(江苏专版)2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练(八)数列

2018年高考数学 数列 综合题专项练习一、选择题：1.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =( ) A.60 B.75 C.90 D.1052.已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，7825a a -=，则11S 为（ ） A.110 B.55 C.50 D.不能确定3.若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.)21,1[- B.[-1,1） C.[-2,1) D.)23,2[- 二、填空题：4.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a 21＋a 2=1，a 22＋a 3=1，则a 1=________.5.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 . 三、解答题：6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1＋2，S 3=9＋32. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和； (2)设b n =nS n，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.7.已知数列{a n }的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ错误！未找到引用源。

0. （1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式. （2）若53132S =，求λ.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且3S n =a n+1﹣1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设等差数列{b n }的前n 项和为T n ，a 2=b 2，T 4=1+S 3，求的值.9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式.10.已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）.（1）证明数列{a n ﹣2n}是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =，求b n 的前n 和S n .11.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+ a 2 =6, a 1a 2= a 3 （1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n 。

14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－1,0,1}∩(－∞，0)＝{－1}． 答案：{－1}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3.答案：3π35．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：当n ＝1答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得4a ＋1b －2取得最小值时，实数a ＝________.解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b －2[a ＋(b －2)]＝4＋1＋b －a ＋ab －2≥5＋2b －a·ab －2＝9，当且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立⎩⎪⎨⎪⎧b －＝a ，a ＋b ＝3，解得a ＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 29．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1＝3，且数列{S n }为等差数列， ∴2S 2＝a 1＋S 3， ∴26＋d ＝3＋9＋3d ， 即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6， ∴a 11＝3＋10×6＝63. 答案：6311．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－t,0)(t >0)，B (t,0)，点C 满足AC ―→·BC ―→＝8，且点C 到直线l ：3x －4y ＋24＝0的最小距离为95，则实数t 的值是________．解析：设C (x ，y )，则AC ―→·BC ―→＝(x ＋t ，y )·(x －t ，y )＝x 2＋y 2－t 2＝8，所以点C 的轨迹为以原点为圆心， 8＋t 2为半径的圆，故圆心到直线的距离d ＝245＝95＋8＋t 2，解得t ＝1(负值舍去)．答案：112．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：由题意知a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，① 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②由①－②可得，2b 2＋2c 2＝23bc sin A －2bc cos A ，化简得，b 2＋c 2＝3bc sin A －bc cos A ，整理得b 2＋c 2＝2bc sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，∴A ＝2π3，此时b 2＋c 2＝2bc ，故得b ＝c ，即B ＝C ，∴C ＝π6.答案：π613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12。

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高 考 感 悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1q n －1.(4)等比数列前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)．(7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n －m .(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .【 真 题 体 验 】1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.【考 点 突 破 】考点一、等差（比）的基本运算1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】( 2017·全国1 )记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

14个填空题专项强化练(五) 三角函数的图象和性质A 组——题型分类练题型一 三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域为________． 解析：由2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：2－ 33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． 答案：[－9,1]题型二 三角函数的图象1．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象，则φ＝________.解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ＝π3. 答案：π32.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________________．解析：由题图可知，A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2πT＝2.又当x ＝π12时，f (x )取得最大值1，∴1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，∴π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z.又|φ|<π2，∴φ＝π3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π33．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是____________．解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝2k π＋π6或x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝2k π－π6或x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π2或11π6，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12 的交点的个数是2. 答案：24．将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ＝______________.解析：将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数为f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ＋π4，即f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π4.因为所得函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π8＋k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8. 答案：π8题型三 三角函数的性质1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的最小正周期为________． 解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：2π32．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________． 