：（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()3,0，所以点M ()221123422⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以2a =. 又因为3c =，所以1b =，则椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0OA OB k k +=，不符合题意. 故设l 直线的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222418410k x kmx m +++-=.所以()12221228,4141,41km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩而()()()()212211212221212128222141OA OBkx m x kx m x m x x y y km kk k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--， 由12OA OB k k +=-，可得241m k =+. 所以14k ≥-，又因为()2216410k m -+>，所以2440k k ->. 综上，()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 5、【答案】：（1）22184x y +=；（2）42【解析】：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，可设()M x x ，(,)N x x ，∵OMN ∆的面积为22x =2x =，∴2)M ，(2,2)N ，由已知得2222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22a =2b =，2c =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取2)A ，(2,2)B ，(2,2)C -， 故1224422ABC ∆=⨯=； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>，2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+， ()()221212||14AB k x x x x ⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦()222222888142121k k k k k ⎡⎤⎛⎫-=+⋅-⋅⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦221221k k +=+， 点O 到直线20kx y k --=的距离2211d k k ==++，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为221d k =+，∴1||22ABCS AB d ∆=⋅22211422211k k k ⎛⎫+=⋅ ⎪++⎝⎭()()22221221k k k +=+ ∵()()()()22222222211211k k k k k k k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k k k k +=+，又221k k ≠+，所以等号不成立. ∴()()2222182221ABC k k S k∆+=+综上，ABC ∆面积的最大值为26、【答案】：（1）2212x y +=；（2）是，定点()22,0m -. 【解析】：（1）由题意，得2c 2e a 2a c 1c ⎧==⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为22x ＋y 2＝1.（2）由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意，所以可设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －m )．又准线方程为x ＝2，所以点P 的坐标为P (2，k (2－m ))．由22()22y k x m x y =-⎧⎨+=⎩得，x 2＋2k 2(x －m )2＝2，即(1＋2k 2)x 2－4k 2mx ＋2k 2m 2－2＝0， 所以x A ＋x B ＝22421k m k +，则x D ＝12·22421k m k +＝22221k mk +，y D ＝k 22221k m m k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝－2km 2k 1+，所以k OD ＝－12k， 从而直线OD 的方程为y ＝－12kx (也可用点差法求解)， 所以点Q 的坐标为Q 12,k ⎛⎫-⎪⎝⎭. 所以以P ，Q 为直径的圆的方程为(x －2)2＋1y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（y-k (2－m )）＝0， 即x 2－4x ＋2＋m ＋y 2-[ k (2－m )-1k]y ＝0. 因为该式对∀k ≠0恒成立，令y ＝0，得x ＝2±2m - 所以，以PQ 为直径的圆经过定点(22,0)m ±-.7、【答案】：（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】：（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率3e =∴32c e a ==，∴32c a =，∵2222223144b a c a a a =-=-=，∴12b a =，即2a b =， ∵椭圆C 的左顶点(),0M a -到直线1x y a b +=，即到0bx ay ab +-=的距离455d =， 222245b a ab a b a b --==++ 把2a b =4545b =，解得：1b =，∴22a b ==，3c = ∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的性质可得：12x x =，12y y =-， ∵当直线AB 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴•0OA OB =，即12120x x y y +=，也就是22110x y -=，又∵点A 在椭圆C 上， ∴221114x y +=，∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，且AB 平行于y 轴，∴11x y =，∴221114x x +=，解得：125x =此时点O 到直线AB 的距离1125d x ==②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立有2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222148440k x kmx m +++-= ∴122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+，同理：2214y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，得222222440y my m k y k-++-=，即()222241240k y my m k+-+-=，∴22122441m ky yk-=+∵AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA OB⊥，∴1212·0OAOB x x y y=+=∴222224441441m m kk k--+=++，∴()222444m m k-=--，∴22445k m+=∴点O到直线:AB y kx m=+的距离22222551445dk k m====++综上所述，点O到直线AB的距离为定值255.8、【答案】：（1）()221243x yx+=≠±；（2）见解析.【解析】：（1）如图三角形ACP中，BAC PCA∠=∠，所以PA PC=，所以4PB PC PB PA AB+=+==，所以点P的轨迹是以B，C为焦点，长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），所以点P的轨迹E的方程为()221243x yx+=≠±.注：答轨迹为椭圆，但方程错，给3分；不答轨迹，直接写出正确方程，得4分（2x≠±未写出，这次不另外扣分）.