圆锥曲线复习1

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。

专题复习 圆锥曲线（一）【题模一】 圆锥曲线定义的应用：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 当2a =21F F 时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <21F F 时，无轨迹；双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数a 2（21212F F a PF PF <=-），的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

抛物线：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹.【讲透例题】1．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段2、设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于 A ．3B ．210C ．45D ．3153. 若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4、 已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．2 B ．22C ．3 D ．35． 已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．86． 若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．12B ．2C ．1D ．27． 已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68． 已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为（ ） A ．12B ．8C ．6D ．49． 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为（ ）A ．25B ．252C ．509D ．100910、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线24y x =交于点A ，点B 是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点F 为双曲线的一个焦点，且ABF 为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．2277134x y -=B ．2277143x y -=C ．2234177x y -=D ．227711216x y -=12、已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．23y x =±D ．32y x =±【相似题练习】1．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、 已知A(-, 0)，B 是圆F:(x -)2+y 2=4(F 为圆心)上的一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是_______________.3． 已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．53D ．634、已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若,则|QF|= .5．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)6． 已知椭圆22:14x C y +=的焦点是1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12PF F △的内切圆半径r 为（ ） A 3B ．23C ．23+D ．26、已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．42B ．13C ．313 D ．467、（多选）已知ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()5,0,5,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠且斜率之差等于n ，则正确的是（ ）A ．当0m >时，点C 的轨迹是双曲线.B ．当1m =-时，点C 在圆2225x y +=上运动. C ．当1m <-时，点C 所在的椭圆的离心率随着m 的增大而增大.D ．无论n 如何变化，点C 的运动轨迹是轴对称图形.8、（多选）已知焦点在x 轴上的椭圆过点()3,06，则（ ） A ．椭圆的标准方程为22193x y +=B ．椭圆经过点(0,23C ．椭圆与双曲线223x y -=的焦点相同D ．直线()11y k x -=-与椭圆恒有交点9、已知1F ，2F 是双曲线C ：2213x y -=的两个焦点，点M 在直线30x y -+=上，则12MF MF +的最小值为（ ） A ．213B ．6C ．26D ．510、已知()15,0F -，()25,0F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过1F 的直线l 与圆222:O x y a +=切于点T ，且与双曲线右支交于点P ，M 是线段1PF 的中点，若1OM TM -=，则双曲线的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．2211213x y -=D ．2211312x y -=11、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，过2F 的直线l 与C 的左､右支分别相交于M ､N 两点，若11MF NF =，2MN b =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．5C ．2D ．62【题模2】 圆锥曲线的标准方程1、椭圆：（1）焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>），（参数方程，其中为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