解析：由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6是与y 轴最近的对称轴．答案：x ＝－π63．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin(2×0＋φ)＝3， ∴sin φ＝32. 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z.∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，π12≤x ≤7π12，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π124．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，即sin φ3＝±1，所以φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．所以φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．因为φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.答案：3π25．若函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是________．解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6， 由f (x )的最小正周期是π，且ω>0， 可得2π2ω＝π，ω＝1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是－1. 答案：－1B 组——高考提速练1．函数y ＝12sin x －1的定义域是________．解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠12，故x ≠π6＋2k π(k ∈Z)且x ≠5π6＋2k π(k ∈Z)，即x ≠(－1)k·π6＋k π(k ∈Z)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1k·π6＋k π，k ∈Z 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递增区间为________．解析：由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________． 解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]． 答案：[－1,1]4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象可知，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝⎛⎭⎪⎫－2π3＝π3，则T ＝2π3.因为T ＝2πω＝2π3，所以ω＝3.答案：35．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴的交点坐标是______．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于________．解析：将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后，所得函数为y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3.因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，所以kT ＝2π3，k ∈N *，即2k πω＝2π3，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3. 答案：37．已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________．解析：f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，∵f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0， ∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，k ∈Z ， ∵ω∈(0,1)，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π38．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 答案：π69.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为______________．解析：由题意可知，T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，而φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π610．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为________．解析：由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，得φ＝－π12.答案：－π1211.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则∠APB ＝________.解析：由题意知T ＝2，作PD ⊥x 轴， 垂足为D ，则PD ＝1，AD ＝12，BD ＝32，设α＝∠APD ，β＝∠BPD ，则tan α＝12，tan β＝32，∠APB ＝α＋β，故tan ∠APB ＝12＋321－12×32＝8.答案：812．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x <π，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，7π3，由f (x )＝12，得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6.答案：7π613．已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或cos x ＝12，则x ＝0或π或π3，不妨设A (0,0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则△ABC 的面积为12×π×32＝3π4. 答案：3π414．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是______________． 解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 所以π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)， 可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， 即sin φ<0，所以φ＝2k π＋7π6，k ∈Z ，代入f (x )＝sin(2x ＋φ)， 得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6， 由2k π－π2≤2x ＋7π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π6≤x ≤k π－π3，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π6，k π－π3(k ∈Z)。

14个填空题专项强化练(六) 三角恒等变换与解三角形A 组——题型分类练题型一 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．sin 240°＝________.解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：－322．已知cos α＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________.解析：因为cos α＝－513，角α是第二象限角，所以sin α＝1213，所以tan α＝－125，故tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案：1253．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ－2cos θ＝－25，且θ为第三象限角，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2425，cos θ＝－725，故sin θ＋cos θ＝－3125.答案：－3125题型二 三角恒等变换1．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α＝________.解析：因为1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.答案：－432．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________． 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：43－3103．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________． 解析：因为f (x )＝2tan x ＋1－2sin2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.答案：84．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6的值是________． 解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233， 得32cos α－32sin α＝233， 即－⎝⎛⎭⎪⎫32sin α－12cos α＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23. 答案：235．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，则tan(2α＋β)的值为________． 解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－725， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－247.