二倍角的正弦、余弦、正切公式经典教案

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计王祥教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.教学目标1.知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.情感态度价值观：通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.课时安排1课时教学过程导入新课(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α+β)=sin （S 2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cosα,则2cos 2α-2cosα-1=0,即cosα=231-(cosα=231+舍去). 若ta n2α=2tanα,则aa 2tan 1tan 2-=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）例题讲解：例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π. 又∵sin2α=135, ∴cos2α=a 2sin 12--=1312)135(12-=--. 于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120-; cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=129119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.课后作业课本习题3.1 A组15、16、17.课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.课后反思：1.新课改的核心理念是：以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.2.纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣.。

二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案【学习目标】1.学会利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦余弦正切公式，知道各公式之间的内在联系，认识全部公式体系的生成过程2.能记住二倍角公式及相关变形3.能用二倍角公式进行化简求值【重难点】二倍角公式的推导及运用【学法指点】自主探求公式的内在联系预习案预习课本132至134页，完成以下内容1.知识链接：两角和的正弦、余弦、正切公式()sin αβ+= ()cos αβ+=()tan αβ+=2、探求内容1〈〉当上述公式中角、具有特殊化关系时，公式变为甚么方式？ sin 2α=cos2α=tan 2α= （其中 tan α成心义α≠tan 2α成心义2α≠ ）以上公式的推导是利用 的数学思想2〈〉根据22sin cos 1αα+= 上述公式cos2α有无其他变式？cos2α= = 以上公式都为倍角公式 。

“倍”是描述两个数量之间关系的，比如2α是α二倍，4α是2α二倍，α是2α二倍。

3.检测预习效果（1）22cos sin 88ππ-= （2）,,sin 6730cos6730= （3）22tan 22.51tan 22.5=- （4）=-625sin 212π探求案（25分钟） 例1已知5sin 2,,sin 4,cos 4,tan 41342ππααααα=<<求的值变式1：04πα若的范围改为（，），结果相同吗？变式2若条件5sin 2sin cos 13ααα=+=改为如何做？例2．在3,tan 2,tan(22)4ABC A B A B ==+中，tan 求的值总结预习感想和需解决的成绩1． 2． 3． 4．当堂检测案（5分钟）1． 默写今天所学公式sin 2α=cos2α= = =tan 2α= （α≠ ）2求值sin15cos15= 252tan 651tan 6ππ=-3.已知sin 2sin ,(,),tan 2παααπα=-∈求的值。

《二倍角的正弦余弦正切公式》教案教案：二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.理解二倍角的概念，并掌握二倍角的正弦、余弦和正切的定义；2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导方法；3.能够应用二倍角公式解决相关的数学问题。

二、教学内容：1.二倍角的概念和定义；2.二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导；3.二倍角公式的应用。

三、教学步骤：步骤一：引入知识（10分钟）1.引导学生回顾正弦、余弦、正切公式；2.提问：你知道什么是角的二倍角吗？请举个例子。

步骤二：二倍角的概念和定义（10分钟）1.明确角的二倍角的定义：角的二倍角是角度大小是原角的两倍的角；2.引导学生通过几何图形理解二倍角的概念；3.提问学生：如何表示角的二倍角？步骤三：二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导（20分钟）1.讲解二倍角的正弦公式的推导过程：根据正弦的定义，sin2θ = 2sinθcosθ，sinθ = ±√(1 -cos^2(θ))，将sinθ代入sin2θ = 2sinθcosθ的式子中，推导出sin2θ的表达式；2.讲解二倍角的余弦公式的推导过程：根据余弦的定义，cos2θ = cos^2(θ) - sin^2(θ)，将sinθ和cosθ用tan(θ/2)表示，利用三角恒等式cos^2(θ) = 1/(1 +tan^2(θ/2))和sin^2(θ) = tan^2(θ/2)/(1 + tan^2(θ/2))，将cos^2(θ)和sin^2(θ)代入cos2θ = cos^2(θ) - sin^2(θ)的式子中，推导出cos2θ的表达式；3.讲解二倍角的正切公式的推导过程：根据正切的定义，tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2(θ))，将t anθ用sinθ/cosθ表示，化简得到tan2θ的表达式。

步骤四：二倍角公式的应用（30分钟）1.通过例题引导学生理解和应用二倍角公式；2.给学生分发练习题，让学生独立解答并进行讲解、讨论；3.布置作业：完成练习题，总结课堂所学内容。

二倍角正弦、余弦、正切公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。

2. 使学生能够灵活运用二倍角正弦、余弦、正切公式解决相关问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

二、教学内容：1. 二倍角正弦公式：sin2α= 2sinαcosα2. 二倍角余弦公式：cos2α= cos^2αsin^2α= 2cos^2α1 = 1 2sin^2α3. 二倍角正切公式：tan2α= (tanα+ tan(α+π))/(1 tanαtan(α+π)) = (tanα+ tanα)/(1 tan^2α) = 2tanα/(1 tan^2α)三、教学重点与难点：1. 教学重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程及应用。