Word-可编辑圆锥曲线目录共分成四大章: 基础知识篇, 技巧套路篇, 题型结论篇, 极点极线篇第一章基础知识篇 .4§1椭圆 .41.1 椭圆的定义(和比积) .41.2 椭圆的方程 .61.3 椭圆的基本参数 .8方程和基本参数 10第一定义 10离心率 .11参数方程 . 12构造椭圆解题 .14综合题 . 15§2双曲线 .232.1 双曲线的定义(和比积) .232.2 双曲线的方程 . 242.3 双曲线的基本参数 .25第一定义 . 26方程和基本参数 .28通径 . 30离心率 .31千里之行，始于足下渐近线 .33渐近线勾股三角形 . 34渐近线与焦点圆的交点 . 40构造双曲线解题 . 41综合题 . 432.4 等轴双曲线 . 492.5 双曲线的渐近线专题 . 53渐近线的常用性质四条 . 53渐近三角形 . 61§ 3 离心率专题 . 653.1 离心率 vs 定值 . 65直译型 . 65直接利用定义 691先补焦点再利用第一定义 .75利用平几知识 .81算两次 .93用尺子量 .96和抛物线混合 .97点差法相关 .99其他类型 .993.2 离心率 vs 范围 104朽木易折，金石可镂利焦半径的有界性 104利用椭圆双曲线坐标的有界性 107双曲线的渐近线 109米勒定理 .110其他类型 .112§4焦点三角形专题 1264.1 椭圆的焦点三角形 . 126面积公式(算多次) . 126张角最大与拓展 129焦点三角形 vs 正弦定理 133焦点三角形 vs 角平分线定理 . 135椭圆焦点三角形外接圆与内切圆的半径比 . 136 4.2 双曲线的焦点三角形 137面积公式(算多次) 137焦点三角形 vs 内切圆(包括相关平几知识补充) 140双焦点三角形 vs 内切圆 1434.3 椭圆焦点三角形的内心和旁心轨迹 1444.4 双曲线的内心轨迹 146§5圆锥曲线的光学性质 1495.1 光学性质 1495.2 焦点在圆雉曲线切线上的射影轨迹 1545.3 以圆雉曲线焦半径为直径的圆 162千里之行，始于足下5.4 光学性质的拓展二 164§6焦半径专题(第二定义) 1676.1 焦半径的代数式 . 1676.2 焦半径的极坐标式 . 1736.3 最短的焦点弦一通径? . 1736.4 焦半径和椭圆的短轴圆 .1746.5 以焦半径为直径的圆 . 1776.6 以焦点弦为直径的圆 . 1786.7 焦半径 vs 焦点弦的综合题 . 178§7 第一二定义与距离和最短 1837.1 三点共线(利用第一定义转化) 1837.2 垂线段最短(利用第二定义转化) 186§ 8 抛物线 .1888.1 抛物线的定义 .1888.2 抛物线的基本参数 .188方程的求解 .189定义的应用 . 191点、直线、抛物线模型 . 195酒杯小球 . 196罗列组合 .200综合题 .2018.3 抛物线的定长动弦 .207朽木易折，金石可镂8.4 抛物线的焦点弦模型 .2108.5 抛物线的点差法一一中点斜率公式 .2198.6 抛物线的等比性质和取负替换性质 .226斜率比值 .2298.7 抛物线的定点三角形面积公式 .2318.8 抛物线的两点式直线方程 .2348.9 抛物线的切线专题(极点极线) .2498.10 抛物线两条切线的交点一双切线模型 .2528.11 阿基米德三角形 .264第一章基础知识篇§1椭圆1.1 椭圆的定义(和比积)1. 第一定义之“和”平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2F (大于|F1F2| ) 的点的轨迹; 其中,两个定点称做椭圆的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.椭圆方程的推导设F(F,F)是椭圆上随意一点,焦点F1(−F,0)和F2(F,0) ,由上述椭圆的定义可得: √(F+F)2+F2+√(F−F)2+F2=2F ,将这个方程移项,两边平方得: F2−FF=F√(F−F)2+F2 ,两边再平方, 收拾得: F2F2+F2F2=1(F>F>0) .注 (1) 2F>|F1F2|表示椭圆; (2) 2F=|F1F2|表示线段F1F2 ; (3) 2F<|F1F2|不存在轨迹.千里之行，始于足下2. 第二定义之 “比”平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 F (0<F <1) 的点的轨迹,其中,定点为焦 点,定直线叫做准线,常数 F 叫做离心率.椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,定点为 F 1(−F ,0) ,定直线为 F =F 2F,常数 F =FF ,由 上述椭圆的定义可得:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF ,直译变形即可.例 在平面直角坐标系中,若方程 F (F 2+F 2+2F +1)=(F −2F +3)2 表示的曲线为椭圆,则 F 的取值范 围是 ( ) .A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,5)D. (5,+∞) 答案 选 D.解 将方程变形为:√F 2+(F +1)2|F −2F +3√1+4|=√5F ,此式可看成动点 (F ,F ) 到定点 (0,−1) 与到直线F −2F +3=0 的距离之比为 √5F,按照椭圆的定义,只须 √5F<1 即可.3. 第三定义之 “积”已知坐标轴上关于原点对称的两个定点,那么,到这两定点连线的斜率之积为定值 F 2−1(0<F <1) 的点 的轨迹是椭圆,其中,定点为短轴或长轴顶点. 【求轨迹的话,得去掉两个定点 ! 】椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,两个定点为 F 1(−F ,0)、F 2(F ,0) ,定直线为 F =F 2F, 常数 F =FF ,由上述椭圆的定义可得: 将 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,变形成F 2(F −F )(F +F )=−F 2F 2 ,于是可得,椭 圆上动点到两顶点 (−F ,0)、(F ,0) 的连线的斜率之积等于常数.注 这个定义有 bug, 可以不必深究, 你只需要清晰地知道, 第三定义实质是对称点点差法的一个特 例而已, 后面的双曲线也是类似!朽木易折，金石可镂例 (1)已知圆 (F +2)2+F 2=36 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分 线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线(2)已知圆 (F +2)2+F 2=1 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 答案 (1) 选 B; (2)选 C.例 (1) 已知 △FFF 的顶点 F 、F 在椭圆 F 23+F 2=1 上,顶点 F 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一 个焦点在 FF 边上,则 △FFF 的周长是 ( ) .A. 2√3B. 6C. 4√3D. 12(2)(2023年年 四川文理)如图,把椭圆 F 225+F 216=1 的长轴 FF 分成 8 分,过每个分点作 F轴的垂线交椭圆的 上半部分于 F 1、F 2、⋯、F 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 |F 1F |+|F 2F |+⋯+|F 7F |= .答案 (1) 选 C; (2)35.解 (1) 利用定义易得 △FFF 的周长是 4F =4√3 . (2) 构造另一个焦点, 利用对称性, 或倒序相加!1.2 椭圆的方程1. 椭圆的标准方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上;F2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上.千里之行，始于足下例 (1) 已知椭圆F 2F+F 217=1 的焦距为 8,则这个椭圆的方程是 (2) 已知椭圆方程 F 24+F 2F=1 的离心率 F =√33,则 F =解 (1) F >17⇒F =33;F <17⇒F =1 ; (2) 4>F ⇒F =83;4<F ⇒F =6 . 例 (2023年年 湖北理) 设集合 F ={(F ,F )| F 24+F 216=1},F ={(F ,F )∣F =3F } ,则 F ∩F 的子集的个数是 ( ) .A. 4B. 3C. 2D. 1 解 两个交点, 故选 A.例 若方程 (9−F )F 2+(F −4)F 2=1 表示椭圆,则实数 F 的取值范围是 解 4<F <9 且 F ≠132 .2. 椭圆的参数方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos FF =F sin F ;F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos F F =F sin F. 注 (1) 参数方程中的参数 F 不是所谓的 “椭圆心角”,而是物理上的离心角,可结合离心率理解; 同时, 要和圆的参数方程中的圆心角分开.(2) 椭圆的参数方程 vs 标准方程椭圆的参数方程在数据计算上偶尔会有很大的优势, 尤其是求解最值、相关参数的范围判断等相关题 型; 同时, 后面在 “直线与圆锥曲线” 和 “圆锥曲线与圆锥曲线” 章节, 还会有相关的串讲应用.例 (1)求椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 的内接矩形的面积及周长的最大值. (2) 设点 F (F ,F ) 在椭圆 F 216+F 29=1 ,试求点 F 到直线 F +F −5=0 的距离 F 的最大值和最小值.答案 (1) F max =2FF ,F max =4√F 2+F 2 ; (2) F min =0,F max =2 .朽木易折，金石可镂3. 椭圆的普通式方程 FF 2+FF 2=1(F >0,F >0,F ≠F ) 【括号中的限制亦是 “充要条件” 1 注 (1) 焦点的位置判断 当 F <F 时,焦点在 F 轴上; 当 F >F 时,焦点在 F 轴上.(2) 使用技巧 在求椭圆的标准方程时, 偶尔不知道焦点在哪一个坐标轴上, 此时, 可尝试使用椭圆的 普通式方程,利用用待定系数法求出 F 、F 的值即可; 椭圆的普通式方程可有效的避免焦点位置的分类讨 论, 同时, 也可以简化运算.例 (1) 倘若方程 F 2+FF 2=2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,那么实数 F 的取值范围是 (2) 已知方程 (2−F )F 2+FF 2=2F −F 2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,则实数 F 的取值范围.答案 (1) (0,1) ; (2) 当 2F −F 2≠0 时,有 F 2F +F 22−F =1 . 因为方程表示焦点在 F 轴上的椭圆,所以 F >2−F >0 ,即 1<F <2 . 故实数 F 的取值范围是 1<F <2 .例 (1) 求过两点 (2,−√2),(−1,√142) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. (2) 求过两点 F 1(√6,1),F 2(−√3,−√2) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. 答案 (1) F 28+F 24=1 ; (2) F 29+F 23=1 .4. 椭圆的定义式方程(1)第一定义: √(F +F )2+F 2+√(F −F )2+F 2=2F ; (2)第二定义:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF .注 因为有些题目会给出此类定义方程作为条件, 因此, 要熟知其中的参数含义, 并能疾驰转化为标 准方程.5. 椭圆的极坐标方程 见后面 “圆雉曲线之极坐标方程” 的章节!6. 同离心率式的椭圆方程注重一点即可,即离心率相同,但焦点可以在不同的坐标轴; 因此,和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相 同离心率的椭圆方程可设为: F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) 或 F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) .千里之行，始于足下例 (1) 求和椭圆 9F 2+F 2=81 有相同离心率且过点 (3,9) 的椭圆方程.(2) 求和椭圆F 2225+F 2125=1 有相同离心率且通径 (过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交的线段) 长等 于 5 的椭圆方程.(3) 求和椭圆 F 24+F 2=1 有相同离心率,且与直线 3F +2√7F −16=0 相切的椭圆方程. 答案 (1) F 218+F 2162=1 ; (2) 4F 281+4F 245=1 ; (3) 设所求椭圆方程为 F 24+F 2=F (F >0) ,解得F =4 ,故所 求椭圆方程为 F 216+F 24=1 .7. 共焦点式的椭圆方程和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相同焦点的椭圆方程可设为: F 2F 2−F +F 2F 2−F =1(F 2>F ) (形式(1); F 2F +F 2F −(F 2−F 2)=1(F >F 2−F 2) (形式(2)).注 上述形式相对照较繁琐, 实际上, 直接计算, 列出两个方程求解更容易. 例 (1)求与椭圆 4F 2+9F 2=36 有相同焦点,且过点 (3,−2) 的椭圆的标准方程为 (2) 过点 (√3,−√5) ,且与椭圆 F 225+F 29=1 有相同焦点的椭圆的标准方程为答案 (1) F 215+F 210=1 ; (2) F 220+F 24=1 ;法一 利用第一定义,结合点到直线的距离公式,直接求出 F =2√5 ,又 F =4 ,故 F =2 ; 法二 设椭圆的标准方程为 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,则 F 2−F 2=16 ,又 (−√5)2F 2+(√3)2F 2=1 ,解这两个方 程组即可!1.3 椭圆的基本参数1. 对称性 标准方程的图形,不仅关于 F 轴和 F 轴轴对称,同时,还关于原点中央对称.2. 顶点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) ,或 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .朽木易折，金石可镂3. 长轴和短轴 长轴为 2F ,短轴为 2F ,注重区别长半轴为 F ,短半轴为 F .4. 焦点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0) ; 或 F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .5. 焦距 |F 1F 2|=2F (F >0) ,同时,半焦距 F 、长半轴为 F 和短半轴为 F 是一组勾股数,满意关系式: F 2=F 2−F 2.注 对于基本概念要扎实控制, 一定要区别长轴、短轴、焦距, 和长半轴、短半轴、半焦距; 尤其在 大题中, 一定要看清!6. 离心率 F =FF (0<F <1) ; 离心率越大,椭圆越扁. 【 cos∠椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据. 因为 F >F >0 ,所以 F 的取值范围是 0<F <1 ; (1 F 越临近 1,则 F 就越临近 F ,从而 F =√F 2−F 2 越小,因此椭圆越扁; (2)反之, F 越临近于 0,F 就越临近 0,从而 F 越临近于 F ,这时椭圆就越临近于圆.注 如图,点 F 位于短轴的顶点,(1)当 F =√22 时,有 ∠F 1FF 2=F2,亦有 F 2=F 2; (2)当 F =√5−12,即黄金分割比时,有 ∠F 1FF =F2 ; 容易证实如下:cos∠FF 1F =F =|FF 1||FF 1|=F F +F =11+F⇒F 2+F −1=0. 例 (2000 年全回联赛)在椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 中,记左焦点为 F ,右顶点为 F ,短轴上方的端点 为 F . 若该椭圆的离心率为√5−12,则 ∠FFF =千里之行，始于足下答案 90∘ . 7. (1)准线 F =±F 2F; 或 F =±F 2F; (2)焦准距 F =F 2F−F =F 2F; (3)通径 2FF =2F 2F(F 为焦准距),8. 焦半径 椭圆上的点到焦点的距离; 设 F (F 0,F 0) 为椭圆上的一点, F 1 在负半轴, F 2 在正半轴;A. 越临近于圆 B. 越扁C. 先临近于圆后越扁D. 先越扁后临近于圆 答案 选 D.解 因为焦点在 F 轴上,故 4F >F 2+1 ,解得 2−√3<F <2+√3 . 又 −F 2+14F=F 2−1 ,即 4(F 2−1)=−(F +1F ) ,利用对勾函数的性质可知: F (F )=F +1F在 (2−√3,1) 上 ↘ , 在 (1,2+√3) 上 ↗ ,因此, F 关于 F 先增大后减小.例 (2023年年 湖北文理压轴) 如图所示, “嫦娥一号” 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 F 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月翱翔,之后卫星在 F 点第二次变轨进入仍以 F 为一个 焦点的椭圆轨道 II 绕月翱翔,总算卫星在 F 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道III 绕月翱翔,若用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭轨道 I 和 II 的焦距,用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴的长,给出下列式子: (1) F 1+F 1=F 2+F 2 ; (2) F 1−F 1=F 2−F 2 ; (3) F 1F 2>F 1F 2 ; (4) F 1F 1<F2F 2.其中准确式子的序号是 ( ) . A. (1)(3) B. (2)(3) C. (1)(4) D. (2)(4)答案 选 B.朽木易折，金石可镂解 焦点 F 到顶点 F 的距离不变,易知(2)准确; 从轨道 I 、II 、II 可知,椭圆越来越圆,总算变为圆, 结合椭圆的离心率变化逻辑 “越大越扁, 越小越圆”, 显然(3)准确, 故应选 B.参数方程例 (2023年年 上海大压轴) 记椭圆 F 24+FF 24F +1=1 围成的区域(含边界)为 F F (F =1,2,⋯) ,当点 (F ,F ) 分离 在 F 1、F 2、⋯ 上时, F +F 的最大值分离是 F 1、F 2、⋯ ,则 lim F →+∞F F =( ) .A. 0B. 14 C. 2 D. 2√2 答案 选.。