又2α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， 所以tan(2α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝－247＋131＋247×13＝－139.答案：－139题型三 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：12．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC 的长是________． 解析：因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以33＝12×3×4×sin A ，所以sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝60°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，解得BC ＝13.答案：133．已知在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝2，角B 的平分线BD ＝3，则BC ＝________. 解析：在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB ·sin A BD ＝22，∴∠ADB ＝45°， ∴∠ABD ＝15°，∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝30°， ∴AC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由余弦定理得BC ＝ AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝ 6.答案： 64．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则abc2的最大值为________．解析：由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ， 即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos Csin C，∴B ＋A sin A sin B ＝cos Csin C，即sin C sin A sin B ＝cos Csin C，∴sin 2C ＝sin A sin B cos C . 根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab，整理得a 2＋b 2＝3c 2.∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32，当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：32B 组——高考提速练1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 32．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于________．解析：由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－α－β1＋tan 2αα－β＝－2.答案：－23．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－254．若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：由tan β＝2tan α得，2sin αcos β＝cos αsin β，所以2sin αcos β＝23，所以sin αcos β＝13， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13.答案：－135．若tan 2α＋1cos 2α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：由tan 2α＋1cos 2α＝3，得2tan α1－tan 2α＋1＋tan 2α1－tan 2α＝3，解得tan α＝12.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－13.答案：－136．已知sin(α－45°)＝－210，且0°<α<90°，则cos 2α的值为________． 解析：∵sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°， ∴－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝7210，∴cos 2α＝－sin(2α－90°)＝－2sin(α－45°)cos(α－45°)＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×7210＝725. 答案：7257.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.解析：设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22·AB ·AD ＝13，所以sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66. 答案：668．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高的长度为________． 解析：设AB ＝x ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，知7＝x 2＋4－2x ，即x 2－2x －3＝0，所以x ＝3(负值舍去)．所以BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 答案：3329．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则 sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝2＋31＋2×3＝57. 答案：5710.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．解析：原式＝－－sin 20°sin 70°＝＋－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案： 311．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104. 答案：15210412．已知sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan β，且α－β＝π3，则m ＝________.解析：由题意得sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan α－m1＋m tan α＝tan β，又α－β＝π3，所以tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan α－31＋3tan α， 所以tan α－m 1＋m tan α＝tan α－31＋3tan α，所以m ＝ 3.答案： 313．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．解析：因为α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则cos(α＋β)sin β＝sin α＝sin[(α＋β)－β]，即cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 转化为tan(α＋β)＝2tan β，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan β，则2tan αtan 2β－tan β＋tan α＝0， 所以Δ≥0，且两根x 1，x 2均大于0. 即x 1＋x 2＞0.x 1x 2＞0，即1－8tan 2α≥0，tan α＞0，解得0<tan α≤24. 则tan α的最大值为24. 答案：2414．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是________．解析：由余弦定理得b 2－a 2＝(a 2＋c 2－2ac cos B )－(b 2＋c 2－2bc cos A )＝a 2－b 2＋2c (b cos A －a cos B )，即b 2－a 2＝c (b cos A －a cos B )＝ac ⇒b cos A －a cos B ＝a ⇒sin(B －A )＝sin A ⇒B ＝2A .又△ABC 为锐角三角形，所以π3<B <π2.则1tan A －1tan B ＝B －A sin A sin B＝1sin B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，233。

14个填空题专项强化练(八)数列A组——题型分类练题型一等差、等比数列的基本运算1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2＝7，S7＝－7，则a7的值为________．a4－a2解析：因为等差数列{a n}满足a2＝7，S7＝－7，所以S7＝7a4＝－7，a4＝－1，所以d＝4－2 ＝－4，所以a7＝a2＋5d＝－13.答案：－1312．设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{a n}8的前4项和为________．解析：设等比数列{a n}的公比为q，因为a2，a4，a3成等差数列，所以2a4＝a2＋a3，所以12a2q2＝a2＋a2q，即2q2－q－1＝0，又q≠1，解得q＝－.21 1因为a1a2a3＝－，所以a q3＝－，解得a1＝1.138 811－(－2 )45则数列{a n}的前4项和S4＝＝.1 81－(－2 )5答案：83．已知等差数列{c n}的首项为c1＝1.若{2c n＋3}为等比数列，则c2 017＝________.解析：设等差数列{c n}的公差为d，由题意得(2c2＋3)2＝(2c1＋3)(2c3＋3)，即(2＋2d＋3)2＝(2＋3)(2＋4d＋3)⇒d＝0，因此c2 017＝c1＝1.答案：154．已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a4＝a，a2＋a4＝，则a5＝________.216解析：法一：设等比数列{a n}的首项为a1(a1>0)，公比为q(q>0)，由题意Error!解得Error!1所以a5＝a1q4＝.32法二：(整体思想)依题意由Error!