（2）如图，设()11,M x y，()22,N x y，可设直线MN方程为()1y k x=-，则()4,3K k，由()221,431,x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()()22224384120k x k x k+-+-=，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， ()()1111113313221121y k x k k x x x ---===----，()22321k k x =--，33312412k k k -==--， ()13113221k k x -=--，()23213221k k x -=--， ()()()()121323121212231131121121x x k k k k x x x x x x +-⎛⎫-+-=-+=-⋅⎪---++⎝⎭22222282343104128214343k k k k k k -+=-⋅=--+++， 所以13231k k k k -=--为定值.9、【答案】：（1）22184x y +=，2e =；（2）答案见解析.【解析】：（1）由已知得22222421{ 2a ba b c c +==+=，解得228{ 4a b ==， ∴椭圆C 的标准方程22184x y +=，∴椭圆C 的离心率2222c e a ===. （2）设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -， 可设PB 的直线方程为y kx m =+，联立方程22{ 184y kx mx y =++=，整理得()222214280k x kmx m +++-=， ∴2121222428,2121km m x x x x k k --+==++， AF FB k k =，∴121222y y x x =--，整理得，()()1212240kx x m k x x m +-+-=， ∴()2222842402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++，解得4m k =-，∴PB 的直线方程为：()44y kx k k x =-=-， 直线PB 恒过定点()4,0.10、【答案】：（1）22143x y +=；（2）30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】：（1）设动点()P x y ，，则()4H y -， 由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2214PF PM ∴=，即2214PF PM = ()2221144x y x ∴++=+，化简得22143x y +=.（2）由(1)知轨迹C 的方程为22143x y +=，当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1322DAB S AB OF ∆∴=⋅= 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为1x my =- ()0m ≠，设()11,A x y ()22,B x y由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my +--=.则21441440m ∆=+>，122634m y y m +=+，122934y y m -=+， 11212OABS OF y y ∆=⋅-()212121142y y y y =⨯+-()22221363623434m m m=+++()2221634m m+=+令21(1)m t t +=>，则()2631OAB tS t ∆==+ 216196196t t t t t=++++令()196f t t t =++，则()21'9f t t =-，当1t >时，()'0f t >，()196f t t t∴=++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f ∴>=，13162OAB S ∆∴<= 综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
压轴大题突破练——直线与圆锥曲线（一)1． 已知椭圆G ：x 2a 2＋错误!＝1 (a 〉b 〉0)的离心率为错误!，右焦点为(2错误!，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；（2)求△PAB 的面积．解 (1)由已知得c ＝2错误!，错误!＝错误!。
解得a ＝2错误!，又b 2＝a 2－c 2＝4。
所以椭圆G 的方程为错误!＋错误!＝1。
（2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m 。
由错误!，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0。
①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2) (x 1〈x 2)，AB 中点为E （x 0，y 0）,则x 0＝错误!＝－错误!，y 0＝x 0＋m ＝错误!；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝错误!＝－1。
解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0。
解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB ｜＝3错误!.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝错误!＝错误!，所以△PAB 的面积S ＝错误!｜AB ｜·d ＝错误!.2． 已知椭圆的一个顶点为A (0,－1）,焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋2错误!＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;（2）设直线y ＝kx ＋m (k ≠0）与椭圆相交于不同的两点M ,N 。
当|AM |＝｜AN |时，求m 的取值范围．解 （1）依题意可设椭圆方程为错误!＋y 2＝1，则右焦点F （a 2－1，0），由题设错误!＝3，解得a2＝3。
故所求椭圆的方程为错误!＋y2＝1.(2)设P(x P，y P)，M（x M，y M)，N(x N，y N)，P为弦MN的中点，由错误!得(3k2＋1）x2＋6mkx＋3(m2－1）＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝（6mk）2－4（3k2＋1)×3(m2－1)>0⇒m2〈3k2＋1。
压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。
2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与椭圆C交于另一点B.设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=2.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--.从而--,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.5.解(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0, -∴2x1=--.∴x1=--.同理,x2=-.∴x1-x2=-.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-.∵A在第四象限,∴k≠0 且A不在直线OP上,∴k AB=-.-又k OP=,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=.设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----.所以AB=|x1-x2|=.所以△MAB的面积为.所以.即·|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±.此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±.。