课题：小结与复习（一）教学目的：1通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习，可以梳理知识要点，使学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线；同时也可以对前面所学的各种解析几何的基本方法进行归纳整理所以本节在全章教学中起着复习、巩固和提高的作用椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着巨大的相似之处，也有着一定的区别而前面只是它节逐个学完了三种曲线，还缺少对它们归类比较，为了提高水平，使同学们能够完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系本章介绍使用了较多的思想方法，其中的重点是数形结合的思想，转化与化归思想，坐标法等，这些都是培养学生解决解析几何问题的基本技能和能力的基础解析几何是最终能体现运动与变化、对立与统一的思想观点的内容之一点与坐标、方程与曲线之间的转化与化归给我们提供了良好的思想教育素材，我们应该给予充分的利用，达到应有的教学效果本小结与复习可分为二个课时进行教学第一课时主要讲解课本上内容，即：一、内容提要；二、学习要求和需要注意的问题第二课时则针对本章的训练重点，讲解例题，进行巩固和提高教学过程：抛物线：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+by ax ，12222=+bx ay （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by ax (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比ac =⇒e =1<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例 ,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4椭圆的第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式5．椭圆的准线方程对于12222=+by ax ，左准线c ax l 21:-=；右准线c ax l 22:=对于12222=+bx ay ，下准线cay l 21:-=；上准线y l 22:=焦点到准线的距离cbcc a c cap 2222=-=-=（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称6．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式： ⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF（ 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点）焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 9．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx ay (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性由标准方程12222=-by ax ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心（2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （3）渐近线过双曲线12222=-by ax 的渐近线x ab y ±=（0=±by ax ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比ac ac e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac aa c ab k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔12．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e13．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x ab y ±=)0(>±=k x kakb ，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb yka x或写成λ=-2222by ax14．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-115． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ac e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．16．双曲线的准线方程： 对于12222=-by ax 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线cax l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线cax l 22:=；焦点到准线的距离cbp 2=（也叫焦参数）对于12222=-bx ay 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线cay l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线cay l 22:=17 双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式： ⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）18．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=19．双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 d 2=20 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 21．抛物线的准线方程：(1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：x -=(2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：y -=(3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p -，准线l ：x = (4) )0(22>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即42p =不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号22．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 23抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+=抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-=抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+=抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-=24．直线与抛物线： （1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx CyAx C ，消去y ，得到关于x 的二次方程02=++c bx ax （*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点） 0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点 （相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21kad +∆=，（3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++=抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-=抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2=（5）若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p pkp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒（6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和21px x =25．抛物线)0(22>=p px y的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y pt x （t 为参数）三、板书设计（略） 四、课后记：。