得16a＋16a2－5＝0，即(4a2＋5)(4a2－1)＝0，又等比21 1 a4 1 1数列{a n}各项均为正数，所以a2＝，从而a4＝，从而由q2＝＝，又q>0，所以q＝，a54 16 a2 4 21 1 1＝a4q＝×＝.16 2 3211答案：32题型二等差、等比数列的性质1．设{a n}是等差数列，若a4＋a5＋a6＝21，则S9＝________.解析：因为{a n}是等差数列，a4＋a5＋a6＝21，所以a4＋a5＋a6＝3a5＝21，解得a5＝7，所9以S9＝(a1＋a9)＝9a5＝63.2答案：63S4 S62．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若＝3，则＝________.S2 S4解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{a n}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S6 7k7S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.S4 3k 37答案：33．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50.答案：504．已知数列{a n}是等差数列，且a n>0，若a1＋a2＋…＋a100＝500，则a50·a51的最大值为________．解析：法一：设等差数列{a n}的公差为d(d≥0)，由题意得，100a1＋4 950d＝500，所以a1＝5－49.5d，所以a50·a51＝(a1＋49d)·(a1＋50d)＝(5－0.5d)·(5＋0.5d)＝－0.25d2＋25.又d≥0，所以当d＝0时，a50·a51有最大值25.法二：由等差数列的性质知，50(a50＋a51)＝500，即a50＋a51＝10，所以由基本不等式得a50＋a51a50·a51≤( 2 )2＝25，当且仅当a50＝a51＝5时取等号，所以a50·a51有最大值25.答案：25A n7n＋45 a n5．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，若＝，则使得为B n n＋3 b n整数的正整数n的个数是________．a n A2n－1 72n－1＋45 7n＋19解析：由＝＝＝b n B2n－1 2n－1＋3 n＋17n＋1＋12 12 a n＝＝7＋.因此n∈N*，∈N*，n＋1 n＋1 b n2故 n ＋1＝2,3,4,6,12，即 n 共有 5个． 答案：5题型三 数列的综合问题3 11．已知等比数列{a n }的前 4项和为 5，且 4a 1， a 2，a 2成等差数列，若 b n ＝ ，2 log 23a n ＋1 则数列{b n b n ＋1}的前 10项和为________．3 解 析：由 4a 1， a 2，a 2成等差数列，可得 4a 1＋a 2＝3a 2，则 2a 1＝a 2，则等比数列{a n }的公2 a 2 a 11－241 1比 q ＝ ＝2，则数列{a n }的前 4项和为 ＝5，解得 a 1＝ ，所以 a n ＝ ×2n －1，b n ＝a 1 1－23 3111 1111 11 1 ＝ ，则 b n b n ＋1＝＝ －n ＋1，其前 10项和为(1－＋ ＋…＋11)2) (－3 )( －log 23a n ＋1n n n ＋1 n21010＝ . 1110 答案： 112．对于数列{a n }，定义数列{b n }满 足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且 b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝ 1，a 4＝－1，则 a 1＝________.解 析：由 a 3＝1，a 4＝－1及 b n ＝a n ＋1－a n 得 b 3＝a 4－a 3＝－2，又由 b n ＋1－b n ＝1得数列{b n } 是等差数列，b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n －5，所以 a n ＋1－a n ＝n －5，从而得 a 3－a 2＝－3⇒a 2＝4，a 2－a 1＝－4⇒a 1＝8.答案：83．在等差数列{a n }中，首项 a 1＝3，公差 d ＝2，若某学生对其中连续 10项进行求和，在 漏掉一项的前提下，求得余下 9项的和为 185，则此连续 10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式 a n ＝2n ＋1，设连续 10项为 a i ＋1，a i ＋2，a i ＋a i ＋1＋a i ＋10 × 103，…，a i ＋10，i ∈N ，设漏掉的一项为 a i ＋k,1≤k ≤10，由－a i ＋k ＝185，2得(2i ＋3＋2i ＋21)×5－2i －2k －1＝185，即 18i －2k ＝66，即 9i －k ＝33，所以 34≤9i ＝k ＋ 34 4333≤43,3< ≤i ≤ <5，所以 i ＝4，此时，由 36＝33＋k 得 k ＝3，所以 a i ＋k ＝a 7＝15，故此9 9 连续 10项的和为 200.答案：200B 组——高考提速练1．设 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，若 a 2＝1，a 4＝5，则 S 5＝________.解析：法一：由等差数列的通项公式，得 5＝1＋2d ，则 d ＝2，a 1＝－1，S 5＝5×(－1)＋ 5 × 4×2＝15. 235a1＋a55a2＋a4 5 × 6 法二：S5＝＝＝＝15.2 2 2答案：152．在数列{a n}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，a n－a n－1＝3，则a n＝________.解析：由定义知{ a n}是以3为首项，以3为公差的等差数列，故a n＝3n，即a n＝3n2.答案：3n2S n 3．等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，其前n项的和为S n，则数列{n}的前10项的和为________．n a1＋a n S n S1 S2 S10解析：因为a1＝3，S n＝＝n(n＋2)，所以＝n＋2，故＋＋…＋＝(1＋2 n 1 2 1010 ×1＋102)＋(2＋2)＋…＋(10＋2)＝＋2×10＝75.2答案：754．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为________．解析：设等差数列{a n}的公差为d，则由Error!得Error!即Error!解得d＝4.答案：4535．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＝3，S3＋S4＝，则a3＝________.3解析：因为等比数列{a n}的公比q＝3，1 1 53 53所以S3＋S4＝2S3＋a4＝2(1＋＋9)a3＋3a3＝a3＝，所以a3＝3.3 9 3答案：36．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n.若S3＝a2，且S1，S2，S4成等比数列，则a10＝________.解析：设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，由S3＝a得3a2＝a，解得a2＝0或a2＝3.又由2 2S1，S2，S4成等比数列可得S＝S1S4.若a2＝0，则S1＝S2＝a1≠0，S2＝S4＝a1，a2＋a3＋a4＝3a32＝0，a3＝0，则d＝0，故a2＝0舍去；若a2＝3，则S1＝3－d，S2＝6－d，S4＝12＋2d，有(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)(d≠0)，得d＝2，此时a10＝a2＋8d＝19.答案：197．在等差数列{a n}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，S n是数列{a n}的前n项和，若S n取得最大值，则n＝________.解析：因为3a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，433所以a1＝－d>0，所以d<0，4d所以a n＝a1＋(n－1)d＝(4n－37)，4当n≤9时，a n>0，当n≥10时，a n<0，所以使S n取得最大值的n＝9.答案：98．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公a11－27比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.1－2答案：39．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.故“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充要条件．答案：充要10．已知在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n＝2a n＋2－a n＋1，则数列{a n}的通项公式为________________．a n＋2－a n＋1 1解析：因为a n＝2a n＋2－a n＋1，所以a n－a n＋1＝2(a n＋2－a n＋1)，即＝－，又a1＝a n＋1－a n 211，a2＝2，所以a2－a1＝1，所以数列{a n＋1－a n}是首项为1，公比为－的等比数列，所以a n＝211－(－2 )n－15 1 1(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋1＝＋3×(－2 )n－2.1 31－(－2 )5 1 1答案：a n＝＋3×(－2 )n－23S2m a2m5m＋1 11．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列S m a m m－1{a n}的公比为________．S2m S2m 解析：设数列{a n}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝S m S m5a 11－q2m1－q a 11－q m1－qa2m a1q2m－1 5m＋1＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以＝＝q m＝8＝，所以m＝3，所以q3＝a m a1q m－1 m－18，所以q＝2.答案：2112．数列{a n}满足a1＝1，且a n＋1－a n＝n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的前8项和为________．