姓名：________ 班级：________ 学号：________高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1.已知B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 是椭圆右焦点，且BF ⊥x 轴，B ⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆E 的方程；(2)设A 1和A 2是长轴的两个端点，直线l 垂直于A 1A 2的延长线于点D ，|OD |＝4，P 是l 上异于点D 的任意一点．直线A 1P 交椭圆E 于M (不同于A 1，A 2)，设λ＝A 2M →·A 2P →，求λ的取值范围．2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p 2(p >0)．若抛物线C ：y 2＝2px 上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以抛物线C 上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使点Q 在以MN 为直径的圆上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)过点(10,0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线y ＝x －1上，求l 的方程．4．(2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案精析高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1．解 (1)依题意得半焦距c ＝1，设左焦点为F ′，∴|FF ′|＝2c ＝2，又∵|BF |＝32，BF ⊥x 轴， ∴在Rt △BFF ′中，|BF ′|＝BF 2＋FF ′2＝52， ∵2a ＝|BF |＋|BF ′|＝4，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)．设M (x 0，y 0)．∵M 在椭圆E 上，∴y 20＝34(4－x 20)． 由P ，M ，A 1三点共线可得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2. ∴A 2M →＝(x 0－2，y 0)，A 2P →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2. ∴A 2M →·A 2P →＝2(x 0－2)＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)， ∵－2<x 0<2，∴λ＝A 2M →·A 2P →∈(0,10)．2．解 (1)当直线l 1与抛物线无公共点时，由题意知l 2为抛物线C 的准线，抛物线焦点坐标为F (p 2，0)． 由抛物线定义知，抛物线C 上的点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离， 所以抛物线C 上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值转化为焦点F 到直线l 1的距离，所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2. 当直线l 1与抛物线C 有公共点时，联立⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋6＝0，y 2＝2px ，消去x ，得2y 2－3py ＋6p ＝0，由Δ1＝9p 2－48p ≥0且p >0，得p ≥163. 此时抛物线上的点到直线l 2的最短距离为p 2≥83>2，不满足题意． 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0.由Δ2＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0， 所以直线l 的方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)， 令x ＝－1，由y 20＝4x 0，得N (－1，y 20－42y 0)． 设Q (x 1,0)，则QM →＝(x 0－x 1，y 0)，QN →＝(－1－x 1，y 20－42y 0)， 由题意知QM →·QN →＝0，即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0， 把y 20＝4x 0代入上式，得(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0. 因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0， 解得x 1＝1.所以在x 轴上存在定点Q (1,0)，使点Q 在以MN 为直径的圆上．3．解 (1)由椭圆过点(0,4)，知b ＝4.又e ＝c a ＝35，所以a 2－42a 2＝925， 解得a ＝5.所以C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (a ，a －1)，则x 2125＋y 2116＝1，x 2225＋y 2216＝1. 两式相减并变形，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)25＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0， 因为x 1＋x 2＝2a ，y 1＋y 2＝2(a －1)，y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝a －1a －10， 所以2a 25＋2(a －1)16·a －1a －10＝0. 解得a ＝541或a ＝5. 当a ＝5时，点M (5,4)在椭圆外部，不符合要求，所以k AB ＝541－1541－10＝445. 故直线l 的方程为y ＝445(x －10)，即4x －45y －40＝0. 4．解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎨⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1， 即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1，或y 0＝2，所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0,2)，下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |，当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k ， 易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)，又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1， 所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |， 故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．。