12021高考数学专题复习:椭圆 2021.2.101.定义:2.标准方程:()()F x F y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩在轴在轴3.长轴长: 短轴长: 焦距: 通径:4.勾股关系: ,1BF =5.离心率: 取值范围:6.椭圆上点P 到焦点1F 的距离最大值为 ,最小值为(1)2212516x y +=:=a =b =c 顶点坐标 , ,焦点坐标 ,离心率 ,长轴长 ,短轴长 ,焦距椭圆上点P 到左焦点距离最大值为 ,最小值为2(2)2211810y x +=:=a =b =c 顶点坐标 , ,焦点坐标 ,离心率 ,长轴长 ,短轴长 ,焦距椭圆上点P 到上焦点距离最大值为 ,最小值为7.椭圆22221+=x y a b的左右焦点为,,21F F 过点1F 的弦,AB 则2ABF ∆的周长为 ，直线m x =与椭圆交于D C ,两点,当=m 时CD F 1,∆的周长最大值为()()()()()211211121121221211222422442244PF x l PF PF aPT x l PT PF PF PF a l a P M x l PM PF PF PF a l a⊥⇒=+=⊥⇒=+<+=⇒<⊥⇒=+<+=⇒<8.已知椭圆焦点在x 轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个直角三角形,椭圆离心率为9.已知椭圆22221+=x y a b满足,,a b c 成等差数列,则椭圆离心率为10.圆锥曲线与直线b kx y +=交于B A ,两点,则=AB11.圆锥曲线与直线l 交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点,已知,t x x BA=则有韦达定理关系式 12.椭圆22221+=x y a b的焦点为,,21F F 点P 在椭圆上满足12,F PF θ∠=则21PF F ∆的面积12F PF S ∆=()()23895230.5e e e e =+-=⇒=3练习:1.椭圆63222=+y x 标准方程: 的顶点坐标 , ,焦点坐标 , 离心率 ,长轴长 ,短轴长 ,焦距 ,通径：2.椭圆1162522=+y x 上一点P 到一焦点距离为7,则P 到另一焦点距离为3.过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于B A ,两点,则B A ,与椭圆的另一焦点2F 构 成22,ABF ABF ∆∆的周长是 （ ） A.22 B.2 C.2 D.14.椭圆()3,19222>=+a y a x 的两个焦点为,,21F F 且,821=F F 弦AB 过点1,F 则2ABF ∆的周长是5.椭圆焦点为()(),0,4,0,421F F -弦AB 过点1,F 且2ABF ∆的周长为24,那么该椭圆的方程为6.求椭圆标准方程：(1)椭圆上点P 到左焦点距离最大值为,7最小值为,3焦点在x 轴上的椭圆:(2)椭圆长轴长为12,离心率为31，焦点在x 轴:4(3)两焦点的坐标为()()0,3,0,321F F -椭圆上一点P 到21,F F 的距离之和等于10:(4)求焦点在x 轴上,焦距等于4,且经过点()62,3-P 的椭圆方程: 方法一:定义法()(),,21F F =+=212PF PFa +(5)求与12722=+y x 焦点相同,且经过点()2,3-P 的椭圆方程: 方法一:定义法()(),,21F F =+=212PF PFa +方法二:待定系数法()⇒-=+2,3,122P ty x(6)经过两点()()33,0,0,3Q P -的椭圆标准方程: 设122=+ny mx(7)椭圆经过两点()()2,3,1,6-Q P : ,离心率=e设122=+ny mx(8)求焦点在y 轴上,焦距等于12,且椭圆方程长轴与短轴长之比为,7:4椭圆方程:(9)焦点在x 轴与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点()3,2-的椭圆:5(10)椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32,点(在C 上.求C 的方程(11)椭圆焦点21,F F 在x 轴上()3,2,P 是椭圆上一点2211,,,PF F F PF 成等差数列,椭圆方程为( )A. 221164x y += B.221166x y += C.22184x y += D. 22186x y +=7.椭圆C 的焦点12,F F 在x 轴上,离心率为,22过1F 的直线交C 于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为16, 则C 的方程为8.椭圆193622=+y x 的焦点P F F ,,21为椭圆上的一点，当12F PF θ∠=时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆=(1)当21PF PF ⊥时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+⇒=+mn S mn n m n m 2122 (2)当021120=∠PF F 时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⇒==+00120sin 21120cos mn S mn n m6(3)当02160=∠PF F 时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+S n m 060cos 9.(1)点P 在椭圆1822=+y x 上,21,F F 分别是椭圆的两焦点,当01212120,F PF F PF ∠=∆的面积是当0121260,F PF F PF ∠=∆的面积是 当01212150,F PF F PF ∠=∆的面积是=075tan=075tan(2)21,F F 是椭圆191622=+y x 的两个焦点,P 在椭圆上满足1212,PF PF ⋅=则=∠21PF F10.()()0,3,0,321F F -是椭圆122=+ny m x 的两个焦点P ,是椭圆上的点,当2121,32PF F PF F ∆=∠π 的面积最大,求m n +=711.14922=+y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时,点P 横坐标取值范围12.已知()(),0,5,0,5B A -动点C 到B A ,两点的距离之和为6,设P 为C 上一点,0,=⋅PB PA 且,PB PA >则=PBPA13.(1)如果122=+ky x 当∈k 表示焦点在x 轴上椭圆,当∈k 表示焦点在y 轴上椭圆(2)直线01:=--kx y l 与椭圆1522=+my x 恒有公共点,则m 的取值范围是 （ ） A.()1,0 B.()5,0C.[)()+∞,55,1D.[)+∞,18 14.设P 是椭圆192522=+yx上一点,,M N分别是两圆()14:221=++yxF和()14:222=+-yxF上的点,则PNPM+的最小值最大值的分别为（）A.12,9 B.11,8 C.12,8 D.12,1015.已知椭圆1422=+ymx的离心率为2,2则此椭圆的长轴长为16.已知椭圆的标准方程为,16422=+ymx椭圆的离心率为=m,5317.椭圆左焦点为,F直线x m=与椭圆相交于点,,A B当FAB∆的周长最大时, FAB∆的面积是918.点()1,a A 在椭圆12422=+y x 的内部,则a 的取值范围是19.把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于,,,,,54321P P P P P76,P P 七个点1,F 是椭圆的一个焦点，则=++++++17161514131211F P F P F P F P F P F P F P20.椭圆131222=+y x 的一个焦点为1,F 点P 在椭圆上,如果1PF 的中点M 在y 轴上,点M 的坐标21.设直线l 过椭圆C 的一个焦点,且与焦点所在轴垂直,l 与C 交于B A ,两点,若弦长AB 等于C 的长轴 长的一半，则C 的离心率为22.设直线l 过椭圆C 的右焦点,且与焦点所在轴垂直,l 与C 交于B A ,两点,若弦长AB 等于C 的焦距 的一半，则C 的离心率为1023.12,F F 是椭圆2214+=x y 的左右焦点,点P 在椭圆上运动,则21PF PF ⋅的最大值为 ， 21PF PF ⋅的取值范围是24.已知动点()y x P ,在椭圆1162522=+y x 上,若点A 坐标为()3,0,1,AM =且0,PM AM ⋅=的最小值为25.设P 是椭圆192522=+y x 上一点,椭圆左右焦点为21,F F (),3,0,A 则PA PF +1的最大值为 此时P 点坐标为[]()(()[][][][][]()()()2222222222222221 1.,0,,1,0,2222,.322107 3.314.114244,3520.56,420 1.3620761 1.26,232 1.3252136323210x y b A B F e a b c a PF x y a l a A c b a x y a c b a c x y x y a c c a c a +=±=====-=+=⇒=⇒==⇒==⇒=⇒==⇒=⇒+=+=⎧⇒+===⇒=⇒+=⎨-=⎩=()()()()()()()()2222222222222222222225,34 1.251642,027512 1.36325110 1.5151061 1.7119279338::43,68, 1.642891,434x y a c b x y F a x y x y t t t x y x y a mx ny mx ny e b y x a b c c a b x y x t t ⇒==⇒=⇒+=±⇒=+=⇒+=+=⇒=⇒+=+⎧=⎪+=⇒+=+=⇒+=⇒=⎨=⎪⎩==⇒==+=+=+(()(()([][]()()()()2222222222222222222,2,2 1.386210:3:1,513954525431142::221.8674 1.16812144214428:1y x y t t x y x y e a b t x y t x yc a a b c t D x y a c b m n m n m n mn m n c ⎛⎫=⇒=⇒+= ⎪⎝⎭=⇒=⇒+=⇒=⇒+=⎧⇒+=⎪=⇒=⇒⇒=⇒+=⇒⎨⎪⎩=⇒=⇒=⇒+=+=⇒+=⇒++=+=方法一()()()()22222200222200181089121236210841cos12022221sin12021212210841cos 6022221sin 602mn m n S S mn m n mn m n mn m n c S mn mn S mn m n mn m n mn m n c mn mn S mn ⎧⎫⎪⎪⇒=⎬⎪⇒+=⎪⇒=⎭⎨⎪=⎪⎩⎧+=⎫⎪⎪⇒=⎬+--+-⎪⎪=⇒-=⎪⇒=⎨⎭⎪⎪=⋅⎪⎩⎧+=⎫⎪⎪⇒=⎬+--+-⎪⎪=⇒=⎪⎨⎭⎪=⋅⎩()()()2000123:tan19tan459.29tan6039tan302S S b S S S θ⇒=⎪⎪=⋅⇒=⋅==⋅==⋅=方法二[]()()()()()(000123220121212022max 2012911tan 601tan 301tan 7522464242812cos cos 60.22421060::2315.1114tan 452p p S S S m n mn c F PF F PF F PF mn S F PO a b c c a b m n a b PF PF S y y x =⋅==⋅==⋅=++----∠==⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒==⇒==+=+=⊥⇒=⋅=⋅⇒=()()[]()()()()()()2222221max 2max .6384112220 2.9462111311101,,100,1.1110,112.5114p x x y m n a mn m m b m n m n n n c PA PBx y k k k