解析：因为a n＋1－a n＝n＋1，所以a2－a1＝1＋1，a3－a2＝2＋1，a4－a3＝3＋1，…a n－a n－1＝(n－1)＋1，以上等式相加，得a n－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，n n＋1把a1＝1代入上式得，a n＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，21 2 1 1∴＝＝2 n＋1)，n n＋1(－a n n1∴数列{a n}的前n项的和1 1 1 1 1 1 1S n＝2(1－n＋1)＋－＋－＋…＋－2 23 34 n1 2n＝2(1－n＋1)＝，n＋11 16∴数列{a n}的前8项和为.916答案：913．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝1f(x＋y)，若a1＝，a n＝f(n)(n∈N*)，则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是________．21 解析：由已知可得a1＝f(1)＝，令x＝n，y＝1，2所以f(n)·f(1)＝f(n＋1)，f n＋1 1所以＝f(1)＝，f n 261 1所以{a n }是以 为首项， 为公比的等比数列． 2 21所以 a n ＝f (n )＝(2)n ， 1 11 1 所以 S n ＝ ＋ 2)2＋(2 )3＋…＋(2 )n 2(1 12[1－(2)n ] 1 ＝ ＝1－(2 )n .1 1－ 21 因为 n ∈N *，所以≤S n <1. 2 1答案：[，1 )214．已知数列{b n }的每一项都是正整数，且 b 1＝5，b 2＝7<b 3，数列{a n }是公差为 d (d ∈N *) 的等差数列，且有 a 7＝6，则使得数列{ab n }是等比数列的 d 的值为________．6 解 析：法 一：ab 1＝a 5＝6－2d ，ab 2＝a 7＝6，易知 d ≠3，等比数列{ab n }的公比 q ＝ ＝ 6－2d 33 3 3－d (，ab n ＝(6－2d )· 3－d )n －1，又 ab n ＝6＋(b n －7)d ，所以 6＋(b n －7)d ＝(6－2d )(3－d )n －318 1，所以 6＋(b 3－7)d ＝(6－2d )·(3－d )2，即 6＋(b 3－7)d ＝ ，由 b 3>7，得 3－d >0，由 d ∈ 3－d3N *得 d ＝1或 2，当 d ＝1时，b n ＝4(2)n －1＋1，不合题意，当 d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合 题意，所以所求 d 的值为 2.法二：由数列{ab n }是等比数列得 ab 1ab 3＝a 2b 2，而 ab n ＝a 7＋(b n －7)d ，所以，由 b 1＝5，6 b 2＝7得，(6－2d )·[6＋(b 3－7)d ]＝36，易知 d ≠3，解得 b 3－7＝ >0，由 d ∈N *得，d ＝1 3－d3或 2，当 d ＝1时，b n ＝4(2)n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合题意，所以 所求 d 的值为 2.答案：27。

【高考专题】2018年高考数学数列专题复习100题1.已知等差数列{a}与等比数列{b n}满足，，，且{a n}的公差比{b n}的公比n小1.（1）求{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足，求数列{c n}的前项和.2.已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.3.已知公差不为0的等差数列{a}的首项为，且成等比数列．n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对，试比较与的大小．4.已知数列{a}的前n项和为，且.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）定义，其中为实数的整数部分，为的小数部分，且，记，求数列{c n}的前n项和.5.已知数列{a}是递增的等比数列，且n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设为数列{a n}的前n项和，，求数列的前n项和。

6.知数列{a}的前n项和为，且满足，数列{b n}为等差数列，且满足n．(I)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(II)令，关于k的不等式的解集为M，求所有的和S．7.设数列{a}的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=3S n- S n+1,n∈N*.n（Ⅰ）证明：a n+2=3a n（Ⅱ）求S n8.等差数列{}中，（I）求{}的通项公式；(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=29.已知数列{a}满足:.(1)设,n(1)证明是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)记,问是否存在正整数,使得?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.10.已知数列{a}的前项和为，且，．n（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．11.等差数列{a}中，a2=4，a4＋a7=15.n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．12.已知各项都为正数的数列满足，. （I）求；（II）求的通项公式.13.设数列{a}的前项和为，．已知，，，且当时，n．(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列{a n}的通项公式．14.各项均为正数的数列{a}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数的图象n上，且．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）已知数列{b n}满足b n=4﹣n，设其前n项和为T n，若存在正整数k，使不等式T n＞k有解，且（n∈N*）恒成立，求k的值．15.已知等差数列{a}的前n项和为Sn，等比数列{b n}的前n项和为Tn，a1=-1，b1=1，.n（1）若，求{b n}的通项公式；（2）若T=21，求S1.16.已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，. （I）若成等差数列，求a n的通项公式；(ii)设双曲线的离心率为，且，证明：.17.已知数列{a}与{b n}满足，，，且．n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，为数列的前项和，求．18.已知是各项均为正数的等比数列,且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）为各项非零的等差数列,其前n项和S n,已知,求数列的前n项和.19.设数列满足，；数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）把数列和的公共项从小到大排成新数列,试写出，，并证明为等比数列．20.设正项数列的前项和，且满足.（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.21.S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a n 2+2a n =4s n +3.（Ⅰ）求{a n }的通项公式： （Ⅱ）设11+=n n n a a b ,求数列b n }的前n 项和.22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =2S n +1（n ∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =（2n ﹣1）•a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．23.设等差数列{a}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n＋1.n(1) 求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n.24.在等差数列{a}中，，，n（Ⅰ）该数列前多少项的和最大？最大和是多少？（Ⅱ）求数列前项和．25.已知数列{a}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3， a4，a5成等差数列．n（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项和S n，求证：S n＜3．26.已知数列满足：，。

2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题1.6以数列为背景的填空题附解析专题一 压轴填空题 第六关 以数列为背景的填空题【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值．类型一 以数列为载体考查数学思想与方法典例1 各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为________.【名师指点】本题考查了利用基本不等式求最值．本题属于难题． 【举一反三】已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈恒成立，则M 的最小值为__________． 【答案】6259【解析】由题可知： ()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++恒成立，即()()1322n M n n +≤++恒成立，设t=n+1，则()()()()21131322311323132n t t n n t t t t t t+===++++++++，因为函数31t t +在(∞）递增， ()()5667565,6565f f ==<，所以311259324366t t ++≥=，所以M的最小值是6259类型二 综合考查数列性质典例 2 今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上1，如图（1）所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上2，如图（2）所示；第三次把4段圆弧二等分，并在这4个分点处分别标上3，如图（3）所示.如此继续下去，当第n 次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是__________．【答案】()122nn -+【名师指点】本题考查了错位相减法．本题属于中等题． 【举一反三】数列{}n a 为单调递增数列，且()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈，则t 的取值范围是__________． 