2. 教学难点：二倍角正切公式的推导过程及应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。

2. 运用例题，让学生在实践中掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。

3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。

五、教学步骤：1. 导入新课，回顾一倍角正弦、余弦、正切公式。

2. 引导学生利用已知公式，推导二倍角正弦、余弦、正切公式。

3. 通过例题，演示二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。

4. 组织学生进行练习，巩固所学知识。

六、课后作业：（1）已知sinα= 1/2，求sin2α的值。

（2）已知cosα= √2/2，求cos2α的值。

（3）已知tanα= 1，求tan2α的值。

七、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程，培养学生逻辑思维能力和运算能力。

针对不同学生的学习情况，给予适当的辅导，提高教学质量。

注重培养学生的合作学习意识，提高课堂参与度。

六、教学拓展：1. 引导学生探讨二倍角公式的推广，例如三倍角、四倍角公式。

2. 分析二倍角公式在实际问题中的应用，如测量、导航等领域。

七、课堂小结：2. 强调二倍角公式在解决实际问题中的重要性。

二倍角的正弦、余弦、正切王业奇sin sin αtan tan 1tan tan αβαβ±提出问题:若β=α，则得二倍角的正弦、一、例题:例一、（公式巩固性练习)求值: 1．sin2230'cos2230’=4245sin 21=2．=-π18cos 22224cos =π 3．=π-π8cos 8sin 22224cos -=π- 4．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sincos )(sin cos )12121212ππππ+- 225553sin cos cos 121262πππ=-=-=2．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3．=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 224．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+例三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值.解：sin2cos2=57tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 2222222=θ+-θ+θ=θ+θθ-θ+θ例四、条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ+θ2cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？解:=θ+sin 1a =θ+θ2)2cos 2(sin即a =θ+θ|2cos 2sin |当在第三象限时，甲 乙；当a > 0时,乙 甲∴甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.例五、(P43 例一）已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2，cos2，tan2的值。

解：∵),2(,135sin ππ∈α=α∴1312sin 1cos 2-=α--=α∴sin2 = 2sin cos = 169120-cos2 = 169119sin 212=α-tan2 = 119120-∵1)42sin(1≤π+≤-x ∴]221,221[+-∈y例二、求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与无关的定值。

《二倍角的正弦余弦正切公式》教案教案：《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学目标：1.理解二倍角的概念和基本性质；2.学习和掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3.运用二倍角的公式解题。

教学内容：1.二倍角的概念和基本性质；2.二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导；3.二倍角公式的应用。

教学过程：第一步：导入新知1.引导学生回顾正弦、余弦、正切函数的定义和性质；2.提问：你知道什么是角的倍数吗？角的二倍数是什么？为什么要研究二倍角呢？第二步：理解二倍角的概念和基本性质1.引导学生思考：角的二倍数就是两个角之和等于该二倍数的角，即2θ；2.引导学生举例，如角θ=30°，则2θ=60°，角θ=45°，则2θ=90°；3.引导学生总结二倍角的性质：二倍角的度数是原角的二倍，且二倍角的三角函数可以用原角的三角函数表示。

第三步：学习和掌握二倍角的公式1.导出二倍角的正弦公式：通过绘制单位圆的二倍角所在弧，可以推导出sin 2θ =2sinθcosθ；2.导出二倍角的余弦公式：通过绘制单位圆的二倍角所在弧，可以推导出cos 2θ = cos²θ - sin²θ；3.导出二倍角的正切公式：将sin 2θ = 2sinθcosθ和cos 2θ = cos²θ - sin²θ相除，得到tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)；4.引导学生通过课堂推导，巩固二倍角的正弦、余弦、正切公式。

第四步：运用二倍角的公式解题1.教师出示一道二倍角公式的应用题，引导学生分析题意和给定的条件；2.指导学生使用二倍角的公式计算，并注意使用适当的三角函数；3.检查计算结果，并进行讲解。

第五步：练习和巩固1.指导学生完成若干道二倍角公式的应用题，并互相交流、校对答案；2.师生共同讨论解题思路和方法，澄清疑惑；3.总结二倍角的正弦、余弦、正切公式的使用技巧和注意事项。

二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案教学设计：二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识目标：1)理解两角和的正弦、余弦和正切公式，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。

2)通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2.能力目标：通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3.情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。

在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键1.教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式。

2.教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。

3.关键：二倍角的理解。

三、学法指导学法：研讨式教学。

四、教学设想1.问题情境复回顾两角和的正弦、余弦、正切公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。

思考：在这些和角公式中，如果令β=α，会有怎样的结果呢？2.建构数学公式推导：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα；cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα的式子呢？cos2α=cos2α-sin2α=1-si n2α-sin2α=1-2sin2α；cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1.以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了α与2α的三角函数之间的关系。

既公式中等号左边的角是右边角的2倍。

所以，确切地说，这组公式是二倍角的正弦、余弦、正切公式，这正是本节课要研究的内容。

二倍角公式教案二倍角的正弦、余弦、正切公式教学目标：1.学会利用和角公式推导出sin2α,cos2α,tan2α，并认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。

2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。

教学重难点：二倍角公式的推导及灵活应用，倍角的相对性教学方法：讨论式教学＋练教学过程：1.复引入前面我们研究了和差角公式，现在请一个同学回答一下和角公式的内容：sin（α+β）=cos（α+β）=tan（α+β）=有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就来研究二倍角的相关公式。

2.公式推导在和角公式中，若令β=α，会得到如下结果：sin2α=sin（α+α）= sinαcosα+cosαsinα= 2sinαcosαcos2α=cos（α+α）= cosαcosα－sinαsinα= cos2α－sin2αtan2α= tan（α+α）= 2tanα/(1-tan2α)整理得:sin2α=2sinαcosαcos2α= cos2α-sin2αtan2α=2tanα/(1-tan2α)对于cos2α= cos2α-sin2α，还有其他形式：利用公式sin2α+ cos2α=1变形可得：cos2α= cos2α－sin2α=cos2α－（1－cos2α）=2cos2α－1cos2α= cos2α－sin2α=（1－sin2α）－sin2α=1－2sin2α因此：cos2α= cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α注意：1.要使tan2α=2tanα/(1-tan2α)有意义，α须满足1-tan2α≠0，且α≠kπ+π/2.2.这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去。

在本文中，我们将讨论倍角公式的相对性。