kky kx l C m PM PF PN PF ⎛=⇒∈ ⎝⎭⎧+=⇒==⎧⎧=⎧⇒+=⎪⎪⎪⇒=⇒⇒+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎨+===⎪⎪⎩⎩⎩⎪⊥⎩+=⇒>>⇒∈+∞<>⇒∈⎧=+⇒∈⇒⎪⇒⎨≠⎪⎩=+=+()()()()()()12max min 222222222128.1221415:::2:1242241251003166416::5:4:3:25:16.2564102451625171,48,PM PN PF PF a PM PN C a a a a b c a b a a a m mmm e a b c a b m mm c l a AB ⎧⎪⇒+=++=+=⇒+=⇒⎨⎪⎩⎧=⇒==⎪⎪=⇒=⇒⎨⎪==⇒=⇒=⎪⎩⎧=⇒=⎪⎪=⇒=⇒=⇒⎨⎪=⇒=⎪⎩====()(()()()()()()()22711211711112411171222211332 3.1812.24219210,5735.203,0,0,33,0,.212122::2212222p a S a a P F PF PF P F PF PF a P F a PF P F a F M y x P M b a a b a b c e a b c a =⇒=⋅⋅=+<⇒<⇒∈=⇒+=+====⇒++==⎛⎛-⇒=⇒⇒ ⎝⎭⎝⎭=⋅⇒=⇒=⇒==⋅⇒()()()()()())()()222222121222222122122222202202:::422314 4.42,,,33143 2.4ac b ac a c c ac a e e e c AF AF F F e a m n m n m n x P x y PF PF x y x y x y x PF PF x x =⇒=-⇒+-=⇒+-=⇒==⇒===++=⇒+≤⎛⎫⇒⋅=--⋅-=-+=-+-=⎪⎝⎭⇒⋅=-∈方法二[][]()()()()()222221222max 2222,22,1.241132510101015.3320027412000,44141916225y AM MP PM PA AM PA a c PF PA PF PA PA PF AF y x x x P x y -⇒∈-⊥⇒=-=-≥--=⇒+=-+=-+=+=⎡⎤⎣⎦⎧=-+⎪⎛⎫⇒-=⇒-⎨⎪⎝⎭⎪+=⎩2021高考数学专题复习:双曲线1.定义:2.标准方程()()F x F y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩在轴在轴3.实轴: 虚轴: 焦距: 通径:4.勾股关系:5.离心率: 取值范围: 等轴双曲线离心率6.渐近线()(),F x y kx F y ⎧=⇒⎪⎨⎪⎩在轴在轴7.双曲线右支上点P 到左焦点1F 的距离最小值为,a c +P 到右焦点2F 的距离最小值为 双曲线上点P 到焦点距离最小值为(1)22143x y -=:=a =b =c 实轴长 、虚轴长 、焦距 、顶点坐标 、焦点坐标 、离心率渐近线方程 双曲线上点P 到焦点距离最小值为(2)22139y x -=:=a =b =c 实轴长 、虚轴长 、焦距 、顶点坐标 、焦点坐标 、离心率渐近线方程 双曲线上点P 到焦点距离最小值为8.双曲线12222=-by a x 的焦点为,,21F F 在左支上过点1F 的弦AB 的长为,m 2AF =2BF = ,=+22BF AF = ,2ABF ∆的周长为双曲线221916x y -=的焦点为,,21F F 在左支上过点1F 的弦AB 的长为,122ABF ∆的周长为9.双曲线12222=-by a x 的焦点为12,,F F 点P 在双曲线上满足θ=∠21PF F ,则21PF F ∆的面积12F PF S ∆=10.双曲线12222=-by a x 满足,2a c b =-则离心率=e11.双曲线12222=-by a x 虚轴一个端点和两顶点构成等边三角形,则离心率=e12.双曲线12222=-by a x 虚轴一个端点和两焦点构成底角为030的等腰三角形,则离心率=e13. 过双曲线12222=-by a x 焦点向渐近线作垂线,FM FM = 垂足M 坐标为(1)过双曲线116922=-y x 焦点向渐近线作垂线,FM FM =(2)过双曲线14222=-by x 焦点向渐近线作垂线,3,FM FM =则离心率=e14.双曲线12222=-by a x 渐近线与圆222x y c +=在第一象限交点E 坐标()()()()()()()()()()()21221121222284424236.29.tan25103250.311:3::32 2.3612:3::1:3221313,,14214,AF AF aAF BF AF BF a a m l a m BF BF a b S e e e b a b a c e b c b c a e a ab FM b M FMe c c E a b θ=+⎧⇒+=++=+⇒=+=⎨=+⎩=--=⇒==⇒=⇒===⇒==⎛⎫===⎪⎝⎭1.双曲线14491622=-y x 标准方程: ,实轴长2a = 、虚轴长2b = 、 焦距2c = 、顶点坐标 、焦点坐标 、离心率 和渐近线方程2.双曲线19422=-x y ,实轴长2a = 、虚轴长2b = 、焦距2c = 、顶点坐标 、焦点坐标 、离心率 和渐近线方程3.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点,双曲线的一条渐近线方程为21,,023F F y x =-分别是双曲线的 左右焦点.若,31=PF 则=2PF4.双曲线116922=-x y 上一点P 到它的一个焦点的距离为P ,7到另一个焦点的距离等于5.设双曲线1922=-y x 的两焦点是A F F ,,21为双曲线的一点,且,71=AF 则=2AF6.求双曲线方程：(1),3,4==b a 焦点在x 轴(2)两焦点()(),0,5,0,521F F -双曲线上一点P 到21,F F 的距离的差的绝对值等于6(3)焦点为(),6,0±F 经过点()5,2-P 方法一:定义法 ()(),,21F F =a2-=a 2(4)与双曲线141622=-y x 有公共焦点,且过点()2,23的双曲线方法一:定义法 ()(),,21FF -=a 2方法二:待定系数法 122=-ty x(5)双曲线上两点21,P P 坐标分别为()()3,2,23,3-B A 它的离心率为 设122=+ny mx(6)双曲线上两点21,P P 坐标分别为()()3,72,26,7B A -- 它的离心率为 设122=+ny mx(7)与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且过点()32,3-的双曲线(8)焦点在x 轴与双曲线1321822=-y x 具有相同的离心率且过点()22,3-(9)双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为3,点)2-在C 上.求C 的方程7.双曲线191622=-y x 的左焦点到渐近线的距离为8.已知双曲线22221-=x y a b 两渐近线夹角为,3π离心率=e9.已知双曲线22221-=x y a b的实轴长为2,焦距为4,求该双曲线方程10.双曲线1:2222=-b y a x C 的焦距为10,点()1,2P 在C 的渐近线上,则C 的方程为 （ ）A.152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x11.若点()5,0F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点,则=m12. 若点()5,0F 是双曲线22+112y x n=的一个焦点,则=n13.设双曲线()0.19222>=-a y ax 的渐近线方程为,032=±y x 则=a14.焦点在x 轴等轴双曲线过点(),1,3求该双曲线方程 离心率为15.已知点()3,2在双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 上,双曲线焦距为4,则它的离心率为16.双曲线192522=-y x 的焦点为,,21F F 在左支上过点1F 的弦AB 的长为,10则2ABF ∆的周长为17.21,F F为双曲线1422=-y x 焦点,P 在双曲线上,当12F PF θ∠=时,21PF F ∆面积12F PF S ∆=(1)当21PF PF ⊥时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=-S n m n m 22 (2)当021120=∠PF F 时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-S n m 0120cos (3)当02160=∠PF F 时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-S n m 060cos 18.21,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点P ,在双曲线上(1)当P满足3221=⋅PF PF 时,=∠21PF F(2)当02130=∠PF F 时,21PF F ∆的面积为2119.12,F F 为双曲线:C 222x y -=的左右焦点,点P 在C 上,2,21PF PF =则12cos FPF ∠=（ ） A.14 B.35 C.34 D.4520.14522=-y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点,当21PF F ∠为锐角时P ,纵坐标取值范围21.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点,点P 在C 上012,120,F PF ∠=则P 到x 轴的距离为22.设21,F F 是双曲线2213x y -=的焦点，P 在双曲线上，当12F PF ∆的面积为2时,12PF PF ⋅=2223.12,F F 为双曲线:C 221x y -=的左右焦点,点P 在C 右支上,I 为12PF F ∆的内心,若,120021=∠IF F12PF F ∆的面积为24.已知点P 是双曲线221169x y -=右支上一点,21,F F 分别为双曲线的左右焦点,I 为12PF F ∆的内心,若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立,则λ的值为25.P 是双曲线116922=-y x 左支上一点N M ,,分别是两圆()15:221=++y x F 和()45:222=+-y x F上的点,则PM PN -的最大值为 ,最小值为26.过原点的直线l ,如果它与双曲线14322=-x y 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围2327.已知双曲线221916x y -=的左右焦点分别是12,F F P ,点是双曲线右支上一点,且,212F F PF = 12PF F ∆的面积为28.直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与该焦点所在轴垂直l ,与C 交于B A ,两点,若弦长AB 等于C 的实轴长，则C 的离心率为29.直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与该焦点所在轴垂直l ,与C 交于B A ,两点,若弦长AB 等于C 的焦距，则C 的离心率为30.21,F F 为双曲线221169x y -=的左右焦点(),1,3,A -点P 在双曲线左支上,则2PF PA +最小值为2431.双曲线()221222:10,0,,x y C a b F F a b -=>>为其左、右焦点,线段2F A 垂直直线by x a=,垂足为点,A与C 交于点,B 若2F B BA =,则C 的离心率为32.