【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】要使数列{}n a 为单调递增数列，则123a a a <<<⋅⋅⋅.当n <4时， ()23814n a t n t =--+必须单调递增，∴2t －3>0，即t >32.①.当n ≥4时， log n t a n =也必须单调递增，∴t >1 ②另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而34a a <，即3(2t －3)－8t ＋14<log 4t ，化简得log 4t ＋2t>5；③当322t <≤时， log 4t ＋2t >5；当522t <≤时， log 4t ＋2t >5；当52t >时， log 4t ＋2t >5，故③式对任意32t >恒成立，综上，解t 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 类型三 以生成数列为研究对象考查数学能力典例3 若数列{a n }满足：对任意的n∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为b n ，则得到一个新数列{b n }．例如，若数列{a n }是1，2，3，…，n ，…，则数列{b n }是0，1，2，…，n －1，….现已知数列{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝16，则数列{b n }中满足b i ＝2 016的正整数i 的个数为__________． 【答案】22 015【名师指点】本题主要考查等比数列通项公式，以及新定义的运用. 本题属于难题． 【举一反三】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥，若()()()53222220172201822018a a a -+-+-=， ()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=，给定四个命题①20174034S =；②20184036S =；③20172S S <；④201720a a -<. 则上述四个命题中真命题的序号为____. 【答案】②④【解析】构造函数()()5320172018,f x x x x f x =++ 为奇函数，且单调递增，依题意有()()()()22017220172201722018.22018,220,4f a f a f a f a a a -=-=-∴-+-=∴+=又()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥，故数列{}n a 为等差数列，且公差0,d ≠故()120172017201820172017,4034,2a a a a S +≠=≠故①错误；()()12018220172018201820184036,22a a a a S ++===故②正确；由题意知()22017201720182018112122,2,0,403644032,,a a d S S a a a S a a ><∴<=-=--=+=+若20172S S <，则24032,a >而此时， ()()()53222220172201822018a a a -+-+-=不成立，故③错误；220172,2,a a ><∴ 201720a a -<.，故④成立.即答案为②④【精选名校模拟】1.已知数列{}n a 共有26项，且11a =， 2620a =， ()111,2,,25k k a a k +-== ，则满足条件的不同数列{}n a 有__________ 个． 【答案】23002.已知{}n a 满足11a =， ()*11N 4nn n a a n +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭， 21123444n n n S a a a a -=++++ ，则54n n n S a -=__________．（用n 表示） 【答案】n【解析】依题意2112144444n n n n n S a a a a --=++++ ，与已知条件相加可得()()()2111223154444n n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++ 21211111444444n n n --=+⋅+⋅++⋅= 3.在等差数列{a n }中，已知首项a 1＞0，公差d ＞0.若a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________． 【答案】200【解析】由a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100得2a 1＋d≤60，2a 1＋3d≤100，a 1＞0, d ＞0. 由线性规划的知识得5a 1＋a 5＝6a 1＋4d ，过点(20，20)时，取最大值为200.4.已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n∈N *)，则满足1 0011 000＜S 2n S n ＜1110的n 的最大值为__________． 【答案】9【解析】2a n ＋1＋S n ＝2，2a n ＋S n －1＝2(n≥2)，相减得2a n ＋1＝a n (n≥2)，a 1＝1，a 2＝12，则{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，1 0011 000＜1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜1110，11 000＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜110，则n 的最大值为9.5.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，若对任意n∈N *，都有1≤p(S n －4n)≤3，则实数p 的取值范围是________． 【答案】[2，3]【解析】S n ＝4n ＋23[1－(－12)n ]，可得1≤23[1－(－12)n ]p≤3，即1≤2p 3[1－(－12)n ]min 且2p 3[1－(－12)n]max ≤3，前者n ＝2，后者n ＝1，得2≤p≤3.6.设等比数列{a n }的公比为q(0＜q ＜1)，前n 项和为S n ，若a 1＝4a 3a 4，且a 6与34a 4的等差中项为a 5，则S 6＝________.【答案】634【解析】由a 1＝4a 3a 4，a 6＋34a 4＝2a 5，解得a 1＝8，q ＝12，则S 6＝634.7.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝________． 【答案】9【解析】设S k －S k －1＝a k ＝－8，S k ＋1－S k ＝a k ＋1＝－10，则d ＝－2，S k ＝(a 1＋a k )k/2＝0，a 1＝8，a k ＝a 1＋(k －1)d ＝－8，即8－2(k －1)＝－8，则k ＝9.8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若数列{a n }满足a n ＋S n ＝An 2＋Bn ＋C 且A ＞0，则1A ＋B －C 的最小值为________．【答案】2 39.设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为____________．【答案】2011【解析】a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝（n ＋1）n 2，则1a n ＝2n （n －1）＝2(1n －1n ＋1)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111]＝2011.10.已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A≤S n －1S n ≤B 对n∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．72【解析】由等比数列S n 公式S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴ T n ＝S n －1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n .当n 为奇数时，T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 递减，则0<T n <T 1＝712；当n 为偶数时，T n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－11－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n递增，则－1772<T 2<0.故－1772≤T n ≤712，∴ A max＝－1772，B min ＝712，故 (B －A)min ＝B min －A max ＝5972.11.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n ＋1)2.设b n ＝a 2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n∈N *)，则当T n >2 013时，n 的最小值为________． 【答案】10【解析】∵ 4S n ＝(a n ＋1)2，∴ n ≥2时有4S n －1＝(a n －1＋1)2，两式相减，得4(S n －S n －1)＝(a n ＋a n －1＋2)(a n －a n －1)，n ≥2，进一步整理可知(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.又a n >0，从而a n －a n －1＝2(n≥2)，从而a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1＝2n－1，∴ T n ＝2n ＋1－(n ＋2)>2 013，n ≥10时，T n >2 013，且T 9<2 013，T n 关于n 单调递增，从而n 的最小值为10.12.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，等比数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝39tan 33θ.若数列{a n }的前2 014项的和为0，则θ的值为________． 【答案】－π913.已知在等差数列{a n }中，若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m 、n 、p 、s 、t 、r∈N *，则a m ＋2a n ＋a p ＝a s ＋2a t ＋a r .