(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·烟台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点⎝⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A (－2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点(点P 在点Q 的上方)，l 2与椭圆交于M ，N 两点(点M 在点N 的上方)，若直线l 1的斜率为－17，S △MAP ＝2534S △NAQ ，求直线l 2的斜率．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2＋34b 2＝1，2b 2a ＝13，解得a ＝6，b ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 236＋y 2＝1. (2)由题设可知：直线l 1的方程为x ＝－7y －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 236＋y 2＝1，x ＝－7y －2，整理得85y 2＋28y －32＝0.y P ＝817，y Q ＝－45.∴|AQ ||AP |＝|y Q ||y P |＝45817＝1710. 设∠MAP ＝∠QAN ＝θ，∵S △MAP ＝2534S △NAQ ， ∴12|AM ||AP |sin θ＝2534×12|AN ||AQ |sin θ， 即|AM ||AN |＝2534×|AQ ||AP |＝2534×1710＝54. 设直线l 2的方程为x ＝my －2(m ≠0)，将x ＝my －2代入x 236＋y 2＝1， 得(m 2＋36)y 2－4my －32＝0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋36，y 1y 2＝－32m 2＋36. 又∵y 1＝－54y 2， ∴－54y 2＋y 2＝4m m 2＋36，－54y 22＝－32m 2＋36， ∴y 2＝－16m m 2＋36，y 22＝1285()m 2＋36， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－16m m 2＋362＝1285(m 2＋36)， 解得m 2＝4，∴m ＝±2，此时①式的判别式大于零．故直线l 2的斜率为±12. 2．(2018·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0， 由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6， 综上23≤t 2<6， 又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t 24， 所以S 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，2π. 3．(2018·湘潭模拟)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0是抛物线C ：x 2＝2py ⎝ ⎛⎭⎪⎫p >12上一点，且A 到C 的焦点的距离为58. (1)求抛物线C 的方程；(2)若P 是C 上一动点，且P 不在直线l ：y ＝2x ＋9y 0上，l 交C 于E ，F 两点，过P 作直线垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N .证明：|AM |2|AN |＝|EF |. (1)解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2py 0＝14，y 0＋p 2＝58，∴18p ＋p 2＝58， ∵p >12，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明 由(1)知，y 0＝18，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2y ，y ＝2x ＋98，得4x 2－16x －9＝0，解得x 1＝－12，x 2＝92， ∴|EF |＝1＋22⎪⎪⎪⎪⎪⎪92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5 5. 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22⎝⎛⎭⎪⎫m ≠－12且m ≠92， 则M 的横坐标为m ，易知A 在l 上， 则|AM |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋12. 由题意可知直线PN 的方程为y －m 22＝－12(x －m )， 与y ＝2x ＋98联立可得x N ＝15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94， 所以|AN |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94＋12 ＝55⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122， 则|AM |2|AN |＝55，故|AM |2|AN |＝|EF |. 4．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a ,0)，B (a ,0)，k 1＝ba ，k 2＝－b a，k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33. (2)由(1)知e ＝c a ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线l 的方程为x ＝my －3， 由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0， 因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c 22m 2＋3. 又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2，代入上述两式得6－6c 2＝－36m 22m 2＋3， 所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3 ＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52， 代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为2x 215＋y 25＝1. 5．(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝k (x －1)(k >0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点．(ⅰ)若MB →＝AN →，求k 的值；(ⅱ)若点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，0，求证：QA →·QB →为定值．(1)解 因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2， 又离心率为22，所以ca ＝22，即a 2＝2c 2，代入a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝c 2.又椭圆C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2， 即12×b ×2c ＝2，即bc ＝2，b 2c 2＝4，以上各式联立解得a 2＝4，b 2＝2，则椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(ⅰ)解 直线y ＝k (x －1)与x 轴交点为M (1,0)，与y 轴交点为N (0，－k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝4消去y得， (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－4)＝24k 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，又MB →＝(x 2－1，y 2)，AN →＝(－x 1，－k －y 1)，由MB →＝AN →，得x 1＋x 2＝4k21＋2k 2＝1，解得k ＝±22，由k >0，得k ＝22.(ⅱ)证明 由(ⅰ)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以QA →·QB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋k 2(x 1－1)(x 2－1)，＝(1＋k 2)2k 2－41＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－74－k 24k 21＋2k 2＋k 2＋4916，＝2k 2－4＋2k 4－4k 2－7k 2－4k 4＋k 2＋2k 41＋2k 2＋4916，＝－8k 2－41＋2k 2＋4916＝－4＋4916＝－1516，为定值， 所以QA →·QB →为定值．。