已知12,F F 为双曲线22:12y C x -=的左右焦点,点P 在C 的渐近线上12,0,PF PF P ⋅<横坐标取值范围()()()[]()()()()()()()()())[]22222222222222222222222237.413.51,1361 1.2 1.3 1.16991620164 1.51 2.61212839257514127 1.8191649418324988:,24 1.12487 3.x y x y y x x y x y x y e e x y x y x y x y t t t t x y x y e a b t t d b F -=-=-=-=-=⇒=-=⇒=-=⇒=⇒-=-=⇒=⇒-==⇒=⇒-=-⇒=⇒-===-()()()()()()()()()()0022225,0,:34038tan 602,tan 3091,2 1.10.1116.1213.3913.141,152.164240.222l x y d b b e e a a y a c x A x y e l a m -=⇒===⇒===⇒===⇒-=--===+=25[]()()()[]()()()()()()12322121202221222171 1.232416181cos 0.23222tan1524319cos .2414442046,,233321122p p pS S S m n mn c F PF F PFS mn m n m m n c F PF C mn m n n S y y y x y π===-+-∠==⇒∠===+⎧=⎧=+-⎪⎪⇒∠==⇒⎨⎨-=⎪=⎪⎩⎩⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⇒=⇒∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒12021124tan 6022F PF p p pS c y y d y ∆===⋅⋅⇒=⋅⋅⇒==()(()()()2121222120001221122112012121212241143222tan tan cos 5322352tan21236012060.tan 30122412PFFIPF IPF IF F mnc mn PF PF mnIFF IF F PF F PF F F PF S PF PF r S S PF PF S F F F F r θθθθλ∆∆∆∆+-=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒⋅=∠+∠=⇒∠+∠=⇒∠=⇒==⋅-⋅--===⋅⋅()()()()()()()()2121max min max 2121min maxmin21211224.25252, 1.32392, 1.3233326,,.21275101664822282a c PN PF PM PF PN PM PF PF a PN PF PMPF PN PM PF PFa a kb cPF F F PF h S PFh b a a===+=--=-+=+==-=+-=--=-=⎛⎛⎫=±=⇒-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒==⇒=⇒=⇒=⋅⋅==::a b a b c e ⇒=⇒=⇒=()()()()()()()2222222121221121min 2222222229201021:::22222258133031,,.224b c ac bac c a c ac a e e e ac AF AF F Fe a PF PA PF a c F A ba ab ac ab A B O a PA PA P A a c F a PF PA AF a c c c =⇒=⇒=-⇒--=⇒--=⇒+=⎛⎫⎛⎫⎧+==⇒===+=++=++⇒+=+=+⇒⇒⇒⎨⎪ ⎪==⎩⎝⎭⎝⎭方法二()(()12422222232tan 1,1124b PF PF OP c P x a c a c a a e c a α⎛⎫⊥⇒-=⇒=⇒====⇒⇒∈- ⎪⎝⎭262021高考数学专题复习:圆锥曲线定义1.方程122=+ny m x 表示曲线,C 讨论图像特征 (1)曲线C 为焦点在x 轴椭圆: (2)曲线C 为焦点在y 轴椭圆: (3)曲线C 为圆:(4)曲线C 为焦点在x 轴双曲线: (5)曲线C 为焦点在y 轴双曲线: (6)曲线C 为椭圆: (7)曲线C 为双曲线:2.讨论181622=-+-k y k x 表示何种曲线？ (1)曲线C 为焦点在x 轴椭圆:(2)曲线C 为焦点在y 轴椭圆:(3)曲线C 为圆:(4)曲线C 为焦点在x 轴双曲线:(5)曲线C 为焦点在y 轴双曲线:(6)曲线C 为椭圆:(7)曲线C 为双曲线:273.讨论()()12822=-+-y k x k 表示何种曲线？(1)曲线C 为焦点在x 轴椭圆:(2)曲线C 为焦点在y 轴椭圆:(3)曲线C 为圆:(4)曲线C 为焦点在x 轴双曲线:(5)曲线C 为焦点在y 轴双曲线:(6)曲线C 为椭圆:(7)曲线C 为双曲线:4.已知方程11222=-+-k y k x 的图像是双曲线,k 的取值范围是5.已知方程11222=-+-k y k x 的图像是椭圆,k 的取值范围是6.对于曲线:C 1422-+-k y k x 1=，给出下面四个命题： (1)曲线C 不可能表示椭圆(2)若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则251<<k (3)若曲线C 表示双曲线，则1<k 或4>k(4)当41<<k 时曲线C 表示椭圆，其中正确的是 ( ) A.(2)(3) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(3)(4)287.已知曲线C ：2221()2x y m R m m+=∈+，则下列结论正确的是 ( )A ．若m<0，则曲线C 表示双曲线B ．曲线C 可能表示一个圆C ．若曲线C是椭圆，则其长轴长为 D ．若m=1，则曲线C[]()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()[]110.20.30.40.50.60,0,.70218,12.212,16.312.4,8.516,.68,1212,16.7,816,315,8.22,5.3 5.4,2.58,.65,82,5.7,28,4210120,12,.20510m n n m m n m n n m m n m n m n k k k k k k k k k >>>>=>>>>>>>≠⋅<=-∞+∞-∞+∞=-∞+∞-∞+∞--<⇒-->⇒∈-∞+∞->->[][]331,,2.22216.7.k k k A AD ⎧⎪⎛⎫⎛⎫⇒∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪-≠-⎩2021高考数学专题复习:抛物线一.定义:求下列抛物线的焦点坐标，准线方程:()218y x=()22y x=-()234x y=()2144x y=-()258x y=()2166y x=-:F:l2930 抛物线pxy22=一点()AAyxA,焦半径==dAF抛物线pxy22-=一点()AAyxA,焦半径=AF抛物线pyx22=一点()AAyxA,焦半径=AF抛物线pyx22-=一点()AAyxA,焦半径=AF1.(1)双曲线2221xya-=()0>a的一个焦点与抛物线212y x=-的焦点重合,则此双曲线的离心率为(2)抛物线28x y=-上一点P到焦点F的距离为6,则P的坐标为(3)若抛物线2y mx=的焦点与2211620x y-=的右焦点重合,则m=2.(1)准线方程为,2-=y求抛物线方程:(2)焦点(),0,32-F求抛物线方程:(3)抛物线241xy-=的准线方程是焦点坐标(4)已知抛物线22y px=的准线方程是2x=-,则=p焦点坐标31(5)抛物线x y 212=上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 到y 轴的距离是(6)抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为5,则P 的坐标为(7)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点()0,2y M ,若点M 到该抛物线焦点的 距离为,4则=OM （ ）A.C.4D.(8)抛物线x y 162=上一点P 到准线的距离等于到顶点的距离,则点P 的坐标为32二．过焦点的直线l与抛物线pxy22=交于()()BBAAyxByxA,,,两点()0,,yxM是AB的中点，则: 焦半径==dAF ,=BF焦点弦=AB==过焦点的直线l与抛物线pxy22-=交于()()BBAAyxByxA,,,两点()0,,yxM是AB的中点，则:焦半径=AF ,=BF焦点弦=AB==过焦点的直线l与抛物线pyx22=交于()()BBAAyxByxA,,,两点()0,,yxM是AB的中点，则:焦半径=AF ,=BF焦点弦=AB=过焦点的直线l与抛物线pyx22-=交于()()BBAAyxByxA,,,两点()0,,yxM是AB的中点,则:焦半径=AF ,=BF焦点弦=AB==3.过抛物线xy62=的焦点作直线交抛物线于()()2211,,,yxByxA两点,如果128x x+==AB,4.过抛物线yx42-=的焦点作直线交抛物线与BA,两点,若8=AB AB,中点的纵坐标为335.设抛物线y x122=的焦点为,F 经过点()2,3P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点且点P 恰为AB的中点,则=+BF AF（ ）A.14B.12C.11D.106.F 是抛物线x y =2焦点B A ,,是该抛物线上的两点,3,=+BF AF AB 中点到y 轴的距离为7.直线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41:x k y l 与抛物线2y x =交于,A B 两点,若,4=AB 则弦AB 的中点到直线1-=x 的 距离为8.双曲线22154x y -=与x y 122-=准线交于B A ,两点=AB ,34 9.双曲线222x y m-=()0>m与28y x=准线交于BA,两点,32,=AB点A坐标实数=m10.已知点()4,3,A F为抛物线xy42=的焦点,点P在该抛物线上移动,PFPA+取得最小值为，此时点P的坐标为11.已知点P在抛物线24y x=上,则点P到直线1:4360l x y-+=的距离和到直线2:1l x=-的距离之和的最小值为 ,点P坐标为12.点P在抛物线28y x=-上,则P到直线1:60l x-=的距离和到y轴的距离之和的最小值为3513.已知点()2,3,A -点P 在抛物线y x 82-=上移动,M 是圆034:22=+++y y x F 上的动点,则PA PM +的最小值为14.抛物线()0,22>=p px y 焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为,K 点A 在抛物线上且,2AF AK =则A 点的横坐标为 （ ）A. B.3C. D.415.抛物线x y 22=上一点M 到坐标原点O 的距离为,3则点M 到该抛物线焦点的距离为3616.设抛物线28y x =的焦点为,F 准线为P l ,为抛物线上一点A l PA ,,⊥为垂足,如果直线AF 斜率为3-,那么PF =（ ）A.43B.16C.83D.817.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米18.已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点 到准线的距离是 ( ) A.34 B.32C.3D.2319.