仿此类比，可得到等比数列{b n }中的一个正确命题：若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m 、n 、p 、s 、t 、r∈N *，则______________． 【答案】b m (b n )2b p ＝b s (b t )2b r【解析】由类比推理将加法换成乘法、乘法换成乘方即得结论．14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 4a 6a 8＝120，且1a 4a 6a 8＋1a 2a 6a 8＋1a 2a 4a 8＋1a 2a 4a 6＝760，则S 9的值为________．【答案】632【解析】等式两边同时乘以a 2a 4a 6a 8得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝14，即2(a 2＋a 8)＝14，a 2＋a 8＝7，从而S 9＝（a 1＋a 9）×922215. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4、a 3、a 5成等差数列，且S k ＝33，S k ＋1＝－63，其中k ∈N *，则S k ＋2的值为________． 【答案】129【解析】由等比数列性质知2＝q ＋q 2，∵ q ＝1或－2.当q ＝1时，显然不成立．∴ q＝－2，又 a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－96.(解法1)S k ＋2＝S k ＋1＋a k ＋2＝S k ＋1＋a k ＋1(－2)＝－63＋96×2＝129. (解法2)a 1（1－q k）1－q ＝a 1－a 1q k3＝a 1－a k ＋13＝33，得a 1＝3，S k ＋2＝a 1（1－q k ＋2）1－q ＝a 1－a 1qk ＋23＝a 1－a k ＋33＝a 1－a k ＋1q 23＝3＋96×43＝129.16.设x 、y 、z 是实数，若9x 、12y 、15z 成等比数列，且1x 、1y 、1z 成等差数列，则x z ＋zx 的值为______________．【答案】341517.已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n .若S 13＝1，则a 1的值为____________． 【答案】1【解析】定义函数a n ＝f(n)，则f(n)＝f(n －1)－f(n －2)，即可得f(n)＝[f(n －2)－f(n －3)]－f(n －2)＝－f(n －3)＝－(f(n －4)－f(n －5))＝f(n －6)，所以函数a n ＝f(n)是一个周期为6的数列，由递推公式可得S n ＝a n －1＋a 2，所以S 13＝a 12＋a 2＝a 6＋a 2＝－a 3＋a 2＝－(a 2－a 1)＋a 2＝a 1，所以a 1＝1.18.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．若对于任意的m∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，则k 的值为________．【答案】k ＝0或k ＝1【解析】∵ S n ＝kn 2＋n ，∴ 数列{a n }是首项为k ＋1公差为2k 的等差数列，a n ＝2kn ＋1－k.又对于任意的m∈N *都有a 22m ＝a m a 4m ，∴ a 22＝a 1a 4，(3k ＋1)2＝(k ＋1)(7k ＋1)，解得k ＝0或1.又k ＝0时a n ＝1，显然对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列；k ＝1时a n ＝2n ，a m ＝2m ，a 2m ＝4m ，a 4m ＝8m ，显然对于任意的m∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 也成等比数列．综上所述，k ＝0或k ＝1.19.记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式2221()n n S a ma n+≥对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为____________． 【答案】15。

14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________、解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0),则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0),由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3,解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3, 令12<e x <3,得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________、 解析：当x >0时,2x －1>3,解得x >2,当x ≤0时,－x 2－4x >3,即x 2＋4x ＋3<0,解得－3<x <－1,所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}、答案：{x |x >2或－3<x <－1}3、已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R,值域为[0,＋∞),则实数a 的取值集合为________、解析：由定义域为R,得x 2－2x ＋a ≥0恒成立、又值域为[0,＋∞),则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点,所以Δ＝4－4a ＝0,a ＝1.答案：{1}4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________、解析：由x 2≥0,得f (x 2)＝－x 2＋1, 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1, 则当2－x ≥0,即x ≤2时,由－(2－x )＋1<－x 2＋1,得－2<x <1,所以－2<x <1； 当2－x <0,即x >2时,由－(2－x )2＋1<－x 2＋1,得x ∈∅.综上得,关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}、 答案：{x |－2<x <1} 题型二 基本不等式 1、若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________、 解析：由x >1,得x －1>0,则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立、故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52、已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________、 解析：由0<x <1,故3－3x >0,则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时等号成立、答案：123、已知正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,则ab 的最小值为________、 解析：因为正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,所以ab －5≥21a ×9b,可化为(ab )2－5ab －6≥0,解得ab ≥6,即ab ≥36,当且仅当1a ＝9b ,即a ＝2,b ＝18时取等号、即ab 的最小值为36. 答案：364、已知正数x ,y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ,则1x ＋1y 的最小值为________、 解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0,且x >0,y >0,所以0<x ＋2y ≤1,所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时,1x ＋1y取得最小值3＋2 2. 答案：3＋2 25、已知a >0,b >0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值是________、 解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32,故a ＋2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3,当且仅当2a ＋b2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b ),且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号、故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三 简单的线性规划1、已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________、解析：根据题意,画出可行域如图所示,易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时,取得最小值－3.