定长为6的线段AB 的两个端点B A ,在x y 42=上移动，求AB 的中点M 到y 轴距离的最小值 xyOAB37[]()()()()[]()()()()()()()()()()()()()([]()[][]2222120001124.324.218.2.34:1,0,1.44,2,0.1751.886154,4.72482,4.284,0,22,.38311.4228 3.5246p p e P m x y y x y l y F p F x x x P py x M OM D F PO PF x P AB x x p y y AF BF y p =±-===-=-⇒=-=+=⇒=+=⇒±+=⇒=⇒±⇒==⇒=⇒±=++=+=-+=⇒=-+=+=+[][][]()[]([][]()()00002min 22min 10.15623.241711724.24428:3,3,092,83 5.910415,,3.2441,01211 2.98290,393:436014A D x x x x d b l x F AB a A m m p d x P y xF d x x P l x y y x =⇒+=⇒=+=⇒=⇒==⇒===-⇒-=⇒=⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎧=⎧⎪⎪⎛⎫⇒==⇒-+=⇒⎨⎨ -+==--⎝⎭⎪⎩⎪⎩[]()[]()[]()[](([]()()min 22min 2220002,0122 2.:6013:21321423,314312,3121315,231,1.22162,,2,04A p p AF p F d l x p F x y d y r x y A x x c y x AK xB y xM x x x M d yA y F k y ⎪-⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩⎛⎫++=⇒=+-=+-= ⎪⎝⎭⎧+=⇒+⎪⇒=⇒==⇒⇒=⇒⎨=⎪⎩⇒+=⇒⇒=+=-⇒===-[]()()[]()()()([]2222662817,2,222,33,1118,,1.4619226222p M M M x PF d x ay a x y y x A x ax y ax A x a y d B B x a x AB AF BF x x AF BF x =⇒==+==-⇒=-⇒=-=-⇒=-⇒⇒=⎧⎪=⇔⇒==⇒=⇒⎨+⇒=⎪⎩=≤+⎧⇒+≥⇒≥⎨+=+⎩382021高考数学专题复习:离心率通过勾股比例求离心率：1.(1)已知椭圆2222+=1,x ya b点⎪⎪⎭⎫⎝⎛bbP22,23在椭圆上,椭圆的离心率为(2)已知椭圆2222+=1,x ya b点⎪⎪⎭⎫⎝⎛aaP22,55在椭圆上,椭圆的离心率为(3)已知双曲线22221-=x ya b点()aaP,2在双曲线上,双曲线的离心率为(4)已知双曲线22221-=x ya b点()bbP3,2在双曲线上,双曲线的离心率为2.21,FF是椭圆2222:1x yCa b+=左右焦点B,是C短轴的顶点012,150,F BF∠=C的离心率为393.双曲线22221-=x y a b虚轴一个端点和两顶点构成底角为030的等腰三角形,则离心率=e4.双曲线虚轴上的一个端点为,M 两个焦点为21,F F ,120,021=∠MF F 则双曲线的离心率为5.已知椭圆的中心为原点,O 长轴在x 轴上,上顶点为,A 左右焦点分别为,,21F F 线段12,OF OF 的中点分别 为12,,B B 且21B AB ∆是直角三角形,该椭圆的离心率为6.点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点,O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,2,F F OP tan PF F =∠=则双曲线C 的离心率为407.设椭圆1:2222=+by a x C 的左右焦点分别为A F F ,,21是椭圆上的一点,,12AF AF ⊥原点O 到直线1AF 的距离为11,2OM OF =则椭圆的离心率为8.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的焦点F 到一条渐近线的距离,23OFd =点O 为坐标原点, 此双曲线的离心率为9.点A 是抛物线x y C 4:21=与双曲线()0,0,1:22222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线1C的焦点的距离为2,则双曲线2C 的离心率为10.点P 在双曲线22221-=x y a b上21,,F F 是这条双曲线的两个焦点,90,021=∠PF F 且21PF F ∆的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是4111.已知双曲线与椭圆有公共焦点,,M N 是双曲线的两顶点.若N O M ,,将椭圆长轴四等分,则双曲线与 椭圆的离心率的比值是12.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b 的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两 点2,ABF ∆是正三角形,则该双曲线的离心率是13.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b 的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两 点2,ABF ∆是直角三角形,则该双曲线的离心率是4214.设椭圆的两个焦点分别为,,21F F 过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,P 若21PF F ∆为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率是15.(1)圆锥曲线两焦点为,,21F F 若曲线上点P 满足1122::4:3:2,PF F F PF =曲线的离心率=e(2)正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点,其余4个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率 为 ．16.21,F F 是椭圆22221+=x y a b的左右焦点,点P 是以21,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点1221,5,PF F PF F ∠=∠ 则椭圆离心率为 A D F E CB4317.()()31322=-+-y x 与()0,0,12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线相切，双曲线离心率为 ( ) A.332 B.27 C.2 D.718.O 为坐标原点,双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的右焦点,F 以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线 于异于原点的点,A 若(),0=⋅+OF AF AO 则双曲线的离心率=e19.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为2F ,过点2F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于B A ,两点, 且与双曲线在第一象限交点为O P ,为坐标原点,若OP OA OB λμ=+,316λμ⋅=,双曲线离心率=e4420.过双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左焦点()(),0.0,F c c ->作圆4222a y x =+的切线,切点为,E 延长FE 交曲线右支于点,P 若(),21OP OF OE +=则双曲线的离心率为21.设21,F F 分别为双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点.若在双曲线右支上存在点P ,满足 212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为4522.过椭圆22221+=x y a b 的左焦点1F 的弦AB 的长为23,4AF =且,02=⋅AF AB 则椭圆的离心率为23.21,F F 是双曲线()0,0,1:2222>>=-b a b y a x C 的左右焦点,过2F 的直线与双曲线C 交于B A ,两点. 若11::3:4:5,AB BF AF =则双曲线的离心率为4624.双曲()0,0,12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为P F F F F ,4,,2121=是双曲线右支上的一点， P F 2与y 轴交于点1,APF A ∆的内切圆在边1PF 上的切点为,Q 若,1=PQ 则双曲线的离心率是25.设双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的半焦距为,c 直线l 过()()b B a A ,0,0,两点，若原点O 到l 的 距离为,43c 则双曲线的离心率为 （ ） A.332或2 B.2 C.2或332 D.3324726.21,F F 是双曲线22221x y a b -=的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别 交于B A ,两点2,ABF ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是27.已知21,F F 是双曲线22221x y a b -=的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线分别交于B A , 两点2,ABF ∆是钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是28.双曲线()0,1,12222>>=-b a b y a x 的焦距为,2c 直线l 过点()0,a 和(),,0b 且点()0,1到直线l 的距离与点()0,1-到直线l 的距离之和,54c d ≥求双曲线的离心率e 的取值范围4829.21,F F 为双曲线12222=-by a x 的焦点B A ,,分别为双曲线的左右顶点,以21F F 为直径的圆与双曲线的 渐近线在第一象限的交点为,M 且满足,300=∠MAB 则该双曲线的离心率为30.双曲线12222=-by a x 的左右焦点为P F F ,,21是双曲线左支上一点,=直线2PF 与 圆222a y x =+相切,则双曲线的离心率e 为31.21,F F 是椭圆()2222+=1,0x y a b a b>>的左右焦点,点()b a P ,满足,212F F PF =离心率=e4932.21,F F 是双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 的左右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于 直线by x a =对称,则该双曲线的离心率为33.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 过点F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为,A 且交 y 轴于,B 若,2AF BA =则双曲线的离心率为 （ ）A.26B.23C.332 D.3634.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 直线l 过点2F 且与双曲线有且只有一个交点，直线l 与一条渐近线交于点,P 且,22112F PF F PF ∠=∠则双曲线离心率为50 35.设P为直线3by xa=与双曲线()0,0,12222>>=-babyax左支交点1,F是左焦点1,PF垂直于x轴, 则双曲线的离心率e=36.椭圆()1.1:222<<=+bbyxE的左右焦点分别是,,21FF过点1F的直线交椭圆E于BA,两点,若xAFBFAF⊥=211,3轴,椭圆E的离心率为37.设21,FF分别是双曲线()0,0,12222>>=-babyax的左右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()OPFOFOP,022=⋅+为坐标原点,=则该双曲线的离心率为。

圆锥曲线知识点总结1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面内由圆锥截面形成的曲线。

圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等类型。

它们的定义方式如下：- 圆：如果平面内的一条曲线上到定点的距离恒定，那么这条曲线就是一个圆。

- 椭圆：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之和恒定，这条曲线就是椭圆。

- 双曲线：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之差恒定，这条曲线就是双曲线。

- 抛物线：平面内的一条曲线上到定点的距离等于到直线的距离，这条曲线就是抛物线。

2. 圆锥曲线的基本性质圆锥曲线具有一些共同的基本性质，对于不同的类型曲线具有不同的特点：- 对称性：圆锥曲线可能具有对称轴，可以对称于直线、坐标轴、原点或其他特定点。

- 过焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到焦距的距离之和始终是一个固定值。

- 直径性质：圆锥曲线可能有两个焦点，双曲线、椭圆和抛物线有两个焦点，而圆只有一个焦点。

- 渐近线性质：双曲线和椭圆的曲线可能有渐近线，这些渐近线与曲线的某些特定方向趋近的直线。

3. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线可以用参数方程来表示。

参数方程是指用参数来表示一个函数或曲线的方程。

对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的参数方程可以表示为：- 椭圆：x=a*cos(t) ，y=b*sin(t) 0≤t≤2π- 双曲线：x=a*cosh(t) ， y=b*sinh(t) -∞<t<+∞4. 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程来表示。

极坐标方程是指用极坐标来表示一个函数或曲线的方程。

对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的极坐标方程可以表示为：- 椭圆：r(t)=a(1-e^2)/(1+e*cos(t))- 双曲线：r(t)=a(1+e*cos(t))5. 圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线来说，焦点和直径是它们的重要性质。

焦点是指椭圆、双曲线、抛物线曲线上的两个固定点，直径是指通过焦点的直线。

6. 圆锥曲线的渐近线部分圆锥曲线，如双曲线和椭圆，可能存在渐近线。

高考一轮复习圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。