答案：－32、设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ,若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点,则实数k 的取值范围是________、解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示、因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0,－2),且斜率为k ,由图知,当直线l 过点B (1,3)时,k 取最大值3＋21－0＝5,当直线l 过点C (2,2)时,k 取最小值2＋22－0＝2,故实数k 的取值范围是[2,5]、 答案：[2,5]3、已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ,若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上,那么实数a 的取值范围为________、解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象,结合函数图象知,当x ＝1时,y ＝e,把点(1,e)代入ax －y ≥0,则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e,＋∞)、答案：[e,＋∞) B 组——高考提速练1、不等式x ＋1x <2的解集为______________、 解析：∵x ＋1x <2,∴x ＋1x －2<0, 即(x ＋1)－2x x＝1－xx <0, ∴1－xx <0等价于x (x －1)＞0,解得x ＜0或x ＞1, ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}、 答案：{x |x ＜0或x ＞1}2、若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________、解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示、 由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ,平移直线y ＝－32x ＋12z ,由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时,直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大,此时z 最大、由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2),代入目标函数z ＝3x ＋2y ,得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73、若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝100,则lg a ·lg b 的最大值为________、 解析：因为a >1,b >1,所以lg a >0,lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号, 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14、不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________、 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集, 所以Δ＝a 2－4×4>0,即a 2>16. 所以a >4或a <－4. 答案：(－∞,－4)∪(4,＋∞)5、若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,m ),则m 的值为________、解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根,即a 2＋a －6＝0,解得a ＝2或a ＝－3,当a ＝2时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2),符合要求；当a＝－3时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞,－3)∪(1,＋∞),不符合要求,舍去、故m ＝2.答案：26、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,则不等式f (x )<0的解集是________、解析：法一：当x <0时,f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1,f (x )<0,即log 2(－x )－1<0,得－2<x <0；当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,f (x )<0,即1－log 2x <0,解得x >2.综上所述,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象,再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象,结合图象可知,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、答案：(－2,0)∪(2,＋∞)7、已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,m ,n ∈R,则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________、解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,所以m ,n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示、因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ,n )到点A (2,2)的距离的平方、因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32,故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2,即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88、已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP―→的最大值为________、解析：如图作满足约束条件的可行域,z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处取得最大值,所以z max ＝2. 答案：29、已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a5,若存在两项a m ,a n 使得 a m a n ＝4a 1,则1m ＋4n的最小值为________、解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ,由a 7＝a 6＋2a 5,得q 2－q －2＝0,解得q ＝2(q ＝－1,舍去)由a m a n ＝4a 1,即2m+n-22＝4,得2m ＋n －2＝24,即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32, 当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2,n ＝4时等号成立, 即1m ＋4n 的最小值为32. 答案：3210、已知A ,B ,C 是平面上任意三点,BC ＝a ,CA ＝b ,AB ＝c ,则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________、解析：y 要取最小值,则a 要最大,而a 的最大值是b ＋c ,所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12,当且仅当12⎝⎛⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号,即y 的最小值是2－12. 答案：2－1211、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 不是最大边,已知a 2－b 2＝2bc sin A ,则tan A －9tan B 的最小值为________、解析：由余弦定理,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ,得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A , 即c －2b cos A ＝2b sin A ,再由正弦定理,得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B , 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1,由题意知tan A >0,所以2tan A ＋1>0, 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1),即tan A ＝1时取“＝”、故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212、已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________、解析：因为ab －a －2b ＝0,所以2a ＋1b ＝1,因为a ,b 均为正数,所以b >1, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1,令x ＝b －1>0, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1, 因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1时取等号,所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7,即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713、若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0,＋∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是________、解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ,g (x )＝－ln x x ,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}、 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14、已知a ＞0,b ＞0,c ＞2,且a ＋b ＝2,则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________、解析：考虑所求的结构特征,变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2,先求a b ＋1ab －12的最小值、a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12, 令2a ＋1＝t ,则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12, 所以a b ＋1ab －12≥52,当且仅当2a ＋1＝52a ＋1,即a ＝5－12时等号成立,故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝⎛⎭⎪⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2,即c ＝2＋2时等号成立、 答案：5＋10。